精品解析：四川省2024年普通高校对口招生统一考试数学试题

机密★启用前 四川省2024年普通高校对口招生统一考试 数学 本试题卷分第I卷和第Ⅱ卷.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷､草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷､答题卡和草稿纸一并交回. 第I卷（共60分） 注意事项： 1.必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2.第I卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分. 一､选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的运算求交集即可. 【详解】集合，， 则； 故选：C. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数定义域为与对数函数真数大于零可求定义域. 【详解】函数有意义， 则，，即， 则函数的定义域是； 故选：C. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：. 4. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可化为，与， 可化为或，解得或， 可化为，即，解得， 综上，不等式的解为或， 则不等式的解集为； 故选：D. 6. 过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与直线垂直的直线的方程为，再将点代入求值即可. 【详解】直线的斜率为，则与其垂直的直线斜率为， 设与直线垂直的直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以直线的方程为. 故选：A. 7. （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式和对数的基本运算性质求解. 【详解】 . 故选：C 8. 函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据图象求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值. 【详解】由图象可知，， 所以，解得， 所以， 因为点在函数图象上， 代入得， 即， 所以， 因为，所以当时，， 故函数的解析式为. 故选：A. 9. 已知椭圆的左焦点为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用椭圆的性质，转化求解即可得解. 【详解】因为椭圆的左焦点为， 所以，解得， 故选：. 10. 某保险公司为了解购买某险种的1000名投保人的出险次数情况，随机调查了其中100名投保人的出险次数，得到如下表格： 出险次数 0 1 2 3 投保人数 29 25 8 3 则下列结论中正确的是（ ） A. 表中的值为25 B. 调查的这100名投保人的出险次数的均值大于1 C. 购买该险种的100名投保人的出险次数是总体 D. 估计购买该险种的所有投保人中，出险次数不低于3次的人数为11 【答案】B 【解析】 【分析】由频数分布表的数据特征逐个判断即可. 【详解】由样本容量，可知，故A错误； ， 故这100名投保人的出险次数的均值大于1，故B正确； 由样本的概念可知，购买该险种的100名投保人的出险次数是样本，故C错误； ， 故购买该险种的所有投保人中，出险次数不低于3次的人数为，故D错误. 故选：B. 11. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，因为幂函数在上是增函数， 又指数函数在定义域上是增函数. 所以，又， 所以. 故选：C. 12. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数结合条件充分性与必要性进行判断即可. 【详解】设，则“”，则，充分性不成立； ，则，必要性成立； 则“”是“”的必要不充分条件； 故选：B. 13. 一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知当时，，将其代入解析式中，得出，再令代入求值即可. 【详解】根据题意可知当时，， 代入中得，， 整理得，再过分钟，即时， 该物体的温度为. 故选：C. 14. 设是三个不同的平面，是两条不同的直线.给出下列四个命题：（ ） ①若，则. ②若，则. ③若，则. ④若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行、面面平行以及面面垂直的性质分析求解. 【详解】①中若，根据面面平行的传递性可知，正确， ②中若，则有可能平行，也有可能相交，错误， ③中若，则有可能平行，也有可能相交，即平行于的交线时，也成立，错误， ④中若，则有可能平行，也有可能相交，错误， 所以正确命题个数是1个， 故选：A. 15. 已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可知的周期为，再根据解析式分别求出的值，再根据周期函数的性质求值即可. 【详解】已知定义在上的函数满足， 所以的周期为，且当时，， 当时，，所以， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 因为， 所以 . 故选：D. 第II卷（共90分） 注意事项： 1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚. 2.第II卷共2大题，11小题，共90分. 二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 16. 已知抛物线过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将点代入解析式，求出即可. 