精品解析：广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

湛江市第二十一中学2024-2025学年第一学期10月高二月考 数 学 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 是虚数单位，复数（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原式上下同乘以进行分母实数化即可求解. 【详解】由题意可得 故选：C. 2. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可. 【详解】，， 由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为， 故选：C. 4. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的几何意义、向量数乘的几何意义及向量的数乘运算进行运算即可. 【详解】因为，为中点，，，， 所以 . 故选：B 6. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以. 故选：C. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若和都为基底，则可以为 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，则直线l与平面所成的角为30° 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系对称判断A；利用空间位置关系的向量证明判断B；利用空间基底的意义判断C；求出直线与平面所成角判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为， ，有，则或，B错误； 对于C，由是空间向量的一个基底，得不共面，则不共线， 假设，则，即共面， 与是空间的一个基底矛盾，因此不可以为，C错误； 对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°， 则直线l与平面所成的角为，D正确. 故选：D 8. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出球的半径，利用条件得到三棱锥A﹣BCD的外接球即为以为棱的长方体的外接球，从而得到，结合基本不等式求出侧面积的最大值. 【详解】设球的半径为，则，解得， 因为AD⊥平面ABC，， 所以三棱锥的外接球，即为以为棱的长方体的外接球， 故，其中，故， 三棱锥（以A为顶点）的侧面积为 ， 由基本不等式得，故， 当且仅当时，等号成立， ， 故，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题正确的是（    ） A. 若，则与，共面 B. 若，则共面 C. 若，则共面 D. 若，则共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由共面向量定理即可判断ABD，举出反例即可判断C. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 10. 不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用列举法写出随机取出个小球的基本事件，根据题设描述列举对应事件，由古典概型的概率求法求概率. 【详解】记个白球为，个黑球为，随机取出个小球的事件如下， ， 事件对应基本事件有，所以，故A正确； 事件对应的基本事件有，所以， 事件对应的基本事件有 ，所以，又，故D错误； 其中对应的基本事件有，所以，故B正确； 对应的基本事件有，所以，故C 错误. 故选：AB 11. 在中，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则是等边三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D. 【详解】对于A，中，若，则有或， 当时，，为等腰三角形； 当时，，为直角三角形， 故A选项不正确， 对于B，中，若，则或， 即或，因此不一定是直角三角形，故B选项不正确； 对于C，中，若，则根据正弦定理得， 余弦定理得，则为钝角，是钝角三角形，故C选项正确； 对于D，中，若，则，即， 由，得， 所以，，是等边三角形，故D选项正确． 故选：CD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在空间直角坐标系中，若点，，则_________________________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用空间向量的模长公式计算即可. 【详解】由题意知. 故答案为： 13. 已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由原7个数的方差求出，再求出加入一个新数据2后所得8个数的平均数，即可根据方差公式求出新方差. 【详解】原7个数的方差为，即， 加入一个新数据2后所得8个数的平均数为， 所以这8个数的方差为. 故答案为: . 14. 在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，利用计算可得结论. 【详解】因为平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 因为， ． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中， （1）求的长； （2）求的长； （3）记中点为，求中线的长. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得答案； （2）（3）由余弦定理可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 即， 舍去负值，所以； 【小问3详解】 在中由余弦定理得： ，则. 16. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明; (2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果. 【小问1详解】 设,连接,如图所示: 因为O,E分别为,的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以平面． 【小问2详解】 连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面． 17. 某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． （1）求出a，b，估计测试成绩的分位数和平均分； （2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率． 【答案】（1），，85，76.5 （2） 【解析】 【分析】（1）由所有长方形的面积和为1列方程，结合可求出，然后判断出分位数在第4组，从而可求出分位数；再由平均数的定义求解即可. （2）根据频率分布直方图可得抽取4人中成绩在内的有3人，成绩在内的有1人，然后利用列举法可求得结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，即， 又，所以，， 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 则分位数，且． 测试成绩的平均分为：. 【小问2详解】 成绩在和内的人数之比为， 故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，， 成绩在内的有1人，设为， 再从这4人中选2人， 这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种， 这2人成绩均在内的情况有，，，共3种， 故这2人成绩都在内的概率． 18. 如图所示，已知正方体的棱长为3，，分别是，的中点，是上一点，且平面. （1）求； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，引入参数表示的位置，求出平面的一个法向量以及，由题意，由此即可求出参数，进而得解； （2）求出，结合第一问中求出的，由向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 如图，以点为原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 由得， 取，则，故. 设，则. 因为平面，所以， 所以，所以 【小问2详解】 因为， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）推导出，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）分析可知，平面，设，其中，求出向量的坐标，根据题意可知，与平面的法向量垂直，根据空间向量数量积的坐标运算求出的值，进而可求得线段的长. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，且平面平面， 因为，且平面，所以平面. 因为平面，所以. 【小问2详解】 解：在中，因为，，， 所以，所以. 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 所以，、、、、， 则，， 易知平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则，取，则. 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：因为、到平面的距离相等，且、在平面的同侧， 则有平面. 因为点在棱，所以，其中， 因为，则，所以. 又因为平面，为平面的一个法向量， 所以，即，所以. 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2024-2025学年第一学期10月高二月考 数 学 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 是虚数单位，复数（ ） A. －1 B. 1 C. D. 2. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 空间向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若和都为基底，则可以为 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，则直线l与平面所成的角为30° 8. 已知三棱锥所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ） A 6 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题正确的是（    ） A. 若，则与，共面 B. 若，则共面 C 若，则共面 D. 若，则共面 10. 不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则是等边三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 空间直角坐标系中，若点，，则_________________________ 13. 已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为___________. 14. 在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中， （1）求的长； （2）求的长； （3）记中点为，求中线的长. 16. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 17. 某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． （1）求出a，b，估计测试成绩的分位数和平均分； （2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率． 18. 如图所示，已知正方体的棱长为3，，分别是，的中点，是上一点，且平面. （1）求； （2）求直线与平面所成角正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $