专题4.1 指数与指数函数（考点精练）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题4.1 指数与指数函数 1．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【解析】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 2. 下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【解析】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 3. 下列函数中，是指数函数的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【分析】根据指数函数的定义进行一一分析，即可判断得出答案. 【解析】：①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数； ③中底数，只有规定且时，才是指数函数； ④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数. 故选：D. 4．函数且过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令指数为0即可得到答案. 【解析】令，解得，则， 则过的定点坐标为. 故选：D. 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 6. 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中间数比较与，根据中间数比较与. 【解析】因为，， 所以，因为，， 所以，所以. 故选：D. 7．已知集合 ​， 则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集. 【解析】因为集合​， ​， 所以​． 故选：D． 8．已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（    ）名 A．10000 B．8000 C．4000 D．3500 【答案】B 【分析】由已知列出方程组，求解得出参数值，代入，即可得出答案. 【解析】由题意得：， 解得， 所以，． 故选：B． 9. 函数在的最小值是 ． 【答案】 【分析】令，然后利用配方法可得答案. 【解析】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 10．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性计算可得. 【解析】：不等式，即，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 11. 不等式的解集为 . 【答案】 【分析】令（），则原不等式可转化为，解出的范围，从而可求出的范围. 【解析】令（），则可化为， 即，解得， 所以，得， 所以原不等式的解集为， 故答案为：. 12. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【解析】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 13. （1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【解析】（1） ； （2） ； （3）. 14. 已知指数函数的图象经过点. (1)求函数的解析式并判断的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递减 (2) 【分析】（1）采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得解析式；由指数函数性质可得函数单调性； （2）利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果. 【解析】（1）设指数函数且， 过点，，解得：，， 由指数函数性质可知：在上单调递减. （2）由（1）知：在上单调递减， 则由得：， ，解得：， 即的取值范围为. 15. 已知函数（是常数，且）在区间上有最大值，最小值为．试求的值． 【答案】或． 【解析】试题分析：先将看作一个整体，求出其范围，再对分和两种情况进行讨论确定函数取最小值和最大值的情况，列出方程组求解． 试题解析：令，∵ ∴ 当时，，∴ 依题意得 当时，，∴ 依题意得 综上知，或 1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可. 【解析】 ，即 ， ， . 故选：A . 2．已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．2 【答案】B 【分析】将代入，得到，的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可． 【解析】由函数的图象经过，则，即． ，当且仅当时取到等号． 故选：B． 3．若函数在上有最大值，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】A 【分析】由题可得，，即求. 【解析】∵函数在上有最大值， ∴，， ∴，解得或（舍去）. 故选：A. 4．函数的值域是 . 【答案】 【分析】对函数解析式进行变形处理，即可得解. 【解析】， 因为，， 所以. 故答案为： 5. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性来进行分情况讨论得出a的取值范围. 【解析】：函数由和复合而成， 由于是单调递增，函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减. 当时，不符合题意； 当时，单调递减，满足题意； 当时，开口向下，对称轴为， 故需要满足，显然成立，满足题意， 综上：. 故答案为：. 6．已知函数(且). （1）若函数的图象不经过第二象限，求，的取值范围； （2）当时，在区间上的最大值与最小值之比为，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）分，两种情况，结合函数的单调性和图象，由递图象不经过第二象限求解. （2）由，得到，分，，利用函数的单调性，求得最值，由最大值与最小值之比为求解. 【解析】（1）①当时，单调递减，根据指数函数的图象可知，函数图象必然经过第二象限，故不成立. ②当时，单调递增，的图象与轴的交点为，根据指数函数的图象可知，要使的图象不经过第二象限，则，. 所以，. 综上：，的取值范围是，； （2）当时，. ①当时，单调递减，在上的最大值为，最小值为， 由题意可得，无解. ②当时，单调递增，在上的最大值为，最小值为， 由题意可得，解得， 所以. 综上：的值是 7．已知不等式的解集为. (1)求的值， (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1)，· (2)9 【分析】（1）利用指数函数单调性解不等式即可. （2）结合“1”的代换，利用基本不等式求得，然后利用不等式性质求解即可. 【解析】（1）由及函数在定义域上单调递减， 得，解得， 因此，，· （2）由已知可得， 又因为且，则， 当且仅当时，等号成立，故. 所以的最小值为9. 8. 已知函数（且）的图象过点． (1)求m的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集； (3)记在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入函数解析式，即可求解； （2）根据（1）的结果，结合指数运算，将不等式化简为，即可求解； （3）首先根据函数的单调性，求解函数的值域，再根据条件，转化为，列不等式问题，即可求解. 【解析】（1）∵的图象过点， ∴，解得； （2）当时，关于x的不等式， 即，可化为， 即，得， 可得解集； （3）由（1）得，单调递增，当时，的值域为，即， 当时，单调递减， 的值域为，即， ∵是的必要条件， ∴，∴，解得， ∴k的取值范围是. 9．已知函数（且），且． (1)求的解析式： (2)若函数在上的最小值为0，求m的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）代入条件，即可求解； （2）首先根据（1）的结果，换元，利用二次函数的单调性，求最小值，即可求解. 【解析】（1）因为，所以，解得或， 所以． （2）． 令 ，设， 则 因为，所以,, 则 ，所以在单调递增，                  所以， 因为函数在上单调递增，所以．         因为在上的最小值为0，所以，解得． 综上，m的值为6． 10. 某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2024年年末，森林剩余面积为原来面积的，为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的. （1）求每年砍伐面积的百分比P%； （2）到2024年年末，该森林已砍伐了多少年？ 【答案】（1）每年砍伐面积的百分比p%为；（2）该森林已砍伐了5年. 【分析】（1）由题意列出，解方程即可求解. （2）设经过m年剩余面积为原来的，可得，利用（1）结合指数的运算即可求解. 【解析】（1）由题意可得，， 解得，∴每年砍伐面积的百分比p%为. （2）设经过m年剩余面积为原来的，则， ∴， 由（1）可得，即，∴，解得， 故到2024年年末，该森林已砍伐了5年. 1. （2022年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）计算： 【答案】150 【解析】原式 2.（2021年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，根据指数函数的性质有，所以A错；结合不等式性质，排除B,C 只有D正确 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 指数与指数函数 1．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2. 下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 3. 下列函数中，是指数函数的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．0 4．函数且过定点（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6. 若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合 ​， 则​（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 8．已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（    ）名 A．10000 B．8000 C．4000 D．3500 9. 函数在的最小值是 ． 10．不等式的解集为 . 11. 不等式的解集为 . 12. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 13. （1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 14. 已知指数函数的图象经过点. (1)求函数的解析式并判断的单调性； (2)若，求的取值范围. 15. 已知函数（是常数，且）在区间上有最大值，最小值为．试求的值． 1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 2．已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．2 3．若函数在上有最大值，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 4．函数的值域是 . 5. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 6．已知函数(且). （1）若函数的图象不经过第二象限，求，的取值范围； （2）当时，在区间上的最大值与最小值之比为，求的值. 7．已知不等式的解集为. (1)求的值， (2)若，，，求的最小值. 8. 已知函数（且）的图象过点． (1)求m的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集； (3)记在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围． 9．已知函数（且），且． (1)求的解析式： (2)若函数在上的最小值为0，求m的值． 10. 某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2024年年末，森林剩余面积为原来面积的，为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的. （1）求每年砍伐面积的百分比P%； （2）到2024年年末，该森林已砍伐了多少年？ 1. （2022年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）计算： 2.（2021年浙江省高等职业技术教育招生考试试题）已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$