【详解】将点代入抛物线， 则，； 故答案为：. 17. 若的展开式中的系数为，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令的指数等于求出的值，再利用的系数列出方程求出的值. 【详解】的二项展开式的通项为:, 令,得, 则, 解得. 故答案为：. 18. 某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 【答案】 【解析】 【分析】根据得出每天的高度为等比数列，根据等比数列的性质即可得解. 【详解】由题意可知，该植物在快速生长期每天结束时的高度构成一个公比为的等比数列， 设等比数列为，则， 所以毫米， 故答案为：. 19. 已知函数是偶函数，其中，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用对数函数的定义域结合函数奇偶性求出即可. 【详解】函数是偶函数， 则，， 则，或，； 当时，，此时定义域不关于原点对称，不符合偶函数， 若，则，则有或，无解，不符合题意； 若，则，则或， 因为偶函数定义域关于原点对称，则，则； 则解析式为 则，即， 即， 则，即，解得； 则； 故答案为：2. 20. 已知平面向量满足，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积运算律，，，令，对平方求的范围，即可求得最大值. 【详解】因为，设 的夹角为，， 则，， 令，， 则， 因为，所以， 所以，又因为， 所以， 所以的最大值是， 故答案为：. 三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 21. 为弘扬中华优秀传统文化，某学校将开展传统文化知识竞赛.已知该学校的文学､朗诵､书画､戏曲4个社团的人数分别为，且每个社团的成员都只参加了1个社团.竞赛组委会拟采用分层抽样的方法从以上4个社团中抽取12名同学担任志愿者. （1）求应从这4个社团中分别抽取的志愿者人数； （2）若从抽取的12名志愿者中随机抽取3名担任竞赛分数统计员，求抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的概率. 【答案】（1）5；4；2；1. （2） 【解析】 【分析】（1）先确定抽样比，再分别计算每层抽取的人数即可求得. （2）根据组合的应用分别计算出基本事件总数以及事件A中包含的基本事件数，再根据古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，抽样比为， 所以从文学社团抽取的志愿者人数为； 从朗诵社团抽取的志愿者人数为； 从书画社团抽取的志愿者人数为； 从戏曲社团抽取的志愿者人数为； 综上所述，应从文学、朗诵、书画、戏曲4个社团中分别抽取的志愿者人数为5，4，2，1. 【小问2详解】 由题意，从抽取的12名志愿者中随机抽取3名担任竞赛分数统计员，共有种抽法； 记“抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团”为事件A； 其中抽取的3名统计员中恰有2名来自文学社团的方法有种， 抽取的3名统计员中恰有2名来自明诵社团的方法有种， 抽取的3名统计员中恰有2名来自书画社团的方法有种； 故抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的方法共有种； 故抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的概率为. 22. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求A的大小； （2）若，证明：为直角三角形. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式即可求解. （2）根据余弦定理，两角和与差的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，. 则. 即，所以或. 解得或. 因为是内角，所以. 【小问2详解】 由题意得，. 则，即. 又由余弦定理，则.即. 所以，解得. 因为是内角，所以，由得，所以. 所以为直角三角形. 23. 如图，已知四棱锥的底面为长方形，底面，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）作中点，连接，，证明为直角三角形，然后根据证明即可； （2）取上一点，作，连接，利用三角形面积求出，利用射影定理证明，从而得到二面角的平面角，然后求角的正切值即可. 【小问1详解】 作中点，连接，，，， 因为，为，中点，则为中位线， 则，，. 因为底面为长方形，则， 因为底面，， ， ， 因为底面，， 因为，即 ， 所为直角三角形，则， 因为，所以. 【小问2详解】 取上一点，作，连接， 因为底面，底面， 则为在底面的射影， 因为底面，底面， 所以， 又，面， 所以面， 因为面， 所以， 又因为平面，平面， 所以二面角的平面角为， 又因为底面，底面， 所以，所以为直角三角形. 因为底面为长方形，则为直角三角形， 则， 因为，则， 又因为，则， 则二面角的正切值为. 24. 设数列的前项和满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用写出，两式相减化简，在同除，化简等式累加，得到，等式两边同乘，得到，再由已知列方程组求出，即可求通项公式； （2）利用（1）求出，然后利用裂项相消求前项和即可. 【小问1详解】 因为，有， 两式相减得， 即，化简得， 等式两边同除以，得， 化简得， 则有，，， 累加得， 即，等式两边同乘，则，即， 因为，且，即， 所以，即， ，即， 则，解得，，， ， 当时，满足， 则数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 则， 则， 则 . 25. 