专题4.2 对数与对数函数(考点精讲)-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题4.2 对数与对数函数 一、【考纲要求】 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.对数函数的简单应用 二、【考向预测】 1.对数运算 2.对数函数图象及其性质 3.对数函数单调性的应用 4.对数函数应用 三、【知识清单】 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【常用结论】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数. 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 四、【方法技巧】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 五、【考点分类剖析】 考点一：对数的化简与求值 例1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】计算 【变式练习4】求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 考点二：对数函数的定义域与值域 例2. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例3. 已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】设，则函数的定义域是 ． 【变式练习4】函数的最小值为 . 考点三：对数函数的图象及应用 例4. 若，且函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】指数函数（且）过点，则经过点 . 【变式练习3】若函数的图像过两点和，则 . 考点四：比较指数式、对数式大小 例5. 比较的大小 【变式练习1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习3】设，，，则a，b，c的大小关系为 （用“＜”连接）． 考点五：解对数方程、不等式 例6. 方程的解集是（    ）． A． B． C． D． 【变式练习1】已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】不等式的解集为 ． 【变式练习3】不等式的解集为 . 考点六：对数函数实际应用 例7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【变式练习1】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个. A．5 B．6 C．7 D．8 【变式练习2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1. （1）求出V关于Q的函数解析式； （2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数． 【变式练习3】有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少km/min？ (2)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（精确到整数） (3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，雌鸟的飞行速度为1.5km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 对数与对数函数 一、【考纲要求】 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.对数函数的简单应用 二、【考向预测】 1.对数运算 2.对数函数图象及其性质 3.对数函数单调性的应用 4.对数函数应用 三、【知识清单】 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【常用结论】 1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数. 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 四、【方法技巧】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 五、【考点分类剖析】 考点一：对数的化简与求值 例1. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【解析】依题意，，所以. 故选：D 【变式练习1】若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数、对数运算等知识求得正确答案. 【解析】由得， 由， 所以. 故选：D 【变式练习2】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【解析】. 故选：B 【变式练习3】计算 【答案】 【分析】借助对数运算法则计算即可得. 【解析】 . 故答案为：. 【变式练习4】求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据换底公式逐一求出每个对数式的值； （2）利用指数幂的运算和对数恒等式求解； （3）合理配凑，利用完全平方公式求解. 【解析】（1） （2） （3） 考点二：对数函数的定义域与值域 例2. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使得式子有意义，列出不等式即可求解. 【解析】定义域要求，即. 故选：B． 例3. 已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求每段函数的值域，再求并集. 【解析】在上单调递增，所以， 在上单调递增，所以， 因为，， 所以函数的值域是. 故选：A 【变式练习1】已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【解析】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. 故选：A. 【变式练习2】已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对数函数的单调性计算即可得. 【解析】因为的值域是，所以，解得． 故选：A. 【变式练习3】设，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数的性质即可列不等式求解. 【解析】的定义域需满足， 由于，所以， 故定义域为， 故答案为： 【变式练习4】函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【解析】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 考点三：对数函数的图象及应用 例4. 若，且函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质可得，再根据函数图像平移判断即可. 【解析】因为，且，故，故为减函数，且过， 又的图像为的图像向右平移1个单位，则A满足. 故选：A 【变式练习1】在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【解析】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 【变式练习2】指数函数（且）过点，则经过点 . 【答案】 【分析】先求出经过的定点，再证明与是一对反函数，即可得到经过的定点. 【解析】由（且）可知，时，，则点为， 由可得，两边取对数得，，交换可得，， 即与是一对反函数，图象关于轴对称， 故经过点. 故答案为： 【变式练习3】若函数的图像过两点和，则 . 【答案】4 【分析】根据函数图象过点，代入求解即可. 【解析】因为函数的图像过两点和， 所以，， 所以， 故答案为：4 考点四：比较指数式、对数式大小 例5. 比较的大小 【答案】 【分析】利用函数的单调性得到，结合函数的单调性得到，从而可以求出结果. 【解析】因为为增函数，故， 而为增函数，故， 故. 【变式练习1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的底数小于1得到函数单调递减，判断出，的大小关系，又判断出，大于1，小于1，从而得出结论. 【解析】由于在单调递减，故， 又∵，∴. 故选：A. 【变式练习2】下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数的性质结合对数运算即可得答案. 【解析】由的单调性可知，即 ． 故最大的是． 故选:C. 【变式练习3】设，，，则a，b，c的大小关系为 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】通过比较和的大小关系即可. 【解析】因为，所以 所以 又因为，所以 所以， 所以 故答案为： 考点五：解对数方程、不等式 例6. 方程的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式以及对数的运算即可求解. 【解析】 ， 解得或， 解得或， 所以方程的解集为. 故选：D 【变式练习1】已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数运算性质求出，再代入计算即可. 【解析】由条件知，所以，即， 所以． 故选：C. 【变式练习2】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性解不等式即可求解. 【解析】：由对数函数的性质可得：， 解得：， ， 且为递减函数， ， 解得：， 综上所述：不等式的解集为． 故答案为：. 【变式练习3】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】结合对数函数的定义域及单调性化简不等式求其解. 【解析】因为， 所以，所以， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 考点六：对数函数实际应用 例7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值. 【解析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、， 则，即， 所以，. 故选：B. 【变式练习1】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由题意，次分裂后，共有个，故可得方程，从而得解． 【解析】由题意，次分裂后，共有个，所以有， ∴，故选C. 【变式练习2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1. （1）求出V关于Q的函数解析式； （2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数． 【答案】（1）；（2）2700个单位． 【分析】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可； （2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可. 【解析】：（1）设V＝k·log3， ∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3， ∴k＝，∴V关于Q的函数解析式为; （2）令V＝1.5，则，∴Q＝2 700， 即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2700个单位． 【变式练习3】有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少km/min？ (2)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（精确到整数） (3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，雌鸟的飞行速度为1.5km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 【答案】(1)1.70km/min； (2)466 (3)9 【分析】（1）将代入函数，计算出答案； （2）将，代入函数式可得，得到结论； （3）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，列出方程组，计算出，得到结论. 【解析】（1）将，代入函数式可得： ， 故此时候鸟飞行速度为1.70km/min． （2）将，代入函数式可得： ， 即， 所以，于是． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． （3）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，依题意可得： 两式相减可得： ，于是． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$