新课预习衔接：第六单元比的认识(讲义)-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

比的认识 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话:同学们,恭喜你已经开启了本单元的求知之旅,相信你已经正确规划了自己的学习任务,本套资料为课前预习,课中巩固,课后提升而设计,对单元知识点进行全面精讲,易错点逐个分解,强化练习常考易错真题,答案解析非常通俗易懂,可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题! 目录导航 资料说明 第一部分:思维导图:单元知识简单且高效的发散性思维呈现,是一种实用性的知识小结。 第二部分:知识精讲:把握知识要点,掌握方法技巧,理解数学本质,提升数学思维。 第三部分:典型例题:选题典型、高频易错、考试母题,具有理解一题,掌握一类的优势。 第四部分:高频真题:精选近两年统考真题,助您学习有方向,做好题,达到事半功倍的效果。 第五部分:答案解析:重点、难点题精细化解析,犹如名师讲解,可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1.比的性质 【知识点归纳】 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变.这叫做比的基本性质. 2.比的应用 【知识点归纳】 1.按比例分配问题的解题方法: (1)把比看作分得的份数,用先求出每一份的方法来解答.解题步骤: a.求出总份数; b.求出每一份是多少; c.求出各部分相应的具体数量. (2)转化成份数乘法来解答.解题步骤: a.先根据比求出总份数; b.再求出各部分量占总量的几分之几; c.求出各部分的数量. 2.按比例分配问题常用解题方法的应用: (1)已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量,求另外几个部分量; (2)已知两个量或几个量的比和其中两个量的差,求总量. 第三部分 典型例题 例题1:用96厘米长的铁丝围成一个直角三角形,这个三角形的三条边长度的比是3:4:5。这个三角形的面积是多少平方厘米? 【答案】384平方厘米。 【分析】把96厘米平均分成(3+4+5)份,先用除法求出1份是多少厘米,再用乘法分别求出3份、4份各是多少厘米,即这个三角形两条直角边分别是多少厘米,然后再根据三角形面积计算公式“S=ah 2”即可求出这个直角三角形的面积。 【解答】解:96 (3+4+5) =96 12 =8(厘米) (8 3) (8 4) 2 =24 32 2 =384(平方厘米) 答:这个三角形的面积是384平方厘米。 【点评】解答此题的关键是根据按比例分配问题,求出这个直角三角形两条直角边的长。直角三角形两条直角边乘积的一半,就是直角三角形的面积。 例题2:要从一个长5分米,宽4分米的长方形木板上锯下一个最大的圆,剩下的木板与圆面积的比是多少? 【答案】93:157。 【分析】根据题意可知,锯下的圆以长方形的宽为直径,再求出圆的面积和长方形的面积,用求得的长方形的面积减去圆的面积求出剩下木板的面积,根据比的意义写出剩下的木板与圆面积的比即可。 【解答】解:4 2=2(分米) 3.14 22 =3.14 4 =12.56(平方分米) 5 4=20(平方分米) 20﹣12.56=7.44(平方分米) 7.44:12.56=(7.44 8):(12.56 8)=0.93:1.57=(0.93 100):(1.57 100)=93:157 答:剩下的木板与圆面积的比是93:157。 【点评】此题考查比的应用。掌握长方形、圆形的面积计算公式和化简比是解答的关键。 例题3:端午节有佩戴制作艾草香包的习俗,艾草香包具有预防上呼吸道感染,提高身体的抗病能力和免疫力等功效。悦心超市购进一批艾草香包,第一天卖出全部的,第二天卖出16个,这时剩下的个数与卖出的个数的比是5:3。这批艾草香包原来有多少个? 【答案】128个。 【分析】先用5除以(5+3),求出剩下这批艾草香包的几分之几,然后用“1”减去再减去剩下的占这批艾草香包的分率,求出第二天卖出的16个艾草香包占这批艾草香包的分率,最后用16除以所得的分率即可。 【解答】解:5 (5+3) =5 8 16 (1) =16 =128(个) 答:这批艾草香包原来有128个。 【点评】本题考查了利用比的知识及整数与分数除减混合运算解决问题,需准确分析题目中的数量关系。 例题4:小丽、小芳为开联欢会布置教室,共同折叠千纸鹤,她们折千纸鹤的数量比是5:3。如果小丽把自己折的给小芳55个,小丽、小芳千纸鹤的数量比就是3:4,小丽实际折了多少个千纸鹤? 【答案】175个。 【分析】小丽、小芳折千纸鹤的数量比是5:3,设小丽实际折了5x个千纸鹤,小芳实际折了3x个千纸鹤,根据等量关系:(小丽实际折千纸鹤的个数﹣55个):(小芳实际折千纸鹤的个数+55个)=3:4,列方程解答即可。 【解答】解:设小丽实际折了5x个千纸鹤,小芳实际折了3x个千纸鹤。 (5x﹣55):(3x+55)=3:4 20x﹣220=9x+165 11x=385 x=35 35 5=175(个) 答:小丽实际折了175个千纸鹤。 【点评】本题主要考查了考查了比的应用,关键是找等量关系。 第四部分 高频真题 一.选择题(共6小题) 1.将的后项乘,若使原来的比值不变,则前项应( ) A.乘 B.乘 C.乘 D.乘 2.如图所示,阴影部分的周长相当于A圆周长的,B圆周长的。则B圆与A圆的面积比是( ) A.3:2 B.4:9 C.9:4 3.如果,那么(A 7):(B 7)=( ) A.1 B. C.1:1 D.无法确定 4.甲、乙、丙三杯水的质量比是2:3:4,在三杯水中分别放入质量比是4:5:6的糖,这三杯水最甜的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定 5.