设，函数. （1）设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（）设出点的坐标，利用韦达定理及两点间的距离公式列出方程即可得解. （）将函数转化为以为自变量的函数，分类讨论的单调性，列出不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意可设，， 则与是方程的两根， 所以，， 因为， 所以， 整理得，解得或. 【小问2详解】 ， 令，根据题意可知，当，， 当，即时，为增函数， 所以，解得， 当，即时，为减函数，所以，解得，又因为，所以此时无解， 当，即时，，此时不满足题意， 综上所述，对任意的恒成立，实数的取值范围为. 26. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点. （1）求定点的坐标，并求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 【答案】（1），，（） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用直线定点的求法求得的坐标，再利用两直线垂直得到点的轨迹为圆，进而利用两点中点坐标公式与距离公式，结合圆的标准方程即可得解； （2）利用（1）中结论，结合三角换元与三角恒等变换、正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由可得， 所以该线过定点， 由易知该直线过定点， 又由直线与，可知， 所以两直线垂直，又两直线相交于，所以， 注意到直线不平行于轴，所以圆与轴的另一个交点不存在， 则点的轨迹为以线段为直径的圆（挖掉一点）， 则圆心为线段的中点，即， 半径为， 所以点的轨迹方程为（）. 【小问2详解】 因为， 所以， 不妨设， 所以 ， 因为，所以， 则当，即时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 四川省2024年普通高校对口招生统一考试 数学 本试题卷分第I卷和第Ⅱ卷.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷､草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷､答题卡和草稿纸一并交回. 第I卷（共60分） 注意事项： 1.必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2.第I卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分. 一､选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 25 8. 函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知椭圆的左焦点为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 10. 某保险公司为了解购买某险种的1000名投保人的出险次数情况，随机调查了其中100名投保人的出险次数，得到如下表格： 出险次数 0 1 2 3 投保人数 29 25 8 3 则下列结论中正确的是（ ） A. 表中的值为25 B. 调查的这100名投保人的出险次数的均值大于1 C. 购买该险种的100名投保人的出险次数是总体 D. 估计购买该险种的所有投保人中，出险次数不低于3次的人数为11 11. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 14. 设是三个不同的平面，是两条不同的直线.给出下列四个命题：（ ） ①若，则. ②若，则. ③若，则. ④若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（共90分） 注意事项： 1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚. 2.第II卷共2大题，11小题，共90分. 二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 16. 已知抛物线过点，则__________. 17. 若的展开式中的系数为，则实数__________. 18. 某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时的高度为__________毫米. 19. 已知函数是偶函数，其中，则__________. 20. 已知平面向量满足，则的最大值是__________. 三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 21. 为弘扬中华优秀传统文化，某学校将开展传统文化知识竞赛.已知该学校的文学､朗诵､书画､戏曲4个社团的人数分别为，且每个社团的成员都只参加了1个社团.竞赛组委会拟采用分层抽样的方法从以上4个社团中抽取12名同学担任志愿者. （1）求应从这4个社团中分别抽取的志愿者人数； （2）若从抽取的12名志愿者中随机抽取3名担任竞赛分数统计员，求抽取的3名统计员中恰有2名来自同一社团的概率. 22. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求A的大小； （2）若，证明：为直角三角形. 23. 如图，已知四棱锥的底面为长方形，底面，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正切值. 24. 设数列的前项和满足：，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 25. 设，函数. （1）设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 26. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点. （1）求定点的坐标，并求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $