期中真题必刷常考60题（27个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版，吉林专用）

期中真题必刷常考60题（27个考点专练） 一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．（2023秋•榆树市期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值是　　 A．2 B． C． D．0 二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 2．（2023秋•农安县期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　 A．3，， B．3，1， C．3，，2 D．3，1，2 三．一元二次方程的解（共2小题） 3．（2023秋•船营区校级期中）若是关于的方程的一个根，则　　． 4．（2023秋•九台区校级期中）已知关于的一元二次方程有一个根为0，则　 　． 四．解一元二次方程-配方法（共2小题） 5．（2023秋•榆树市校级期中）解方程：．（用配方法解答） 6．（2023秋•榆树市期中）用配方法解方程：． 五．解一元二次方程-公式法（共2小题） 7．（2023秋•船营区校级期中）解方程：． 8．（2023秋•长岭县期中）解方程：． 六．解一元二次方程-因式分解法（共2小题） 9．（2023秋•农安县期中）解方程：． 10．（2023秋•前郭县期中）解方程：． 七．根的判别式（共5小题） 11．（2023秋•长岭县期中）下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•长春期中）一元二次方程的根的情况是　　 A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 13．（2023秋•吉林期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 14．（2023秋•船营区校级期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 15．（2023秋•长春期中）关于的一元二次方程． （1）证明该方程有实数根； （2）当时，该方程的两个根是等腰三角形的两边长，求该三角形周长． 八．根与系数的关系（共1小题） 16．（2023秋•九台区校级期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设出、是方程的两根，且，求的值． 九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 17．（2023秋•前郭县期中）广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染人，则可列方程　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•九台区校级期中）某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价元，可列方程为　　． 一十．一元二次方程的应用（共7小题） 19．（2023秋•九台区校级期中）截至2017年年末，某市区汽车保有量约为100万辆，预计到2019年年末市区汽车保有量将达到121万辆．设这两年的汽车保有量的年平均增长率均相同．求2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率． 20．（2023秋•吉林期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同；求每次下降的百分率． 21．（2023秋•船营区校级期中）某食品公司深耕餐饮供应链领域，以自主技术研发创新当做打造核心竞争力的关键手段，对研发投入不遗余力地进行投资．2019年的研发投资为500万元，2021年的研发投资为720万元，求该食品公司研发投资的年平均增长率． 22．（2023秋•船营区校级期中）新时代教育投入得到了高度重视，某省2020年公共预算教育经费是200亿元，到2022年公共预算教育经费达到242亿元． （1）求2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率． （2）按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能否超过266亿元？ 23．（2023秋•长春期中）学校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？ 24．（2023秋•南关区校级期中）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，求原正方形空地的边长． 25．（2023秋•榆树市校级期中）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 一十一．二次函数的图象（共1小题） 26．（2023秋•丰满区校级期中）二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 一十二．二次函数的性质（共4小题） 27．（2023秋•二道区校级期中）二次函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•船营区校级期中）已知函数，其中，，此函数的图象可以是　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•丰满区校级期中）已知二次函数，当　　时，随的增大而减小． 30．（2023秋•前郭县期中）如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线的“完美三角形”斜边的长 　　． 一十三．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 31．（2023秋•船营区校级期中）抛物线的图象如图所示，则下列四组中正确的是　　 A． ，， B．，， C．，， D．，， 一十四．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 32．（2023秋•长岭县期中）已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为 　　（用“”连接）． 一十五．二次函数图象与几何变换（共3小题） 33．（2023秋•铁东区校级期中）抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式是 　　． 34．（2023秋•吉林期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是 　　． 35．（2023秋•长岭县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为，求的面积． 一十六．待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 36．（2023秋•榆树市校级期中）已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 37．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点的纵坐标为．、是抛物线上的两点，其中，记抛物线在点、之间的部分为图象（包含、两点）． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）当时，求的取值范围； （3）若，当图象的最低点到轴的距离等于抛物线的最低点到轴的距离时，求的取值范围； （4）当抛物线的顶点是图象的最低点时，图象上最高点与最低点的纵坐标之差为3，求的取值范围． 38．（2023秋•丰满区校级期中）如图，抛物线的图象与交于，两点，其中点坐标为，为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）求四边形的面积． 