第11讲 函数综合应用（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第11讲 函数的综合应用 【考纲要求】 1.进一步理解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及其相关性质综合应用； 2.初步掌握从实际问题中抽象出基本函数模型解决简单实际问题的方法，培养和提升学生的直观想象、数学抽象和数学建模等核心素养。 1．一次函数 （1）一次函数的定义 ①一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 ②一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 （2）一次函数的图象及其性质 ①正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 ②一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 2．二次函数 （1）二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. （2）二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同 3．三种函数模型的性质 4．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 考点一 一次函数模型 例1：已知点在一次函数的图像上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把点的坐标代入一次函数中，得，， ． 变式：若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解析】由题知，点关于轴的对称点坐标的规律---横坐标变为相反数，纵坐标不变，可得：对称点，将点代入一次函数，即为，可得：. 例2：一次函数的图象经过的象限是（     ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 【答案】C 【解析】∵，，，∴函数图象经过一、二、四象限． 变式：一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 或 【答案】A 【解析】根据题意，一次函数的图象经过第一、二、四象限，且，解得． 例3：某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ） A．2 000套 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 【答案】D 【解析】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套. 变式1：汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵汽车行驶的路程为：，∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：，∵，∴自变量t的取值范围是． 变式2：为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌和椅子的高度： 第一套 第二套 椅子高度 40.0 37.0 课桌高度 75.0 70.2 （1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 【答案】（1）；（2）给出的这套桌椅是配套的．详见解析 【解析】（1）因为课桌高度（cm）是椅子高度（cm）的一次函数，所以可设为，将符合条件的两套课桌椅的高度代如上述函数解析式， 得，解得，与的函数关系式是． （2）把代入上述函数解析式中，得， 给出的这套桌椅是配套的． 考点二 二次函数模型 例1：抛物线的顶点坐标是_________． 【答案】 【解析】，∴顶点坐标是，故答案为：． 变式：抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】抛物线的顶点坐标是． 例2：将正方形的内切圆的面积S表示为正方形的边长x的函数为 . 【答案】 【解析】正方形边长为，则其内切圆的半径为，所以内切圆的面积. 变式：一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是_____． 【答案】 【解析】依题意，令中，，即，整理得：，解得：（舍去），∴这名男生抛实心球的成绩是． 例3：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克. （1）求的值； （2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值. 【解析】（1）因为.且时，. 所以解得. . （2）由（1）可知，该商品每日的销售量. 所以商场每日销售该商品所获得的利润： 因为为二次函数，且开口向上，对称轴为. 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440. 所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售商品所获得利润最大，最大利润为440元. 变式：某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 【解析】（1）依题意设，， ； （2）设投资股票等风险型产品为万元，则投资债券等稳健型产品为万元， ， 当万元时，收益最大万元，20万元资金，投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为3万元. 考点三 分段函数模型 例：如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的(　　) 【答案】A 【解析】当点P在AB上时，y＝×x×1＝x,0≤x≤1； 当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－x＋，1<x≤2； 当点P在CM上时，y＝××1＝－x＋，2<x≤. 由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时是减函数. 变式：2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数. （1）当时，求函数的表达式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值. 【解析】（1）由题意，当时，v(x)=100， 当时，设，则 解得：， ∴ （2）由题意， 当时，的最大值为 当时，，的最大值为 ∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时. 考点四 指数函数模型 例1：已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是(　 　) A．(5,6) B．(6,7) C．(7,8) D．(8,9) 【答案】　D 【解析】设模式A：y＝－300t＋3 000，模式B：y＝p·，其中p为初始电量． A模式用了m小时，电量为3 000－300m，m小时后B模式用了(10－m)小时， ∴(－300m＋3 000)·>3 000·5%，2m－10(10－m)>，令10－m＝x，∴>， ∴2x－1－x<0，令f(x)＝2x－1－x，即求f(x)<0时，x的取值范围． ∵f(1)＝0，f(2)＝0，又由指数函数与一次函数图象知，当1<x<2时，f(x)<0， ∴1<10－m<2，∴8<m<9. 变式：2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： ＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　) A.R B.R C.R D.R 【答案】　D 【解析】由α＝得r＝αR，代入＋＝(R＋r)， 整理得＝.又≈3α3，即3α3≈， 所以α≈，故r＝αR≈R. 例2：若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由得：， 令，则当时，，， ，解得：，即实数的取值范围为 变式：已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为“对任意，存在，使”是真命题， 所以只需， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，所以 所以，故答案为： 例3：已知函数. （1）若，求的值； （2）若是奇函数，求的值. 【解析】解：（1）由题得. （2）因为函数是奇函数，且定义域为R，所以，经检验，当=1时，函数是奇函数，满足题意，所以=1． 变式：若函数为奇函数． （1）求的值； （2）求函数的定义域； （3）求函数的值域． 【解析】（1）记，∵是奇函数， ∴， ∴； （2），，∴定义域为； （3）由（1）， ∵，∴或， ∴或，∴或． ∴值域为． 例4：已知函数，. （1）当时，求的值域； （2）若的最大值为，求实数的值. 【解析】（1）当时，在上单调递减， 故，，所以的值域为. （2），令， 则原函数可化为，其图象的对称轴为. ①当时，在上单调递减， 所以，无解； ②当时，，即，解得； ③当时，在上单调递增，所以， 解得，不合题意，舍去. 综上，的值为. 变式：已知函数，． （1）若函数为奇函数，求实数的值． （2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是奇函数，所以，即所以对一切恒成立，所以. （2）因为，均有即成立， 所以对恒成立，所以, 因为在上单调递增，所以，所以. 考点五 对数函数模型 例1：青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）( ) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 【答案】C 【解析】本题考查对数的运算.可知，故0. 变式：2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105) (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.9n－1. 由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6，则(n－1)ln 0.9<ln 0.6， 即n－1>≈≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6. 例2：设函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 【解析】解：（1）由解得函数的定义域为； （2）为偶函数，由，定义域关于原点对称，得函数为偶函数． 变式：已知函数. （1）求函数的定义域; （2）判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论. 【解析】解：(1)由,解得,∴,∴函数的定义域. (2)函数是奇函数，证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数，∵，即函数是奇函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 函数的综合应用 【考纲要求】 1.进一步理解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及其相关性质综合应用； 2.初步掌握从实际问题中抽象出基本函数模型解决简单实际问题的方法，培养和提升学生的直观想象、数学抽象和数学建模等核心素养。 1．一次函数 （1）一次函数的定义 ①一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做 ，其中k叫做比例系数。 ②一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做 。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 （2）一次函数的图象及其性质 ①正比例函数的图象及性质：正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，称为直线y=kx。 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 ②一次函数的图象及性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，称为直线y=kx+b。当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，即y随着x的增大而减小。 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 2．二次函数 （1）二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. （2）二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 3．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随n值的变化而各有不同 4．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 考点一 一次函数模型 例1：已知点在一次函数的图像上，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式：若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 例2：一次函数的图象经过的象限是（     ） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四 变式：一次函数的图象如图所示，则m的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 或 例3：某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ） A．2 000套 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 变式1：汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2：为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌和椅子的高度： 第一套 第二套 椅子高度 40.0 37.0 课桌高度 75.0 70.2 （1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 考点二 二次函数模型 例1：抛物线的顶点坐标是_________． 变式：抛物线的顶点坐标是_____． 例2：将正方形的内切圆的面积S表示为正方形的边长x的函数为 . 变式：一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是_____． 例3：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克. （1）求的值； （2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值. 变式：某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 考点三 分段函数模型 例：如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的(　　) 变式：2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数. （1）当时，求函数的表达式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值. 考点四 指数函数模型 例1：已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是(　 　) A．(5,6) B．(6,7) C．(7,8) D．(8,9) 变式：2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： ＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　) A.R B.R C.R D.R 例2：若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 变式：已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________. 例3：已知函数. （1）若，求的值； （2）若是奇函数，求的值. 变式：若函数为奇函数． （1）求的值； （2）求函数的定义域； （3）求函数的值域． 例4：已知函数，. （1）当时，求的值域； （2）若的最大值为，求实数的值. 变式：已知函数，． （1）若函数为奇函数，求实数的值． （2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围． 考点五 对数函数模型 例1：青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）( ) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 变式：2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域 安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105) (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 例2：设函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 变式：已知函数. （1）求函数的定义域; （2）判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$