精品解析：江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

南昌十九中2024—2025学年上学期10月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 直线，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 4. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（　　） A. B. 1或2 C. 1或 D. 1 5. 若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 2 7. 若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 当点P不在x轴上时，的周长是6 B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C. 存在点P，使 D. 的取值范围是 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 直线必过定点 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 过两点的所有直线的方程为 10. 已知曲线C的方程为，则（ ） A. 曲线C可以表示圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为 D. 在直线上存在异于，的两点，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与直线4x+3y-5=0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是_____． 13. 已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______. 14. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆方程：，圆相交点A、B. （1）求经过点A、B的直线方程. （2）求的面积. 16. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． ①角A的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． 若________________，求直线的方程． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17. 已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）． （1）若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程； （2）过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由． 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值. 19. 已知，我们称双曲线与椭圆互为“伴随曲线”，点为双曲线和椭圆的下顶点. （1）若为椭圆的上顶点，直线与交于，两点，证明：直线，的交点在双曲线上； （2）过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，双曲线的一条渐近线方程为，若为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记的面积为，（为坐标原点），的面积为. （i）求双曲线的方程； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十九中2024—2025学年上学期10月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程得出斜率，再由斜率得直线倾斜角. 【详解】由可得直线斜率， 又， 所以. 故选：B 2. 过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程. 【详解】若过的直线与平行，因为， 故直线的方程为：即. 若过的直线过的中点，因为的中点为，此时， 故直线的方程为：即. 故选：D. 3. 直线，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】，即，解得或. 故选：C. 4. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（　　） A. B. 1或2 C. 1或 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用焦点位置及半焦距的计算列式求解作答. 【详解】双曲线的焦点在x轴上，依题意，，即， 又，解得， 所以. 故选：D 5. 若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算. 【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得； 由点在圆的外部可知：，得. 故. 故选：C 6. 已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可. 【详解】由， ，即过定点， 由得，半径， 则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小， 最小值为. 故选：C 7. 若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 当点P不在x轴上时，的周长是6 B. 当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C. 存在点P，使 D. 的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D. 【详解】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论 以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则 （1）焦点三角形的周长为； （2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大； （3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为； （4）. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率. 【详解】 因为，所以∽， 设，则，设，则，． 因为平分，由角平分线定理可知，， 所以，所以， 由双曲线定义知，即，，① 又由 得，所以，即是等边三角形， 所以． 在中，由余弦定理知， 即，化简得， 把①代入上式得，所以离心率为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 B. 直线必过定点 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 过两点的所有直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线过原点时，满足题意，可判定A错误;根据直线系方程过定点，可判定B正确;根据时，此时直线的斜率不存在，可判定C错误;根据直线的方程，分类讨论，可判定D正确. 【详解】对于A中：当在两坐标轴上的截距相等且等于时，直线过原点， 可设直线方程为，又直线过点，则，即， 此时直线方程为，满足题意，所以A错误； 对于B中：直线可化为，由方程组，解得， 即直线必过定点，所以B正确； 对于C中，当倾斜角时，此时直线的斜率不存在，无意义，所以C错误； 对于D中，由两点， 当时，此时过两点的所有直线的方程为，即， 当时，此时过两点的所有直线的方程为或，适合上式， 所以过两点的所有直线的方程为，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知曲线C的方程为，则（ ） A. 曲线C可以表示圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的相关知识，对每个选项逐一分析即可. 