一十七．抛物线与x轴的交点（共4小题） 39．（2023秋•前郭县期中）如图，已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论：①；②方程的两个根是，；③当时，随着的增大而增大；④．其中正确结论是 　　（填写序号）． 40．（2023秋•白城期中）已知抛物线与轴的交点是、，则这条抛物线的对称轴是　　． 41．（2023秋•吉林期中）如图，在平面直角坐标系中，点，．抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求的最小值； （3）连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 42．（2023秋•吉林期中）已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 一十八．二次函数的应用（共2小题） 43．（2023秋•前郭县期中）已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是　　 A． B． C． D． 44．（2023秋•南关区校级期中）小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器和淋浴喷头所成，其中，，刚开始时，，水流所在的抛物线恰好经过点，抛物线落地点和点相距．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点的距离增加，则小刚应把升降器向上平移 　　． 一十九．二次函数综合题（共3小题） 45．（2023秋•南关区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线是常数）与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标． （2）当时，的取值范围是 　　． （3）抛物线上有一点，点的横坐标为． ①当点在、两点之间（包括、两点）运动时，抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围． ②已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行．当矩形与抛物线有3个交点时，直接写出的取值范围． 46．（2023秋•吉林期中）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点，与二次函数图象的对称轴交于点，其中点的坐标为，点在轴上． （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）求的面积； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（2023秋•吉林期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 二十．圆的认识（共1小题） 48．（2023秋•二道区校级期中）如图，为的弦，，则等于 　　． 二十一．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 49．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，、是半径为2的上的两点，若，点是的中点，则四边形的周长为 　　． 二十二．圆周角定理（共3小题） 50．（2023秋•前郭县期中）如图，、、为上三点，若，则度数为 　 　． 51．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在中，直径，若，则是的度数是　　 A． B． C． D． 52．（2023秋•吉林期中）如图，是的直径，是的中点，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 二十三．切线的判定与性质（共2小题） 53．（2023秋•船营区校级期中）如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 54．（2022秋•龙潭区校级期中）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接． （1）若，求证：是的切线． （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 二十四．扇形面积的计算（共1小题） 55．（2022秋•龙潭区校级期中）如图，以为圆心、为半径作扇形，线段恰好与以为直径的半圆弧相交于弧的中点，若，则阴影部分图形的面积是 　　（结果保留． 二十五．旋转的性质（共2小题） 56．（2023秋•船营区校级期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，若，则的度数是 　　． 57．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出的度数和的长． 二十六．关于原点对称的点的坐标（共2小题） 58．（2023秋•丰满区校级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　 　． 59．（2023秋•船营区校级期中）已知与关于原点对称，则　　． 二十七．作图-旋转变换（共1小题） 60．（2023秋•前郭县期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为． （1）画出△，使得△与关于原点对称，并写出的坐标； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转得到△，画出△并写出的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷常考60题（27个考点专练） 一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．（2023秋•榆树市期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值是　　 A．2 B． C． D．0 【分析】根据一元二次方程的定义得到且，然后求解即可得出答案． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， ，且． 解得，． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 2．（2023秋•农安县期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　 A．3，， B．3，1， C．3，，2 D．3，1，2 【分析】找出方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【解答】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为． 三．一元二次方程的解（共2小题） 3．（2023秋•船营区校级期中）若是关于的方程的一个根，则　　． 【分析】把代入关于的方程，得到关于的新方程，通过解新方程来求的值． 【解答】解：是关于的方程的一个根， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 4．（2023秋•九台区校级期中）已知关于的一元二次方程有一个根为0，则　　． 【分析】把代入一元二次方程得到和，求出即可． 【解答】解：把代入一元二次方程， 得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查对一元二次方程的解的理解和掌握，能根据题意得出和是解此题的关键． 四．解一元二次方程-配方法（共2小题） 5．（2023秋•榆树市校级期中）解方程：．（用配方法解答） 【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方后求解可得． 【解答】解：， ，即， ， 则． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．（2023秋•榆树市期中）用配方法解方程：． 【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【解答】解：原方程变形为 即 即 ，． 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 五．解一元二次方程-公式法（共2小题） 7．（2023秋•船营区校级期中）解方程：． 【分析】根据公式法解方程即可． 【解答】解：，，， △， ， ，． 【点评】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 8．（2023秋•长岭县期中）解方程：． 【分析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式计算方程的根． 【解答】解：， ，，， △， ， ，． 【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 六．解一元二次方程-因式分解法（共2小题） 9．（2023秋•农安县期中）解方程：． 【分析】分解因式后得到，推出方程，，求出方程的解即可． 【解答】解：， 分解因式得：， ，， 解方程得：，， 方程的解是，． 【点评】本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 10．（2023秋•前郭县期中）解方程：． 【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根． 【解答】解： ，． 【点评】本题考查的是用因式分解法解方程，根据题目的结构特点，用提公因式法因式分解求出方程的根． 七．根的判别式（共5小题） 11．（2023秋•长岭县期中）下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据根的判别式△的值的符号，即可判定方程实数根的情况． 【解答】解：、△， 此方程有两个相等的实数根， 故本选项符合题意； 、△， 此方程没有实数根， 故本选项不符合题意； 、△， 此方程有两个不相等的实数根， 故本选项不符合题意； 、△， 此方程有两个不相等的实数根， 故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．掌握一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根是解决问题的关键． 12．（2023秋•长春期中）一元二次方程的根的情况是　　 A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【分析】计算出根的判别式的值，根据正负即可确定出方程根的情况． 【解答】解：方程， 这里，，， ， 方程没有实数根． 故选：． 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与△的关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根是解本题的关键． 13．（2023秋•吉林期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式△”是解题的关键． 14．（2023秋•船营区校级期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　4　． 【分析】根据判别式的意义得到△，然后解一次方程即可． 【解答】解：根据题意得△， 解得． 故答案为4． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 15．（2023秋•长春期中）关于的一元二次方程． （1）证明该方程有实数根； （2）当时，该方程的两个根是等腰三角形的两边长，求该三角形周长． 【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）根据时，该方程的两个根是等腰三角形的两边长，求得方程的两根，进一步确定该等腰三角形的腰为7，底边为2，再根据三角形周长公式即可求解． 【解答】解：（1）证明：△， 该方程有实数根． （2）当时，该方程化简，得：， 解得：，． ，， 该等腰三角形的腰为7，底边为2． 该三角形的周长为：． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 八．根与系数的关系（共1小题） 16．（2023秋•九台区校级期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）设出、是方程的两根，且，求的值． 【分析】（1）由一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得△，由此可解得的值． （2）根与系数的关系及已知条件可得关于的一元二次方程，解得的值并根据（1）中的所得的的取值范围作出取舍即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得： △， 解得：． 的取值范围是． （2）根据题意得：，， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 的值是． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． 九．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题） 17．（2023秋•前郭县期中）广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染人，则可列方程　　 A． B． C． D． 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：即可． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意得， 即， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的． 18．（2023秋•九台区校级期中）某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价元，可列方程为　　． 【分析】商店平均每天盈利数每个玩具的盈利售出个数；每个玩具的盈利原来每个的盈利降价数．设每个玩具应降价元，然后根据前面的关系式即可列出方程． 【解答】解：设每个玩具应降价元．则此时每天出售的数量为：个，每个的盈利为：元， 根据题意得， 故答案为． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 一十．一元二次方程的应用（共7小题） 19．（2023秋•九台区校级期中）截至2017年年末，某市区汽车保有量约为100万辆，预计到2019年年末市区汽车保有量将达到121万辆．设这两年的汽车保有量的年平均增长率均相同．求2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率． 【分析】直接利用2017年的汽车保有量增长率）年的汽车保有量，进而得出等式求出答案． 【解答】解：设2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：2017年底至2019年底该市市区汽车保有量的年平均增长率为． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． 20．（2023秋•吉林期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同；求每次下降的百分率． 【分析】设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可 【解答】解：设每次下降的百分率为，根据题意，得： ， 解得：（舍或， 答：每次下降的百分率为． 