期中真题必刷压轴60题（18个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

期中真题必刷压轴60题（18个考点专练） 一．换元法解一元二次方程（共1小题） 1．（2023秋•乾安县期中）阅读材料：解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ．① 解得 ， 当 时， ． ． ； 当 时， ， ， ． 原方程的解为 ， ， ， ． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想． （2）解方程： ． 二．根的判别式（共1小题） 2．（2023春•余杭区校级期中）对于一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则 ； ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； ③若 是方程 的一个根，则一定有 成立； ④若 是一元二次方程 的根，则 ⑤存在实数 、 ，使得 ； 其中正确的 　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 三．根与系数的关系（共1小题） 3．（2023秋•永年区期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　（填序号） ①方程 是倍根方程； ②若 是倍根方程：则 ； ③若 ， 满足 ，则关于 的方程 是倍根方程； ④若方程以 是倍根方程，则必有 ． 四．一元二次方程的应用（共6小题） 4．（2023秋•威远县期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 5．（2023秋•甘州区校级期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？ 6．（2023秋•驿城区校级期中）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ，在 和 边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形 的宽 为 米，矩形的长为 （且 ． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含 的代数式表示矩形的长 ； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则 、 的长应分别为多少米？ 7．（2023秋•连山县校级期中）如图所示， 、 、 、 为矩形的四个顶点， ， ， 、 分别从点 、 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以 的速度向 移动．点 停止运动时点 也停止运动． （1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ？ （2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离第一次是 ？ 8．（2023秋•兴宾区校级期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为 ． 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 步数（步 10000 ①　 　 平均步长（米 步） 0.6 ②　 　 距离（米 6000 7020 注：步数 平均步长 距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求 ； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 9．（2023秋•新城区校级期中）已知：如图，在 中， ， ， ．点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动． （1）如果 ， 分别从 ， 同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？ （2）在（1）中， 的面积能否等于 ？说明理由． 五．配方法的应用（共1小题） 10．（2023秋•简阳市期中）阅读材料：若 ，求 、 的值． 解： ， ， ， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知 ，求 的值； （2）已知等腰 的三边长 、 、 都是正整数，且满足 ，求 的周长； （3）已知 ， ，求 的值． 六．二次函数的性质（共1小题） 11．（2022秋•南关区校级期中）在学习函数时，我们通过“列表、描点、连线”的方法画函数图象，并结合图象研究函数的性质．运用此方法研究函数 的图象与性质． 操作画图 ①请完成以下列表： 0 1 2 2 0 2 则 　　， 　　． ②在平面直角坐标系中画出 的图象． 观察发现 观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质． 拓展应用 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 　　． 七．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 12．（2023秋•天河区校级期中）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴的交点 在 和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论有 　　（填写所有正确结论的序号）． 八．抛物线与x轴的交点（共1小题） 13．（2023秋•白城期中）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整： 复习日记卡片 内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日 举例：求一元二次方程 的两个解 方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程： ． 解： 方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图所示，把方程 的解看成是二次 函数 　　的图象与 轴交点的 横坐标，即 ， 就是方程的解． 方法三：利用两个函数图象的交点求解 （1）把方程 的解看成是一个二次函数 　　的图象与一个一次函数 　　图象交点的横坐标； （2）画出这两个函数的图象，用 ， 在 轴上标出方程的解． 九．二次函数的应用（共2小题） 14．（2022秋•长春期中）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为 ． （1）求隧道截面的面积 与上半部半径 的函数关系式． （2）求当上部半圆半径为 的截面面积． 15．（2022秋•龙潭区校级期中）2022年北京召开了冬奥会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 轴，过跳台终点 作水平线的垂线为 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 正上方4米处的点 滑出，滑出后沿一段抛物线 运动． （1）当运动员运动到距离点 的水平距离为4米处时，其距离水平线的高度为8米，求抛物线 的函数解析式．（不要求写出自变量 的取值范围） （2）在（1）的条件下，当运动员运动到距离点 的水平距离为多少米处时，其与小山坡的竖直距离为1米？ 一十．二次函数综合题（共28小题） 16．（2023秋•长春期中）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ．点 在直线 上运动（点 不与点 、 重合），过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ．设点 的横坐标为 ． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）求线段 的长．（用含 的代数式表示） （3）以 为边作矩形 ，使 轴，且点 的横坐标为 ． ①当矩形 的面积被坐标轴平分时，求 的值． ②当矩形 的周长随 的增大而增大，且矩形 的边与抛物线 有两个交点时，直接写出 的取值范围． 17．（2023秋•白城期中）如图，抛物线 上的点 ， 的坐标分别为 ， ，抛物线与 轴负半轴交于点 ，点 为 轴负半轴上一点，且 ，连接 、 ． （1）点 的坐标为 　　． （2）求此抛物线的解析式． （3）点 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接 、 ，当 时，点 的横坐标为 　　． （4）将抛物线沿 轴的负方向平移 个单位长度，得到新抛物线，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，在抛物线平移的过程中， ①当点 在线段 上时， 的值为 　　． ②当 的值最小时，直接写出 的值． 18．（2022秋•绿园区校级期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， ， 两点，与 轴交于点 ．点 是抛物线上的任意一点（点 不与点 重合），点 的横坐标为 ，抛物线上点 与点 之间的部分（包含端点）记为图象 ． （1）求出抛物线的解析式； （2）当 符合什么条件时，图象 的最大值与最小值的差为4； （3）当 时，图象 与直线 有且只有一个公共点时，求出 的取值范围； （4）过点 作 轴于点 ，点 为 轴上的一点，纵坐标为 ，以 、 为邻边构造矩形 ，当图象 在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而减小时，直接写出 的取值范围． 19．（2022秋•二道区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线 为常数）与 轴交点的坐标是 ．点 、点 均在这个抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，将 、 两点之间的部分（包括 、 两点）记为图象 ． （1）求此抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）直接写出当 时，函数值 的取值范围． （3）当 、 两点纵坐标相等时，求线段 中点的坐标． （4）抛物线 为常数）与 轴交于点 ，以点 为中心作矩形 ，矩形的边平行于坐标轴，点 坐标为 ，当图象 在矩形 内部 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围． 20．（2022秋•前郭县期中）如图，对称轴为直线 的抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，若点 为抛物线上第二象限内的一点，且到 轴的距离是2．点 为线段 上的一个动点，求 周长的最小值； （3）如图②，将原抛物线绕点 旋转 ，得新抛物线 ，在新抛物线 的对称轴上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由． 21．（2023秋•吉林期中）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 ，直线 与该二次函数的图象交于 ， 两点，与二次函数图象的对称轴交于点 ，其中 点的坐标为 ， 点在 轴上． （1）求 的值及这个二次函数的关系式； （2）求 的面积； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2023秋•前郭县期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过 ， 两点的抛物线交 轴于另一点 ，且 ，点 是直线 下方抛物线上的动点，连接 ， ． （1）求抛物线解析式； （2）当点 与抛物线的顶点重合时， 的面积为 　　； （3）求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标． （4）在（3）的条件下，点 为平面内 轴右侧的一点，是否存在点 及平面内另一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由． 23．（2023秋•绿园区校级期中）在平面直角坐标系中，坐标原点为点 ，抛物线 ， 为常数）的对称轴为直线 ，且经过点 ，点 在该抛物线上，其横坐标为 ． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当点 与点 关于抛物线的对称轴对称时，求 的面积； （3）已知点 ， ，点 ， 是抛物线上的点，若对于 ， ，都有 ，直接写出 的取值范围； （4）设抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，当直线 与图象 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围． 24．（2022秋•绿园区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线 、 为常数）经过点 和点 ，点 在此抛物线上，点 的横坐标为 ，点 不与 、 重合． （1）求此抛物线所对应的函数表达式． （2）当点 到 轴的距离是点 到 轴距离的3倍时，求点 的坐标． （3）设抛物线在 、 两点之间的部分记为图象 （包含 、 两点），抛物线在 、 两点之间的部分记为图象 （包含 、 两点）．当图象 和图象 的最低点的纵坐标的差为1时，求 的取值范围． （4）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连结 ．当抛物线在 、 两点之间的部分（包含 、 两点）与线段 有1个公共点时，直接写出 的取值范围． 25．（2022秋•南关区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 （点 在点 的左侧），第一象限内的点 在该抛物线上． （1）直接写出 、 两点的坐标； （2）若 的面积为12，求点 坐标； （3）在第（2）问的条件下，直线 经过点 、 ，当 时，直接写出 的取值范围． 26．（2022秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线 ，抛物线上不重合的两点 、 的横坐标分别为 ， ． （1）求这条抛物线的顶点 的坐标． （2）若 、 两点的纵坐标相等，求 的值． （3）当点 在对称轴左侧时，将抛物线上 、 两点之间（含 、 两点）的图象记为 ，设图象 的最高点与最低点的纵坐标之差为 ，求 与 之间的函数关系式，并直接写出 随 的增大而减小时 的取值范围． （4）当点 在点 的左侧时，过 、 两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点 、 （点 、 不与顶点 重合）．若点 、 、 中其中一点到另两点距离相等，直接写出 的值． 27．（2022秋•南关区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ，点 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）当 时，求二次函数 的最大值和最小值； （3）点 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 ，过点 作 轴，点 的横坐标为 ．已知点 与点 不重合，且线段 的长度随 的增大而减小． ①求 的取值范围； ②当 时，直接写出线段 与二次函数 的图象交点个数及对应的 的取值范围． 28．（2023秋•南关区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线 是常数）与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标． （2）当 时， 的取值范围是 　　． （3）抛物线上有一点 ，点 的横坐标为 ． ①当点 在 、 两点之间（包括 、 两点）运动时，抛物线在 、 两点之间的部分（包括 、 两点）记为图象 ，设图象 的最高点与最低点的纵坐标之差为 ，求 与 之间的函数关系式并写出自变量 的取值范围． ②已知点 ，以 为对角线构造矩形 且矩形的边与坐标轴平行．当矩形 与抛物线有3个交点时，直接写出 的取值范围． 29．（2023秋•丰满区校级期中）如图，抛物线 经过点 ， ，与 轴交于点 ．点 是抛物线上的动点，且横坐标为 ，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，以 为边在 的右侧作正方形 ． （1）直接写出此抛物线的解析式； （2）当点 在直线 上方的抛物线上时，求 的长（用含 的代数式表示）； （3）当抛物线的顶点落在正方形 的边上（包括顶点）时，求 的值； （4）当此抛物线在正方形 内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出 的值． 30．（2023秋•二道区校级期中）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 是常数）经过点 ．点 在该抛物线上，且横坐标为 ，抛物线与 轴的交点为 、 （点 在点 的左侧）． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）直接写出抛物线与 轴交点 和 的坐标； （3）当 时，抛物线在点 和点 之间的部分（包括 ， 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 时，求 的值； （4）连接 、 ，以 、 为邻边构造平行四边形 ，当平行四边形 为轴对称图形时，直接写出所有满足条件的 的值． 31．（2023秋•二道区校级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线 的顶点为 ，抛物线过 ，且与 轴交于点 ，过点 作 轴交该抛物线于另一点 ． （1）求该抛物线的函数表达式并写出顶点 的坐标； （2）当 时， 的取值范围是 　　； （3）点 为该抛物线上一点，若点 到线段 所在直线的距离为2时，求点 的坐标； （4）将抛物线 在平面直角坐标系中平移，使其顶点始终在直线 上进行移动，设平移后的抛物线顶点的横坐标为 ，当平移后的抛物线与线段 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围． 32．（2023秋•南关区校级期中）抛物线 经过点 、 、 、 是抛物线上的两个动点，其横坐标分别是 和 ，记抛物线上 、 之间（包括 、 两点）的部分为图象 ． （1）求抛物线的解析式； （2）当图象 的最低点的纵坐标为 时，直接写出 的取值范围； （3）当线段 被抛物线对称轴分为 两部分时，求 的值； （4）当线段 与 轴有交点时，设交点为 ．过点 、 分别作平行于 轴的直线与抛物线交于点 、 ，点 、 分别在线段 、 上，当△ 的面积是四边形 面积的一半时，直接写出 的值． 33．（2023秋•丰满区校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴和 轴分别交于点 和点 ，点 是此抛物线上一点，其横坐标为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 在 轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出 的取值范围； （3）当 时，直接写出二次函数 的最大值与最小值的差； （4）过点 作 轴，点 的横坐标为 ．已知点 与点 不重合，且线段 的长度随 的增大而减小． ①求 的取值范围； ②直接写出线段 与抛物线 交点个数及对应的 的取值范围． 34．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交点的坐标为 ． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）①当 时， 的取值范围是 　　； ②若 时， ，则 的取值范围是 　　； （3）当 时，若函数 的图象上有且只有一个点到直线 的距离为1，求 的取值范围． 35．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点，点 在点 的左边，其顶点为点 ．一条开口向下的抛物线经过 ， ， 三点，其顶点 在 轴上方，且纵坐标为4．连接 ， ． （1）直接写出 ， 两点的坐标． （2）经过 ， ， 三点的抛物线所对应的函数解析式为 　　． （3）将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ． ①当点 恰好落在线段 上时，四边形 的形状是 　　． ②当点 落在线段 上时，求 的值． ③当点 恰好落在（2）中的抛物线上时，直接写出 的值． 36．（2022秋•绿园区校级期中）在平面直角坐标系中，坐标原点为点 ，抛物线 ， 为常数）的对称轴为直线 ，且经过点 ．点 在该抛物线上，其横坐标为 ． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当点 与点 关于抛物线的对称轴对称时，求 的面积； （3）以 为对角线作矩形 ，矩形的四边均与坐标轴平行，当矩形与抛物线的另一个交点与矩形的某个顶点的连线将矩形面积分成 的两部分时，求 的值； （4）设抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，当直线 与图象 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围． 37．（2023秋•芗城区校级期中）如图①，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接 ， ， ， ．当 的面积等于 面积的2倍时，求点 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2023秋•巧家县校级期中）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，已知 ，连接 ，抛物线对称轴与 交于点 ． （1）求 的值及顶点 的坐标； （2）点 是抛物线上的动点，点 是直线 上的动点，是否存在以 为边，且以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2023秋•阿荣旗校级期中）已知：如图，抛物线 与坐标轴分别交于点 ， ， ，点 是线段 上方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的垂线，交线段 于点 ，再过点 作 轴交抛物线于点 ． （1）求抛物线解析式； （2）当点 运动到什么位置时， 的长最大？ （3）是否存在点 使 为等腰直角三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 40．（2023秋•河口区校级期中）已知抛物线与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，顶点 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式． （2）求四边形 的面积． （3）若 是抛物线上位于线段 所在直线下方的一个动点，求 的面积的最大值． 41．（2023秋•新会区校级期中）如图， 的两直角边 、 分别在 轴的负半轴和 轴的正半轴上， 为坐标原点， 、 两点的坐标分别为 、 ，抛物线 经过 点，且顶点在直线 上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若 是由 沿 轴向右平移得到的，当四边形 是菱形时，试判断点 和点 是否在该抛物线上，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若 点是 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 作 平行于 轴交 于点 ．设点 的横坐标为 ， 的长度为 ，求 与 之间的函数关系式，写出自变量 的取值范围，并求 取大值时，点 的坐标． 42．（2023秋•新罗区校级期中）如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 ， 不重合），过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，连接 ，直线 能否把 分成面积之比为 的两部分？若能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由． （3）若 为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点 的坐标． 43．（2023秋•东坡区校级期中）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，与 轴负半轴交于点 ， ， ， ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是线段 上一点（不与点 、 重合），过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交 于点 ，当 时，求点 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 是抛物线对称轴 上一点，点 是坐标平面内一点，是否存在点 、 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 一十一．圆周角定理（共1小题） 44．（2023秋•吉林期中）如图， 是 的直径， 是 的中点， 于 ， 交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的半径． 一十二．圆内接四边形的性质（共1小题） 45．（2023秋•旌阳区校级期中）如图， 、 、 、 是 上四点， ． （1）判断 的形状并证明你的结论； （2）当点 位于什么位置时，四边形 是菱形？并说明理由． （3）求证： ． 一十三．直线与圆的位置关系（共1小题） 46．（2023秋•新吴区期中）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，过点 作 ，垂足为点 ， 平分 ． （1）判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 ， 的半径为4，请求出图中阴影部分的面积． 一十四．切线的性质（共1小题） 47．（2023秋•青县校级期中）已知：如图 是 的直径， 是弦，直线 是过点 的 的切线， 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 一十五．切线的判定（共1小题） 48．（2023秋•沂南县期中）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）当 ， 时，求 的长． 一十六．切线的判定与性质（共3小题） 49．（2023秋•船营区校级期中）如图，已知等腰 ， ，以 为直径作 交 于点 ，过 作 于点 ，交 延长线于点 ． （1）求证： 是 的切线． （2）若 ， ，求图中阴影部分的面积（结果用 表示）． 50．（2023秋•惠阳区校级期中）如图 是 的外接圆， ，延长 于 ，连接 ，使得 ， 交 于 ． （1）求证： 与 相切； （2）若 ， ．求 的半径和 的长度． 51．（2023秋•中山市期中）如图，已知 是 的直径，点 为 延长线上一点， ， ． （1）求证： 是 的切线． （2）若 的半径为2，求 的长． 一十七．旋转的性质（共7小题） 52．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，已知 ， ， ， ，点 在 所在直线上运动，以 为边作等边三角形 ，则 　　．在点 运动过程中， 的最小值 　　． 53．（2023秋•乾安县期中）如图所示，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转至 处，使点 落在 延长线上的 点处，求 的度数． 54．（2023秋•广州校级期中）已知：如图，在 中， ，以 为边向形外作等边三角形 ，把 绕着点 按顺时针方向旋转 后得到 ，且 、 、 三点共线，若 ， ，求 的度数与 的长． 55．（2023秋•集美区校级期中）在正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， 与 延长线相交于点 ，过 作 交 于点 ，连接 ． （1）如图1，求证： ； （2）当 时，依题意补全图2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明． 56．（2023秋•荔湾区校级期中）四边形 是正方形， 、 分别是 和 的延长线上的点，且 ，连接 、 、 ． （1）求证： ； （2）填空： 可以由 绕旋转中心 　　点，按顺时针方向旋转 　　度得到； （3）若 ， ，求 的面积． 57．（2023秋•西峰区校级期中）如图1，在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转，若点 ， 在直线 的异侧， 直线 于点 ． 直线 于点 ，连接 ， ． （1）延长 交 于点 （如图 ． ①求证： ； ②求证： ； （2）若直线 绕点 旋转到图3的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）若直线 绕点 旋转到与 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形 的形状及此时 还成立吗？不必说明理由． 58．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，等腰直角 中， ，点 在 上，将 绕顶点 沿顺时针方向旋转 后得到 ． （1）求 的度数； （2）当 ， 时，求 的大小； （3）当点 在线段 上运动时 不与 重合），请写出一个反映 ， ， 之间关系的等式，并加以证明． 一十八．作图-旋转变换（共2小题） 59．（2023秋•大连期中）如图，线段 两个端点的坐标分别为 ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 到对应线段 （点 与点 对应，点 与 对应）． （1）请在图中画出线段 ； （2）请直接写出点 、 的对应点坐标 　　，　　 ， 　　，　　 ； （3）在 轴上求作一点 ，使 的周长最小，并直接写出点 的坐标 　　，　　 ． 60．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图， 中， ， ， 是 边上一点，将 绕点 逆时针旋转 ，点 旋转后的对应点为 ． （1）画出旋转后的三角形； （2）连接 ，若 ，求 的度数； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 期中真题必刷压轴60题（18个考点专练） 一．换元法解一元二次方程（共1小题） 1．（2023秋•乾安县期中）阅读材料：解方程 ，我们可以将视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ．① 解得 ， 当 时， ． ． ； 当 时， ， ， ． 原方程的解为 ， ， ， ． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　换元　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想． （2）解方程： ． 【分析】（1）根据题意可以解答本题； （2）根据换元法可以解答此方程． 【解答】解：（1）由题意可得， 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想， 故答案为：换元、换元； （2） ， 令 ，则原方程可化为： ， 解得， 或 ， （舍去）， ， 解得， ， ， 故原方程的解是 ， ． 【点评】本题考查换元法解一元二次方程、解一元二次方程的方法，解题的关键是明确解方程的方法． 二．根的判别式（共1小题） 2．（2023春•余杭区校级期中）对于一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则 ； ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； ③若 是方程 的一个根，则一定有 成立； ④若 是一元二次方程 的根，则 ⑤存在实数 、 ，使得 ； 其中正确的 　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：①若 ，则 是方程 的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△ ，故①正确； ② 方程 有两个不相等的实根， △ ， ， 则方程 的判别式△ ， 方程 必有两个不相等的实根，故②正确； ③ 是方程 的一个根， 则 ， ， 若 ，等式仍然成立， 但 不一定成立，故③不正确； ④若 是一元二次方程 的根， 则由求根公式可得： 或 或 故④正确． ⑤存在实数 、 ，使得 成立； 由 ， ， ， 即 ， ， ， 当 时，存在实数 、 ，使得 成立； 故⑤正确． 故选： ． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键． 三．根与系数的关系（共1小题） 3．（2023秋•永年区期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号） ①方程 是倍根方程； ②若 是倍根方程：则 ； ③若 ， 满足 ，则关于 的方程 是倍根方程； ④若方程以 是倍根方程，则必有 ． 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到 、 之间的关系，而 、 之间的关系正好适合， ③当 ， 满足 ，则 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当 ，或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解答】解：①解方程 得， ， ，得， ， 方程 不是倍根方程； 故①不正确； ②若 是倍根方程， ， 因此 或 ， 当 时， ， 当 时， ， ， 故②正确； ③ ，则： ， ， ， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程 的根为： ， ， 若 ，则， ， 即， ， ， ， ， ． 若 时，则， ， 即，则， ， ， ， ， ， ． 故④正确， 故答案为：②③④ 【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 四．一元二次方程的应用（共6小题） 4．（2023秋•威远县期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为： 件；三月份的销售量为： 件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出 的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量 每件商品的利润 求出即可． 【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为 ，根据题意可得： ， 解得： ， （不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为 ； （2）设当商品降价 元时，商品获利4250元，根据题意可得： ， 解得： ， （不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 5．（2023秋•甘州区校级期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【分析】设每件衬衫应降价 元，那么就多卖出 件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，根据每天盈利1200元，可列方程求解． 【解答】解：设每件衬衫应降价 元， 由题意得： ， 即 ， ， ， 解得： 或 为了减少库存，所以 ． 故每件衬衫应降价20元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意的能力，关键是看到降价和销售量的关系，然后根据利润可列方程求解． 6．（2023秋•驿城区校级期中）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ，在 和 边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形 的宽 为 米，矩形的长为 （且 ． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含 的代数式表示矩形的长 ； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则 、 的长应分别为多少米？ 【分析】（1）根据题意，可知 ，且有 ，整理即可得出用含 的代数式表示矩形的长 的式子； （2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时 的值即可． 【解答】解：（1） ， ， ； （2）由题意得 ， 解得 ， 由题意得 ， 即 ， 解得 ， ， （舍去）， ， ． 答： 长为6米， 长为32米． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 7．（2023秋•连山县校级期中）如图所示， 、 、 、 为矩形的四个顶点， ， ， 、 分别从点 、 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以 的速度向 移动．点 停止运动时点 也停止运动． （1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ？ （2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离第一次是 ？ 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质，利用梯形面积的求算方法，找出等量关系列出方程求解即可； （2）作 ，垂足为 ，设运动时间为 秒，用 表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【解答】解：（1）依题意得 ， ， ， ， 故 ． 又 ， ， 解得 ． 答： 、 两点出发后5秒时，四边形 的面积为 ． （2）过点 做 交 于 ． ， 在 中， ， 可得： ， 解得 （舍去）， ． 答： 、 两点从出发开始 时，点 和点 的距离第一次是 ． 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．（2）利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 8．（2023秋•兴宾区校级期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为 ． 项目 第一次锻炼 第二次锻炼 步数（步 10000 ①　 　 平均步长（米 步） 0.6 ②　 　 距离（米 6000 7020 注：步数 平均步长 距离． （1）根据题意完成表格填空； （2）求 ； （3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长． 【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的步数； ②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为 ，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米 步）； （2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案； （3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长． 【解答】解：（1）①根据题意可得： ； ②第二次锻炼的平均步长（米 步）为： ； 故答案为： ； ； （2）由题意： 解得： （舍去）， ． 则 ， 答： 的值为0.1； （3）根据题意可得： ， ． 答：王老师这500米的平均步幅为0.5米． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键． 9．（2023秋•新城区校级期中）已知：如图，在 中， ， ， ．点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动． （1）如果 ， 分别从 ， 同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？ （2）在（1）中， 的面积能否等于 ？说明理由． 【分析】（1）设经过 秒钟， 的面积等于 ，根据点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动，表示出 和 的长可列方程求解． （2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到 ． 【解答】解：（1）设经过 秒以后 面积为 ，则 ， 整理得： ， 解得： 或 ． 答：2或3秒后 的面积等于 ． （2）设经过 秒以后 面积为 ，则 ， 整理得： ， △ ， 所以，此方程无解， 故 的面积不能等于 ． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“ 的面积等于 ”，得出等量关系是解决问题的关键． 五．配方法的应用（共1小题） 10．（2023秋•简阳市期中）阅读材料：若 ，求 、 的值． 解： ， ， ， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知 ，求 的值； （2）已知等腰 的三边长 、 、 都是正整数，且满足 ，求 的周长； （3）已知 ， ，求 的值． 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可； （2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， 解得 ， ， 则 ； （2） ， ， ， 则 ， ， 解得， ， ， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， 的周长为 ； （3） ， ， 则 ， ， ， 则 ， ， 解得 ， ， ， ． 【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． 六．二次函数的性质（共1小题） 11．（2022秋•南关区校级期中）在学习函数时，我们通过“列表、描点、连线”的方法画函数图象，并结合图象研究函数的性质．运用此方法研究函数 的图象与性质． 操作画图 ①请完成以下列表： 0 1 2 2 0 2 则 　 　， 　　． ②在平面直角坐标系中画出 的图象． 观察发现 观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质． 拓展应用 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 　　． 【分析】①把 ， 代入 ，即可求出 ， ； ②描点连线即可画出该函数的图象； 观察发现：由图象得到函数的两条性质即可； 拓展应用：关于 的方程 有两个不相等的实数根则 的图象与直线 有两个交点，借助函数图象即可得出结论． 【解答】解： 操作作图 ①当 时， ， ， 当 时， ， 故答案为： ， ； ②该函数的图象如图： 观察发现 函数的两条性质：函数的图象关于 轴对称； 时， 随 的增大而增大； 拓展运用 ， 若关于 的方程 有两个不相等的实数根， 则 的图象与直线 有两个交点， 如图所示： 当 时，直线 与抛物线 有一个公共点， 即方程 有两个相等的实数根， △ ， 解得 ， 关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 或 ， 故答案为： 或 ． 【点评】本题考查二次函数的性质，绝对值的意义以及方程的根与图象交点之间的关系，关键是利用数形结合的思想进行解答． 七．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 12．（2023秋•天河区校级期中）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴的交点 在 和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论有 　①③⑤　（填写所有正确结论的序号）． 【分析】根据对称轴为直线 及图象开口向下可判断出 、 、 的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过 ，则得②的判断；根据图象经过 可得到 、 、 之间的关系，从而对②⑤作判断；利用 ，可判断③；从图象与 轴的交点 在 和 之间可以判断 的大小得出④的正误． 【解答】解：① 函数开口方向向上， ； 对称轴在 轴右侧 异号， 抛物线与 轴交点在 轴负半轴， ， ， 故①正确； ② 图象与 轴交于点 ，对称轴为直线 ， 图象与 轴的另一个交点为 ， 当 时， ， ， 故②错误； ③ 二次函数 的图象与 轴的交点在 的下方，对称轴在 轴右侧， ， 最小值： ， ， ； ③正确； ④ 图象与 轴的交点 在 和 之间， ， ； 故④错误 ⑤ ， ，即 ； 故⑤正确． 综上所述，正确的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 八．抛物线与x轴的交点（共1小题） 13．（2023秋•白城期中）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整： 复习日记卡片 内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日 举例：求一元二次方程 的两个解 方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程： ． 解： 方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图所示，把方程 的解看成是二次 函数 　 　的图象与 轴交点的 横坐标，即 ， 就是方程的解． 方法三：利用两个函数图象的交点求解 （1）把方程 的解看成是一个二次函数 　　的图象与一个一次函数 　　图象交点的横坐标； （2）画出这两个函数的图象，用 ， 在 轴上标出方程的解． 【分析】方法一：利用因式分解法求解． 方法二：将 转化为图象，即函数 与 的交点横坐标为方程的解． 方法三：（1）将方程 整理为 ，进而求解． （2）分别画出 的图象与 图象． 【解答】解：方法一： 或 ． 方法二：等式 左边可看作函数 ，等式右边可看作 ，即 轴， 方程 的解可看作抛物线 与 轴的交点横坐标． 故答案为： ． 方法三：（1）将方程 整理为 ， 方程 的解看成是一个二次函数 的图象与一个一次函数 图象交点的横坐标； 故答案为： ， ． （2）如图： 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，及方程的解与函数图象的交点的关系． 九．二次函数的应用（共2小题） 14．（2022秋•长春期中）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长为 ． （1）求隧道截面的面积 与上半部半径 的函数关系式． （2）求当上部半圆半径为 的截面面积． 【分析】（1）已知圆的半径为 ，可知矩形的另一边长为 ，分别计算半圆面积和矩形面积，列出函数关系式； （2）把 代入函数关系式，可求面积． 【解答】解：（1）圆的半径为 ，矩形的另一边长为 ， 则：隧道截面的面积 ， 即 ； （2）当 时，截面面积为 ． 【点评】本题考查了利用面积法列函数关系式的方法，并要求会对函数式进行简单的运用． 15．