如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2:1,空白部分甲和乙的面积比是( ) A.4:1 B.6:1 C.8:1 D.3:1 6.把20克盐放入100克水中,盐与盐水的质量之比为( ) A.1:4 B.1:5 C.1:6 D.2:5 二.填空题(共7小题) 7.12:18= :6=(12 ):(18+18)。 8.三角形ABC中,∠A:∠B=2:3,∠B:∠C=1:5,则∠B= 。 9.《中华人民共和国国旗法》规定,国旗的通用规格有5种,其中学校操场上的国旗长2.4米,宽1.6米,长与宽最简单的整数比是 。 10.把吨:160千克化成最简整数比是 ,比值是 。 11.两个正方形的边长比是1:2,它们的周长比是 ,面积比是 ;两个圆的周长比是1:3,它们的半径比是 ,面积比是 。 12.完成一项工程,甲要12天,乙要18天,甲乙工作时间之比是 ,甲乙工作效率之比是 。 13.走同一段路,甲走完要40分钟,乙走完要50分钟,甲与乙的时间比是 ,速度比是 。 三.判断题(共8小题) 14.甲数与乙数的比是3:5,乙数比甲数多4,则甲数是6。 15.两个圆柱的高相等,底面半径之比为1:3,则体积之比为1:9。 16.在120g水中放入20g糖,糖与糖水质量的比是1:6。 17.一个正方形按4:1放大后,面积扩大为原来的16倍. . 18.8:9的后项扩大到原来的4倍,要使比值不变,前项也应扩大到原来的4倍。 19.在同一个钟面上,正常转动的时针和分针的速度比是1:12。 20.已知6:m=n:8,那么mn﹣48=0。 21.把20克盐溶解在100克水中,盐与盐水的质量比是1:6. 四.计算题(共2小题) 22.直接写出比值或得数,能化简的必须化简。 0.025 8= 1.02= % 0.9:0.6= 4.8 42% % 23.化简比。 2.4:0.6 五.应用题(共30小题) 24.六(1)班男、女生人数的比是5:3,已知男生比女生多12人。 (1)画图表示数量关系。 (2)男、女生各有多少人? 25.“双减”后,六年级学生踊跃参加体育社团活动,参加的人数是六年级总人数的,中途有45人退出体育社团,去参加“六一”节目排练。这时参加体育社团的人数与未参加人数比是1:3。六年级一共有多少名学生? 26.一书架共有三层,第一层书比第二层少50本,是第二层本数的;第三层与第二层书的本数比是2:3。你知道这个书架一共有多少本书吗? 27.甲乙两车分别同时从A、B两地相对开出,2小时相遇。相遇后两车仍按原速继续前进,当甲车到达B地时,乙车离A地还有72千米,已知两车的速度比是5:4,求两车的速度。 28.一堆围棋子有黑白两种颜色,拿走15枚白棋子后,黑棋子与白棋子的个数比是2:1,再拿走45枚黑棋子后,黑棋子与白棋子的个数比为1:5,原来黑棋子有多少枚? 29.食品加工店购进150kg苹果,决定把这些苹果的按1:4的比分别做成苹果罐头和苹果汁。苹果罐头和苹果汁各需用去多少千克苹果? 30.甲、乙两人都从A地去B地,他们的速度比为3:2,当甲行了11千米时,乙行了5.5千米,当甲到达B地时,乙离B地还有的路程。AB两地相距多少千米? 31.有甲、乙两个兴趣班,原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的,如果从乙兴趣班调3人到甲兴趣班,甲、乙兴趣班的人数比是4:5,甲兴趣班原来有多少人? 32.李师傅加工一批零件,第一天加工了全部零件的,第二天加工了50个,这时已经加工的零件数和剩下的零件数的比是5:7,这批零件一共有多少个? 33.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6:5,相遇后乙车每小时比相遇前多行驶33千米,甲车按原速前进,结果两车同时到达对方的出发站。已知甲车一共行驶了5小时,A、B两地一共相距多少千米? 34.工程队修一条路,第一周修完的与全长的比为1:3,第二周又修了900米,这时修完的是全长的一半,这条路全长多少米? 35.张阿姨在和面做面条,她认为当面粉和水的质量比为20:9做出来的面条口感更佳。照这样和面,张阿姨用300克面粉,需要加水多少克? 36.一辆汽车从聊城开往烟台,每小时行100千米,行了3.5小时后,已行的路程和未行的路程比是5:3,从聊城到烟台的路程是多少千米? 37.阳光小学安排六年级三个班一起参加植树活动,任务分配是:一班植树280棵,二、三两班植树的棵数占植树总棵数的60%,二、三两班植树的棵数比是4:3。二班的植树任务是多少棵? 38.下面是某种消毒剂的浓度配比及使用说明书。现有配置好用于饮食餐具消毒溶液1510毫升,妈妈要把它稀释后用于瓜果蔬菜消毒,还需要加入多少升水? 饮食餐具消毒按消毒剂与水的为1:150的比稀释,浸泡消毒20分钟,然后用清水冲洗干净。 瓜果蔬菜消毒按消毒剂与水为1:600的比稀释,浸泡消毒30分钟,然后用清水冲洗干净。 场所地面消海按消毒剂与水为1:100的比稀释,喷洒擦洗消霉20分钟。 39.育才小学开展劳动实践活动,六年级学生采摘黄瓜、西红柿和茄子共384千克,其中西红柿的质量占,黄瓜和茄子的质量比是2:3。六年级学生采摘茄子多少千克? 40.小雪读一本书,第一天读了全书的40%,第二天读的比全书的还多15页,这时已读页数和未读页数的比是3:1。这本书一共有多少页? 41.跳绳是一项极佳的健体运动,能有效训练个人的反应能力和耐力。文体店原来有短绳和长绳共120根,其中短绳根数与长绳根数的比是3:5,后来又买进一批短绳,这时短绳根数占总数的75%。文体店后来买进多少根短绳? 42.王叔叔和他徒弟二人共同加工一批零件,15天可以完成,已知王叔叔和他徒弟的工作效率之比是3:2,王叔叔单独加工这批零件,需要多少天? 43.习近平总书记强调:“劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽。”某小学六年级举办了“我劳动,我光荣”采摘活动,共采摘果蔬360千克,其中周一采摘这些果蔬的,周二与周三采摘果蔬质量的比是2:3,且全部采摘完。周二采摘果蔬多少千克? 44.杭州亚运会门票电子票可抽取金牌票、银牌票、铜牌票、通用票四种电子纪念票。若被抽取的电子纪念票总票有8000张,金牌票和铜牌票共占总票数的,而且金牌票数与铜牌票数的比是1:3,这批电子纪念票中铜牌票有多少张? 45.如图是一块长方形菜园,已经种了西红柿,剩下的地按2:1的比种豆角和黄瓜,豆角和黄瓜分别要种多大面积? 46.王老师的科学实验课上需要用食盐和水按1:10的比配制132克盐水。王老师需要准备盐和水多少克? 47.红星小学开展征文活动,共120名同学参加,85%的同学分别获得一、二、三等奖。其中获一、二等奖的人数比是1:3,获二、三等奖的人数比是2:3。请你算一算,获一、二、三等奖的同学各是多少名? 48.我国民间常用生姜、红糖与水煎服以防感冒,生姜、红糖与水一般按2:5:75的质量比配好后煎熬。奶奶往砂锅中加入水1500克,生姜与红糖各需要加入多少克? 49.甲、乙两袋小麦的质量比是4:1,从甲袋中取出13千克小麦放入乙袋中,这时乙袋小麦的质量是甲袋的,这两袋小麦共多少千克? 参考答案与试题解析 一.选择题(共6小题) 1.将的后项乘,若使原来的比值不变,则前项应( ) A.乘 B.乘 C.乘 D.乘 【答案】D 【分析】比的前项和后项乘同一个不为0的数,比值不变,据此解答。 【解答】解:的后项乘,使原来的比值不变,则前项也应乘。 故选:D。 【点评】解答本题需熟练掌握比的基本性质,灵活解答。 2.如图所示,阴影部分的周长相当于A圆周长的,B圆周长的。则B圆与A圆的面积比是( ) A.3:2 B.4:9 C.9:4 【答案】B 【分析】由分析可知,涂色部分周长等于A圆周长的,涂色部分周长相当于B圆周长的,则A圆半径与B圆半径比为3:2,B圆面积与A圆面积比为4:9。 【解答】解:A圆半径:B圆半径=3:2 B圆与A两个圆的面积比是22:32=4:9。 故选:B。 【点评】解答此题明确两个圆的面积比等于半径比的平方。 3.如果,那么(A 7):(B 7)=( ) A.1 B. C.1:1 D.无法确定 【答案】B 【分析】依据比的基本性质,即比的前项和后项同时乘上或除以相同的数(0除外),比值不变。 【解答】解:如果A:B,那么(A 7):(B 7)。 故选:B。 【点评】此题主要考查比的基本性质的灵活应用。 4.甲、乙、丙三杯水的质量比是2:3:4,在三杯水中分别放入质量比是4:5:6的糖,这三杯水最甜的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定 【答案】A 【分析】分别求出甲、乙、丙三杯水占三杯水质量的几分之几,再分别求出甲、乙、丙杯中糖占糖总质量的几分之几,然后根据比的意义分别求出三杯中糖与水的比,进而求出比值,比值最大者最甜,通过比较即可作出选择。 【解答】解:2+3+4=9 4+5+6=15 :6:5=1.2 :3:5=0.6 :9:10=0.9 1.2>0.9>0.6 答:这三杯水最甜的是甲杯。 故选:A。 【点评】此题考查了比的应用。关键是分别求出三杯中糖与水的质量比。 5.如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2:1,空白部分甲和乙的面积比是( ) A.4:1 B.6:1 C.8:1 D.3:1 【答案】B 【分析】假设小正方形的边长是2,则小正方形的面积是(2 2),因为小正方形阴影部分的面积是小正方形面积的一半,则小正方形阴影部分的面积=小正方形面积 2;已知两个正方形中阴影部分的面积比是2:1,则大正方形阴影部分的面积=2 小正方形阴影部分的面积,然后根据三角形的面积公式,求得大正方形阴影部分的底,即大正方形的边长;根据正方形的面积公式可得大正方形的面积,然后可得空白部分甲和乙的面积比=(大正方形的面积﹣大正方形阴影部分的面积):(小正方形的面积﹣阴影部分的面积)。据此解答。 【解答】解:假设小正方形的边长是2, 小正方形的面积:2 2=4 小正方形阴影部分的面积:4 2=2 大正方形阴影部分的面积:2 2=4 大正方形边长:4 2 2=4 大正方形面积:4 4=16 空白部分甲和乙的面积比: (16﹣4):(4﹣2) =12:2 =(12 2):(2 2) =6:1 答:空白部分甲和乙的面积比是6:1。 故答案为:B。 【点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用,正方形、三角形的面积公式及应用,关键是求出大小正方形的边长。 6.把20克盐放入100克水中,盐与盐水的质量之比为( ) A.1:4 B.1:5 C.1:6 D.2:5 【答案】C 【分析】先用“20+100”求出盐水的重量,进而根据题意,用盐质量和盐水的质量进行比即可。 【解答】解:20:(100+20) =20:120 =(20 20):(120 20) =1:6 故选:C。 【点评】此题考查了比的意义,应明确:盐+水=盐水。 二.填空题(共7小题) 7.12:18= 4 :6=(12 2 ):(18+18)。 【答案】4;2。 【分析】比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。据此可知,12:18的前项和后项同时除以3,比值不变;18加上18相当于18乘2,12:18的前项和后项同时乘2,比值不变。 【解答】解:12:18 =(12 3):(18 3) =4:6 12:18=4:6=(12 2):(18+18) 故答案为:4;2。 【点评】熟练掌握比的基本性质,是解答此题的关键。 8.三角形ABC中,∠A:∠B=2:3,∠B:∠C=1:5,则∠B= 27 。 【答案】27 。 