【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可． 21．（2023秋•船营区校级期中）某食品公司深耕餐饮供应链领域，以自主技术研发创新当做打造核心竞争力的关键手段，对研发投入不遗余力地进行投资．2019年的研发投资为500万元，2021年的研发投资为720万元，求该食品公司研发投资的年平均增长率． 【分析】设这两年投资的年平均增长率是．根据2019年投资500万元，得出2020年投资万元，2021年投资万元，2021年投资720万元．据此列方程求解． 【解答】解：设平均每年投资增长的百分率是． 由题意得， 解得，（不合题意舍去）． 答：这两年投资的年平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程． 22．（2023秋•船营区校级期中）新时代教育投入得到了高度重视，某省2020年公共预算教育经费是200亿元，到2022年公共预算教育经费达到242亿元． （1）求2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率． （2）按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能否超过266亿元？ 【分析】（1）设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为，利用2022年公共预算教育经费年公共预算教育经费年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）由题意求出2023年公共预算教育经费，即可解决问题． 【解答】解：（1）设2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：2020年到2022年公共预算教育经费的年平均增长率为； （2）由题意得：2023年公共预算教育经费为（亿元）， ， 按照这个增长率，预计2023年公共预算教育经费能超过266亿元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（2023秋•长春期中）学校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？ 【分析】本题可设道路的宽为，将4块草地平移为一个长方形，长为，宽为．根据长方形面积公式即可求出道路的宽． 【解答】解：设道路的宽为，依题意有 整理，得． ， ，（不合题意，舍去） 答：小道的宽应是． 【点评】本题应熟记长方形的面积公式．另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 24．（2023秋•南关区校级期中）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，求原正方形空地的边长． 【分析】可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式列出方程，求解即可． 【解答】解：设原正方形空地的边长为 依题意得： ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：原正方形空地的边长为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式，另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键． 25．（2023秋•榆树市校级期中）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【分析】利用童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装利润列出方程解答即可； 【解答】解：设每件童装应降价元，根据题意列方程得， ， 解得，（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）， 答：每件童装降价20元； 【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润的运用． 一十一．二次函数的图象（共1小题） 26．（2023秋•丰满区校级期中）二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，可知抛物线开口向上，根据，，可得对称轴为，根据，可知图象与轴的正半轴相交，即可得出答案． 【解答】解：， 抛物线开口向上， ，， 对称轴为， ， 图象与轴的正半轴相交， 故只有选项符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 一十二．二次函数的性质（共4小题） 27．（2023秋•二道区校级期中）二次函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线． 28．（2023秋•船营区校级期中）已知函数，其中，，此函数的图象可以是　　 A． B． C． D． 【分析】在函数，，，则函数图象开口向下，，可得函数图象与轴的交点在轴的负半轴上，即可得． 【解答】解：在函数，，， 函数图象开口向下，， 函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数的图象． 29．（2023秋•丰满区校级期中）已知二次函数，当　　时，随的增大而减小． 【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的为1和对称轴；由的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性． 【解答】解：在中，， ， 开口向上， 由于函数的对称轴为， 当时，的值随着的值增大而减小； 当时，的值随着的值增大而增大． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，找到的的值和对称轴，对称轴方程是解题的关键． 30．（2023秋•前郭县期中）如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线的“完美三角形”斜边的长 　2　． 【分析】过点作轴于，可推出和为等腰直角三角形，设点坐标为，根据点在抛物线上，可求得点和点的坐标，从而得出的长． 【解答】解：过点作轴于，如图所示： 由题意得为等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， 设点坐标为， 点在抛物线上， ， 或（不合题意，舍去）， 点坐标为， 点坐标为， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数的性质、等腰直角三角形的性质，正确理解“完美三角形”的概念并数形结合是解题的关键． 一十三．二次函数图象与系数的关系（共1小题） 31．（2023秋•船营区校级期中）抛物线的图象如图所示，则下列四组中正确的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据函数图象可以判断、、的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】解：由函数图象，可得 函数开口向上，则， 顶点在轴右侧，则、异号，， 图象与轴交点在轴负半轴，则， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确、、的符号根据图象如何判断． 一十四．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 32．（2023秋•长岭县期中）已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为 　　（用“”连接）． 【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到． 【解答】解：， 函数图象的对称轴是轴，图象的开口向下， 当时，随的增大而增大， 点、、，都在函数的图象上， 点，关于对称轴的对称点的坐标是，在函数的图象上， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 一十五．二次函数图象与几何变换（共3小题） 33．（2023秋•铁东区校级期中）抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的解析式是 　　． 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将抛物线向右平移2个单位长度， 平移后所得抛物线的解析式是； 再向下平移4个单位长度， 所以平移后所得抛物线的解析式是． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 34．（2023秋•吉林期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是 　　． 【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可． 【解答】解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握函数平移规律是解题的关键． 35．（2023秋•长岭县期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为，求的面积． 【分析】（1）把点、代入，解方程组即可得到结论； （2）根据平移规律得到点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）的图象经过点、， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）， 抛物线的顶点坐标为，轴交于点， 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线， 抛物线的顶点的坐标为， 的面积为． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 一十六．待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 36．（2023秋•榆树市校级期中）已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 【分析】设函数的解析式是，把代入函数解析式即可求得的值，则函数的解析式即可求得． 【解答】解：由题意设函数的解析式是． 把代入函数解析式得， 解得：， 则抛物线的解析式是． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解． 37．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点的纵坐标为．、是抛物线上的两点，其中，记抛物线在点、之间的部分为图象（包含、两点）． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）当时，求的取值范围； （3）若，当图象的最低点到轴的距离等于抛物线的最低点到轴的距离时，求的取值范围； （4）当抛物线的顶点是图象的最低点时，图象上最高点与最低点的纵坐标之差为3，求的取值范围． 【分析】（1）先根据条件求出值即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线的对称轴为直线，且，，列出方程，在依据解答即可； （3）根据题意得到在图象上列出不等式解答即可； （4）根据题意可得不等式．因为最高点与最低点的纵坐标之差为3，所以抛物线的最高点的纵坐标为1，当时，，解得．分情况讨论即可得到的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线的顶点的纵坐标为，对称轴为直线， ， 解得， 抛物线对应的函数关系式为． （2）抛物线的对称轴为直线，且，， ，解得， ， ， 解得． （3）若时，则，， 图象的最低点到轴的距离等于抛物线的最低点到轴的距离， ， 的取值范围是． （4）对称轴为直线，顶点为， 的最小值是， 抛物线的顶点是图象的最低点， ． 最高点与最低点的纵坐标之差为3， 抛物线的最高点的纵坐标为1， 当时，， 解得． 当时，则，解得； 当时，则，解得． 综上所述，的取值范围是． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 38．（2023秋•丰满区校级期中）如图，抛物线的图象与交于，两点，其中点坐标为，为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）求四边形的面积． 【分析】（1）函数的表达式为：，将点的坐标代入上式，即可求解； （2）依据题意，连接，，，过点作 垂足为，由（1）知，对称轴为直线，，从而，，，，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 将点坐标为代入解析式可得 ． （2）连接，，，过点作 垂足为， 由（1）知，对称轴为直线，， ，，，． ． 【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等． 一十七．抛物线与x轴的交点（共4小题） 39．（2023秋•前郭县期中）如图，已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论：①；②方程的两个根是，；③当时，随着的增大而增大；④．其中正确结论是 　①②③　（填写序号）． 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①图象开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，能得到：，，则，故结论①正确； ②由抛物线轴对称性质知：抛物线与轴的另一交点坐标为，则方程的两个根是，，故结论②正确； ③由函数图象知，当时，随着的增大而增大，故结论③正确； ④由函数图象知：当时，，则，故结论④不正确． 故正确结论的序号是：①②③． 故答案为：①②③． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 40．（2023秋•白城期中）已知抛物线与轴的交点是、，则这条抛物线的对称轴是　　． 【分析】根据“抛物线与轴的两个交点到对称轴的距离相等”进行填空． 【解答】解：抛物线与轴的交点是、， 这条抛物线的对称轴是：，即． 故答案为：． 【点评】本题考查了求抛物线与轴的交点问题，关键是掌握抛物线与轴的两交点关于对称轴对称． 41．（2023秋•吉林期中）如图，在平面直角坐标系中，点，．抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求的最小值； （3）连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解． （2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合的取值范围求解． （3）结合图象，分别求出抛物线顶点在上，经过点，时的值，进而求解． 【解答】解：（1）将，代入得， 解得， ； （2）抛物线开口向下，顶点坐标为， 函数最大值为，对称轴为直线， ， 时，为函数最小值． （3）二次函数的图象向上平移个单位后解析式为， 抛物线顶点坐标为， 当顶点落在线段上时，， 解得， 当抛物线向上移动，经过点时，， 解得， 当抛物线经过点时，， 解得， 当，或时，函数图象与线段有一个公共点． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律． 42．（2023秋•吉林期中）已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△即可； （2）根据题意，令，整理方程可得关于的方程，解可得的值． 【解答】（1）证明：令得：， △ ， 方程有两个不等的实数根， 原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）解：令，根据题意有：， 解得或1． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与轴的交点等． 一十八．二次函数的应用（共2小题） 43．（2023秋•前郭县期中）已知实心球运动的高度与水平距离之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是　　 A． B． C． D． 【分析】根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【解答】解：在中，令得： ， 解得或（舍去）， 该同学此次投掷实心球的成绩是， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，理解题意，能把二次函数问题转化为一元二次方程问题是解决问题的关键． 44．（2023秋•南关区校级期中）小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器和淋浴喷头所成，其中，，刚开始时，，水流所在的抛物线恰好经过点，抛物线落地点和点相距．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点的距离增加，则小刚应把升降器向上平移 　45　． 【分析】根据题意和图象，可以先求出点的坐标，然后即可求出过点、、的抛物线解析式，然后写出平移后的抛物线解析式，将点的坐标代入平移后抛物线的解析式，即可得到小刚应把升降器向上平移的距离． 【解答】解：作交的延长线于点， ，，， ， ， ， 点的坐标为， 设过点，，的抛物线解析式为， 则， 解得， 即， 当要求落地点和点的距离增加，设小刚应把升降器向上平移， 则平移后的抛物线解析式为， 的坐标为， ， 解得， 故答案为：45． 【点评】本题考查二次函数的应用、生活中的平移，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． 一十九．二次函数综合题（共3小题） 45．（2023秋•南关区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线是常数）与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标． （2）当时，的取值范围是 　　． （3）抛物线上有一点，点的横坐标为． ①当点在、两点之间（包括、两点）运动时，抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围． ②已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行．当矩形与抛物线有3个交点时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）抛物线 过点，有，得，故，即可得抛物线的顶点坐标为； （2）在中，令得，令时，而抛物线的顶点坐标为，可知当时，的取值范围是； （3）求出，，由题意得， ①当在对称轴直线左侧（包括在对称轴直线上），即时，图象的最高点为，最低点为，可得；当在对称轴直线右侧，即时，图象的最高点为顶点，最低点为，得； ②由点的横坐标为，点，可知矩形的中心在直线上，根据，矩形中心在直线上，对称轴为直线，，分类画出图形，即可得到答案． 【解答】解：（1）抛物线 过点， ， 解得， 抛物线对应的函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）在中，令得，令时， 抛物线的顶点坐标为， 当时，的取值范围是； 故答案为：； （3）在中，令得， 解得或， ，， 由题意得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ①当在对称轴直线左侧（包括在对称轴直线上），即时，图象的最高点为，最低点为， ； 当在对称轴直线右侧，即时，图象的最高点为顶点，最低点为， ， ； ②点的横坐标为，点， 而以为对角线的矩形的中心是的中点， 矩形的中心在直线上， （Ⅰ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有4个交点； （Ⅱ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有3个交点； （Ⅲ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； （Ⅳ）当时，矩形不存在； （Ⅴ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有1个交点； （Ⅵ）当时，矩形不存在； （Ⅶ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； （Ⅷ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有3个交点； （Ⅸ）当时，矩形不存在； Ⅱ当，即，如图： 此时矩形与抛物线有4个交点； 综上所述，当矩形与抛物线有3个交点时，的取值范围是或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，矩形性质及应用，二次函数的最大（小值等问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． 46．（2023秋•吉林期中）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点，与二次函数图象的对称轴交于点，其中点的坐标为，点在轴上． （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）求的面积； （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出，然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解． 【解答】解：（1）直线过点， ， ， ， ， 设二次函数解析式为， 由题意可得：， 解得：，， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，直线的解析式为， 直线与二次函数图象的对称轴交于点， 顶点坐标为， 对称轴为， 设点， ， ， 的面积； （3）存在， 顶点坐标为， 对称轴为， 设点， 又，点， ，，， 当时，则， ， 点坐标为或． 当时，则， ， 点坐标为或； 当时，则， ， 点坐标为； 综上所述：点的坐标为或或或或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 47．（2023秋•吉林期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的最大值； （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点坐标，代入抛物线解析式可求得的值； （4）由条件可得出，结合（2）可得到关于的方程，可求得的值． 【解答】解： （1）抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解，， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， 直线解析式为； （2）轴，点的横坐标为， ，， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； （3）轴， 当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3， ，解得或， 当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ； （4）轴， ， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点在线段上时，则有， ，此方程无实数根， 当点不在线段上时，则有， ，解得或， 综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 二十．圆的认识（共1小题） 48．（2023秋•二道区校级期中）如图，为的弦，，则等于 　　． 【分析】利用等腰三角形的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数． 【解答】解：， ， ， 故答案为． 【点评】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点． 二十一．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 49．（2022秋•朝阳区校级期中）如图，、是半径为2的上的两点，若，点是的中点，则四边形的周长为 　8　． 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【解答】解：连接． 是的中点， ，而， 和都是等边三角形， ， 所以四边形的周长等于8． 故答案为：8． 【点评】掌握等弧所对的圆心角相等；熟练掌握等边三角形的判定和性质定理． 二十二．圆周角定理（共3小题） 50．（2023秋•前郭县期中）如图，、、为上三点，若，则度数为 　70　． 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得的度数． 【解答】解：， ． 故答案为：70． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 51．（2023秋•宁江区校级期中）如图，在中，直径，若，则是的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：直径弦， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用是解题关键． 52．（2023秋•吉林期中）如图，是的直径，是的中点，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）首先延长交于点，由垂径定理可证得，又由是的中点，易证得，继而可证得； （2）由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案． 【解答】（1）证明：延长交于点， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ，， ， 在中，， 的半径为5． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 二十三．切线的判定与性质（共2小题） 53．（2023秋•船营区校级期中）如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质证明，进而可以得到结论； （2）连接，根据勾股定理求出，根据锐角三角函数可得，然后证明是的中位线，求出，根据阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积，代入值即可． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 设的半径为， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ，为的中点， 是的中位线， 是中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积 ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，扇形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 54．（2022秋•龙潭区校级期中）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接． （1）若，求证：是的切线． （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 【分析】（1）连接，证明，，可得，即，则结论得证； （2）设的半径为，则，，可得，解方程即可得解． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：， ，设的半径为，则，， ， ， ， 解得， 的半径为3． 【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解此题的关键是求出和得出关于的方程，用了方程思想． 二十四．扇形面积的计算（共1小题） 55．（2022秋•龙潭区校级期中）如图，以为圆心、为半径作扇形，线段恰好与以为直径的半圆弧相交于弧的中点，若，则阴影部分图形的面积是 　　（结果保留． 【分析】连接，根据题意，可知，，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形的面积减去空白部分的面积再加扇形的面积减的面积，然后代入数据计算即可． 【解答】解：连接， 线段交以为直径的半圆弧的中点，， ，，， 阴影部分的面积是：， 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用分割法解决问题． 二十五．旋转的性质（共2小题） 56．（2023秋•船营区校级期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，若，则的度数是 　　． 【分析】利用旋转的性质得，，再利用三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 57．（2023秋•船营区校级期中）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出的度数和的长． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理计算出，然后根据旋转的定义求解； （2）根据旋转的性质得，，，则可利用周角定义可计算出，然后计算出，从而得到的长． 【解答】解：（1）， 即， 逆时针旋转一定角度后与重合， 旋转中心为点，旋转的度数为； （2）逆时针旋转一定角度后与重合， ，，， ， 点恰好成为的中点， ， ． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 二十六．关于原点对称的点的坐标（共2小题） 58．（2023秋•丰满区校级期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　． 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 59．（2023秋•船营区校级期中）已知与关于原点对称，则　　． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得、的值，再进一步计算即可得到答案． 【解答】解：与关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标变化规律． 二十七．作图-旋转变换（共1小题） 60．（2023秋•前郭县期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为． （1）画出△，使得△与关于原点对称，并写出的坐标； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转得到△，画出△并写出的坐标． 【分析】（1）根据中心对称的性质找到，，的对称点，，，顺次连接得到△，根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）根据中心对称的性质找到，，的旋转后的点，，，顺次连接得到△，根据坐标系写出点的坐标即可求解． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． ； （2）如图，△即为所求． ． 【点评】本题考查了旋转作图，画中心对称图形，写出点的坐标，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$