第05讲 平方根、立方根和实数90道计算题专项训练（9大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第05讲 平方根、立方根和实数90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算题 题型三 立方根相关的计算题 题型四 平方根、立方根的综合 题型五 实数的混合运算 题型六 无理数整数部分的有关计算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 与实数运算相关的规律题 【经典例题一 利用平方根、立方根解方程】 1．解方程 (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2) 3．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 4．求x的值：． 5．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 6．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 7．解方程： (1)； (2)． 8．求下列各式中或值： (1) (2) (3)； 9．求下列各式中的值： (1)； (2)． 10．求下列各式中x的值： (1) (2) 【经典例题二 平方根相关的计算题】 11．求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 12．计算： (1)； (2)． 13．计算：． 14．计算： 15．计算：． 16．已知的平方根为，的算术平方根为4，求a、b的值． 17．若和是正数m的平方根，求这个正数m的值 18．已知的平方根是，的算术平方根是5，求的值． 19．已知与 互为相反数，求的平方根． 20．已知，． (1)若x的算术平方根为3，求a的值． (2)若一个正数的两个不同的平方根分别为x，y，求这个正数． 【经典例题三 立方根相关的计算题】 21．计算：． 22．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 23．已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 24．已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 25．已知是的平方根，的立方根是4，求的算术平方根． 26．已知的整数部分为a，的算术平方根是4，c的立方根是，求的平方根． 27．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分， (1)求，，的值． (2)求的平方根． 28．已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根． 29．知一个正数的平方根是和，的立方根为－3． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 30．已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1)求的值； (2)求的立方根 【经典例题四 平方根、立方根的综合】 31．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 32．已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根． 33．已知的算术平方根是3，的立方根是，求： (1)，的值； (2)的平方根． 34．若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根． 35．已知的立方根是2，的算术平方根是4，求的平方根． 36．已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 37．已知的立方根为3． (1)求的平方根； (2)填空：的算术平方根是________． 38．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 39．已知的平方根是，的立方根是3，是的整数部分，求的算术平方根． 40．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根和立方根． 【经典例题五 实数的混合运算】 41．计算： 42．计算： 43．计算： (1) (2) 44．计算：． 45．计算： (1)． (2)． 46．计等：． 47．计算下列各题： (1) (2) 48．计算：． 49．求下列各式的值； (1) (2) 50．计算 (1) (2) 【经典例题六 无理数整数部分的有关计算】 51．已知实数a，b，c满足． (1)求a，b，c的值． (2)求的整数部分． 52．阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 53．阅读下面的内容： 因为，所以. 所以的整数部分是1，小数部分是. 试解决下列问题： (1)求的整数部分和小数部分. (2)若和的小数部分分别是和，求的值. 54．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是____________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的相反数． 55．大家知道是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是李峰同学用来表示的小数部分，李峰同学的表示方法对吗?事实上，李峰同学的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下面的问题： 已知，已知是的整数部分，是的小数部分，求的相反数． 56．阅读理解： ，即． 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为的小数部分为． 解决问题： (1)的整数部分是_______，小数部分是_______． (2)已知：是的小数部分，是的小数部分，求的值． 57．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 请回答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． (2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根． 58．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 59．观察：，即，的整数部分为，小数部分为．请你根据上述内容，解决下面的问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．填空： ； ． (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 60．先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 【经典例题七 程序设计与实数运算】 61．一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 62．有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 63．下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 64．如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 65．一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 66．如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 67．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)当m=1时，输出的结果为________． (2)当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果． 68．如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为9时，y值为 ； (2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值； (3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可） 69．如图是一个数值转换器的工作原理． (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)是否存在输入值后，始终输不出值的情况，若存在，请写出所有满足要求的值；若不存在，请说明理由； (3)若输出的值是，请写出四个满足要求的值． 