（2022秋•龙潭区校级期中）2022年北京召开了冬奥会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 轴，过跳台终点 作水平线的垂线为 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 正上方4米处的点 滑出，滑出后沿一段抛物线 运动． （1）当运动员运动到距离点 的水平距离为4米处时，其距离水平线的高度为8米，求抛物线 的函数解析式．（不要求写出自变量 的取值范围） （2）在（1）的条件下，当运动员运动到距离点 的水平距离为多少米处时，其与小山坡的竖直距离为1米？ 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设当运动员运动到距离点 的水平距离为 米处时，其与小山坡的竖直距离为1米，求出此时两个函数的函数值，相减等于1，列出关于 的方程，进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知抛物线 过点 和 ， 将其代入得 ， 解得 ， 抛物线 的函数解析式为 ； （2）设当运动员运动到距离点 的水平距离为 米处时，其与小山坡的竖直距离为1米， 依题意得： ， 整理得 ， 解得 ， （舍去）， 故当运动员运动到距离点 的水平距离为12米处时，其与小山坡的竖直距离为1米． 【点评】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出二次函数的解析式是解题的关键． 一十．二次函数综合题（共28小题） 16．（2023秋•长春期中）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ．点 在直线 上运动（点 不与点 、 重合），过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ．设点 的横坐标为 ． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）求线段 的长．（用含 的代数式表示） （3）以 为边作矩形 ，使 轴，且点 的横坐标为 ． ①当矩形 的面积被坐标轴平分时，求 的值． ②当矩形 的周长随 的增大而增大，且矩形 的边与抛物线 有两个交点时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法，将点 和点 代入抛物解析式求解即可； （2）利用点 和点 的坐标求出直线 的解析式，再用含 的代数式分别表示点 ， 的坐标，求出 的长即可； （3）①分类讨论，被 轴平分可得 ， 的纵坐标互为相反数列方程求解；被 轴平分时， ， 的横坐标互为相反数求解即可；②结合图象，根据 ， 的相对位置得出 的范围，再结合 ， 的相对位置用含有 的代数式表示出矩形的周长，求出随 的增大而增大对应的取值范围，最后结合图象判断矩形 的边与抛物线有两个交点时 的取值范围． 【解答】解：（1） 抛物线 经过点 和点 ， ， 解得 ， 这条抛物线所对应的函数表达式为 ； （2）设直线 ， 将点 和点 代入得： ， 解得： ， 直线 所对应的函数表达式为 ， 设 ， ， ， 当 或 时， ， 当 时， ； （3）①当矩形 的面积被 轴平分时，如图①、图②， ， 解得 （舍 ， ， 当矩形 的面积被 轴平分时，如图③， ， 解得： ； ②设矩形 的周长为 ， ， 当 时，即 时，此时点 在点 的右边， ， 当 时， ， ， 当 时，周长随 的增大而增大， 由图④可知当 ，矩形的边和抛物线有两个交点； 当 时，即 ，且此时点 在点 的左边， ， ， 当 时，矩形周长随 的增大而增大， 已知抛物线的对称轴为： ， 当 时，矩形的边与抛物线有两个交点时， ， 解得： ， 当 时，如图⑥所示，矩形的边与抛物线有两个交点， 综上所述， 的取值范围为： ， ， ． 【点评】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式以及根据二次函数图象轴对称的性质列方程，运用分类讨论的思想解决问题是解决本题的关键． 17．（2023秋•白城期中）如图，抛物线 上的点 ， 的坐标分别为 ， ，抛物线与 轴负半轴交于点 ，点 为 轴负半轴上一点，且 ，连接 、 ． （1）点 的坐标为 　 　． （2）求此抛物线的解析式． （3）点 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接 、 ，当 时，点 的横坐标为 　　． （4）将抛物线沿 轴的负方向平移 个单位长度，得到新抛物线，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，在抛物线平移的过程中， ①当点 在线段 上时， 的值为 　　． ②当 的值最小时，直接写出 的值． 【分析】（1）点 在 轴负半轴且 ，则 ； （2）由待定系数法即可求解； （3）设点 的横坐标为 ，则 ，点 ，则 ，即可求解； （4）①由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，即可求解； ②作出点 关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，则此时 取得最小值，即为 的长度，即可求解． 【解答】解：（1） 点 在 轴负半轴且 ， ， 故答案为： ； （2）将 ， 代入 ，得： ，解得： ， 抛物线的解析式为： ； （3）过点 作 轴于点 ，交线段 于点 ， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入 ，得； ，解得： ， 直线 的解析式为： ； 设点 的横坐标为 ， 则 ，点 ， ， ， ， 解得 ， ， 故答案为： ； （4）①由题意得，点 、 、 的坐标分别为： 、 、 ， 由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ， 将点 的坐标代入上式得： ， 解得： ， 故答案为：8； ②设抛物线沿 轴的负方向平移 个单位长度得到新抛物线， 将点 向右平移 个单位长度得到点 ，作出图形如下： 由平移的性质可知， ， ， 的值最小就是 最小值， 由题意得，点 在直线 上运动， 作出点 关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，则此时 取得最小值，即为 的长度， 点 关于直线 对称的对称的点是点 ， ， ， ， 设直线 “的解析式是： ， 将点 ， 的坐标得，直线 的解析式是： ， 令 ，解得： ， ， ， 平移的距离是 ． 【点评】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转 思想是解题的关键． 18．（2022秋•绿园区校级期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， ， 两点，与 轴交于点 ．点 是抛物线上的任意一点（点 不与点 重合），点 的横坐标为 ，抛物线上点 与点 之间的部分（包含端点）记为图象 ． （1）求出抛物线的解析式； （2）当 符合什么条件时，图象 的最大值与最小值的差为4； （3）当 时，图象 与直线 有且只有一个公共点时，求出 的取值范围； （4）过点 作 轴于点 ，点 为 轴上的一点，纵坐标为 ，以 、 为邻边构造矩形 ，当图象 在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而减小时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据点 与点 的位置，结合图象分类讨论即可； （3）直线 经过 点时，直线与图象 有两个交点，再结合图象，确定 的取值即可； （4）分两种情况：当 时， 点在 点上方，结合图象求出 ；当 时， 点在 点上方，结合图象求出 ． 【解答】解：（1）将 ， ， 代入 ， ， 解得 ， ； （2）令 ，则 ， ， ， 抛物线的顶点为 ， 当 时， ， ， ， 当 时，图象 的最大值为9，最小值为 ， ， 解得 或 ， 时，图象 的最大值与最小值的差为4； 当 时，图象 的最大值为9，最小值为5， 图象 的最大值与最小值的差为4； 当 时，图象 的最大值为 ，最小值为5， ， 解得 （舍 ； 当 时，图象 的最大值为5，最小值为 ， ， 解得 或 （舍 ； 综上所述： 或 时，，图象 的最大值与最小值的差为4； （3）当 时， ，此时图象 与直线 有且只有一个公共点， 当 时， ，此时图象 与直线 有且只有两个公共点， 当 时， ，此时图象 与直线 有且只有一个公共点， 综上所述：当 或 时，图象 与直线 有且只有一个公共点； （4） 轴， ， 当 时， 点在 点上方， ， ， 解得 ， ， ； 当 时， 点在 点上方， ， 解得 或 ， ， ； 综上所述： 的取值范围是 或 ． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 19．（2022秋•二道区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线 为常数）与 轴交点的坐标是 ．点 、点 均在这个抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，将 、 两点之间的部分（包括 、 两点）记为图象 ． （1）求此抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）直接写出当 时，函数值 的取值范围． （3）当 、 两点纵坐标相等时，求线段 中点的坐标． （4）抛物线 为常数）与 轴交于点 ，以点 为中心作矩形 ，矩形的边平行于坐标轴，点 坐标为 ，当图象 在矩形 内部 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当 时， ； （3）分别求出 、 点的坐标，由题意可得 ，求出 的值即可； （4）由题意可得 、 两点在 轴左侧时，图象 在矩形 内部 随 的增大而增大，再求 的范围即可． 【解答】解：（1）将点 代入 ， ， 解得 ， ； （2）当 时， ， 当 时， ； （3）当 时， ， ， 当 时， ， ， 、 两点纵坐标相等， ， 解得 ， ， ， 的中点坐标为 ； （4）令 ，则 ， ， 是矩形 的中心， 、 两点在 轴左侧时，图象 在矩形 内部 随 的增大而增大， ， ， 解得 ， 当 时，图象 在矩形 内部 随 的增大而增大． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键． 20．（2022秋•前郭县期中）如图，对称轴为直线 的抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，若点 为抛物线上第二象限内的一点，且到 轴的距离是2．点 为线段 上的一个动点，求 周长的最小值； （3）如图②，将原抛物线绕点 旋转 ，得新抛物线 ，在新抛物线 的对称轴上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）先根据对称轴确定 的值，再将 ， 代入，求函数的解析式即可； （2）先确定 点坐标，作 点关于 轴的对称点为 ，连接 与 轴交于点 ，则有 ，所以 周长的最小值为 ； （3）先求出旋转后 点旋转后的点 ， ，再用待定系数法求旋转后的抛物线解析式 ，设 ，分别求出 ， ， ，再根据等腰三角形边的性质，分三种情况讨论即可求解． 【解答】解：（1） 对称轴为直线 ， ， ， 将 ， 代入， ， 解得 ， ； （2） 点到 轴的距离是2， 点横坐标为 ， ， 令 ，则 ， 解得 或 ， ， ， 点关于 轴的对称点为 ， 连接 与 轴交于点 ， ， ， ， ， 周长的最小值为 ； （3）存在点 ，使得 为等腰三角形，理由如下： ， ， 点旋转后的点 ， ， 设旋转后的抛物线解析式为 ， ， 解得 ， ， 抛物线的对称轴为直线 ， 设 ， ， ， ， 当 时， ， 解得 或 ， 或 ； 当 时， ， 此时不存在； 当 时， ， 解得 ， ； 综上所述： 点坐标为 或 或 ． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象旋转的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离是解题的关键． 21．（2023秋•吉林期中）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 ，直线 与该二次函数的图象交于 ， 两点，与二次函数图象的对称轴交于点 ，其中 点的坐标为 ， 点在 轴上． （1）求 的值及这个二次函数的关系式； （2）求 的面积； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点 坐标代入解析式可求 的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出 ，然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解． 【解答】解：（1） 直线 过点 ， ， ， ， ， 设二次函数解析式为 ， 由题意可得： ， 解得： ， ， 抛物线的解析式为 ； （2）由（1）知，直线 的解析式为 ， 直线 与二次函数图象的对称轴交于点 ， 顶点坐标为 ， 对称轴为 ， 设点 ， ， ， 的面积 ； （3）存在， 顶点坐标为 ， 对称轴为 ， 设点 ， 又 ，点 ， ， ， ， 当 时，则 ， ， 点 坐标为 或 ． 当 时，则 ， ， 点 坐标为 或 ； 当 时，则 ， ， 点 坐标为 ； 综上所述：点 的坐标为 或 或 或 或 ． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 22．（2023秋•前郭县期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过 ， 两点的抛物线交 轴于另一点 ，且 ，点 是直线 下方抛物线上的动点，连接 ， ． （1）求抛物线解析式； （2）当点 与抛物线的顶点重合时， 的面积为 　3　； （3）求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标． （4）在（3）的条件下，点 为平面内 轴右侧的一点，是否存在点 及平面内另一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）把 代入 ，求出 的值，从而求出点 坐标，然后根据 ，求出点 坐标 ，设抛物线解析式为 ，把 代入，即可求解； （2）将抛物线解析式化成顶点式，得出顶点坐标，即可得出点 坐标，再求出对称轴与直线 的交点坐标，即可求解； （3）过点 作 轴，交 于点 ，设点 的横坐标为 ，则 ， ，则 ，所以 ，又因 ，则 ， ，根据二次函数最伯求解即可； （4）分两种情况：①当 为正方形 的边时，②当 为正方形 的对角线时，分别求出点 坐标即可． 【解答】解：（1）把 代入 ，得， ，解得： ， ， 当 时， ， ， ， ， ， ， ， 设抛物线解析式为 ， 把 代入得： ， 解得： ， 抛物线解析式为 ； （2） ， 点 与抛物线的顶点重合， ， 设抛物线对称轴与直线 相交于 ，如图， ， ， 直线 解析式为： ， 则当 时， ， ， ， 故答案为：3； （3）如图，过点 作 轴，交 于点 ， 设点 的横坐标为 ，则 ， 直线 的解析式为 ， ， ， ， ， 当 时， 有最大值12， ， 此时点 的坐标为 ． （4）过作 轴于 ， ， ， ， ， ， 如图，①当 为正方形 的边时， 有正方形 ， 过 作 轴于 ， ， ， ， ， △ ， ， ， ； 有正方形 时， 过 作 于 ， 同理可得 △ ， ， ， ； ②当 为正方形 的对角线时，设 与 相交于 ， ， ， ， 有正方形 时，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ， 易证 △ ， ， ， 设 ，则 ， ， 解得： ， ， ， 有正方形 时，过 作 轴于 ， 则 与 重合， ， 综上，存在，当以 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形时，点 的坐标 ， ， ， ． 【点评】本题考查了待定系数法求次函数解析式，二次函数图象和性质，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23．（2023秋•绿园区校级期中）在平面直角坐标系中，坐标原点为点 ，抛物线 ， 为常数）的对称轴为直线 ，且经过点 ，点 在该抛物线上，其横坐标为 ． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当点 与点 关于抛物线的对称轴对称时，求 的面积； （3）已知点 ， ，点 ， 是抛物线上的点，若对于 ， ，都有 ，直接写出 的取值范围； （4）设抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，当直线 与图象 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴公式可求出 ，再将点 代入抛物线解析式，解之可得 的值，由此可得出结论； （2）由抛物线的对称性可得出点 的坐标，及 轴，再根据三角形的面积公式可得出结论； （3）由题意可知，这两个范围段内不存在关于对称轴对称的点，依据图形可深刻理解； （4）需要分类讨论，分点 在点 的左上方、在点 与顶点之间、在顶点与点 关于对称轴的对称点之间、点 关于对称轴的对称点的右上方四种情况，结合横纵坐标的情况，列出不等式组，即可求解． 【解答】解：（1） 抛物线 ， 为常数）的对称轴为直线 ， ， ， 把 代入 中得： ， 解得： ， ； （2） 点 与点 关于抛物线的对称轴对称， ， 轴， ， ； （3）设点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， 点 关于对称轴直线 的对称点为 ，则其横坐标为 ；如图（3） ， 此时 ， 解得 ； 点 关于对称轴直线 的对称点为 ，则其横坐标为 ，如图（3） ， 此时 ， 解得 ； 综上，符合题意的 的取值范围为 或 ； （4）当点 在点 的左上方时， 抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，直线 与图象 只有一个公共点， ， ， ， 解得 ； 当点 在点 与顶点之间（含顶点）时， 抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，直线 与图象 只有一个公共点， ， ， ， 解得 ； 当点 在顶点与点 关于对称轴的对称点之间时， 抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，直线 与图象 只有一个公共点，顶点坐标为 ，点 关于对称轴的坐标为 ， ， 或 ， 解得 或 ； 当点 在点 关于对称轴的对称点右上方（含对称点）时， 抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，直线 与图象 只有一个公共点，顶点坐标为 ，点 关于对称轴的坐标为 ， ， 或 ， 解得无解或 ； 综上， 的取值范围为： 或 或 ． 【点评】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与三角形面积问题、抛物线与不等式问题，解题的关键是利用数形结合思想对问题进行分类讨论． 24．（2022秋•绿园区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线 、 为常数）经过点 和点 ，点 在此抛物线上，点 的横坐标为 ，点 不与 、 重合． （1）求此抛物线所对应的函数表达式． （2）当点 到 轴的距离是点 到 轴距离的3倍时，求点 的坐标． （3）设抛物线在 、 两点之间的部分记为图象 （包含 、 两点），抛物线在 、 两点之间的部分记为图象 （包含 、 两点）．当图象 和图象 的最低点的纵坐标的差为1时，求 的取值范围． （4）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连结 ．当抛物线在 、 两点之间的部分（包含 、 两点）与线段 有1个公共点时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可得方程 ，求出 的值即可求 点坐标； （3）画出函数的图象，结合图象分类讨论求解即可； （4）分两种情况：当 时，当 点在 点上方时；当 时，当 点在 点上方时， 点在线段 下方时；分别求出 的范围即可． 【解答】解：（1）将点 、点 代入 ， ， 解得 ， ； （2） 点 的横坐标为 ， ， 到 轴的距离为 ， 到 轴距离为1， ， 解得 或 或 ， 点坐标为 ， 或 ， 或 ； （3）当 时， ， 解得 或 ， ， 当 时， ， 解得 或 ， ， ①如图1、图2，当 时，图象 的最低点为 点，纵坐标为 ，图象 的最低点为顶点，纵坐标为 ， 纵坐标的差为1， 时，纵坐标的差为1； ②如图3，当 时，图象 的最低点为 点，纵坐标为 ，图象 的最低点为顶点，纵坐标为 ， 纵坐标的差小于1； ③如图4，当 时，图象 的最低点为顶点，纵坐标为 ，图象 的最低点为 点，纵坐标为 ， ， 解得 或 （舍 ， 时，纵坐标的差为1； ④如图5，当 时，图象 的最低点为顶点，纵坐标为 ，图象 的最低点为 点，纵坐标为1， 纵坐标的差大于1； 综上所述： 或 时满足题意； （4）当 时， ， 当 点在 点上方时，抛物线在 、 两点之间的部分与线段 有1个公共点， ， 解得 或 ， 时，抛物线在 、 两点之间的部分与线段 有1个公共点； 当 时，当 点在 点上方时， 点在线段 下方， ， ， 解得 ， ，抛物线在 、 两点之间的部分与线段 有1个公共点； 综上所述： 或 时，抛物线在 、 两点之间的部分与线段 有1个公共点． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 25．（2022秋•南关区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 （点 在点 的左侧），第一象限内的点 在该抛物线上． （1）直接写出 、 两点的坐标； （2）若 的面积为12，求点 坐标； （3）在第（2）问的条件下，直线 经过点 、 ，当 时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）令 ，然后解方程即可求得； （2）根据 的面积求得 的纵坐标，代入解析式即可求得 的坐标； （3）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）令 ，则 ， 解得 ， ， ， ； （2） ， ， ， ， ， 解得 ， ， 解得 ， （不符题意，舍去）， ； （3）由图象可知，当 时， 的取值范围是 ． 【点评】本题考查了抛物线与 轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 26．（2022秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线 ，抛物线上不重合的两点 、 的横坐标分别为 ， ． （1）求这条抛物线的顶点 的坐标． （2）若 、 两点的纵坐标相等，求 的值． （3）当点 在对称轴左侧时，将抛物线上 、 两点之间（含 、 两点）的图象记为 ，设图象 的最高点与最低点的纵坐标之差为 ，求 与 之间的函数关系式，并直接写出 随 的增大而减小时 的取值范围． （4）当点 在点 的左侧时，过 、 两点分别向抛物线的对称轴作垂线，垂足分别为点 、 （点 、 不与顶点 重合）．若点 、 、 中其中一点到另两点距离相等，直接写出 的值． 【分析】（1）配方成顶点式即可得出答案； （2）由 、 两点的纵坐标相等知点 、 关于对称轴对称，据此求解可得； （3）先得出 、 的坐标分别为 、 ，再分 ， 、 三种情况分别求解； （4）由点 、 的坐标分别为 、 知点 ， ，再分点 是 中点和点 是 中点两种情况求解即可． 【解答】解：（1） ， 抛物线顶点 的坐标为 ； （2） 抛物线的对称轴为直线 ， ． ； （3）点 、 的坐标分别为 、 ． 当 时， ． 当 时， ． 当 时， ． 当 时， 随 的增大而减小． （4） 点 、 的坐标分别为 、 ， 点 ， ， ①当点 是 中点时，有 ， 整理，得： ， 解得 或 ， 点 在点 的左侧， ，即 ， ； ②当点 是 中点时，有 ， 整理，得： ， 解得 ； 综上， 的值为 或 或 ． 【点评】本题是二次函数综合问题，考查了二次函数的最值，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握基本知识是解题的关键． 27．（2022秋•南关区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ，点 ． （1）求此二次函数的解析式； （2）当 时，求二次函数 的最大值和最小值； （3）点 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 ，过点 作 轴，点 的横坐标为 ．已知点 与点 不重合，且线段 的长度随 的增大而减小． ①求 的取值范围； ②当 时，直接写出线段 与二次函数 的图象交点个数及对应的 的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解． （2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解． （3）①由 求出 取值范围， ②通过数形结合求解． 【解答】解：（1）将 ，点 代入 得： ， 解得 ， ． （2） ， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ． 当 时， 取最小值为 ， ， 当 时， 取最大值 ． （3）① ， 当 时， ， 的长度随 的增大而减小， 当 时， ， 的长度随 增大而增大， 满足题意， 解得 ． ② ， ， 解得 ， 如图，当 时，点 在最低点， 与图象有1交点， 增大过程中， ，点 与点 在对称轴右侧， 与图象只有1个交点， 直线 关于抛物线对称轴直线 对称后直线为 ， 时， 与图象有2个交点， 当 时， 与图象有1个交点， 综上所述， 或 时， 与图象交点个数为1， 时， 与图象有2个交点． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解． 28．（2023秋•南关区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线 是常数）与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标． （2）当 时， 的取值范围是 　 　． （3）抛物线上有一点 ，点 的横坐标为 ． ①当点 在 、 两点之间（包括 、 两点）运动时，抛物线在 、 两点之间的部分（包括 、 两点）记为图象 ，设图象 的最高点与最低点的纵坐标之差为 ，求 与 之间的函数关系式并写出自变量 的取值范围． ②已知点 ，以 为对角线构造矩形 且矩形的边与坐标轴平行．当矩形 与抛物线有3个交点时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）抛物线 过点 ，有 ，得 ，故 ，即可得抛物线的顶点坐标为 ； （2）在 中，令 得 ，令 时 ，而抛物线的顶点坐标为 ，可知当 时， 的取值范围是 ； （3）求出 ， ，由题意得 ， ①当 在对称轴直线左侧（包括在对称轴直线上），即 时，图象 的最高点为 ，最低点为 ，可得 ；当 在对称轴直线右侧，即 时，图象 的最高点为顶点 ，最低点为 ，得 ； ②由点 的横坐标为 ，点 ，可知矩形 的中心在直线 上，根据 ，矩形中心在直线 上，对称轴为直线 ， ，分类画出图形，即可得到答案． 【解答】解：（1）抛物线 过点 ， ， 解得 ， 抛物线对应的函数表达式为 ， ， 抛物线的顶点坐标为 ； （2）在 中，令 得 ，令 时 ， 抛物线的顶点坐标为 ， 当 时， 的取值范围是 ； 故答案为： ； （3）在 中，令 得 ， 解得 或 ， ， ， 由题意得 ，抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ①当 在对称轴直线左侧（包括在对称轴直线上），即 时，图象 的最高点为 ，最低点为 ， ； 当 在对称轴直线右侧，即 时，图象 的最高点为顶点 ，最低点为 ， ， ； ② 点 的横坐标为 ，点 ， 而以 为对角线的矩形 的中心是 的中点， 矩形 的中心在直线 上， （Ⅰ）当 ，即 时，如图： 此时矩形 与抛物线有4个交点； （Ⅱ）当 ，即 时，如图： 此时矩形 与抛物线有3个交点； （Ⅲ）当 ，即 时，如图： 此时矩形 与抛物线有2个交点； （Ⅳ）当 时，矩形 不存在； （Ⅴ）当 ，即 时，如图： 此时矩形 与抛物线有1个交点； （Ⅵ）当 时，矩形 不存在； （Ⅶ）当 ，即 时，如图： 此时矩形 与抛物线有2个交点； （Ⅷ）当 ，即 时，如图： 此时矩形 与抛物线有3个交点； （Ⅸ）当 时，矩形 不存在； Ⅱ 当 ，即 ，如图： 此时矩形 与抛物线有4个交点； 综上所述，当矩形 与抛物线有3个交点时， 的取值范围是 或 ． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，矩形性质及应用，二次函数的最大（小 值等问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． 29．（2023秋•丰满区校级期中）如图，抛物线 经过点 ， ，与 轴交于点 ．点 是抛物线上的动点，且横坐标为 ，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，以 为边在 的右侧作正方形 ． （1）直接写出此抛物线的解析式； （2）当点 在直线 上方的抛物线上时，求 的长（用含 的代数式表示）； （3）当抛物线的顶点落在正方形 的边上（包括顶点）时，求 的值； （4）当此抛物线在正方形 内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出 的值． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得直线 的解析式，利用 表示出点 的坐标，则结论可求； （3）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，再利用正方形的性质，分类讨论的思想方法分 和 两种情况讨论解答即可； （4）由题意可得：当此抛物线在正方形 内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2，即 ，再利用分类讨论的思想方法列出关于 的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1） 抛物线 经过点 ，点 ， ， 解得： ， 此抛物线的解析式为 ； （2）令 ，则 ， ， ． 设直线 的解析式为 ， ， ， 直线 的解析式为 ． 点 是抛物线上的动点，且横坐标为 ， ， 过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ， ． 点 在直线 上方的抛物线上运动， ； （3） ， 抛物线 的顶点坐标为 ， ①当 时， 抛物线的顶点落在正方形 的边上（包括顶点）， 此时点 与抛物线的顶点重合， ； ②当 时， 抛物线的顶点落在正方形 的边上（包括顶点）， 此时点 的纵坐标与顶点的纵坐标相同， ， ． 综上，抛物线的顶点落在正方形 的边上（包括顶点）时， 的值为1或 ； （4） 当此抛物线在正方形 内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2， ， ①点 在直线 的上方时， ， 或 ． ②点 在直线 的下方时， ， ， 解得： （不合题意，舍去）或 ． 综上，当此抛物线在正方形 内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时， 的值为1或2或 ． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 30．（2023秋•二道区校级期中）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 是常数）经过点 ．点 在该抛物线上，且横坐标为 ，抛物线与 轴的交点为 、 （点 在点 的左侧）． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）直接写出抛物线与 轴交点 和 的坐标； （3）当 时，抛物线在点 和点 之间的部分（包括 ， 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 时，求 的值； （4）连接 、 ，以 、 为邻边构造平行四边形 ，当平行四边形 为轴对称图形时，直接写出所有满足条件的 的值． 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）令 ，即可求解； （3）分两种情况：当 时，当 时，即可求解； （4）根据题意可得平行四边形 为菱形或矩形的，然后结合菱形和矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，即可求解． 【解答】解：（1）将点 代入抛物线 中，得： ， 解得： ， 抛物线解析式为 ； （2）令 ，则 ， 解得： ， ， ， ； （3）当 时， ， 当 时， ， 如图1所示， ①当 时， 随 的增大而减小， 抛物线在点 和点 之间的部分（包括 ， 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 时， ， 解得： ； ②当 时， 随 的增大而减小， 抛物线在点 和点 之间的部分（包括 ， 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 时， ， 解得： 或 （舍去）． 综上所述， 或 ； （4） 的值为1或 ；理由如下： 平行四边形 为轴对称图形， 平行四边形 为菱形或矩形， 当平行四边形 为菱形时，点 和点 关于直线 对称， ， ， 点 的横坐标为1， ； 当平行四边形 为矩形时，如图2，过点 作 轴于点 ，则 ， ， ， ， ， ， △ △ ， ， ， 解得： ， 或 ， 验根可知， 为增根，故舍去， 综上所述， 的值为1或 ． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用，解答本题的关键是求出二次函数的解析式与分类讨论思想的运用． 31．（2023秋•二道区校级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线 的顶点为 ，抛物线过 ，且与 轴交于点 ，过点 作 轴交该抛物线于另一点 ． （1）求该抛物线的函数表达式并写出顶点 的坐标； （2）当 时， 的取值范围是 　 　； （3）点 为该抛物线上一点，若点 到线段 所在直线的距离为2时，求点 的坐标； （4）将抛物线 在平面直角坐标系中平移，使其顶点始终在直线 上进行移动，设平移后的抛物线顶点的横坐标为 ，当平移后的抛物线与线段 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再利用二次函数性质求顶点坐标即可； （2）根据二次函数的图象和性质解答即可； （3）根据 轴，得出 ，再根据 到直线 的距离为2，求出 或 ，代入函数解析式计算即可； （4）根据函数图象移动规律解答即可． 【解答】解：（1） ， ， 均在抛物线上， 将其代入 得： ， 解得： ， 解得二次函数解析式为： ， 对称轴为： ， ， ； （2）结合（1）可得：当 时， ， 当 时， ， 对称轴为： ，顶点为 ， 当 时， 的取值范围为 ； （3） 轴， ， 且 到直线 的距离为2， ， 或 ， 代入抛物线可得 ，或 ， 解得 ， 点坐标为 ； （4）设直线 ， 将 、 代入可得 ， 解得： ， 二次函数解析式为： ， 故 ， 平移后顶点坐标为 ， 当图象移动到与 点相交时，将 代入 得， 或 （舍 ， 可以看出当图象在线段 上移动时，抛物线与 有一个交点， 当图象在 上移动到与顶点在 点前有一个交点，再向左移动便没有交点， 当图象在 上移动到与 点相交前有一个交点，再向右移动便没有交点， 故由此可知 取值范围为 或 ． 【点评】该题主要考查了二次函数综合，一次函数解析式求解，二次函数解析式求解，二次函数的性质，图形移动规律，解题的关键是利用数形结合思想解答． 32．（2023秋•南关区校级期中）抛物线 经过点 、 、 、 是抛物线上的两个动点，其横坐标分别是 和 ，记抛物线上 、 之间（包括 、 两点）的部分为图象 ． （1）求抛物线的解析式； （2）当图象 的最低点的纵坐标为 时，直接写出 的取值范围； （3）当线段 被抛物线对称轴分为 两部分时，求 的值； （4）当线段 与 轴有交点时，设交点为 ．过点 、 分别作平行于 轴的直线与抛物线交于点 、 ，点 、 分别在线段 、 上，当△ 的面积是四边形 面积的一半时，直接写出 的值． 【分析】（1）根据交点时求解析式，即可求解； （2）先化为顶点式，根据最小值为 ，结合题意可得 ， 位于对称轴两侧，即可求解； （3）根据题意画出图形，连接 ，交直线 于点 ，过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，则△ △ ，根据相似三角形的性质，即可求解． （4）根据题意，可得 ， 在点 或点 的两侧，根据题意列出不等式，即可求解． 【解答】解：（1） 抛物线 经过点 、 ， 抛物线解析式为 ； （2） ， 顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， 当图象 的最低点的纵坐标为 时， ， ； （3）如图1所示，连接 ，交直线 于点 ，过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ， ， △ △ ， ， 线段 被抛物线对称轴分为 两部分时 或 ， 或 ， 解得： 或 ； （4）如图2所示， 与 轴有交点， 则 或 ， 解得： 或 ， 当四边形 为平行四边形时，满足△ 的面积是四边形 面积的一半， 或 ． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 33．（2023秋•丰满区校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴和 轴分别交于点 和点 ，点 是此抛物线上一点，其横坐标为 ． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 在 轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出 的取值范围； （3）当 时，直接写出二次函数 的最大值与最小值的差； （4）过点 作 轴，点 的横坐标为 ．已知点 与点 不重合，且线段 的长度随 的增大而减小． ①求 的取值范围； ②直接写出线段 与抛物线 交点个数及对应的 的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为 ； （2）求出 时 或 ，由图可得 的取值范围是 ； （3）先求出抛物线对称轴，根据抛物线对称性及增减性即可解答； （4）①当 ，即 时， 与 重合；即可得当 ，即 时， ， 随 的增大而减小，符合题意；而当 ，即 时， ， 随 的增大而增大，不符合题意；从而可得答案； ②由①知 ，先求出点 关于直线 对称的点的坐标为 ，结合函数图象分类讨论即可． 【解答】解：（1）把 和 代入 得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ； （2）在 中，令 得： ， 解得 或 ， 由图可得，点 在 轴上方的抛物线上时， 的取值范围是 ； （3） 抛物线的解析式为 ， 抛物线关于直线 对称，在 处， 有最大值，最大值为4， ， ， 当 处， 有最小值，最大值为 ， 当 时，直接写出二次函数 的最大值与最小值的差为： ； （4）① 轴，点 横坐标为 ，点 的横坐标为 ， 当 ，即 时， 与 重合； 当 ，即 时， ， ， 此时 随 的增大而减小，符合题意； 当 ，即 时， ， ， 此时 随 的增大而增大，不符合题意； 综上所述，当线段 的长度随 的增大而减小， 的取值范围是 ； ②由①知 ， 抛物线关于直线 对称， ， ， 点 关于直线 对称的点的坐标为 ， 如图1，当 时， 与抛物线有两个交点， ， ， 与抛物线有两个交点， 如图2，当 时， 与抛物线有一个交点， ， 与抛物线有一个交点； 综上， ， 与抛物线有一个交点， ， 与抛物线有两个交点． 【点评】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与 轴交点，二次函数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用． 34．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交点的坐标为 ． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）①当 时， 的取值范围是 　 　； ②若 时， ，则 的取值范围是 　　； （3）当 时，若函数 的图象上有且只有一个点到直线 的距离为1，求 的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线对应的函数表达式为 ； （2）①在 时，求出 的最大，最小值即可得到答案； ②由 时， ，当 时， ，当 时， ，即可得 ； （3）在 中，令 ，得 ，得 或 ，故 ． 【解答】解：（1） 抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交点的坐标为 ， ， 解得 ， 抛物线对应的函数表达式为 ； （2）① 抛物线 的对称轴是直线 ，且 ， 当 时， 取最小值，最小值为 ， 当 时， 取最大值，最大值为 ， 当 时， 的取值范围是 ； 故答案为： ； ②由①知， 时， ， 当 时， ， 由对称性可知， 时， ， 时， ， ； 故答案为： ； （3）如图： 在直线 上方，到直线 距离为1的点在直线 上， 在 中，令 得 ， 解得 或 ， 当 时，函数 的图象上有且只有一个点到直线 的距离为1， ， 解得： 【点评】本题考查待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，函数的最大（小 值等知识点，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 35．（2023秋•昌邑区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点，点 在点 的左边，其顶点为点 ．一条开口向下的抛物线经过 ， ， 三点，其顶点 在 轴上方，且纵坐标为4．连接 ， ． （1）直接写出 ， 两点的坐标． （2）经过 ， ， 三点的抛物线所对应的函数解析式为 　 　． （3）将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ． ①当点 恰好落在线段 上时，四边形 的形状是 　　． ②当点 落在线段 上时，求 的值． ③当点 恰好落在（2）中的抛物线上时，直接写出 的值． 【分析】（1）根据点的特点，令 ，求出方程的解，即可； （2）根据抛物线解析式确定出点 ， 的坐标，再设出所求解析式将 代入即可． （3）①当点 恰好落在线段 上时，确定 和 互相垂直平分，再根据 即可求解； ②当点 落在线段 上时，求出直线 的解析式，设 ，过点 作 于 ，证明 ，得出 ， ，列方程求解即可； ③先表示出直线 的解析式为 ，从而求出直线 与抛物线的交点 ，然后表示出 ， 建立方程即可． 【解答】解：（1）令 ， ， ， ， ， ， ； （2） ， 抛物线的顶点 ，对称轴为 ， ， 设经过 ， ， 三点的抛物线解析式为 ， 将 代入， ， 经过 ， ， 三点的抛物线解析式为 ， 故答案为： ； （3）①当点 恰好落在线段 上时， ，如图1， 点 与点 关于 轴对称， ，点 与点 关于 对称， 和 互相垂直平分， 四边形 是菱形， 又 ， 四边形 是正方形， 故答案为：正方形； ②当点 落在线段 上时， 设直线 的解析式为： ， 将 ， 代入可得： ， 解得： ， 直线 的解析式为： ， 设 ， 与 轴的交点为 ， 由（1）知 ， ， 过点 作 于 ，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： ； ③当点 恰好落在（2）中的抛物线上时， 由（1）知， ， ， ， 直线 的解析式为 ， 设线段 绕点 旋转 得到的直线为 ， 且过点 ， 过点 作 轴于 ，如图3， ， ， ， ， ， ， 故设直线 解析式为 ， 将 代入即可求得：直线 解析式为 ， 抛物线 ， ， （舍 ， ， 直线 与抛物线的交点 ， ， ， ， ， 当 时， ， ， 当 时， ， （舍 ， 即 或 ． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了求特殊点的坐标的方法，用方程的思想解决问题，还用到勾股定理，解本题的关键是用方程的思想以及分类讨论思想． 36．（2022秋•绿园区校级期中）在平面直角坐标系中，坐标原点为点 ，抛物线 ， 为常数）的对称轴为直线 ，且经过点 ．点 在该抛物线上，其横坐标为 ． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当点 与点 关于抛物线的对称轴对称时，求 的面积； （3）以 为对角线作矩形 ，矩形的四边均与坐标轴平行，当矩形与抛物线的另一个交点与矩形的某个顶点的连线将矩形面积分成 的两部分时，求 的值； （4）设抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，当直线 与图象 只有一个公共点时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）由抛物线 ， 为常数）的对称轴为直线 ，且经过点 ，可得方程组 ，即可求得 ， 的值，从而得出抛物线的解析式； （2）点 与点 关于抛物线的对称轴对称，可得 点的坐标，从而可求 的面积； （3）需要分类讨论，分点 在点 的上方和下方两种情况，结合题目中的条件，列出关于 的方程，即可求解； （4）需要分类讨论，分点 在点 的左上方、在点 与顶点之间、在顶点与点 关于对称轴的对称点之间、点 关于对称轴的对称点的右上方四种情况，结合横纵坐标的情况，列出不等式组，即可求解． 【解答】解：（1） 抛物线 ， 为常数）的对称轴为直线 ，且经过点 ， ， 解得 ， 抛物线对应的函数表达式为 ； （2） 点 与点 关于抛物线的对称轴直线 对称， ， ， ； （3）当点 在点 的下方时， 以 为对角线作矩形 ，矩形的四边均与坐标轴平行， 如图，设 与抛物线交于点 ，连接 ， ， ， 矩形与抛物线的另一个交点与矩形的某个顶点的连线将矩形面积分成 的两部分， ， ， ，即 ， 解得 ； 当点 在点 的上方时， 以 对角线作矩形 ，矩形的四边均与坐标轴平行， 如图，设 与抛物线交于点 ，连接 ， ， ， 矩形与抛物线的另一个交点与矩形的某个顶点的连线将矩形面积分成 的两部分， ， ， ，即 ， 解得 ； 综上， 的值为2或10； （4）当点 在点 的左上方时， 抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，直线 与图象 只有一个公共点， ， ， ， 解得 ； 当点 在点 与顶点之间（含顶点）时， 抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，直线 与图象 只有一个公共点， ， ， ， 解得 ； 当点 在顶点与点 关于对称轴的对称点之间时， 抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，直线 与图象 只有一个公共点，顶点坐标为 ，点 关于对称轴的对称点的坐标为 ， ， ， 解得 ； 当点 在点 关于对称轴的对称点的右上方（含对称点）时， 抛物线上点 与点 之间的部分（含端点）为图象 ，直线 与图象 只有一个公共点， ， ，点 关于对称轴的对称点的坐标为 ， ， 无解； 当直线 过顶点时， ， ， 因 与 可合并为 ， 综上， 的取值范围为 或 或 ． 【点评】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与三角形面积问题、抛物线与矩形面积问题、抛物线与不等式问题，解题的关键是利用数形结合思想对问题进行分类讨论． 37．（2023秋•芗城区校级期中）如图①，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接 ， ， ， ．当 的面积等于 面积的2倍时，求点 的坐标； （3）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由 的面积 ，即可求解； （3）分点 在 左侧和点 在 由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图象及性质，进而求解． 【解答】解：（1）把 ， 代入 中，得： ， 解得： ， 抛物线解析式为 ； （2）过点 作 轴平行线交 轴于 ，交 于点 ，作 于点 ，如图1， 把 代入 中，得： ， 点坐标是 ， 设直线 ， 把 ， 代入 ，代入得： ， 解得： ， 直线 的解析式为 ； 设 ，则 ， ， 由 得： ， ， 整理得： ， 解得： ， ， ， 的值为1或2， 当 时， ， 当 时， ， 点 的坐标为 或 ； （3）抛物线上是否存在点 ，使得 ；理由如下： 由 ， 得 ， ， ①当点 在 左侧时．如图2， 在 轴上取点 ，延长 交抛物线于点 ． 在 和 中， ， ， ， ， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入，得： ， 解得： ， 设直线 的解析式为 ， 由 得： 或 ， ； ②当点 在 右侧时，如图2， 作 关于 的对称 ， 交二次函数 于点 ，则 ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， 令 中， ，则 ， 解得 或 ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 在点 抛物线上，即点 满足条件 ． 故存在满足条件的点 有两个，分别是 ， ， ． 【点评】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键． 38．（2023秋•巧家县校级期中）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，已知 ，连接 ，抛物线对称轴与 交于点 ． （1）求 的值及顶点 的坐标； （2）点 是抛物线上的动点，点 是直线 上的动点，是否存在以 为边，且以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知 及顶点 的坐标； （2）结合第一问求得直线 解析式，可求得 的长．根据题意设 和 分类讨论即可求得答案． 【解答】解：（1）将 代入 得： ， 解得： ， ， ， ． （2）存在以 为边，且以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 当 时， ， 解得： ， ， ， 当 时， ， ， 设直线 解析式为 ， 将 、 代入得： ， 解得： ， 直线 解析式为 ， 当 时， ， ， 则 ． 设 、 分类讨论： ①当点 在点 下方时， ， 解得： ， ， ②当点 在点 上方时， ， 解得： （舍去）， ， 综上所述，点 的坐标为 或 或 ． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 39．（2023秋•阿荣旗校级期中）已知：如图，抛物线 与坐标轴分别交于点 ， ， ，点 是线段 上方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的垂线，交线段 于点 ，再过点 作 轴交抛物线于点 ． （1）求抛物线解析式； （2）当点 运动到什么位置时， 的长最大？ （3）是否存在点 使 为等腰直角三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）先求出直线 的解析式，再设出点 的坐标，然后求出点 的坐标，再列出 的长度的表达式，确定 取最大值时求出点 的坐标即可； （3）先设出点 的坐标，然后表示出 的长度，再根据抛物线的对称性表示出 的长度，列出关于点 的横坐标的方程，求出点 的横坐标，即可确定点 的坐标． 【解答】解：（1） 抛物线 过点 ， ， ， 解得： ， 抛物线解析式为 ； （2）过点 作 轴于点 ， 时， ， ， 直线 解析式为 ， 点 在线段 上方抛物线上， 设 ， ， ， ， ， 当 时， 的长最大， 此时，点 的坐标为 ， ； （3）存在点 使 为等腰直角三角形， 设 ， ，则 ， ， 抛物线 ， 对称轴为直线 ， 轴交抛物线于点 ， 、 关于对称轴对称， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ①当 时， ， ， 解得： （舍去）， ， ， ②当 时， ， ， 解得： ， （舍去）， ， ， 综上所述，点 坐标为 或 ， 时，使 为等腰直角三角形． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式以及牢记等腰直角三角形的性质，当遇到线段取最值的问题时，一般是先用含字母的式子表示出线段的长度，然后利用二次函数的知识解决即可． 40．（2023秋•河口区校级期中）已知抛物线与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，顶点 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式． （2）求四边形 的面积． （3）若 是抛物线上位于线段 所在直线下方的一个动点，求 的面积的最大值． 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求出二次函数与 轴交点，再利用 求出即可； （3）设点 的坐标为 ，通过求直线 表达式表示出点 的坐标，进而求出 及 面积，利用配方即可求出 面积的最大值． 【解答】解：（1）设抛物线顶点式为： ， 抛物线顶点 ， 即 ， 过点 ， 将 代入 中， 得： ， 解得： ， 故抛物线解析式为： ； （2） 二次函数与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边）， 令 ，得 ， 解得： ， ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ， ； （3）过点 作 轴，交 于点 ， 设点 的坐标为 ， 直线 表达式为 ，过点 及 ， 得 ， 解得 ， 故直线 表达式为 ， 点 的坐标为 ， ， ， 由题意可知： ， 当 时， 面积最大，最大为 ． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与 轴的交点、求一次函数表达式及图形面积，解题关键是求出二次函数表达式． 41．（2023秋•新会区校级期中）如图， 的两直角边 、 分别在 轴的负半轴和 轴的正半轴上， 为坐标原点， 、 两点的坐标分别为 、 ，抛物线 经过 点，且顶点在直线 上． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若 是由 沿 轴向右平移得到的，当四边形 是菱形时，试判断点 和点 是否在该抛物线上，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若 点是 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 作 平行于 轴交 于点 ．设点 的横坐标为 ， 的长度为 ，求 与 之间的函数关系式，写出自变量 的取值范围，并求 取大值时，点 的坐标． 【分析】（1）已知抛物线上 、 点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出 的长，将 、 的坐标向右平移 个单位，即可得出 、 的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可； （3）根据 、 的坐标，易求得直线 的解析式；那么线段 的长实际是直线 与抛物线的函数值的差，可将 代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为 的表达式，由此可求出 、 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出 取最大值时，点 的坐标． 【解答】解：（1） 的顶点在直线 上， 可设所求抛物线对应的函数关系式为 ， 点 在此抛物线上， ， ， 所求函数关系式为： ； （2）在 中， ， ， ． 四边形 是菱形， ， 、 两点的坐标分别为 、 ， 、 两点的坐标分别是 、 ； 当 时， ， 当 时， ， 点 和点 在所求抛物线上； （3）设直线 对应的函数关系式为 ， 则 ， 解得： ； ． 轴， 点的横坐标为 ， 点的横坐标也为 ，且 ； 则 ， ， ， ， 当 时， ，此时 ． 此时点 的坐标为 ， ． 【点评】此题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数最值的求法等知识，难度适中．应用方程思想与数形结合是解题的关键． 42．（2023秋•新罗区校级期中）如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 ， 不重合），过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，连接 ，直线 能否把 分成面积之比为 的两部分？若能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由． （3）若 为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点 的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线 的解析式为 ，设 ，则 ， ， ，则 ， ，利用三角形的面积公式进行讨论：当 时， ；当 时， ，从而可得到关于 的方程，然后解方程求出 就看得到对应的 点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设 ，利用两点间的距离公式得到 ， ， ，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当 时， 为直角三角形，则 ；当 时， 为直角三角形，则 ；当 时， 为直角三角形，则 ，然后分别解关于 的方程，从而可得到满足条件的 点坐标． 【解答】解：（1）将 ， 代入 ， 得： ， 解得 ， 则抛物线解析式为 ； （2）能． 设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得 ， 解得 ， 所以直线 的解析式为 ， 设 ，则 ， ， ， ， ， 当 时， ，即 ， 整理得 ， 解得 ， （舍去），此时 点坐标为 ， ； 当 时， ，即 ， 整理得 ， 解得 ， （舍去），此时 点坐标为 ， ； 综上所述，当点 的坐标为 ， 或 ， 时，直线 把 分成面积之比为 的两部分； （3）抛物线的对称轴为直线 ，如图， 设 ， ， ， ， ， ， 当 时， 为直角三角形， ，即 ，解得 ，此时 点的坐标为 ； 当 时， 为直角三角形， ，即 ，解得 ，此时 点的坐标为 ； 当 时， 为直角三角形， ，即 ，解得 ， ，此时 点的坐标为 或 ， 综上所述，满足条件的 点的坐标为 ， ， ， ． 【点评】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与 轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 43．（2023秋•东坡区校级期中）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，与 轴负半轴交于点 ， ， ， ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是线段 上一点（不与点 、 重合），过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交 于点 ，当 时，求点 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 是抛物线对称轴 上一点，点 是坐标平面内一点，是否存在点 、 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解； （2）待定系数法求出直线 的解析式，设 ，分别表示出 和 的坐标，进而得到 和 ，利用 ，列式计算即可； （3）分 是边和 是对角线两种情况，进行讨论求解． 【解答】解：（1）将 ， ， 代入 得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ； （2）设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： ， 解得 ， 直线 的解析式为 ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， 解得 或 （不合题意，舍去）， 将 代入 得： ， ； （3）存在点 、 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，理由如下： 当以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形时， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 对称轴为：直线 ， 在 中，由勾股定理得 ， ①当 是边时， 当 时，点 到直线 的距离为 ， 此时点 不存在； 当 时，如图，此时菱形为 或 ， 过点 作 于点 ， 则 ， ， 在 中，由勾股定理得 ， 或 ， ， ， 当点 时，由 得 ， ， 即 ， ， 解得 ， ， ， 同理，可得 ； ②当 是对角线时， ，此时菱形为 ，设对称轴与 轴交于点 ， ， ， 设 ，则 ， 解得 ， ，点 在 轴上， 则 ， 解得 ， ， ， 综上： ， ， ． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理，菱形的性质等，利用数形结合、分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 一十一．圆周角定理（共1小题） 44．（2023秋•吉林期中）如图， 是 的直径， 是 的中点， 于 ， 交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的半径． 【分析】（1）首先延长 交 于点 ，由垂径定理可证得 ，又由 是 的中点，易证得 ，继而可证得 ； （2）由 是 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 ，然后由勾股定理求得 的长，继而求得答案． 【解答】（1）证明：延长 交 于点 ， ， ， ， 是 的中点， ， ， ， ； （2）解： 是 的直径， ， ， ， ， 在 中， ， 的半径为5． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 一十二．圆内接四边形的性质（共1小题） 45．（2023秋•旌阳区校级期中）如图， 、 、 、 是 上四点， ． （1）判断 的形状并证明你的结论； （2）当点 位于什么位置时，四边形 是菱形？并说明理由． （3）求证： ． 【分析】（1）利用圆周角定理可得 ， ，而 ，所以 ，从而可判断 的形状； （2）当点 位于 中点时，四边形 是菱形，通过证明 和 均为等边三角形，知 ， 四边形 是菱形； （3）在 上截取 ，则 是等边三角形，然后证明 ，证明 ，即可证得． 【解答】解：（1）证明：（1） 是等边三角形． 证明如下：在 中， 与 是 所对的圆周角， 与 是 所对的圆周角， ， ， 又 ， ， 为等边三角形； （2）当点 位于 中点时，四边形 是菱形， 连接 ， ， 是 的中点， 又 ， 和 均为等边三角形， ， 四边形 是菱形； （3）如图2，在 上截取 ， 又 ， 是等边三角形， ， ，即 ． 又 ， ， 在 和 中， ， ， ， 又 ， ． 【点评】本题考查的是圆内接多边形的性质、菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 一十三．直线与圆的位置关系（共1小题） 46．