第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十三章（三角形中的边角关系、命题与证明）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．直角三角形两锐角的和为（    ） A． B． C． D． 2．有下列长度的线段，不能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 5．对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是  （   ） A． B． C． D． 6．一副三角尺如图放置，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 8．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若，则(    ) A． B． C． D． 9．如图，在中，已知点D，E分别为边，上的中点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是 ． 12．有一张直角三角形纸片，记作，其中．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为 ． 13．已知a，b，c是一个三角形的三边长．化简 ． 14．如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点，若，，则的度数为 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求、的值． 16．如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 17．如图，在平面直角坐标系中，如图所示．将向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位，得到． (1)写出三个顶点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出； (3)求的面积． 18．如图，中，，，，，求． 19．如图，在中，，平分，是边上的高，求的度数． 20．如图，，，点D在边上，，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．阅读与思考： 问题呈现： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为和内角和的和，为． 解决问题： 如图，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：，他证明如下，请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接并延长到点． 22．如图，在中，点D在边上．    (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 23．【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 24．若三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”． (1)关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是____________（填写所有正确说法的序号）； ①在中，若，，，则是“准余三角形”； ②若是“准互余三角形”，，，则； ③“准互余三角形”一定是钝角三角形． (2)如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”； (3)如图2，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且．若P是直线l上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十三章（三角形中的边角关系、命题与证明）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．直角三角形两锐角的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握三角形内角和是是解题的关键． 根据三角形内角和是求解即可． 【详解】解：∵三角形的内角和是， ∴直角三角形两个锐角的和 故选：B． 2．有下列长度的线段，不能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短的线段的和是否大于较长线段的长，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，符合题意； B、，能组成三角形，不符合题意； C、，能组成三角形，不符合题意； D、，能组成三角形，不符合题意； 答案：A． 3．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形高的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，逐项判断即可． 【详解】解：中，过点作，交或的延长线于，则是边上的高，正确的画法是D． 故选：D． 4．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行作答即可． 【详解】解：由题意，所用的几何原理是三角形具有稳定性； 故选D． 5．对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是  （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例判断命题真假，根据题意可得的值要满足，但不满足，据此可得答案． 【详解】解：要说明命题“若，则”是假命题，那么的值要满足，但不满足， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 6．一副三角尺如图放置，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、邻补角，三角形的内角和定理，熟练运用平行线的性质是关键． 利用平行线的性质求出，根据三角形内角和求出，进一步求出． 【详解】解：如图，∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 7．用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“若，则”时， 应假设， 故选：C． 8．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及折叠问题；根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：， ， 沿着折叠压平，与重合， ， ． 故选：B． 9．如图，在中，已知点D，E分别为边，上的中点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，推出，即可． 【详解】解：∵点D，E分别为边，上的中点， ∴分别为的中线， ∴，， ∴； 故选：C． 10．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用．根据角平分线的定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∵平分，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在中， ， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴不一定等于，故④错误； 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点 【分析】本题考查写原命题的逆命题．根据题意将原命题的结论作为新命题的条件，原命题的条件作为新命题的结论，写成“如果．．．那么．．．”的形式即为原命题的逆命题． 【详解】解：∵线段的中点到这条线段两端的距离相等， ∴原命题为：如果这个点是线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等， ∴逆命题为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点， 故答案为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点． 12．有一张直角三角形纸片，记作，其中．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是三角形的外角定理：三角形外角定理三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和． 根据题意可知，，又，利用三角形的外角定理即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 13．已知a，b，c是一个三角形的三边长．化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减．根据三角形三边关系得到，，，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：，，是一个三角形的三条边长， ∴，，， ， 故答案为：． 14．如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设，表示出，于是，由可推出，根据求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：如图所示： 设的延长线交于，，则， ， ， 平分， ， ， 在中，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求、的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，对分为为腰长或为底边两种情况进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：为等腰三角形，且周长为， 分两种情况： 当为腰长时， 底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时， 腰长， 为底边，为腰长符合三角形的三边关系， ． 16．如图，作出的边上的高．（用尺规完成作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 利用基本作图，过A点作的垂线即可． 【详解】解：如图，线段即为所求， 17．如图，在平面直角坐标系中，如图所示．将向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位，得到． (1)写出三个顶点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出； (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案． （2）根据平移的性质作图即可． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可得， ，，． （2）解：将向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位，得到三个对应点的坐标分别是，，，描出这三个点，顺次连接，如图，即为所求． （3）解：中，，高为4， 的面积为． 18．如图，中，，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形内角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是本题的关键．根据平角的定义，求得，由于，，，根据直角三角形的性质求得，即可求得． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 19．如图，在中，，平分，是边上的高，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算，直角三角形两锐角互余，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得出，再由直角三角形两锐角互余可得出，最后再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 20．如图，，，点D在边上，，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理： （1）先证明，再由，结合三角形内角和定理即可证明； （2）根据三角形内角和定理可知． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 21．阅读与思考： 问题呈现： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为和内角和的和，为． 解决问题： 如图，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：，他证明如下，请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接并延长到点． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 连接并延长到点E．先证明，，相加即可． 【详解】证明：连接并延长到点． 则为的外角，为的外角， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 22．如图，在中，点D在边上．    (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三角形内角和为180度进行求解是解题的关键。 （1）根据三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义得到，再由三角形周长公式结合已知条件推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 24．若三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”． (1)关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是____________（填写所有正确说法的序号）； ①在中，若，，，则是“准余三角形”； ②若是“准互余三角形”，，，则； ③“准互余三角形”一定是钝角三角形． (2)如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”； (3)如图2，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且．若P是直线l上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)，，， 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角度的计算，理解“准互余三角形”的定义，是解题的关键： （1）根据“准互余三角形”的定义，逐一进行判断即可； （2）根据三角形的内角和定理，结合角平分线平分角，推出，即可得证； （3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：①，， ， 是“准互余三角形”． 故①正确． ②三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”， ， 三角形的第三个角大于， 由已知得 又， 故②错误， ③正确．②中已经证明． 故答案为①③． （2）在中，， ， 是的角平分线， ， ， 是“准互余三角形”． （3）当点在点左侧时： ∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当点在点右侧时：当时，， 当时，， ∴， 综上：，，，时，满足条件，是“准互余三角形”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$