【分析】根据比的性质,∠B:∠C=1:5的前、后项都乘3就是3:15,这样三角形ABC中∠A:∠B:∠C=2:3:15。根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180 ,其中∠B占,根据百分数乘法的意义,用180 乘就是∠B的度数。 【解答】解:∠A:∠B=2:3 ∠B:∠C=1:5=3:15 ∠A:∠B:∠C=2:3:15 180 =180 =27 答:∠B=27 。 故答案为:27 。 【点评】此题考查的知识点:比的性质、比的应用、三角形内角和定理、分数乘法的应用。 9.《中华人民共和国国旗法》规定,国旗的通用规格有5种,其中学校操场上的国旗长2.4米,宽1.6米,长与宽最简单的整数比是 3:2 。 【答案】3:2。 【分析】写出它们的比,再化简,即可解答。 【解答】解:2.4:1.6 =(2.4 10 8):(1.6 10 8) =3:2 答:长与宽最简单的整数比是3:2。 故答案为:3:2。 【点评】本题考查的是化简比,掌握方法是解答关键。 10.把吨:160千克化成最简整数比是 35:8 ,比值是 。 【答案】35:8;。 【分析】先将吨换算成700千克,然后比的前项和后项同时除以20,化成最简整数比,再用前项除以后项,求出比值即可。 【解答】解:吨:160千克 =700千克:160千克 =(700 20):(160 20) =35:8 35 8 答:最简整数比是35:8,比值是。 故答案为:35:8;。 【点评】解答本题需明确:化简比的结果是一个最简整数比,求比值的结果是一个值。 11.两个正方形的边长比是1:2,它们的周长比是 1:2 ,面积比是 1:4 ;两个圆的周长比是1:3,它们的半径比是 1:3 ,面积比是 1:9 。 【答案】1:2,1:4;1:3,1:9。 【分析】把两个正方形的边长分别看作1份、2份,再根据正方形的周长公式C=4a,分别求出周长,再写出比即可;根据正方形的面积公式S=a a,分别求出面积,再写出比即可; 根据题意,可以假设一个数,由圆的周长公式C=2 r求出大小圆的半径,再根据圆的面积公式S= r2可以求出大小圆的面积,再根据比的意义就可求出它们的半径的比和面积比。 【解答】解:(4 1):(4 2) =4:8 =1:2 所以它们周长的比是1:2。 (1 1):(2 2) =1:4 所以它们面积的比是1:4。 设大圆的周长是3,小圆的周长是2,由圆的周长公式C=2 r,可知r=C (2 ), 那么大圆的半径是:3 (2 ) 小圆的半径是:2 (2 ) 则小圆和大圆半径的比为::1:3。 由圆的面积公式S= r2, 可得圆的面积比是: ()2:()2=1:9。 故答案为:1:2,1:4;1:3,1:9。 【点评】此题主要考查了正方形、圆形的周长公式与面积公式的实际应用。 12.完成一项工程,甲要12天,乙要18天,甲乙工作时间之比是 2:3 ,甲乙工作效率之比是 3:2 。 【答案】2:3,3:2。 【分析】用甲完成一项工程所用时间比上乙完成这项工程所用时间,化成最简比;效率比等于时间的反比。 【解答】解:甲乙工作时间之比是:12:18=2:3 甲乙工作效率之比是:18:12=3:2 故答案为:2:3,3:2。 【点评】熟悉比的含义是解决本题的关键。 13.走同一段路,甲走完要40分钟,乙走完要50分钟,甲与乙的时间比是 4:5 ,速度比是 5:4 。 【答案】4:5;5:4。 【分析】根据比的意义写出甲与乙的时间比;再把全程看作单位“1”,分别求出甲、乙的速度,进而写出两人的速度比。 【解答】解:40:50=4:5 :50:40=5:4 答:甲与乙的时间比是4:5,速度比是5:4。 故答案为:4:5;5:4。 【点评】本题考查比的意义,理解掌握比的意义并能利用比的基本性质化简比是解题的关键。 三.判断题(共8小题) 14.甲数与乙数的比是3:5,乙数比甲数多4,则甲数是6。 √ 【答案】√ 【分析】甲数与乙数的比是3:5,把甲数看作3份,乙数为5份,乙数比甲数多5﹣3=2(份),又知乙数比甲数多4,用除法即可得1份的数,再乘3即是甲数。 【解答】解:4 (5﹣3) =4 2 =2 2 3=6 答:甲数是6。 故答案为:√。 【点评】本题考查了比的应用,关键是得出乙数比甲数多的4,是乙数比甲数多的5﹣3=2(份),然后结合题意解答即可。 15.两个圆柱的高相等,底面半径之比为1:3,则体积之比为1:9。 √ 【答案】√ 【分析】设两个圆柱的高为h,小圆柱的底面半径为r,大圆柱的底面半径为 3r,分别代入圆柱的体积公式,即可表示出二者的体积,再用小圆柱体积比大圆柱体积即可得解。 【解答】解:设两个圆柱的高为h,小圆柱的底面半径为r,大圆柱的底面半径为 3r, [ r2h]:[ (3r)2h] =( r2h) (9 r2h) =1:9 答:它们的体积之比是1:9。 故答案为:√。 【点评】解答此题的关键是:设出小圆柱的底面半径和高,分别表示出二者的体积。 16.在120g水中放入20g糖,糖与糖水质量的比是1:6。 【答案】 【分析】糖的质量+水的质量=糖水的质量,再根据比的意义写出糖与糖水质量的比。 【解答】解:20:(20+120) =20:140 =1:7 答:糖与糖水质量的比是1:7。原题说法错误。 故答案为: 。 【点评】本题考查比的意义,先求出糖水的质量是解题的关键。 17.一个正方形按4:1放大后,面积扩大为原来的16倍. √ . 【答案】见试题解答内容 【分析】依据正方形的面积公式可知,边长扩大4倍,则其面积应扩大16倍,由此即可解答问题. 【解答】解:假设正方形的边长是1,则面积是1; 边长扩大4倍后是4,则面积是4 4=16, 面积要扩大到原来的16倍. 故答案为:√. 【点评】此题主要考查图形的放大的方法与正方形的面积公式的灵活应用. 18.8:9的后项扩大到原来的4倍,要使比值不变,前项也应扩大到原来的4倍。 √ 【答案】√ 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。据此判断。 【解答】解:8:9的后项扩大到原来的4倍,要使比值不变,前项也应扩大到原来的4倍。 说法正确。 故答案为:√。 【点评】熟练掌握比的基本性质是解题的关键。 19.在同一个钟面上,正常转动的时针和分针的速度比是1:12。 √ 【答案】√ 【分析】在钟面上共有60个小格,12个大格,在相同的时间内分针走过的路程是60个小格,时针走过的是5个小格,相同的时间内它们的速度的比就是它们相同时间内所行的路程的比。据此判断。 【解答】解:在相同的时间内,分针走了60个小格,而时针走了5个小格。 所以它们的速度比是5:60=1:12。 故答案为:√。 【点评】本题考查了比的意义。 20.已知6:m=n:8,那么mn﹣48=0。 √ 【答案】√ 【分析】根据比例的性质,两外项之积等于两内项之积,即mn=48,相同的两个数之差是0。 【解答】解:因为6:m=n:8 所以mn=48 所以mn﹣48=0 原题说法正确。 故答案为:√。 【点评】此题主要考查了比的基本性质。 21.把20克盐溶解在100克水中,盐与盐水的质量比是1:6. √ 【答案】√ 【分析】20克盐溶解在100克水中,盐水为(20+100)克,进而根据题意,求出盐与盐水的比,进行判断即可。 【解答】解:20:(20+100) =20:120 =(20 20):(120 20) =1:6 所以把20克盐溶解在100克水中,盐与盐水的质量比是1:6。故原题的说法正确。 故答案为:√。 【点评】此题考查了比的意义,应明确:盐+水=盐水。 四.计算题(共2小题) 22.直接写出比值或得数,能化简的必须化简。 0.025 8= 1.02= 102 % 0.9:0.6= 4.8 42% 6 % 【答案】;0.2;;102;1.5;14;5.4;;0;;;6。 【分析】根据求比值的方法、小数乘法法则及分数、小数和百分数之间的关系直接口算。 【解答】解: 0.025 8=0.2 1.02=102% 0.9:0.6=1.5 14 4.85.4 42% 0 6% 故答案为:102;;6。 【点评】解答本题需熟练掌握求比值的方法、小数乘法法则及分数、小数和百分数之间的关系,加强口算能力。 23.化简比。 2.4:0.6 【答案】9:1;4:1;21:10。 【分析】根据比的基本性质:比的前项和比的后项乘或除以同一个数(0除外),比值不变,据此化简比。 【解答】解:12: =(12 3):(3) =36:4 =(36 4):(4 4) =9:1 2.4:0.6 =(2.4 0.6):(0.6 0.60 =4:1 =():() =21:10 【点评】解答本题的关键是比的基本性质,注意化简比的结果还是一个比。 五.应用题(共30小题) 24.六(1)班男、女生人数的比是5:3,已知男生比女生多12人。 (1)画图表示数量关系。 (2)男、女生各有多少人? 【答案】(1) (2)男生30人,女生18人。 【分析】(1)将男生人数看作5份,则女生人数占3份,据此画出数量关系图即可; (2)由男、女生人数的比可知:女生人数比男生人数少2份,正好少12人,据此先用12除以(5﹣3),求出1份的人数,然后分别乘5和3,求出男、女生各有多少人即可。 【解答】解:(1) (2)12 (5﹣3) =12 2 =6(人) 6 5=30(人) 6 3=18(人) 答:男生有30人,女生有18人。 【点评】本题考查了利用比的知识解决问题,需准确分析题目中的数量关系。 25.“双减”后,六年级学生踊跃参加体育社团活动,参加的人数是六年级总人数的,中途有45人退出体育社团,去参加“六一”节目排练。这时参加体育社团的人数与未参加人数比是1:3。六年级一共有多少名学生? 【答案】252名。 【分析】把六年级全体学生的人数看作单位“1”,找出45人所占六年级学生的分率,用45除以所占的分率就是六年级全体同学的人数。 【解答】解:45 () =45 =252(人) 答:六年级一共有252名学生。 【点评】完成本题要注意这一过程中,六年级总人数没有发生变化,首先根据已知条件求出已知数量占总人数的分率是完成本题的关键。 26.一书架共有三层,第一层书比第二层少50本,是第二层本数的;第三层与第二层书的本数比是2:3。你知道这个书架一共有多少本书吗? 【答案】750本。 【分析】根据题意:第一层书比第二层少50本,是第二层本数的,把第一层书的本数看作5份,则第二层书的本数为同样的6份,第二层书的本数比第一层书的本数多(6﹣5)份,多了50本,根据除法的意义,求出1份是多少本,进而求出第一、二层的本数;再根据第三层与第二层书的本数比是2:3以及已求出的第二层书的本数,用第二层书的本数除以3乘2即可求出第三层书的本数,然后三层书的本数相加求和即可求出书架上书的本数。 【解答】解:50 (6﹣5) =50 1 =50(本) 第一层:50 5=250(本) 第二层:50 6=300(本) 第三层:300 3 2=200(本) 250+300+200=750(本) 答:这个书架一共有750本书。 【点评】本题考查了比的应用。 27.甲乙两车分别同时从A、B两地相对开出,2小时相遇。相遇后两车仍按原速继续前进,当甲车到达B地时,乙车离A地还有72千米,已知两车的速度比是5:4,求两车的速度。 【答案】100千米/时,80千米/时。 【分析】在相同的时间内两车速度的比就是所行路程的比,也就是乙车所行的路程相当于甲车行的,把A、B两地的距离看作单位“1”,72千米相当于A、B两地距离的(1),根据分数除法的意义,用72千米除以(1)就是A、B两地的距离;用A、B两地的距离除以2就是甲和乙的总速度;甲的速度就是用总速度乘;乙的速度就是用总速度乘。 【解答】解:72 (1) =72 =360(千米) 360 2=180(千米/时) 5+4=9 180100(千米/时) 18080(千米/时) 答:甲的速度是100千米/时,乙的速度是80千米/时。 【点评】此题考查了比的应用,要求学生能够掌握。 28.一堆围棋子有黑白两种颜色,拿走15枚白棋子后,黑棋子与白棋子的个数比是2:1,再拿走45枚黑棋子后,黑棋子与白棋子的个数比为1:5,原来黑棋子有多少枚? 【答案】50枚。 【分析】拿走15枚白棋子后,黑子与白子的个数比为2:1,再拿走45枚黑棋子后,黑子与白子的个数比为1:5,由于再拿走45枚黑棋子后,黑子与白子的个数比为1:5,白棋子的枚数不变,黑、白棋子的枚数由2:1=10:5变为1:5(白棋子的枚数不变,把两个比中表示白棋子的项化成相同的值),黑棋子由原来的10份变为1份,减少了9份,这9份所对应的枚数是45枚,用除法求出1份的枚数,再用乘法求出10份的枚数。 【解答】解:拿走15枚白棋子后,黑子与白子的个数比为2:1=10:5 再拿走45枚黑棋子后,黑子与白子的个数比为1:5 45 (10﹣1) 10 =45 9 10 =5 10 =50(枚) 答:原来黑棋子有50枚。 【点评】关键抓住再拿走45枚黑棋子后,黑子与白子的个数比变了,白棋子的枚数没变,求出黑棋子两次比所占的份数之差,用拿走黑棋子的枚数除以份数之差求出1份的枚数。 29.食品加工店购进150kg苹果,决定把这些苹果的按1:4的比分别做成苹果罐头和苹果汁。苹果罐头和苹果汁各需用去多少千克苹果? 【答案】20千克,80千克。 【分析】根据分数乘法的意义先求出150的是多少,再按1:4进行比例分配即可。 【解答】解:150100(千克) 100 (1+4) =100 5 =20(千克) 20 4=80(千克) 答:苹果罐头用去20千克,苹果汁需用去80千克苹果。 【点评】本题考查了按比分配的问题应用。 30.甲、乙两人都从A地去B地,他们的速度比为3:2,当甲行了11千米时,乙行了5.5千米,当甲到达B地时,乙离B地还有的路程。AB两地相距多少千米? 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意,甲、乙两人的速度比为3:2,当两人用的时间相同时,甲、乙两人的路程比等于速度比3:2,即甲走的路程是乙路程的;先求出乙行了5.5千米的时间,甲行了5.58.25(千米),而实际甲行了11千米,说明甲比乙先行11﹣8.25=2.75(千米);又已知当甲到达B地时,乙离B地还有的路程,把全程看作单位“1”,则乙行了全程的(1),而甲行的路程是乙的,所以甲行了全程的(1);那么甲先行的路程占全程的(1),单位“1”未知,用甲先行的路程除以(1),即可求出AB两地的距离。 【解答】解:5.58.25(千米) 11﹣8.25=2.75(千米) (1) 2.75 =44(千米) 【点评】本题解题的关键是理解当两人用的时间相同时,甲、乙两人的路程比等于速度比,再根据分数乘法与分数除法的意义,列式计算。 31.有甲、乙两个兴趣班,原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的,如果从乙兴趣班调3人到甲兴趣班,甲、乙兴趣班的人数比是4:5,甲兴趣班原来有多少人? 【答案】45人。 【分析】根据题意可知,甲、乙两个兴趣班的总人数不变,把两个班的总人数看作单位“1”;已知原来甲兴趣班人数是乙兴趣班的,即原来甲兴趣班人数占两班总人数的;如果从乙兴趣班调3人到甲兴趣班,甲、乙兴趣班的人数比是4:5,即后来甲兴趣班人数占两班总人数的;那么甲兴趣班增加的3人占两班总人数的(),单位“1”未知,用除法计算,即可求出总人数;因为原来甲兴趣班人数占两班总人数的,根据求一个数的几分之几是多少,用总人数乘,即是甲兴趣班原来的人数。 【解答】解:甲、乙两个班的总人数: 3 () =3 () =3 () =3 =3 36 =108(人) 甲兴趣班原来有: 108 =108 =45(人) 答:甲兴趣班原来有45人。 【点评】明确两个班的总人数不变,从甲、乙两个班人数的占比信息,得出甲班原有人数、后来人数分别占两个班总人数的几分之几,进而分析出3人占两个班总人数的几分之几,根据分数除法的意义求出两个班的总人数是解题的关键。 32.李师傅加工一批零件,第一天加工了全部零件的,第二天加工了50个,这时已经加工的零件数和剩下的零件数的比是5:7,这批零件一共有多少个? 【答案】300个。 【分析】把这批零件的数量看作单位“1”,第一天加工了全部零件的,第二天有加工50个,这时已加工的零件数和剩下的零件数的比是5:7,也就是已经加工的占全部零件的,由此可知:第二天有加工50个占全部零件的(),根据已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除法解答。 【解答】解:50 () =50 =300(个) 答:这批零件一共有300个。 【点评】此题解答关键是把比转化为分数,再求出与已知数量对应的分率,然后用除法解答。 33.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6:5,相遇后乙车每小时比相遇前多行驶33千米,甲车按原速前进,结果两车同时到达对方的出发站。已知甲车一共行驶了5小时,A、B两地一共相距多少千米? 【答案】450千米。 【分析】相遇时甲、乙两车所行驶的路程比是6:5,如图,相遇后,两车同时到达对方的出发站,说明相遇后甲、乙两车所行驶的路程比是5:6,路程比=速度比,甲车速度没变,将甲车速度看作单位“1”,相遇前乙车速度是甲车速度的,相遇后乙车速度是甲车速度的,乙车相遇前后的速度差占甲车速度的(),乙车相遇前后的速度差 对应分率=甲车速度,甲车速度 总时间=总路程,据此即可求出A、B两地距离。 【解答】解:33 () =33 =33 =90(千米) 90 5=450(千米) 答:A、B两地一共相距450千米。 【点评】关键是理解速度、时间、路程之间的关系,通过甲车速度不变,确定相遇前后乙车速度的对应分率,求出甲车速度,进而求出总路程。 34.工程队修一条路,第一周修完的与全长的比为1:3,第二周又修了900米,这时修完的是全长的一半,这条路全长多少米? 