（2023秋•新吴区期中）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，过点 作 ，垂足为点 ， 平分 ． （1）判断 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 ， 的半径为4，请求出图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到 ，证明 ，根据切线的判定定理证明即可； （2）证明 是等边三角形，得到 ，根据勾股定理求出 、 ，根据梯形的面积公式、扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1） 与 相切， 理由：连接 ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， 与 相切； （2） ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积的计算，掌握切线的判定定理、扇形面积公式是解题的关键． 一十四．切线的性质（共1小题） 47．（2023秋•青县校级期中）已知：如图 是 的直径， 是弦，直线 是过点 的 的切线， 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 【分析】（1）连接 ，如图，根据切线的性质得 ，则可判定 ，所以 ，加上 ，则 ； （2）利用圆周角定理得 ，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得 的长． 【解答】（1）证明：连接 ，如图， 为切线， ， 而 ， ， ， ， ， ； （2）解： 为直径， ， 在 中， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理． 一十五．切线的判定（共1小题） 48．（2023秋•沂南县期中）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）当 ， 时，求 的长． 【分析】（1）连接 ，由 ，根据等边对等角得到一对角相等，再由 ，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得 与 平行，又 垂直于 ，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到 与 也垂直，可得 为圆 的切线； （2）连接 ，由 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得 ，即 与 垂直，又 ，根据三线合一得到 为 中点，由 求出 的长，再由 的长，利用勾股定理求出 的长，三角形 的面积有两种求法， 乘以 除以2，或 乘以 除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出 的长． 【解答】（1）证明：连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ，且 为圆 的半径， 是 的切线； （2）连接 ， 为 的直径， ， 又 ，且 ， ， 在 中， ， ， 根据勾股定理得： ， 又 ， 即 ， ． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法． 一十六．切线的判定与性质（共3小题） 49．（2023秋•船营区校级期中）如图，已知等腰 ， ，以 为直径作 交 于点 ，过 作 于点 ，交 延长线于点 ． （1）求证： 是 的切线． （2）若 ， ，求图中阴影部分的面积（结果用 表示）． 【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质证明 ，进而可以得到结论； （2）连接 ，根据勾股定理求出 ，根据锐角三角函数可得 ，然后证明 是 的中位线，求出 ，根据阴影部分的面积 四边形 的面积 扇形 的面积，代入值即可． 【解答】（1）证明：如图，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线； （2）解：如图，连接 ， 设 的半径为 ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为 的中点， 是 的中位线， 是 中点， ， 是 的直径， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 四边形 的面积 扇形 的面积 ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，扇形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 50．（2023秋•惠阳区校级期中）如图 是 的外接圆， ，延长 于 ，连接 ，使得 ， 交 于 ． （1）求证： 与 相切； （2）若 ， ．求 的半径和 的长度． 【分析】（1）连接 ，要证明切线，只需证明 ，根据 ，只需得到 ，根据圆周角定理即可证明； （2）设 的半径为 ，则 ， ， ，在 中根据勾股定理可计算出 ；作 于 ，根据垂径定理得 ，再利用面积法计算出 ，然后根据勾股定理计算出 ，再利用垂径定理得出 ． 【解答】（1）证明：连接 ； ， ， ； 又 ， ， 是 的切线． （2）解：设 的半径为 ，则 ， ， ， 在 中， ， ，解得 ， 作 于 ，如图， ， 则 ， ， ， 在 中， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系，熟练运用平行线分线段成比例定理进行求解． 51．（2023秋•中山市期中）如图，已知 是 的直径，点 为 延长线上一点， ， ． （1）求证： 是 的切线． （2）若 的半径为2，求 的长． 【分析】（1）连接 ，如图所示，由 ，利用等边对等角得到一对角相等，由 的度数得出 的度数，再由 ，利用等边对等角得到一对角相等，确定出 的度数，由 为 的外角，利用外角的性质求出 的度数，在 中，利用三角形的内角和定理求出 为 ，可得出 为圆 的切线，得证； （2）利用弧长公式求解． 【解答】（1）证明：连接 ，如图所示： ， ， ， 又 ， ， ， 在 中， ， ， 可得 ，即 ， 则 为圆 的切线； （2） ， ， EMBED Equation.DSMT4 的长度 ． 【点评】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及弧长公式的运用，切线的判定方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径． 一十七．旋转的性质（共7小题） 52．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，已知 ， ， ， ，点 在 所在直线上运动，以 为边作等边三角形 ，则 　4　．在点 运动过程中， 的最小值 　　． 【分析】以 为边作正 ，并作 ，垂足为点 ，连接 、 ，在 中， ，由 ，得 ， 最小即是 最小，此时 ，故 的最小值是 ． 【解答】解：以 为边作正 ，并作 ，垂足为点 ，连接 、 ，如图： 在 中， ， ， ， ， ， ， 正 ，等边三角形 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 最小即是 最小， 当 时， 最小，此时 ， 四边形 是矩形， ， 的最小值是 ． 故答案为：4， ． 【点评】本题属动态距离最值问题，将问题转化为一动一静，考虑动点运动轨迹是常用方法，综合性较强，难度较大． 53．（2023秋•乾安县期中）如图所示，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转至 处，使点 落在 延长线上的 点处，求 的度数． 【分析】由将 绕点 逆时针旋转至 处，使点 落在 的延长线上的 点处，根据旋转的性质，可得 ， ，然后由等腰三角形的性质，可求得 的度数，继而求得答案． 【解答】解： 将 绕点 逆时针旋转至 处， ， ， ， ． 【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键． 54．（2023秋•广州校级期中）已知：如图，在 中， ，以 为边向形外作等边三角形 ，把 绕着点 按顺时针方向旋转 后得到 ，且 、 、 三点共线，若 ， ，求 的度数与 的长． 【分析】由旋转的性质可得出 、 ，进而可得出 为等边三角形以及 ，由点 、 、 在一条直线上可得出 ；由点 、 、 在一条直线上可得出 ，根据旋转的性质可得出 ，结合 、 可得出 的长度，再根据等边三角形的性质即可得出 的长度． 【解答】解： 绕着点 按顺时针方向旋转 后得到 ， ， ， 为等边三角形， ． 点 、 、 在一条直线上， ． 点 、 、 在一条直线上， ． 绕着点 按顺时针方向旋转 后得到 ， ， ． 为等边三角形， ． 【点评】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质结合旋转角度为 找出 为等边三角形是解题的关键． 55．（2023秋•集美区校级期中）在正方形 中，将边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， 与 延长线相交于点 ，过 作 交 于点 ，连接 ． （1）如图1，求证： ； （2）当 时，依题意补全图2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据 ，得到 ，由 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，得到 ， ，由正方形性质得到 ，得到 ； （2）按照题意补全图形即可，在 上取 ，连接 交 于 ，交 于 ，连接 ， ，利用 、 、 证明 、 、 、 共圆，从而可得 ， ，再证明 ，即可得到 ． 【解答】解：（1）证明： 边 绕点 逆时针旋转 得到线段 ， ， 正方形 ， ， ， ， ， ， ， 正方形 ， ， ， ； （2）补全图2如下： 线段 ， ， 之间的数量关系为： ，理由如下： 在 上取 ，连接 交 于 ，交 于 ，连接 ， ，如图： 正方形 ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知 ， 且 ， ， ， 而 ， ， ， ， 、 、 、 共圆， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将 转化为 ． 56．（2023秋•荔湾区校级期中）四边形 是正方形， 、 分别是 和 的延长线上的点，且 ，连接 、 、 ． （1）求证： ； （2）填空： 可以由 绕旋转中心 　 　点，按顺时针方向旋转 　　度得到； （3）若 ， ，求 的面积． 【分析】（1）根据正方形的性质得 ， ，然后利用“ ”易证得 ； （2）由于 得 ，则 ，即 ，根据旋转的定义可得到 可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转90度得到； （3）先利用勾股定理可计算出 ，再根据 可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转90度得到 ， ，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 【解答】（1）证明： 四边形 是正方形， ， ， 而 是 的延长线上的点， ， 在 和 中 ， ； （2）解： ， ， 而 ， ，即 ， 可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转90度得到； 故答案为 、90； （3）解： ， ， 在 中， ， ， ， 可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转90度得到， ， ， 的面积 ． 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理． 57．（2023秋•西峰区校级期中）如图1，在 中，点 为 边中点，直线 绕顶点 旋转，若点 ， 在直线 的异侧， 直线 于点 ． 直线 于点 ，连接 ， ． （1）延长 交 于点 （如图 ． ①求证： ； ②求证： ； （2）若直线 绕点 旋转到图3的位置时，点 ， 在直线 的同侧，其它条件不变，此时 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）若直线 绕点 旋转到与 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形 的形状及此时 还成立吗？不必说明理由． 【分析】（1）①根据平行线的性质证得 再根据 ， 即可得到； ②由 ，得到 则 ，而在 中， ，即可得到 ； （2）证明方法与②相同； （3）四边形 是矩形，只要证明三个角是直角即可； 【解答】（1）证明：①如图 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， ， 又 为 边中点， ， 又 ， ， ② ， ， 在 中， ， ． （2）解：成立，如图3． 证明：延长 与 的延长线相交于点 ， 直线 于点 ， 直线 于点 ， ， ， 又 为 中点， ， 又 ， 在 和 中， ， ， ， ， 则 中， ． （3）解：如图4，四边形 是矩形， 理由： ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形． ， ， ， ． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 58．（2023秋•滨海新区校级期中）如图，等腰直角 中， ，点 在 上，将 绕顶点 沿顺时针方向旋转 后得到 ． （1）求 的度数； （2）当 ， 时，求 的大小； （3）当点 在线段 上运动时 不与 重合），请写出一个反映 ， ， 之间关系的等式，并加以证明． 【分析】（1）由于 ，故有 ． （2）由等腰直角三角形的性质知， ，根据已知条件，可求得 ， 的值，再由勾股定理求得 的值． （3）由于 也是等腰直角三角形，故有 ． 【解答】解：（1）由题意知， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是直角三角形． （2）当 ， 时，有 ， ， ， ． （3）存在 ， 由于 是等腰直角三角形， ， ， ， 故有 ． 【点评】本题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解． 一十八．作图-旋转变换（共2小题） 59．（2023秋•大连期中）如图，线段 两个端点的坐标分别为 ， ，将线段 绕点 逆时针旋转 到对应线段 （点 与点 对应，点 与 对应）． （1）请在图中画出线段 ； （2）请直接写出点 、 的对应点坐标 　1　，　　 ， 　　，　　 ； （3）在 轴上求作一点 ，使 的周长最小，并直接写出点 的坐标 　　，　　 ． 【分析】（1）利用网格特征和旋转的性质画出 点和 点的对应点； （2）根据第一、二象限内点的坐标特征写出 点和 点坐标； （3） 点与 点关于 轴对称，连接 交 轴于点 ，利用两点之间线段最短和判断此时 的周长最小，于是可得到满足条件的 点坐标． 【解答】解：（1）如图， 为所作； （2） ， ； （3） ． 故答案为1，1； ，3；0.5，0． 【点评】本题考查了作图 旋变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 60．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图， 中， ， ， 是 边上一点，将 绕点 逆时针旋转 ，点 旋转后的对应点为 ． （1）画出旋转后的三角形； （2）连接 ，若 ，求 的度数； 【分析】（1）将 绕点 逆时针旋转 ，点 旋转后的对应点为 ，据此可得旋转后的三角形； （2）依据旋转的性质，即可得到 ， ， ，再根据等腰三角形的性质，即可得到 的度数以及 、 ，最后依据 进行计算即可． 【解答】解：（1）旋转后的三角形 如图所示： （2）由旋转可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ． 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质的运用，利用图形旋转前后对应线段以及对应角相等得出 的度数是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ _1234569929.unk$$