【详解】若曲线C表示圆，则，解得，则曲线C的方程为，无意义，A不正确； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，不等式无解，B不正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，D正确. 故选：CD 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为 D. 在直线上存在异于，的两点，，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证. 【详解】因为，，点满足， 设点，则 ， 化简得：，即 ，故A正确； 因为，所以，则 ，解得 ，故B正确； 易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误； 假设存在异于，的两点，，则， 化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与直线4x+3y-5=0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是_____． 【答案】4x+3y+10=0或4x+3y-20=0 【解析】 【分析】设直线方程为4x+3y+m=0，利用平行线间的距离公式求出m的值，即得答案. 【详解】设所求直线方程为4x+3y+m=0， 由 ，得m=10或-20, 故答案为：4x+3y+10=0或4x+3y-20=0 13. 已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系数形结合计算即可. 【详解】，即过定点， ，即曲线为原点为圆心，2为半径的半圆， 如图所示，设与曲线切于点C，曲线与横轴负半轴交于点B， 则，，故. 故答案为：. 14. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率. 【详解】连接，由题意得，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，， 故，即，故， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故， 所以，即，所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆方程：，圆相交点A、B. （1）求经过点A、B的直线方程. （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）判断两圆相交，再将两圆方程相减即可作答. （2）由（1）的结论，求出点到直线的距离，进而求出弦长，求出三角形面积作答. 【小问1详解】 圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，且有，则圆与圆相交， 由消去二次项得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点到直线：的距离， 于是， 所以的面积. 16. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． ①角A的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． 若________________，求直线的方程． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案； （2）联立直线方程，求得点的坐标，分别利用角平分线的对称或中线的对称，可得答案. 【小问1详解】 因为边上的高所在的直线方程为， 所以直线的斜率，又因为的顶点， 所以直线的方程为：，即； 【小问2详解】 若选①，角的平分线所在直线方程为， 由，解得，所以点A坐标为， 设点B关于的对称点为， 则，解得，即坐标为， 又点在直线上，所以的斜率， 所以直线的方程为，即． 若选②：边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，所以点， 设点，则的中点在直线上， 所以，即，又点在直线上，所以， 所以的斜率，所以直线的方程为， 即直线的方程为． 17. 已知点P在圆C：＝16上运动，点Q（4，3）． （1）若点M是线段PQ的中点．求点M的轨迹E的方程； （2）过原点O且不与y轴重合的直线l与曲线E交于两点是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由． 【答案】（1） （2）是， 【解析】 【分析】（1）法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是，再根据中点的性质表达出，，代入化简求解即可 法二：设CQ的中点为N，依题意，|MN|＝＝2，进而得到点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆求解即可 （2）设直线l的方程为y＝kx，再联立直线与（1）中所得的方程，根据韦达定理求解即可 【小问1详解】 法一：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是． 由于点Q的坐标是（4，3），且M是线段PQ的中点， 所以， 于是有，． ① 因为点P在圆上运动， 所以点P的坐标满足圆的方程，即． ② 把①代入②得． 整理，得＝4． 这就是点M的轨迹E的方程． 法二：圆C的圆心C（－2，－3），半径为4．设CQ的中点为N，则N（1，0）．依题意，|MN|＝＝2，所以点M的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即M的轨迹E的方程为＝4． 【小问2详解】 ∵l过原点O且不与y轴重合， ∴可设直线l的方程为y＝kx． 联立直线l与E的方程，消去y并整理得＝0， 依题意知是上方程的两根，则＝＝． 则＝＝＝故是定值． 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得； （2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得. 【小问1详解】 设，依题意， 解得 故的方程为. 【小问2详解】 如图，依题意，联立消去，可得， 依题意，需使，整理得（*）. 因为，则直线的斜率为，则其方程为， 联立解得即 故， 将（*）代入得，故. 19. 已知，我们称双曲线与椭圆互为“伴随曲线”，点为双曲线和椭圆的下顶点. （1）若为椭圆的上顶点，直线与交于，两点，证明：直线，的交点在双曲线上； （2）过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，双曲线的一条渐近线方程为，若为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记的面积为，（为坐标原点），的面积为. （i）求双曲线的方程； （ii）证明：. 【答案】（1）证明：依题意可知，， 联立不妨取，， 则直线的方程为，① 直线的方程为，② 联立①②可得即直线，的交点坐标为. 又成立，所以直线，的交点在双曲线上. （2）（i）； （ii）证明：由（i）得点，. 设直线的斜率为，，， 则直线的方程，与双曲线联立并消去得， 则，所以，，则， 故. 又，所以， 整理得：，，解得或（舍去）. 因为， 所以 . 因为，所以，即. 【解析】 【分析】（1）联立与椭圆方程，求得点的坐标，以及直线的方程，从而求得的交点坐标，即可验证其满足双曲线方程，从而证明； （2）（i）根据通径长度以及渐近线方程求得，则双曲线方程得解； （ii）设直线方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理，结合三角形的面积，求得；再利用三角形面积公式和韦达定理，表达出，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）对，令，故可得，； 因为过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，所以.③ 因为双曲线的一条渐近线方程为，所以.④ 联立③④，解得，，所以双曲线的方程为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $