精品解析：上海市第三女子中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

2025届市三女中高三年级上学期月考 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 复数（是虚数单位）的实部是______ 2. 不等式的解集为______ 3. 如果，且为第四象限角，则的值是________ 4. 二项式展开式中的系数为__________. 5. 记等差数列的前项和为，若，，则_________． 6. 已知向量，的夹角为，且，，则______ 7. 已知某圆锥的底面圆的半径为，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为_______． 8. 已知x､，且，则的最大值为___________ 9. 在空间直角坐标系中，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为___________. 10. 某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答） 11. 已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______ 12. 已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________. 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知，，则下列不等式一定成立是（ ） A. B. C. D. 14. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 15. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 16. 函数，零点的个数不可能是（ ） A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个 三、解答题（共78分） 17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 18. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 19. 如图所示，边长为2（百米）正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题. （1）求弯道段所确定的函数的表达式； （2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标. 20. 已知函数. （1）求证：函数是上的减函数； （2）已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数最大值. 21. 已知椭圆：的长轴长为，离心率为，直线与椭圆有两个不同的交点； （1）求椭圆的方程； （2）若直线的方程为，椭圆上的点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； （3）设，直线与椭圆另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求直线的斜率的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届市三女中高三年级上学期月考 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 复数（是虚数单位）的实部是______ 【答案】1 【解析】 【分析】由复数除法运算化简复数为代数形式，再根据定义可得． 【详解】，实部为1， 故答案为：1. 2. 不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义求解． 【详解】， 故答案为：． 3. 如果，且为第四象限角，则的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】为第四象限角，所以可算出为正值，即可算出。 【详解】因为，又为第四象限角，所以 即。 故答案为： 【点睛】此题考查三角函数值，记住两个基本公式和每个象限三角函数正负值即可，属于简单题目。 4. 二项式的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式即可得到结果. 【详解】二项式的展开式中的通项公式为， 令，则，故展开式中的系数为. 故答案为： 5. 记等差数列的前项和为，若，，则_________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据等差数列的通项求出首项与公差，再根据等差数列前项和即可得解. 【详解】设公差为， 由，， 得，解得， 所以， 所以． 故答案为： 6. 已知向量，的夹角为，且，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】平方把求模转化为数量积的运算． 【详解】， 故答案为：． 7. 已知某圆锥的底面圆的半径为，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据底面圆的半径求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的侧面积. 【详解】设底面圆的半径为，圆锥的母线长为，则，因为其侧面展开图为一个半圆，所以. 故答案为： 8. 已知x､，且，则的最大值为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得，变形可求的最大值即可. 【详解】因为且， 所以，即， 当且仅当，即且时取等号， 此时取最大值为. 故答案为：. 9. 在空间直角坐标系中，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】由已知可得，因此，点到平面的距离为. 故答案为：. 10. 某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答） 【答案】180 【解析】 【分析】用分步乘法原理完成这件事：先选一门科目为两相同科目，然后让其中一人从剩下的5科中选2门，另一人再在剩下的3门中选2门即可得． 【详解】由分步乘法原理知不同选择方法为． 故答案为：180． 11. 已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据是的角平分线，，推出，，结合以及双曲线的定义推出，再根据推出，即可得到双曲线的渐近线方程. 【详解】因为是的角平分线，， 所以是等腰三角形，，为的中点， 又为的中点，所以是的中位线， 所以，因为， 当点在双曲线的右支上时，， 当点在双曲线的左支上时，， 所以，即， 所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案：. 