第13讲 立方根（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第13讲 立方根（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 题型强化 题型一．立方根 1．（2024•泰兴市二模）的立方根是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•鼓楼区校级月考）的算术平方根是 　　，的立方根是 　　． 3．（2023秋•响水县校级月考）已知：的两个平方根是与，且的算术平方根是3． （1）求、的值； （2）求的立方根． 题型二、求一个数的立方根 4．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在实数，、、、、、中，无理数的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）6的平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 6．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）求下列各式中的： (1)； (2)． 题型三、立方根的实际应用 7．（21-22八年级·江苏·假期作业）若≈0.6694，≈1.442，则下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（21-22八年级·江苏·假期作业）已知，则 ． 9．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）求下列各式中的值 (1)； (2)． 题型四．计算器—数的开方 10．（盐城）用计算器求2008的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是　　 A． B． C． D． 11．（惠山区校级月考）用计算器计算：　　（结果保留三个有效数字）． 12．（盱眙县校级期中）用计算器完成下列各题： （1）求值：（精确到； （2）计算：（结果保留3个有效数字）． 分层练习 一、单选题 1．下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B．2 C． D． 3．正方体的体积为7，则正方体的棱长为(    ) A． B． C． D． 4．（  ） A．2 B．-2 C． D．-2 5．在，，，0.1010010001…（每两个“1”之间依次多一个“0”），，0中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在下列各数、、、、、、、、、中，无理数的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知x没有平方根，且，则x的立方根为（    ） A． B． C． D． 8．若则（      ） A．37.56 B．17.44 C． D． 9．下列说法错误的是（    ）． A．的平方根是 B．是81的平方根 C．16的算术平方根是 D． 10．下列说法错误的是（    ） A．1的平方根是1 B．-1的立方根是-1 C．是2的平方根 D．是3的平方根 二、填空题 11．如果，，那么 ． 12．9的算术平方根是 ，的立方根是 ； 13．4的立方根是 ． 14．是a的一个平方根，b是a的立方根，则 ， ． 15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 ． 16．在，，﹣2，，，，0.1011011101111……（相邻两个0之间1的个数逐次增加1）中，无理数有 个． 17．的平方根是 ，的立方根是 ． 18．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，需要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．有一种巧妙算法如下： ①由，，能确定是两位数； ②由的个位上的数是，能确定的个位上的数； ③如果划去后面的三位得到数，而，，能确定的十位上的数． 已知是整数的立方，按照上述方法，的立方根是 ． 三、解答题 19．已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大，求第二个正方体纸盒的棱长．（结果精确到） 20．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 21．对于一个三位正整数，如果十位上的数字是其百位上的数字与个位数字之和，那么我们称这个三位正整数为“十和数”．比如：三位正整数297，因为9＝2+7，所以297是“十和数”．已知一个三位正整数的个位，十位，百位上的数字分别为a，b，c． (1)若某个三位正整数是“十和数”，请证明个三位正整数能被11整除； (2)已知某个三位正整数的各位上的数字之和是一个正整数的立方，且这个三位正整数是“十和数”，求满足条件的所有三位正整数． 22．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长a． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为 ． 23．请根据如图的对话内容回答下列问题． (1)求魔方的棱长； (2)求长方体纸盒的底面的边长． 24．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． (1)求该魔方的棱长． (2)求该长方体纸盒的长． 25．如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； （2）请你在数轴上用刻度尺和圆规表示比正方形的边长大1的数．（不写做法，保留作图痕迹） 26．（1）解方程组：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解不等式组，请按下列步骤完成解答． （I）解不等式①，得__________________； （Ⅱ）解不等式②，得_________________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：   原不等式组的解集为：__________________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 立方根（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点2．计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 题型强化 题型一．立方根 1．（2024•泰兴市二模）的立方根是　　 A． B． C． D． 【分析】根据立方根的定义进行解答即可． 【解答】解：， 的立方根是． 故选：． 【点评】本题考查了立方根的定义，熟记定义是解题的关键． 2．（2023秋•鼓楼区校级月考）的算术平方根是 　　，的立方根是 　　． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义进行求解即可得到答案． 【解答】解：，， 的算术平方根是，的立方根是， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，一个正数的平方等于，即，则这个正数为的算术平方根，如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 3．（2023秋•响水县校级月考）已知：的两个平方根是与，且的算术平方根是3． （1）求、的值； （2）求的立方根． 【分析】（1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：（1）解：的平方根是与，且的算术平方根是3， ，， 解得：，； （2），， ， 的立方根是2． 【点评】本题考查平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 题型二、求一个数的立方根 4．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在实数，、、、、、中，无理数的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的立方根 【分析】本题考查的是无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解 ：， 在实数、、、、、、中，无理数有、，共2个． 故选：B． 5．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）6的平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 3 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：6的平方根是，的算术平方根是3，的立方根是， 故答案为：，3，． 6．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型三、立方根的实际应用 7．（21-22八年级·江苏·假期作业）若≈0.6694，≈1.442，则下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、立方根的实际应用 【分析】根据立方根小数点移动规律：被开方数小数点每移动三为，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位；300是把0.3的小数点向右移动了三位，只需将0.3的立方根的小数点向右移动一位即可． 【详解】∵≈0.6694， ∴， 故选： B 【点睛】本题主要考查了立方根小数点的移动规律，熟练地掌握“被开方数小数点每移动三为，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位”是解题的关键． 8．（21-22八年级·江苏·假期作业）已知，则 ． 【答案】55.39 【知识点】立方根的实际应用 【分析】根据“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行判断即可． 【详解】解：， 故答案为：55.39． 【点睛】本题考查立方根，理解“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”是正确解答的关键． 9．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）求下列各式中的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ （2） ∴ 题型四．计算器—数的开方 10．（盐城）用计算器求2008的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是　　 A． B． C． D． 【分析】首先了解各个符号表示的意义，然后结合计算器不同按键功能即可解决问题． 【解答】解：根据计算器的知识可知答案： 故选：． 【点评】此题主要考查了利用计算器求算术平方根，要让学生接触了解计算器，学会运用计算器进行一些复杂的计算． 11．（惠山区校级月考）用计算器计算：　0.464　（结果保留三个有效数字）． 【分析】用计算器计算出的值后，再来计算所求代数式的值即可． 【解答】解：原式． 故答案为：0.464． 【点评】要求学生能够熟练运用计算器，同时理解概念有效数字：从左边第一个不是0的数字起，所有的数字即为有效数字． 12．（盱眙县校级期中）用计算器完成下列各题： （1）求值：（精确到； （2）计算：（结果保留3个有效数字）． 【分析】（1）用计算器求出的近似值，不要忘记前面的，采用四舍五入法取值． （2）用计算器求出的近似值，根据有效数字的概念，采用四舍五入法取值． 【解答】解：（1）； （2）由，，， 得 【点评】本题考查了用计算器求数的开方，再进行加减运算． 分层练习 一、单选题 1．下列实数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）”是解题的关键． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是开方开不尽的数，是无理数，符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是有理数，不符合题意； 故选：B． 2．（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解 【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可． 【详解】解：∵-2的立方等于-8， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 3．正方体的体积为7，则正方体的棱长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】立方根的实际应用 【分析】根据正方体的体积公式得：正方体的体积= ，那么棱长=，代入数据计算即可. 【详解】解：∵根据正方体的体积公式得：正方体的体积=， ∴棱长=，即棱长=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查立方根的相关知识，解题的关键是熟练的掌握正方体的面积公式，再根据公式变换表示出棱长即可. 4．（  ） A．2 B．-2 C． D．-2 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解 【分析】根据立方根的定义进行计算即可. 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣2. 故选D. 【点睛】本题考查立方根，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 5．在，，，0.1010010001…（每两个“1”之间依次多一个“0”），，0中，无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据无理数即为无限不循环小数逐一判断即可． 【详解】解：不是无理数； 是无理数； =9不是无理数； 0.1010010001…（每两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数； 是无理数； 0不是无理数； 综上：共有3个无理数 故选B． 【点睛】此题考查的是无理数的判断，掌握无理数的定义是解题关键． 6．在下列各数、、、、、、、、、中，无理数的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：3.1415是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 、是分数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 无理数有：0.2060060006…、、、、共5个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 7．已知x没有平方根，且，则x的立方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、平方根概念理解 【分析】根据平方根的性质求得的值，然后根据立方根的定义求得其立方根即可． 【详解】解：∵x没有平方根，且， ∴， 则的立方根为， 故选：D． 【点睛】本题考查平方根的性质及立方根的定义，结合已知条件确定的值是解题的关键． 8．若则（      ） A．37.56 B．17.44 C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根 【分析】将变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查求立方根，熟练掌握立方根规律：被开方数扩大（或缩小）1000倍，立方根扩大（或缩小）10倍是解题的关键． 9．下列说法错误的是（    ）． A．的平方根是 B．是81的平方根 C．16的算术平方根是 D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】此题考查平方根与立方根的性质．根据平方根的性质，立方根的性质依次判断即可． 【详解】解：的平方根是，故A正确，不符合题意； 是81的一个平方根，故B正确，不符合题意； 16的算术平方根是4，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 10．下列说法错误的是（    ） A．1的平方根是1 B．-1的立方根是-1 C．是2的平方根 D．是3的平方根 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】根据平方根、立方根的定义求解； 【详解】解：A. 1的平方根是；说法错误，本选项符合题意； B. -1的立方根是-1；，说法正确，本选项不合题意； C. 是2的平方根；，说法正确，本选项不合题意； D. 是3的平方根；，说法正确，本选项不合题意； 故选：A 【点睛】本题考查平方根、立方根的定义及求解；理解平方根、立方根的定义是解题的关键． 二、填空题 11．如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】立方根概念理解 【分析】根据立方根的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根；解决本题的关键是熟记立方根的性质． 12．9的算术平方根是 ，的立方根是 ； 【答案】 3 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根、立方根的定义求出即可． 【详解】解：9的算术平方根是：； 的立方根为：； 故答案为：3；． 【点睛】本题考查了对立方根、算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力，是一道基础题． 13．4的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解 【详解】解：4的立方根是．故答案为． 点睛：本题主要考查立方根，解题的关键是掌握如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作． 14．是a的一个平方根，b是a的立方根，则 ， ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查立方根和平方根，掌根据立方根定义与平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：是a的一个平方根， 则， b是a的立方根， 则． 故答案为：，． 15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的立方根、整式的加减运算 【分析】先利用数轴表示数的方法得到，再利用绝对值和立方根的性质得原式，然后去括号后合并即可． 【详解】解：根据题图可知：，且 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，整式的加减，绝对值和立方根的化简，解题的关键是熟悉掌握绝对值的性质． 16．在，，﹣2，，，，0.1011011101111……（相邻两个0之间1的个数逐次增加1）中，无理数有 个． 【答案】2 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：∵＝﹣3，＝4， ∴，﹣2， ，，是有理数，无理数有：，0.1011011101111……（相邻两个0之间1的个数逐次增加1），共2个． 故答案为2 【点睛】本题考查了无理数的定义，常见的无理数有：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③化简后含有π的数． 17．的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】分别根据平方根及立方根的定义解答即可． 【详解】解：，， 的平方根是； ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是立方根、平方根及算术平方根，熟知以上知识是解题的关键． 18．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，需要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．有一种巧妙算法如下： ①由，，能确定是两位数； ②由的个位上的数是，能确定的个位上的数； ③如果划去后面的三位得到数，而，，能确定的十位上的数． 已知是整数的立方，按照上述方法，的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．首先由，，确定是两位数，再由个位上的数是，确定个位上的数是，然后划去后面的三位得到，而，，由此确定十位上的数是，即可得出结果． 【详解】解：， ， 是两位数， 又只有个位上是7的数的立方的个位上的数是3， 的个位上的数是， 划去后面的三位得到，而，， 十位上的数是， 的值为， 故答案为：． 三、解答题 19．已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大，求第二个正方体纸盒的棱长．（结果精确到） 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的应用，读懂题意，根据题意找到等量关系列出方程求解是关键． 设第二个正方体纸盒的棱长是，根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解即可． 【详解】设第二个纸盒的棱长为， ∵已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大， ∴， 答：第二个正方体纸盒的棱长是． 20．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【知识点】立方根的实际应用、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 21．对于一个三位正整数，如果十位上的数字是其百位上的数字与个位数字之和，那么我们称这个三位正整数为“十和数”．比如：三位正整数297，因为9＝2+7，所以297是“十和数”．已知一个三位正整数的个位，十位，百位上的数字分别为a，b，c． (1)若某个三位正整数是“十和数”，请证明个三位正整数能被11整除； (2)已知某个三位正整数的各位上的数字之和是一个正整数的立方，且这个三位正整数是“十和数”，求满足条件的所有三位正整数． 【答案】(1)见解析 (2)满足条件的所有三位正整数是440或143或242或341． 【知识点】一元一次不等式组应用、已知一个数的立方根，求这个数、数字问题(二元一次方程组的应用)、因式分解的应用 【分析】（1）根据“十和数”的定义，得a+c=b，将这个三位正整数因式分解即可得证； （2）根据题意，可得a+b+c=n3（n为正整数），根据“十和数”的定义，得a+c=b，从而求出b的值，进一步即可确定a和c的值． 【详解】（1）解：根据“十和数”的定义，得a+c=b， ∴这个三位正整数为100a+10b+c=99a+11b=11（9a+b）， ∴这个三位正整数能被11整除； （2）根据题意，得a+b+c=n3（n为正整数）， ∵a+c=b， ∴2b=n3， ∵,且为正整数， ∴正整数b=4，n=2， 此时a+c=4， ∴正整数a和c的取值如下： a=3，c=1； a=2，c=2； a=1，c=3，a=4，c=0 ∴这个三位数为440或143或242或341． 【点睛】本题考查了因式分解的应用与二元一次方程的应用，理解新定义并灵活运用是解题的关键． 22．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长a． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】实数与数轴、立方根的实际应用、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根、勾股定理的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此即可求出边长即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 23．请根据如图的对话内容回答下列问题． (1)求魔方的棱长； (2)求长方体纸盒的底面的边长． 【答案】(1) (2) 【知识点】立方根的实际应用、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键 （1）可设正方体魔方的棱长为，根据正方体体积的计算公式得到，然后利用立方根的定义求解即可； （2）设该长方体纸盒的底面边长为，由题意可得高为，根据长方体体积公式可得关于y的方程，再由y为正数利用算术平方根的定义即可求出y值即可 【详解】（1）解：设魔方的棱长为，可得：，解得：． 答：该魔方的棱长． （2）解：设该长方体纸盒的底面边长为，高为， 由题意可得：，解得：负值舍去． 答：该长方体纸盒的长为 24．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． (1)求该魔方的棱长． (2)求该长方体纸盒的长． 【答案】(1)该魔方的棱长 (2)该长方体纸盒的长为 【知识点】立方根的实际应用、平方根的应用 【分析】此题考查了平方根、立方根的应用，熟练掌握立体图形的体积公式是解本题的关键． （1）设魔方的棱长为，由长方体的体积公式得方程为，利用立方根定义求解即可； （2）设该长方体纸盒的长为，则长方体纸盒的高为，由长方体的体积公式得方程为，利用平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 可得：， 解得：， 答：该魔方的棱长； （2）解：设该长方体纸盒的长为， 则， 故，解得：， 因为是正数，所以， 答：该长方体纸盒的长为． 25．如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； （2）请你在数轴上用刻度尺和圆规表示比正方形的边长大1的数．（不写做法，保留作图痕迹） 【答案】（1）阴影部分的面积为8，边长为；（2）见解析. 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）根据魔方的体积可求出魔方的棱长，然后可得小立方体的棱长，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长； （2）以数轴上3的位置垂直数轴作垂线，并以3点为圆心2为半径做圆弧角垂线于一点E，连接数轴上的1点与E点，并以该线段为半径，1点为圆心做圆，与数轴的交点为所求的数的位置.. 【详解】解：（1）∵， ∴魔方的棱长为4， ∴小立方体的棱长为2， ∴阴影部分的面积为：， ∴其边长为，即； （2）如图所示． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，求出小立方体的棱长是解答本题的关键． 26．（1）解方程组：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解不等式组，请按下列步骤完成解答． （I）解不等式①，得__________________； （Ⅱ）解不等式②，得_________________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：   原不等式组的解集为：__________________． 【答案】（1）；（2）；（3）或6；（4），，见解析， 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（1）直接利用加减消元法进行求解； （2）去括号，绝对值符号，算立方根，再计算即可； （3）直接利用开方法求解即可； （4）（I）去分母，再移项，将的系数化为1即可；（Ⅱ）去括号，再移项，将的系数化为1即可；（Ⅲ）直接将解集画到数轴上，取公共部分即可． 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 将代入中得：， 解得：， ； （2） ； （3）解方程：； 解得：或6 （4）（Ⅰ）解不等式①，得； （Ⅱ）解不等式②，得； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；   原不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组，实数的混合运算、利用平方根解方程、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握相应的运算法则和方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$