专题4.1 指数与指数函数 (考点精讲)-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题4.1 指数与指数函数 一、【考纲要求】 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 2.了解指数函数模型的实际背景 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点 二、【考向预测】 1.指数式的运算 2.指数函数的概念、图象、单调性的应用 3.常以选择题、填空题的形式考查指数函数的图象、性质，或与其他知识交汇以解答题的形式出现 三、【知识清单】 1 指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) ② 正数的正分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 2 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 3 图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 四、【考点分类剖析】 考点一：指数幂的运算 例1. 化简： . 【变式练习1】已知，则 ． 【变式练习2】求值： . 考点二：指数函数的概念 例2. 若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【变式练习1】已知指数函数，则的值为 . 【变式练习2】（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为 ． 考点三: 指数（型）函数的定义域与值域 例3. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例4. 函数的值域为 ． 【变式练习1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】函数的定义域为 ，值域为 . 【变式练习3】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式练习4】求函数的定义域和值域. 考点四：指数函数的图像 例5. 函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称 【变式练习1】函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知，则函数的图象恒过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式练习3】函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ） A． B． C． D． 【变式练习4】如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 考点五：指数函数的单调性 角度1.比较指数式大小 例6. 下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】若，则（    ） A． B． C． D． 角度2.解简单指数方程或不等式 例7. 已知函数是单调递减的指数函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【变式练习1】．已知，则的取值范围 ． 【变式练习2】不等式的解集为 . 角度3. 根据指数型函数的单调性求参数 例8. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【变式练习2】已知且，函数满足对任意不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围 ． 角度4. 根据指数型函数的单调性求最值 例9. 已知函数且)的图像过点. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上的最大值是最小值的4倍，求实数的值. 【变式练习1】函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．5 【变式练习2】函数的最大值为 ． 【变式练习3】已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值； 考点六：指数函数的应用 例10. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）（）成正比；药物释放完毕后，与t的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前 小时进行消毒工作. 【变式练习1】一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 指数与指数函数 一、【考纲要求】 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 2.了解指数函数模型的实际背景 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点 二、【考向预测】 1.指数式的运算 2.指数函数的概念、图象、单调性的应用 3.常以选择题、填空题的形式考查指数函数的图象、性质，或与其他知识交汇以解答题的形式出现 三、【知识清单】 1 指数运算 (1) 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：(1) (2)当是奇数时，，当是偶数时， (2) 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) ② 正数的正分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 2 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 3 图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 四、【考点分类剖析】 考点一：指数幂的运算 例1. 化简： . 【答案】/ 【分析】利用指数幂的运算性质化简求解即可. 【解析】 . 故答案为： 【变式练习1】已知，则 ． 【答案】 【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果. 【解析】由可得， 即， 又因为， 即，可得 即 ， 所以． 故答案为： 【变式练习2】求值： . 【答案】 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误 【解析】 ， 故答案为. 考点二：指数函数的概念 例2. 若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【解析】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 【变式练习1】已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【解析】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 【变式练习2】（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）指数函数的图像经过，当时函数值为 ． 【答案】 4 【分析】对于（1），运用指数函数限制条件列不等式求解； 对于（2），待定系数法求出解析式后将代入求解. 【解析】（1）已知指数函数，则，且， 解得或，且， 实数的取值范围是. （2）代入指数函数，得，解得（负值舍去）， 所以解析式，当时，. 故答案为：；4． 考点三: 指数（型）函数的定义域与值域 例3. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【解析】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 例4. 函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解． 【解析】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 【变式练习1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 函数定义域满足，解得答案. 【解析】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 【变式练习2】函数的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【分析】由可解得定义域为，根据为上的增函数，可解得值域为. 【解析】由函数有意义可得，即，所以的定义域为， 因为与都是增函数，所以为上的增函数， 所以，即的值域为. 故答案为：； 【变式练习3】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用函数有意义列出不等式，结合指数函数单调求解即得. 【解析】（1）函数有意义，则， 所以的定义域为. （2）函数有意义，则，解得， 所以的定义域为. （3）函数有意义，则，即，解得， 所以的定义域为. （4）函数有意义，则，即，解得， 所以的定义域为. 【变式练习4】求函数的定义域和值域. 【答案】定义域为，. 【分析】将原函数变形为，则函数的定义域为，换元，令，则，而，再利用二次函数的单调性可求得其值域 【解析】，则函数的定义域为， 设，则，则函数在上单调递增，∴， ∴函数的值域为. 考点四：指数函数的图像 例5. 函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据题意可得，并结合图象分析判断. 【解析】因为，且函数与的图象如图所示： 所以函数与的图象关于轴对称. 故选：D. 【变式练习1】函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论． 【解析】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B. 【变式练习2】已知，则函数的图象恒过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】分析给定函数图象即可判断得解. 【解析】函数中，当时，函数的图象过第一、二象限； 当时，函数的图象过第一、二、四象限； 当时，函数的图象过第二、四象限； 当时，函数的图象过第二、三、四象限， 所以函数的图象恒过第二象限. 故选：B 【变式练习3】函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单调递增可排除A、C，再根据指数函数过定点可排除B. 【解析】因为，则单调递增，故A、C错误； 又因为过定点，故B错误； 对于选项D：可知单调递减，则，所以与y轴交于0和1之间，故D正确. 故选：D. 【变式练习4】如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 【答案】② 【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数的图象，由对称性得的图象. 【解析】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条， 当时，，所以曲线③是函数的图象， 函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所以的图象是曲线②. 故答案为：②. 考点五：指数函数的单调性 角度1.比较指数式大小 例6. 下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，即可判断选项. 【解析】幂函数在单调递增，所以， 指数函数单调递减，所以， 所以. 故选：D 【变式练习1】设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数与指数函数的单调性即可得到答案. 【解析】易知幂函数在上单调递增函数，所以，即， 又指数函数在上单调递减函数，所以，即. 于是. 故选：B. 【变式练习2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用指数函数的单调性有，再利用函数和的单调性比较三个数的大小. 【解析】若，且， 函数在R上为减函数，，则， 函数在R上为减函数，有， 函数在上为增函数，， 可得. 故选：C. 角度2.解简单指数方程或不等式 例7. 已知函数是单调递减的指数函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义和指数函数单调性可构造方程求得的值； （2）将所求不等式化为，令，解关于的一元二次不等式可求得，进而根据指数函数单调性解得的范围. 【解析】（1）为指数函数，，解得：或， 或，又单调递减，，即. （2）由得：； 令，则，解得：，即，解得：， 的解集为. 【变式练习1】．已知，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可. 【解析】原不等式等价于, 因为指数函数在R上单调递增， 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式练习2】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性求解不等式即得. 【解析】不等式，化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 角度3. 根据指数型函数的单调性求参数 例8. 若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性即可求解. 【解析】函数是R上的增函数， ，解得. 故选：D. 【变式练习1】设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可. 【解析】若，在上单调递增， 要满足题意，则要在上单调递减，故，即； 若，在上单调递减， 要满足题意，则要在上单调递增，故， 即，不满足 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 【变式练习2】已知且，函数满足对任意不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可知在上为增函数，对各段考虑，求出交集即可． 【解析】由于函数，又对任意不相等的实数， 都有成立，则在上为增函数． 当时，函数为增函数，则有，即，① 当时，函数为增函数，则有，② 由在R上为增函数，则，即有③， 由①②③可得的取值范围为：． 故答案为：． 角度4. 根据指数型函数的单调性求最值 例9. 已知函数且)的图像过点. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上的最大值是最小值的4倍，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）代入点，即可求出a得到函数解析式； （2）根据指数函数的单调性求出函数的最值，利用最大值是最小值的4倍求m. 【解析】（1）因为函数且)的图像过点， 所以，解得， 所以 （2）由（1）知， 所以函数为递减函数. 故函数在区间上的最大值，最小值分别为，， 所以， 即，解得. 【变式练习1】函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，分段探讨函数的单调性，进而求出最小值. 【解析】当时，函数在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，. 故选：B 【变式练习2】函数的最大值为 ． 【答案】16 【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值. 【解析】设，， 所以，单调递减， 所以当时，即时，函数取得最大值. 故答案为：16 【变式练习3】已知函数（且）在区间上的最大值是16，求实数的值； 【答案】或. 【分析】根据给定条件，利用指数函数的单调性分类求解即得. 【解析】当时，函数在上单调递减，，因此； 当时，函数在上单调递增，，因此， 所以实数的值为或2. 考点六：指数函数的应用 例10. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）（）成正比；药物释放完毕后，与t的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前 小时进行消毒工作. 【答案】1 【分析】根据题意求出参数a，当时,令，解不等式即可. 【解析】由图中一次函数图象可得，图象中线段所在直线的方程为， 又点在曲线上，所以， 解得， 因此含药量与时间 之间的函数关系式为， 当时，令，即，即，解得 故答案为：1. 【变式练习1】一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设月平均增长率为，去年12月份的产量为1.建立方程关系，进行求解即可． 【解析】设这一年该口罩厂的月平均增长率为，去年12月份的产量为1. 因为今年12月份的产量是去年12月份产量的倍， 所以，即，即. 故选：B. 【变式练习2】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 【答案】 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解. 【解析】因为前5h消除了的污染物， 所以，解得， 当经过10h后，， 所以10h后剩余的污染物含量. 故答案为： 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$