12. 已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】问题可转化为，分类讨论结合即可得出结论. 【详解】， ，即对任意的 ，都存在，使 恒成立， 有， 当时，显然不等式恒成立； 当时，，解得 ； 当时，，此时不成立. 综上，. 故答案为： 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，且，可得，正负不确定.取特值可得AD错误；根据不等式的基本性质可判定BC项. 【详解】因为，， 则，所以，. AD选项，令，满足条件，， 但，则，故AD错误； B选项，由，则，故B正确； C选项，由，则，故C错误. 故选：B. 14. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程直接判断. 【详解】方程即为， 由方程表示双曲线，可得， 所以，， 所以虚轴长为， 故选：B. 15. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式，利用，分别排除A、B、D项，即可求解. 【详解】由题意，函数， 因为，即函数的图象过点，可排除A、B项； 又因为，可排除D项， 故选：C. 16. 函数，零点的个数不可能是（ ） A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个 【答案】D 【解析】 【分析】的零点个数，即为的图象与直线的交点个数，在正弦函数的一个周期内，即在区间上总有两个交点，然后考虑，40减去6个周期后，在区间中的交点个数，根据的不同取值可确定结论． 【详解】零点个数，即为的图象与直线的交点个数，易知在上它们有两个交点，而，因此我们主要研究它们在区间中的交点个数， 当时，它们在区间上无交点，当时，它们在区间上有1个交点，当时，它们在区间上有2个交点， 因此交点个数可能为，不可能是15． 故选：D． 三、解答题（共78分） 17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与平面所成夹角，判断为等腰直角三角形，即可求出， （2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点到平面的距离，求出法向量即可求出． 【小问1详解】 解：依题意，平面，连接，则与平面所成夹角为， ， ∴为等腰直角三角形，则， ∴直线和平面的夹角为， 【小问2详解】 解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，、、的方向为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 由，取，可得， ∴点到平面的距离. 18. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量性质和三角恒等变换求出，进而求出函数在上的单调递减区间； （2）根据，求出，利用余弦定理和基本不等式求出面积最大值. 【小问1详解】 ∵，∴，即， 所以， 令，，解得：，， 因为，所以 ，解得：， 因为，所以，所以， 函数在上的单调递减区间为； 小问2详解】 ，即， 因为，所以，所以，解得：， 因为，所以，从而， 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 即，解得：， 由面积公式得：，当时，等号成立， 所以面积的最大值为 19. 如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题. （1）求弯道段所确定的函数的表达式； （2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，可得抛物线方程为，即得； （2）设，利用两角和公式可得，令再利用基本不等式可得的最大值，即求. 【小问1详解】 如图建立平面直角坐标系， 则， 设抛物线的方程为，则， ∴，即， ∴弯道段所确定的函数； 【小问2详解】 设，过P作PQ⊥CD于Q， 则， ∴， 令则， ∴， 当且仅当，即，时取等号， ∴当时，最大，即最大， ∴点的坐标为时，点处监测段的张角最大. 20. 已知函数. （1）求证：函数是上的减函数； （2）已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； （3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3）2 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可； （2）假设函数的图像存在对称中心，进而根据题意将问题转化为恒成立，进而得，解方程即可得答案； （3）根据题意得，进而结合已知条件得以所以，故. 【小问1详解】 解：设对于任意的实数，， 则， 因为，所以， 所以，即 所以函数是上的减函数 【小问2详解】 解：假设函数的图像存在对称中心， 则的图像关于原点中心对称， 由于函数的定义域为， 所以恒成立， 即恒成立， 所以，解得 ， 所以函数的图像存在对称中心 【小问3详解】 解：因为对任意，都存在及实数，使得， 所以，即， 所以，即 因为，所以 因为，所以 所以，即 所以，所以，即实数的最大值为. 21. 已知椭圆：的长轴长为，离心率为，直线与椭圆有两个不同的交点； （1）求椭圆的方程； （2）若直线的方程为，椭圆上的点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值； （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求直线的斜率的值； 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由已知列方程组求得得标准方程； （2）设，由对称求得点坐标，代入椭圆方程可得； （3）设，，，，，， 直线的斜率为，直线方程为，代入椭圆方程求得点坐标，同理求得点坐标，由三点共线得向量共线，由向量共线的坐标表示可得结论． 【小问1详解】 由题意，解得， 所以椭圆标准方程是； 【小问2详解】 设，则，解得， 又在椭圆上，所以，解得或（舍去，此时与重合）， 所以； 【小问3详解】 设，，，， ，， 直线的斜率为，直线方程为， 由，得 ， ， ，所以， 同理， 又，， 因为三点共线， 所以， 将两点坐标代入得，整理得， 所以直线的斜率为2. 【点睛】关键点点睛：本题求椭圆标准方程，直线与椭圆相交、向量共线问题，解题关键是设出四点坐标，直线方程表示为，其中，直线方程与椭圆方程联立求得交点坐标，同理得点坐标，利用参数代入求解可大大减少计算量，然后再由向量共线的坐标表示求得结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$