精品解析：山东省枣庄市薛城区枣庄实验学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

八年级上学期第一次阶段学业质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的立方根是（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查立方根的计算，注意看清题目是关键．，所以计算8的立方根即可． 【详解】∵，8的立方根是2， ∴的立方根是2． 选A． 2. 在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数有，， （两个1之间依次多一个6），共3个． 故选：C 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握满足最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是关键．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可． 【详解】解：A：，故不是最简二次根式； B：，故不是最简二次根式； C：是最简二次根式； D：，故不是最简二次根式； 故选：C． 4. 在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 即是直角三角形，不符合题意； B、∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、设，则， ∵， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴，即不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是3 B. C. 的算术平方根是 D. 的平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，根据平方根与算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解：A. 的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. 的算术平方根是，故该选项不正确，不符合题意； D. 的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画圆，交数轴于点．则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积得出边长，得到，再根据点表示的数为，即可得到答案，根据正方形的面积得出边长是解此题的关键． 【详解】解：正方形的面积为3， ， 以点为圆心，长为半径画圆，交数轴于点， ， 点表示的数为， 点所表示的数为， 故选：A． 7. 如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. 的面积为5 C. D. 点到的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理求出长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【详解】解：A． ∵， ∴，本选项结论正确，不符合题意； B．，本选项结论正确，不符合题意； C．，，， ， ，本选项结论正确，不符合题意； D．点A到的距离，本选项结论错误，符合题意； 故答案为：D 8. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意； B、3与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意； C、正确，此选项符合题意； D、原计算错误，，此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键． 9. 如图，在长方体中，，，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（ ） A. B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，由于在平面内线段最短，再根据勾股定理即可计算． 【详解】解：如图1所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得， 如图2所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得；， 展开左边与上面同理可得： ． 第一种方法蚂蚁爬行的路线最短，最短路程是10． 故选：D． 10. 表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足，，则的平方根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据题意可得，，然后把，的值代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：，为整数，，， ，， ， 的平方根是， 故选：D． 11. 若，则a的值为（ ） A. 0 B. 0，1 C. ，0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴或0， 故选：B. 12. 如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. 6 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，先根据勾股定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到，并得到，然后根据的周长为解题即可． 【详解】解：解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵为等腰三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选D． 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 设x、y为实数，且，则的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数，化简二次根式，求一个的平方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件得到且，从而得到x的值，再计算出对应的y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：且， ∴， 当时，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 14. 实数与互为相反数，则a的算术平方根为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相反数，立方根，算术平方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根是解题关键．先求出的立方根，再求出它的相反数，然后根据算术平方根的定义，即可求出答案． 【详解】解：，实数与互为相反数， ∴， ， ∴a的算术平方根为； 故答案为：2． 15. 已知某正数的两个不同平方根分别是和，则这个正数为__________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，明确平方根是一对相反数是解决此题的关键； 先根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，进而可得m的值， 再由平方根的定义可得这个正数． 【详解】解：∵该正数的两个不同平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：64． 16. 如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，点C到原点的距离等于线段的长，则点B表示的数是 ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据题意可知，点表示的数为，，则点表示的数为：，又因为点到原点的距离等于线段的长，则 ， 因此点表示的数为，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是，是线段的中点，线段， ∴点表示的数为，， ∴点表示的数为， ∵点到原点的距离等于线段的长， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 17. 已知，，则代数式的值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式等知识，先化简x、y的值，然后把变形为，再把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：13． 18. 如图所示，一个没有盖的圆柱盒高8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为____cm． 【答案】15. 【解析】 【详解】解：如图，作出点A关于CD的对称点A′. ∵圆柱盒高为8cm，点A距离下底面3cm， ∴AC=5cm， ∴A′C=5cm. ∵点B是对侧中点， ∴BD=4cm， ∴A′F=5+4=9（cm）. ∵底面圆的周长为24cm， ∴BF=×24=12cm， ∴BA'==15cm. 三、解答题（本大题共7小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的运算，解题的关键是： （1）利用零指数幂、负整数指数幂的意义，绝对值的意义，算术平方根的定义化简计算即可； （2）利用完全平方公式、平方差公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 20. 求下列各式中x的值： （1）； （2） ． 【答案】（1）或 （2）x=﹣1 【解析】 【分析】（1）先把方程化为： 再利用直接开平方法解方程即可； （2）先把方程整理为：，再利用立方根的含义解方程即可. 【小问1详解】 解：， 两边都除以3可得： 解得： 即或 【小问2详解】 解：， 整理得：， ， 解得： 【点睛】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握“平方根与立方根的含义”是解本题的关键. 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处． （1）当∠B＝28°时，求∠CAE的度数； （2）当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长． 【答案】（1）31°；（2）3． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用互余得到∠BAC＝62°，再根据折叠的性质得∠CAE＝∠CAB＝31°，然后根据互余可计算出∠AEC＝59°； （2）Rt△ABC中，利用勾股定理即可得到BC的长；设DE＝x，则EB＝BC﹣CE＝8﹣x，依据勾股定理可得，Rt△BDE中DE2+BD2＝BE2，再解方程即可得到DE的长． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠B＝28°， ∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°， ∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处， ∴∠CAE＝∠CAB＝×62°＝31°； （2）在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10， ∴BC＝＝＝8， ∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处， ∴AD＝AC＝6，CE＝DE， ∴BD＝AB﹣AD＝4， 设DE＝x，则EB＝BC﹣CE＝8﹣x， ∵Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3． 