70．如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 【经典例题八 新定义下的实数运算】 71．（23-24七年级上·四川南充·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 72．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)填空：________； (2)若，求x的值． 73．（23-24七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 74．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 75．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）定义新运算“”如下：当时，；当时，． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． 76．（23-24七年级上·浙江·周测）已知为有理数，如果规定一种运算“@”，即，试根据这种运算完成下列各题． (1)求； (2)任意选择两个有理数，分别计算和，并比较两个运算结果，判断此运算满足什么运算律？ (3)求 77．（21-22七年级下·广东广州·期末）定义一种新运算“”的含义为：当时，；当时，．例如：， (1)计算：_______________________；_______________________； (2)化简； (3)如果，求x的值． 78．（2022九年级上·广东惠州·竞赛）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如果只把i当成代数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1： 例题2： 同样我们也可以化简 也可以解方程，解为． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：＝　　，＝　　； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 79．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）阅读下列材料并解答问题∶ 对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数．如表示不小于的最小整数，即，所以10的根整数为4． (1)计算25的根整数，得_____________________． (2)现对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对12连续求根整数2次可得结果为2．若对2020进行连续求根整数，则第________________次可得结果为2． 80．（22-23七年级下·山东济宁·期中）【阅读理解】 对于正整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，． 【问题解答】 (1)直接写出的值为______； (2)对72进行如下操作： ，即对72进行3次操作后可变为1．类似地：对进行______次操作后可变为1； (3)先化简，再求值：，其中． 【经典例题九 与实数运算相关的规律题】 81．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 82．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 83．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 84．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 85．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 86．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 87．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）数学运算中，我们发现：两个数的和与这两个数的差的积．等于这两个数的平方差，即．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．比如： ， ， ， ， …… 利用你发现的规律解答下列问题： (1)已知，试比较与的大小； (2)计算：． 88．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 89．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 90．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平方根、立方根和实数90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算题 题型三 立方根相关的计算题 题型四 平方根、立方根的综合 题型五 实数的混合运算 题型六 无理数整数部分的有关计算 题型七 程序设计与实数运算 题型八 新定义下的实数运算 题型九 与实数运算相关的规律题 【经典例题一 利用平方根、立方根解方程】 1．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2） 或 解得：或． 2．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键： （1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解： ， 或， 或． 3．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了平方根的定义，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 【详解】（1）移项，得， 开平方，得； （2）开平方，得， 解得：或． 4．求x的值：． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程．根据平方根的性质，即可求解． 【详解】解： ， ， 解得：或． 5．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用直接开平方法求得的值； （3）利用直接开立方法求得的值． 考查了立方根和平方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ． 6．求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解此题的关键． （1）将方程变形为，再利用平方根解方程即可得解； （2）将方程变形为，再利用立方根解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程： （1）先把方程两边同时开方得到或，再解方程即可； （2）把方程两边同时开立方，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或 ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴． 8．求下列各式中或值： (1) (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平方根和立方根的实际应用，注意计算的准确性即可． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或 9．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键． （）把方程化为，再根据平方根的概念解方程即可； （）把方程化为，再根据立方根的概念解方程即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：或； （2）解： ∴， ∴， 解得：． 10．求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程： （1）先把方程左右两边同时除以25，然后再同时开方解方程即可； （2）直接把方程两边同时开立方解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 解得． 【经典例题二 平方根相关的计算题】 11．求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数． （1）根据开平方，可得答案； （2）根据开平方，可得答案； （3）根据开平方，可得答案； （4）先求出，再根据开平方，可得答案； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）∵， ∴的平方根是； 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的意义是解题的关键． （1）把带分数化假分数，求出算术平方根即可； （2）把带分数化假分数，求出平方根即可． 【详解】（1）解：； （2）． 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、绝对值、算术平方根，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 14．计算： 【答案】0 【分析】本题考查有理数的混合运算．先计算括号里的减法与算术平方根，再进行乘除运算，最后加减运算． 【详解】解： ． 15．计算：． 【答案】 【分析】先计算平方、算术平方根，再计算有理数乘除法，最后利用有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及平方运算、有理数除法运算、算术平方根、有理数乘法运算及有理数加减混合运算等知识，熟练掌握相关计算的运算法则求解是解决问题的关键． 16．已知的平方根为，的算术平方根为4，求a、b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了算术平方根，平方根等知识．熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键． 由题意知，，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 17．若和是正数m的平方根，求这个正数m的值 【答案】1或9 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，分当和是正数m的同一个平方根时，当和是正数m的两个平方根时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当和是正数m的同一个平方根时，则，解得， ∴； 当和是正数m的两个平方根时，则，解得， ∴； 综上所述，这个正数m的值为1或9． 18．已知的平方根是，的算术平方根是5，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出m、n的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴． 19．已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 20．已知，． (1)若x的算术平方根为3，求a的值． (2)若一个正数的两个不同的平方根分别为x，y，求这个正数． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，熟练掌握算术平方根，平方根的定义是解题的关键． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， ， ， ； （2）根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 【经典例题三 立方根相关的计算题】 21．计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算括号内的减法、乘方与立方根，再计算除法，最后计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 22．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 23．已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 24．已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， 则的平方根是． 25．已知是的平方根，的立方根是4，求的算术平方根． 【答案】17 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根：对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此先求出x、y的值，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是的平方根， ∴， 解得， ∵的立方根是4， ∴， 解得， ∴， ∵289的算术平方根是17， ∴的算术平方根是17． 26．已知的整数部分为a，的算术平方根是4，c的立方根是，求的平方根． 【答案】或 【分析】直接利用估算无理数的方法求出a，再根据算术平方根的定义代入a即可求出b，最后根据立方根的定义求出c即可，最后即可计算的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∵的算术平方根是4， ∴， 代入，得：， 解得：， ∵c的立方根是， ∴， ∴， ∴的平方根为：或． 【点睛】本题主要考查了平方根和算术平方根和立方根的定义，估算无理数的大小，根据题意求出a、b、c的值，是解题关键． 27．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分， (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)的平方根为 【分析】本题考查了平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平方根和立方根的定义得出，，计算即可得出、的值，估算出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：由（1）可得，，， ∴， ∴的平方根为． 28．已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根， 对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此先求出x、y的值，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根为， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为2， ∴， ∴， ∴， ∵9的算术平方根是3， ∴的算术平方根是3． 29．知一个正数的平方根是和，的立方根为－3． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是平方根、立方根和算术平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值； （2）根据平方根的定义求值． 【详解】（1）解：（1）由题意得，，， 解得：，； （2）解：∵， ∴的平方根是． 30．已知：一个正数的两个平方根分别是和 (1)求的值； (2)求的立方根 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根的概念： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程即可得到答案； （2）根据平方根的概念和（1）所求求出，则，据此根据立方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵8的立方根是2， ∴的立方根是2． 【经典例题四 平方根、立方根的综合】 31．已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 32．已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根与立方根的含义，掌握利用平方根与立方根的定义建立方程组是解本题的关键．由的平方根是，的立方根是2，可得，再解方程组可得答案． 【详解】解：的平方根是，的立方根是2， ∴ ， 解得： ， ∴， 而16的平方根是， ∴的平方根为：． 33．已知的算术平方根是3，的立方根是，求： (1)，的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2)平方根为 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的知识． （1）由于的算术平方根是3，则；的立方根是，则，求出m、n的值即可； （2）根据（1）中、的值，代入求值，然后求平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， 解得：； ∵的立方根是， ∴， 解得：， ，； （2）解：由（1），， ∴， ∴的平方根是． 34．若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】8 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义及解一元一次方程，根据平方根的定义可得，解方程可求出a的值，即可得出m的值，根据立方根得定义可得b的值，根据算术平方根的定义即可得答案． 【详解】解：∵实数的平方根是和， ∴， 解得：． ∴， ∴． ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 35．已知的立方根是2，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根，算术平方根，平方根的定义，熟练掌握立方根，算术平方根，平方根的定义是解题的关键．根据立方根，算术平方根的定义求出的值，即可计算出答案． 【详解】解：的立方根是2，的算术平方根是4， ， 解得， ， 故的平方根为． 36．已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根和立方根的综合问题，求无理数的整数部分等知识，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先用的立方根是，求出a，结合的算术平方根是2求出b，由c是的整数部分求出c即可； （2）将（1）中的结论代入中求值，继而求出它的平方根． 【详解】（1）解： 的立方根是， ， ． 的算术平方根是2， ， ， ．， ∵， ∴， 又∵c是的整数部分， ． 综上所述：，，； （2），，， ， ， 的平方根是． 37．已知的立方根为3． (1)求的平方根； (2)填空：的算术平方根是________． 【答案】(1)的平方根为； (2)6 【分析】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根． （1）先根据的立方根是3求出x的值，利用平方根的定义求解即可； （2）根据（1）的结果求出的值，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：由题意知， 所以，解得， 因为， 所以的平方根为； （2）解：所以， 因为，所以36的平方根是， 所以的算术平方根是6． 故答案为：6． 38．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，无理数的估算．掌握其基本知识点是解题的关键． （1）利用立方根的定义、算术平方根的定义求出a、b的值，利用无理数的估算方法求出c的值． （2）将a、b、c的值代入代数式求值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴， 解得， ∵，即，c是的整数部分， ∴． （2）由（1）可知，，， ∴， ∴的平方根是． 39．已知的平方根是，的立方根是3，是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为 【分析】本题考查的是平方根，立方根的含义，无理数的整数部分的含义，先求解、、的值，再求解的算术平方根即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是3， ， ， ， ， 是的整数部分，即， ， 的算术平方根是． 40．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)，，； (2)平方根是，立方根是． 【分析】（）根据平方根，立方根的定义，估算即可求出，，的值； （）把，，的值代入即可得出结果； 本题考查了平方根，立方根概念，熟练掌握平方根，立方根概念及运算是解题的关键． 【详解】（1）∵的立方根是 ∴，解得：， ∵的算术平方根是， ∴，解得， ∵是的整数部分，而， ∴； （2）由（）得，，， ∴， ∴的平方根是，立方根是． 【经典例题五 实数的混合运算】 41．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．利用实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 42．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂，以及立方根，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 43．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减； （2）先算乘方和开方，再算乘法，后算加减． 【详解】（1）解： （2）解： 44．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，正确的化简是解题的关键．根据立方根和绝对值的定义化简，再合并同类项，即可求解． 【详解】解： 45．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了实数的运算： （1）先计算立方根，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算立方根，乘方，算术平方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 46．计等：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，利用立方根、算术平方根的定义，绝对值的意义，乘方法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 47．计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根、平方根的求法是解题的关键. （1）利用立方根、绝对值进行计算即可； （2）利用立方根、绝对值、平方根进行计算即可. 【详解】（1） （2） 48．计算：． 【答案】 【分析】首先化简绝对值，算术平方根，有理数的乘方和立方根，然后计算加减即可． 此题考查了化简绝对值，算术平方根，有理数的乘方和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 49．求下列各式的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求立方根和算术平方根再加减计算； （2）先求立方根和算术平方根再加减计算． 【详解】（1）解： =； （2）解： ． 【经典例题六 无理数整数部分的有关计算】 51．已知实数a，b，c满足． (1)求a，b，c的值． (2)求的整数部分． 【答案】(1)，， (2)7 【分析】此题考查了绝对值，平方和算术平方根的非负性，无理数的估算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值，平方和算术平方根的非负性求解即可； （2）利用无理数的估算求解即可． 【详解】（1）∵ ∴，，， 解得，，； （2）∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，即， ∴的整数部分为7． 52．阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估测，解题的关键是熟练掌握无理数的估测方法，准确进行计算． （1）根据即可得出的整数部分和小数部分； （2）根据题意求出，，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； （2）解：∵小数部分是m，小数部分是n， ∴，， ∵， ∴． 53．阅读下面的内容： 因为，所以. 所以的整数部分是1，小数部分是. 试解决下列问题： (1)求的整数部分和小数部分. (2)若和的小数部分分别是和，求的值. 【答案】(1)整数部分是3，小数部分是 (2)9 【分析】本题考查了无理数的整数和小数部分问题，正确理解题意是解题关键. （1）根据即可求解； （2）由（1）即可确定和，即可求解． 【详解】（1）解：， . 的整数部分是3，小数部分是. （2）解：的小数部分是，的整数部分是5， 的小数部分是. ，， 9. 54．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是____________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的相反数． 【答案】(1)4， (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先用夹逼法估算，即可解答； （2）先用夹逼法估算和，得出a和b的值，即可解答； （3）先得出的取值范围，再得出的取值范围，进而得出x和y的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4，； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∵的小数部分为a，的整数部分为b， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，即， ∴， ∵x是整数部分，y是小数部分， ∴，， ∴， ∴的相反数为． 55．大家知道是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是李峰同学用来表示的小数部分，李峰同学的表示方法对吗?事实上，李峰同学的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下面的问题： 已知，已知是的整数部分，是的小数部分，求的相反数． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算 求无理数的整数部分，先得出，则，再代入得，最后求其相反数，即可作答． 【详解】 解:∵ ∴ 即 ∵是的整数部分，是的小数部分 ∴ 故 ∴的相反数是 56．阅读理解： ，即． 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为的小数部分为． 解决问题： (1)的整数部分是_______，小数部分是_______． (2)已知：是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)3； (2)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算，对于（1），根据阅读内容解答即可； 对于（2），先根据小数部分的理解求出a，b，可得答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3，； （2）∵， ∴的小数部分为， ∴的小数部分为， ∴． ∵小数部分为， ∴的小数部分为， ∴， ∴． 57．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 请回答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． (2)已知：，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1)的值为1； (2)的平方根是． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求解即可； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的小数部分为：， ， ∴， ∴的整数部分为： ∴ ∴的值为1； （2）解：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 的平方根是， ∴的平方根是． 58．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)1 (3)9 (4) 【分析】本题主要考查立方根、无理数的估算及代数式的值，熟练掌握立方根、无理数的估算及代数式的值是解题的关键． （1）由题意易得，则有的整数部分为3，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，，然后可得，然后根据完全平方公式可进行求解； （3）由题意易得，则有的小数部分为，然后可得，进而问题可求解； （4）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为：； （2）解：∵， ∵， ∴，， ∵与的小数部分分别为a和b， ∴， ∴； （3）解：由可知， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∵x是整数，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：9； （4）解：∵无理数（m为正整数）的整数部分为n， ∴的小数部分为， ∴的小数部分即为的小数部分，为； 故答案为：． 59．观察：，即，的整数部分为，小数部分为．请你根据上述内容，解决下面的问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．填空： ； ． (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)5；1 (2)1 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键． （1）根据题目中所给规律即可得结果； （2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为1， ∴； 故答案为：5；1 （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴的整数部分为8，， ∴的小数部分为，的整数部分为1， ∴的小数部分为， ∵的小数部分为，的小数部分为， ∴， ∴． 60．先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为的整数部分是1，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 【答案】(1)3， (2) 【分析】此题考查了估算无理数的大小， 解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 ． （1） 估算出，可得，依此即可确定出，的值； （2） 根据题意确定出与的值， 代入求出即可 ． 【详解】（1）解：，其中是整数， 且， ， ， ，， 则； （2）解：，其中是整数， 且， ，， 则． 【经典例题七 程序设计与实数运算】 61．一个数值转换器，如图所示：    (1)当输入的为时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请求出两个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)5或 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 而是有理数，的算术平方根为， 故答案为：； （2）或，理由如下： 因为的算术平方根是，的算术平方根是， 无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）若次运算就是无理数，则输入的数为， 若次运算输出的数是无理数，则输入的数是， ∴满足要求的值可以是：5或． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 62．有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 63．下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 【答案】(1)； (2)和1； (3)5和25． 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值； （3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可． 【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， 的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， 的算术平方根是，是无理数，输出， 故答案为： （2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， 当和1时，始终输不出的值， 故答案为：和1； （3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 当和5时，输出的y是， 故答案为：5和25． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 64．如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．      (1)当输入的x值为时，求输出的y值； (2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； (3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值． 【答案】(1) (2)1或2或3，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 4的算术平方根为， 而2是有理数，2的算术平方根为， 故答案为：； （2）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （3）解：若1次运算就是， ∴ ∴ ∴解得或， ∴x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴ ∴ ∴解得或 ∵ ∴不符合题意， 综上所述，． 【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． 65．一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)0，1 (3)， 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是， ∴，都满足要求． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． 66．如图所示的是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下面叙述回答相关问题． (1)当x为8时，y的值为______． (2)当输出的y值是时，输入的x值唯一吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值． (3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)x的值不唯一，x=3或x=27 (3)存在，1，0，或-1 【分析】（1）根据运算的定义即可直接求解； （2）立方根逆运算即可． （3）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有1，0，或-1． 【详解】（1）， 则y=； （2）答案不唯一． x＝或 x＝． 故答案是3或27． （3）当输入的x=-1、0和1时，取它们的立方根始终是-1、0和1，是有理数， ∴输入的x=-1、0和1时，始终输不出 y值 【点睛】本题考查立方根以及无理数，正确理解题目中规定的运算是解题的关键． 67．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)当m=1时，输出的结果为________． (2)当实数m的一个平方根是﹣时，求输出的结果． 【答案】(1)0 (2)-2 【分析】（1）将m=1代入流程图，逐步计算即可； （2）根据题意求出m的值，代入流程图计算即可求出值． 【详解】（1）解：当m=1时， ； （2）根据题意得：m==3， ∴． 【点睛】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 68．如图是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x为9时，y值为 ； (2)如果输入0和1， （填“能”或“不能”）输出y值； (3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值： ．（写出两个即可） 【答案】(1) (2)不能 (3)5或25（答案不唯一） 【分析】（1）根据运算流程图，即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可得到满足题意的x值． 【详解】（1）解：当输入x=9时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为， 即； 故答案为： （2）解：当输入x=0或1时，因为0的算术平方根是0，始终是有理数，1的算术平方根是1，也始终是有理数， 所以不能输出y； 故答案为：不能 （3）解：当时，，此时x=5； 当时，，，此时x=25； 故答案为：5或25（答案不唯一） 【点睛】本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解工作流程图是解题的关键． 69．如图是一个数值转换器的工作原理． (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)是否存在输入值后，始终输不出值的情况，若存在，请写出所有满足要求的值；若不存在，请说明理由； (3)若输出的值是，请写出四个满足要求的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或或时，输出的值是，答案不唯一． 【分析】（1）根据运算规则计算即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，即可判断； （3）根据运算法则，9的算术平方根是3，3的算术平方根是，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：，16的算术平方根是4， 4不是无理数，4的算术平方根是2， 2不是无理数，2的算术平方根是，是无理数， 故输出的值是． 故答案是：． （2）解：存在输入值后，始终输不出值的情况． ∵0和1的算术平方根是0和1， ∴当或时，始终输不出值， ∴或或． （3）解：∵9的算术平方根是3，3的算术平方根是， ∴当或， 即或或或时，输出的值是，(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了绝对值，算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键． 70．如图为一个数值转换器． (1)若输入的x值为3，则输出的y值为________；若输入的x值为9，则输出的y值为________； (2)若输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，求输入的x的值． (3)尚进同学输入非负数x值后，却始终输不出y值．请你分析，他输入的x值是_______． 【答案】(1) (2)36 (3)0或1 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为，返回运算两次平方可得x的值； （3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论． 【详解】（1）当时，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 当，取算术平方根为3，3 是有理数，继续计算，取算术平方根为，为无理数，则输出的y值为； 故答案为：， （2）当时，，， 则 （3）当x=0，1时，始终输不出y值， ∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， ∴他输入的x值是0或1． 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查了程序与实数计算，理解题意是解题的关键． 【经典例题八 新定义下的实数运算】 71．（23-24七年级上·四川南充·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对 若满足，则称该有序数对为“望一”数对； 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤ (3)若有序数对是“望音”数对，求整数x的值． (4)计算的值，请直接写出答案． 【答案】(1)1 (2)③④，①⑤ (3)0、1、2 (4) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据“望音”数对定义列出方程，解方程即可； （4）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴是“望音”数对； ②∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ③∵， ∴是“望一”数对； ④， ∴是“望一”数对； ⑤∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有③④，是“望音”数对的有①⑤． （3）解：∵有序数对是“望音”数对， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴整数x的值为0、1、2． （4）解： 解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 72．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)填空：________； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了实数的运算以及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）先判断与的大小，然后根据题中的新规定运算即可； （2）分两种情况讨论：当时或当时，分别计算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）当时，即时，， 可得，解得； 当时，即时，， 可得，解得（舍去）， 所以，的值为5． 73．（23-24七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． （1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）解：， 又， 故； （2）解：∵， 故； （3）解：∵， 故， ． 74．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键． （1）根据“秀点”的定义，计算即可判断； （2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， ∴点是“秀点”． 故答案为：； （2）∵点是“秀点”， ∴， ∴， 解得； （3）∵点是“秀点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 75．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）定义新运算“”如下：当时，；当时，． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是新定义题，考查实数运算和解一元一次不等式，读懂定义和运用分类讨论思想是解题的关键． （1）可判断出，因此可用运算即可； （2）无法直接判断4和的大小，因此利用新定义分情况讨论． 【详解】（1）解：由题意知， ， ； （2）， 当，即时 ， 解得， ； 当，即时 解得， ， 综上所述：x的取值范围是． 76．（23-24七年级上·浙江·周测）已知为有理数，如果规定一种运算“@”，即，试根据这种运算完成下列各题． (1)求； (2)任意选择两个有理数，分别计算和，并比较两个运算结果，判断此运算满足什么运算律？ (3)求 【答案】(1)14 (2),交换律 (3) 【分析】（1）根据定义的运算列式计算即可； （2）根据定义的新运算分别计算后比较结果即可； （3）根据定义的运算列式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：，， 则， 此运算满足交换律； （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的运算，根据定义的新运算列得正确的算式是解题的关键． 77．（21-22七年级下·广东广州·期末）定义一种新运算“”的含义为：当时，；当时，．例如：， (1)计算：_______________________；_______________________； (2)化简； (3)如果，求x的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用时，进行计算；利用当时，； （2）先由知，再根据新定义列出算式去括号、合并同类项即可得； （3）分和两种情况，依据新定义列出方程求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故． 故答案为：；． （2）解：， ∵， ∴， 故 （3）解：当时，则， 解得：， 则； 当时，即或， 则， 解得：； 则， 故不符合条件，舍去； 故的值为． 【点睛】当时，；当时，． 78．（2022九年级上·广东惠州·竞赛）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如果只把i当成代数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1： 例题2： 同样我们也可以化简 也可以解方程，解为． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：＝　　，＝　　； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则，计算； （2）利用完全平方公式把原式展开，根据计算即可； （3）利用公式法解出方程，根据得到方程的解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ， ，． 【点睛】本题考查的是新定义运算，完全平方公式以及一元二次方程的解法，掌握，公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 79．（20-21七年级下·上海徐汇·期中）阅读下列材料并解答问题∶ 对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数．如表示不小于的最小整数，即，所以10的根整数为4． (1)计算25的根整数，得_____________________． (2)现对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对12连续求根整数2次可得结果为2．若对2020进行连续求根整数，则第________________次可得结果为2． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题中所给运算进行求解即可； （2）根据题中所给运算对2020进行连续求解即可． 【详解】（1）解： ∴ 故答案为： （2）对2020进行连续求根整数， 第一次： 第二次： 第三次： ∴ 第四次： ∴ 第四次可得结果为 故答案为：2 【点睛】此题考查了新定义运算以及算术平方根的求解，解题的关键是掌握算术平方根的求解，并理解题中所给运算． 80．（22-23七年级下·山东济宁·期中）【阅读理解】 对于正整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，． 【问题解答】 (1)直接写出的值为______； (2)对72进行如下操作： ，即对72进行3次操作后可变为1．类似地：对进行______次操作后可变为1； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)； (2)三 (3)， 【分析】（1）先确定的取值范围，再根据定义求解即可； （2）根据题中的步骤，对依次进行运算，求解即可； （3）根据整式的加减运算进行化简，再求得的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 根据题中的定义，可得 故答案为： （2）解：， 对进行三次操作后可变为1 故答案为：三 （3）解：， ∵ ∴ ∴ 将代入得，原式 【点睛】此题考查了无理数的估算，新定义问题，整式的化简求值，解题的关键是理解新定义规则，掌握无理数的估算方法． 【经典例题九 与实数运算相关的规律题】 81．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 82．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 83．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 84．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． （1）由所给等式得到规律不难写出第6个式子； （2）利用上述规律可知即可求值； （3）分析所给的等式的形式即可得出第n个等式 【详解】（1）解：①； ②； ③； …… 可得第6个等式为： （2）解： ； （3）解：用（为正整数）表示的等式为： 85．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 86．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查与实数运算相关的规律题，观察出等式的变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式的变化规律解答即可； （2）根据前几个等式的左右式子变化与序号n的关系求解即可； （3）灵活运用（2）中变化规律求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ． 87．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）数学运算中，我们发现：两个数的和与这两个数的差的积．等于这两个数的平方差，即．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．比如： ， ， ， ， …… 利用你发现的规律解答下列问题： (1)已知，试比较与的大小； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方差公式，数字类的规律探索： （1）根据题意，结合平方差公式和实数的运算法则求出和的结果即可得到结论； （2）先根据题意得到规律，进而得到，据此化简所求式子即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ……， 以此类推，可知 ， ∴， ∴ ． 88．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 89．（2024八年级·全国·竞赛）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据的规律，直接写出的值：_______； (2)猜想的值：_______． (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干列举的等式，总结规律可得答案． （2）总结规律即可解答． （3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 90．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小． 【答案】(1)2022 (2) 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， ． 又, ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$