【答案】5400米。 【分析】第一周修完的与全长的比为1:3,修完的占全长的,第二周又修了900米,这时修完的是全长的一半是,第二周比第一周多修了的占全长的,根据分数除法的意义,即可求出这条路全长多少米。 【解答】解:900 () =900 =5400(米) 答:这条路全长5400米。 【点评】本题考查了比的意义,分数除法的意义及计算方法。 35.张阿姨在和面做面条,她认为当面粉和水的质量比为20:9做出来的面条口感更佳。照这样和面,张阿姨用300克面粉,需要加水多少克? 【答案】135克。 【分析】把面粉的质量看作单位“1”,则水的质量占面粉质量的,根据分数乘法的意义,用面粉的质量乘就是需要加水的质量。 【解答】解:300135(克) 答:需要加水135克。 【点评】此题考查了比的应用。关键是把比转化成分数,再根据分数乘法的意义解答。 36.一辆汽车从聊城开往烟台,每小时行100千米,行了3.5小时后,已行的路程和未行的路程比是5:3,从聊城到烟台的路程是多少千米? 【答案】560千米。 【分析】先用(100 3.5)求得已行的路程,再由已行的路程和未行的路程比是5:3,可知已行的路程占全程的,把这段路的全长看作单位“1”,再根据分数除法的意义列式计算即可。 【解答】解:100 3.5 =350 =560(千米) 答:从聊城到烟台的路程是560千米。 【点评】根据已行的路程和未行的路程比是5:3,求出已行的路程占全长的分率是完成本题的关键。 37.阳光小学安排六年级三个班一起参加植树活动,任务分配是:一班植树280棵,二、三两班植树的棵数占植树总棵数的60%,二、三两班植树的棵数比是4:3。二班的植树任务是多少棵? 【答案】240棵。 【分析】把六年级三个班植树的总棵数看作单位“1”,根据百分数除法的意义,用一班植树的棵数(280棵)除以(1﹣60%)就是植树的总棵数;再利用总棵数减去一班植树的棵数,把乙、丙班要植的棵数平均分成(4+3)份,先根据除法求出1份的棵数,再根据乘法分别求出4份就是乙班要植的棵数。 【解答】解:280 (1﹣60%) =280 40% =700(棵) (700﹣280) (4+3) 4 =420 7 4 =60 4 =240(棵) 答:二班的植树任务是240棵。 【点评】解答此题的关键是根据分数乘法的意义求出乙、丙两个班要植的棵数,然后根据按比例分配解答.按比例分配应用题,也可先求出总份数,用它作公分母,再分别求出各部分占总数的几分之几,然后根据一个数乘分数的意义,用乘法解答。 38.下面是某种消毒剂的浓度配比及使用说明书。现有配置好用于饮食餐具消毒溶液1510毫升,妈妈要把它稀释后用于瓜果蔬菜消毒,还需要加入多少升水? 饮食餐具消毒按消毒剂与水的为1:150的比稀释,浸泡消毒20分钟,然后用清水冲洗干净。 瓜果蔬菜消毒按消毒剂与水为1:600的比稀释,浸泡消毒30分钟,然后用清水冲洗干净。 场所地面消海按消毒剂与水为1:100的比稀释,喷洒擦洗消霉20分钟。 【答案】4.5升。 【分析】先用1510毫升乘,求出消毒剂的毫升数,再除以,求出稀释成的瓜果蔬菜消毒液的毫升数,最后用稀释成的瓜果蔬菜消毒液的毫升数减去1510毫升,求出需要加水的毫升数,最后将单位换算成升即可。 【解答】解:1 (1+150) 1 (1+600) 15101510 =101510 =6010﹣1510 =4500(毫升) 4500毫升=4.5升 答:还需要加入4.5升水。 【点评】解答本题需熟练掌握利用比的知识、整数与分数四则混合运算解决问题的方法,需准确理解题意。 39.育才小学开展劳动实践活动,六年级学生采摘黄瓜、西红柿和茄子共384千克,其中西红柿的质量占,黄瓜和茄子的质量比是2:3。六年级学生采摘茄子多少千克? 【答案】144千克。 【分析】首先求出黄瓜和茄子的重量,再根据黄瓜和茄子的质量比是2:3进行计算。 【解答】解:384 (1) =384 =240(千克) 240 =240 =144(千克) 答:六年级学生采摘茄子144千克。 【点评】本题考查的主要内容是比的应用问题。 40.小雪读一本书,第一天读了全书的40%,第二天读的比全书的还多15页,这时已读页数和未读页数的比是3:1。这本书一共有多少页? 【答案】150页。 【分析】将这本书的总页数看作单位“1”,由题意可知:两天共读了这本书总页数的,则15页占这本书总页数的(40%),据此解答。 【解答】解:15 (40%) =15 0.1 =150(页) 答:这本书一共有150页。 【点评】本题考查了利用比的知识及整数、分数与百分数除减混合运算解决问题,分析出15页占这本书总页数的分率是关键。 41.跳绳是一项极佳的健体运动,能有效训练个人的反应能力和耐力。文体店原来有短绳和长绳共120根,其中短绳根数与长绳根数的比是3:5,后来又买进一批短绳,这时短绳根数占总数的75%。文体店后来买进多少根短绳? 【答案】180根。 【分析】先把原来短绳和长绳的总根数看作单位“1”,其中长绳的根数占,根据分数乘法的意义,用原来短绳和长绳的总根数(120根)乘就是长绳的根数。再把又买进一批短绳后短绳和长绳的根数看作单位单位“1”,这时长绳的根数占(1﹣75%),根据百分数除法的意义,用长绳的根数除以(1﹣75%)就是又买进一批短绳后短绳和长绳的根数,再用此时两种绳的根数减原来的根数就是后来买进短绳的根数。 【解答】解:120(1﹣75%)﹣120 =12025%﹣120 =75 25%﹣120 =300﹣120 =180(根) 答:文体店后来买进180根短绳。 【点评】关键是把比转化成分数,根据分数乘法的意义,求出长绳的根数,由于长绳的根数不变,根据百分数除法的意义,求出又买进一批短绳后短绳和长绳的根数。 42.王叔叔和他徒弟二人共同加工一批零件,15天可以完成,已知王叔叔和他徒弟的工作效率之比是3:2,王叔叔单独加工这批零件,需要多少天? 【答案】25天。 【分析】把这批零件个数看作单位“1”,根据工作时间一定,工作总量和工作效率成正比,求出师徒两人分别完成的工作量,再根据工作效率=工作总量 工作时间,求出师傅的工作效率,最后根据工作时间=工作总量 工作效率即可解答。 【解答】解:3+2=5 1 (15) =1 =25(天) 答:王叔叔单独加工这批零件,需25天。 【点评】本题主要考查学生依据工作时间、工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题的能力。 43.习近平总书记强调:“劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽。”某小学六年级举办了“我劳动,我光荣”采摘活动,共采摘果蔬360千克,其中周一采摘这些果蔬的,周二与周三采摘果蔬质量的比是2:3,且全部采摘完。周二采摘果蔬多少千克? 【答案】80千克。 【分析】先把要采摘的果蔬的质量看作单位“1”,根据分数乘法的意义,用要采摘的质量乘(1)是第二周与第三周要采摘的质量,再把第二周与第三周要采摘的质量看作单位“1”,其中第二周采摘的质量占,再根据分数乘法的意义即可解答。 【解答】解:360 (1) =360 =80(千克) 答:周二采摘果蔬是80千克。 【点评】此题考查了比的应用。关键是根据分数乘法的意义,求出第二周、第三周应采摘的质量,再把比转化成分数,根据分数乘法的意义解答。 44.杭州亚运会门票电子票可抽取金牌票、银牌票、铜牌票、通用票四种电子纪念票。若被抽取的电子纪念票总票有8000张,金牌票和铜牌票共占总票数的,而且金牌票数与铜牌票数的比是1:3,这批电子纪念票中铜牌票有多少张? 【答案】1200张。 【分析】根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算,用电子纪念票总票数乘金牌票和铜牌票共占总票数的分率即是金牌票和铜牌票的总票数,再根据金牌票数与铜牌票数的比是1:3可知铜牌票数占金牌票和铜牌票的总票数的,再次根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算,用金牌票和铜牌票的总票数乘铜牌票数占金牌票和铜牌票的总票数的分率即可求解。 【解答】解:8000 =1600 =1200(张) 答:这批电子纪念票中铜牌票有1200张。 【点评】本题考查了比的应用。 45.如图是一块长方形菜园,已经种了西红柿,剩下的地按2:1的比种豆角和黄瓜,豆角和黄瓜分别要种多大面积? 【答案】18m2,18m2。 【分析】根据长方形的面积计算公式“S=ab”即可求出这块长方形菜园的面积,把这块长方形菜园的面积看作单位“1”,种西红柿的面积占,则种豆角和黄瓜的面积占(1),根据分数乘法的意义,用这块菜园的面积乘(1)就是种豆角和黄瓜的面积。把种豆角和黄瓜的面积的面积平均分成(2+1)份,先用除法求出1份的面积,即种黄瓜的面积,再用1份的面积乘2就是种豆角的面积。 【解答】解:15 6 (1) (2+1) =903 =54 3 =18(m2) 18 2=36(m2) 答:豆角要种18m2,黄瓜要种18m2。 【点评】此题考查了比的应用。关键是根据长方形的面积计算公式及分数乘法的意义求出种豆角和黄瓜的面积,然后再根据按比例分配问题解答。 46.王老师的科学实验课上需要用食盐和水按1:10的比配制132克盐水。王老师需要准备盐和水多少克? 【答案】12克;120克。 【分析】按1:10的比配制的盐水,则盐是1份,水是10份,盐水是11份,食盐为:132,水为:132,据此计算即可求出盐和水的数量。 【解答】解:总份数为:1+10=11(份) 食盐为:13212(克) 水为:132120(克) 答:王老师需要准备盐12克,水120克。 【点评】理解题目中1:10的比例是关键,再根据求一个数的几分之几是多少,用乘法列式。 47.红星小学开展征文活动,共120名同学参加,85%的同学分别获得一、二、三等奖。其中获一、二等奖的人数比是1:3,获二、三等奖的人数比是2:3。请你算一算,获一、二、三等奖的同学各是多少名? 【答案】12人,36人,54人。 【分析】首先求出获得一、二、三等奖人数,再根据获一、二等奖的人数比是1:3,获二、三等奖的人数比是2:3,求出一、二、三等奖人数的比,据此进行计算。 【解答】解:120 85%=102(人) 一、二、三等奖人数的比2:6:9; 10212(人) 10236(人) 10254(人) 答:获一等奖有12人,获二等奖有36人,获三等奖有54人。 【点评】本题考查的主要内容是比的应用问题。 48.我国民间常用生姜、红糖与水煎服以防感冒,生姜、红糖与水一般按2:5:75的质量比配好后煎熬。奶奶往砂锅中加入水1500克,生姜与红糖各需要加入多少克? 【答案】生姜40克,红糖100克。 【分析】将1500克水看作75份,则生姜需要2份,红糖需要5份,据此解答。 【解答】解:1500 75 2 =20 2 =40(克) 1500 75 5 =20 5 =100(克) 答:生姜需要40克,红糖需要100克。 【点评】本题考查了利用比的知识解决问题,需准确分析题目中的数量关系。 49.甲、乙两袋小麦的质量比是4:1,从甲袋中取出13千克小麦放入乙袋中,这时乙袋小麦的质量是甲袋的,这两袋小麦共多少千克? 【答案】60千克。 【分析】把甲、乙两袋小麦的质量看作单位“1”,甲袋小麦原来占两袋质量的,从甲袋中取出13千克小麦放入乙袋中,这时甲袋小麦的质量占两袋质量的,则13千克占两袋小麦质量的()。根据分数除法的意义,用13千克除以()就是这两袋小麦的质量。 【解答】解:13 () =13 () =13 =60(千克) 答:这两袋小麦共60千克。 【点评】关键抓住两袋小麦的总质量不变,看作单位“1”,把比转化成分数,进而求出13千克占总质量的几分之几,再根据分数除法的意义解答。求出13千克占总质量的几分之几是难点。 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$