即DE的长为3． 【点睛】本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 22. 已知的平方根为，的立方根为2． （1）求的算术平方根； （2）若c是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）根据平方根和立方根建立等式，求出，的值，进而算出的值，最后求出其算术平方根，即可解题； （2）利用算术平方根的性质估算出的整数部分，进而算出的值，最后求出其平方根，即可解题． 【小问1详解】 解：的平方根为，的立方根为2， ，， 解得，， ， 的算术平方根为， 的算术平方根是6； 【小问2详解】 ， ， 的整数部分为3， 即， 由（1）得，， ， 而25的平方根为， 的平方根． 23. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 24. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设 （其中，，，均为正整数），则有．∴．这样小明就找到了一种把部分（的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，且，，均为正整数，求的值； （2）请化简： 【答案】（1）的值为或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式； （1）根据完全平方公式求出，求出，，求出，根据、为正整数得出，或，，再求出即可． （2）根据，进而根据二次根式的性质化简即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， 、都为正整数， ，或，， 当，时，； 当，时，， 所以的值是7或13． 【小问2详解】 解：∵， ∴ 25. 已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决以下问题： （1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA=，则①线段PB= ，PC= ．②猜想：三者之间的数量关系为 ． （2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程． （3）若动点P满足，请直接写出的值．（提示：请你利用备用图探究） 【答案】（1）①，；②AP2+BP2=PQ2； （2）证明：如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D． ∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB， ∴CD=AD=DB． ∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC•PD+PD2， PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DC•PD+PD2， ∴AP2+BP2=2CD2+2PD2， ∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2， ∴AP2+BP2=2PC2． ∵△CPQ为等腰直角三角形， ∴2PC2=PQ2． ∴AP2+BP2=PQ2； （3）或 【解析】 【分析】（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长，再利用SAS证明△APC≌△BQC，得出BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°，那么△PBQ为直角三角形，依据勾股定理求出PQ=，即可得到PC； ②过点C作CD⊥AB，垂足为D，由△ACB为等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC-PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论； （2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则可证明AP2+BP2=2PC2，在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，可得出AP2+BP2=PQ2的结论； （3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PA、PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACD和Rt△PCD中由勾股定理求得AC和PC的长度即可． 【详解】解：（1）如图①．连接BQ， ①△ABC是等腰直角三角形，AC=4， ∴AB=， ∵PA=， ∴PB=， ∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，∠ACP=∠BCQ，PC=CQ， ∴△APC≌△BQC（SAS）． ∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°． ∴△PBQ为直角三角形． ∴PQ=． ∵， ∴； 故答案为：，； ②如图①．过点C作CD⊥AB，垂足为D． ∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB， ∴CD=AD=DB． ∵AP2=（AD-PD）2=（DC-PD）2=DC2-2DC•PD+PD2， PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DC•PD+PD2， ∴AP2+BP2=2CD2+2PD2， ∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2， ∴AP2+BP2=2PC2． ∵△CPQ为等腰直角三角形， ∴2PC2=PQ2． ∴AP2+BP2=PQ2； 故答案为：AP2+BP2=PQ2； （2）略 （3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D． ①点P位于点P1处时． ∵， ∴P1A＝AB＝， ， 在Rt△P1CD中，由勾股定理得： ， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： ， ∴； ②当点P位于点P2处时． ∵， ∴P2A＝AB＝CD， ， 在Rt△P2CD中，由勾股定理得： ， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： ， ∴； 综合上述，的值为：或． 【点睛】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，根据等腰直角三角形的性质得CD=AD=DB，将PA、PB、PQ、AC、PC用含DC的式子表示出来是解题的关键．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期第一次阶段学业质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第一部分（选择题共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的立方根是（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 2. 在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，满足下面的条件时，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是3 B. C. 的算术平方根是 D. 的平方根是 6. 如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画圆，交数轴于点．则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. 的面积为5 C. D. 点到的距离为 8. 下列运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方体中，，，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（ ） A. B. C. D. 10 10. 表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x，y满足，，则的平方根为（ ） A. B. C. D. 11. 若，则a的值为（ ） A. 0 B. 0，1 C. ，0 D. 1 12. 如图，在中，，，．D为斜边上一动点，连接，过点D作交边于点E，若为等腰三角形，则的周长为（ ） A. B. 6 C. D. 5 第二部分（非选择题共84分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 设x、y为实数，且，则的平方根是__________． 14. 实数与互为相反数，则a的算术平方根为__________． 15. 已知某正数的两个不同平方根分别是和，则这个正数为__________． 16. 如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，点C到原点的距离等于线段的长，则点B表示的数是 ________ 17. 已知，，则代数式的值为__________． 18. 如图所示，一个没有盖的圆柱盒高8cm，底面圆的周长为24cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为____cm． 三、解答题（本大题共7小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）． （2）． 20. 求下列各式中x的值： （1）； （2） ． 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处． （1）当∠B＝28°时，求∠CAE的度数； （2）当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长． 22. 已知的平方根为，的立方根为2． （1）求的算术平方根； （2）若c是的整数部分，求的平方根． 23. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 24. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设 （其中，，，均为正整数），则有．∴．这样小明就找到了一种把部分（的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）若，且，，均为正整数，求的值； （2）请化简： 25. 已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决以下问题： （1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA=，则①线段PB= ，PC= ．②猜想：三者之间的数量关系为 ． （2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程． （3）若动点P满足，请直接写出的值．（提示：请你利用备用图探究） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $