精品解析：黑龙江省大庆市实验中学实验一部2024-2025学年高二上学期10月阶段性质量检测数学试题

大庆实验中学实验一部2023级高二上学期 10月份阶段性质量检测 数学学科试题 2024.10.08—2024.10.09 命题人：侯典峰 审题人：刘畅 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示圆的方程，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体中，平面，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，，，为与的交点，若，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体边长为2，动点满足（，，），则下列说法正确的个数是（ ） ①当，时，则直线平面 ②当，，时，的最小值为 ③当，时，的取值范围为 ④当，且时，则点的轨迹长度为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为，则不存在实数，使直线经过坐标原点 B. 方程表示过点的所有直线 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 10. 已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为_________. 13. 如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________. 14. 已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若三条直线，，. （1）当与垂直时，与的交于点，与的交于点，求和点到的距离. （2）若三条直线不能构成三角形，求的值. 16. 直线的方程为，. （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若直线分别交轴、轴的正半轴于点，点是坐标原点. （ⅰ）若的面积为16，求的值； （ⅱ）当的面积最小时，求直线的方程. 17. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 19. 如图，已知四边形为菱形，，，将菱形绕所在直线旋转到的位置，使得平面平面，连接，，得到几何体，、分别为、上的动点，且，，其中. （1）求的长； （2）是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）求的最小值，并求取最小值时，点到平面的距离与点到平面的距离的比值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学实验一部2023级高二上学期 10月份阶段性质量检测 数学学科试题 2024.10.08—2024.10.09 命题人：侯典峰 审题人：刘畅 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义，即可求得直线的倾斜角. 【详解】直线经过、两点，则其斜率为， 设直线倾斜角为，则， 由于直线的倾斜角范围为大于等于小于， 故该直线的倾斜角为， 故选：B 2. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A 3. 已知方程表示圆的方程，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：因为方程表示圆的方程， 所以，解得， 故选：A 4. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值. 【详解】若共面，则， 即， 所以，解得：. 故选：B 【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型. 5. 如图，在四面体中，平面，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，求得，，根据线线角的向量公式即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设， 则，，，，所以，，，所以. 设直线与所成角的大小为，则. 故选：D. 6. 如图，在平行六面体中，，，为与的交点，若，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，以及空间向量的数量积的公式，向量模的计算公式，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，， 所以，且， 对于A中，由空间向量的运算法则，可得：，所以A不正确； 对于B中，由，， 可得 ，所以， 所以B不正确； 对于C中，由， 则，所以， 对于D中，由，， 可得 ，所以D正确. 故选：D. 7. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，分析可得，求出的取值范围，即可得出的取值范围，再由可得出的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 所以，. 故选：C. 8. 已知正方体边长为2，动点满足（，，），则下列说法正确的个数是（ ） ①当，时，则直线平面 ②当，，时，的最小值为 ③当，时，的取值范围为 ④当，且时，则点的轨迹长度为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，①③利用空向量的知识计算即可；②先确定点的轨迹，然后展开为平面，利用两点间线段最短计算即可；④找到点点的轨迹，然后计算轨迹长度即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系 则 因为 得 ①当，时，，此时, 得,所以直线与平面不垂直，故①错误； ②当，，，得，作靠近点的四等分点，作靠近点的四等分点， 连接,显然 易知此时点在线段上运动， 将四边形与四边形放在同一个平面上是，连接,与为时， 有最小值为，故 ②正确； ③当，时， 所以 由题可知， 因为，，，所以 所以 因为，所以 所以 故，故③正确； ④当，且时，因为，，， 由空间向量的性质可知，此时点在平面上运动， 因为，，，故点在三角形面内运动； 连接,与平面相交于点，连接 由正方体的性质可知，,平面，点为三角形的内心， 因为，所以 所以，点的轨迹是一个以点为圆心，为半径的一个圆上， 假设在三角形面内，此时的轨迹长度为 易知， 所以三角形的内切圆半径为 点的轨迹在三角形内的为以为圆心，为半径的圆的一部分，所以的轨迹长度小于，故④错误； 综上所述，正确的有②③，共2个. 故选：C 【点睛】关键点点睛，我们在找点的轨迹时，一定要注意，，，然后求解即可. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为，则不存在实数，使直线经过坐标原点 B. 方程表示过点的所有直线 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线方程的意义来进行分析，在求点到直线的距离最大值时，利用了直线恒过定点，从而推出这两点间的距离是最大的点到直线的距离，问题即可得解，在研究动直线斜率的取值范围时，关键要利用斜率在倾斜角为锐角和钝角范围内都是单调递增的，从而易得斜率取值范围. 【详解】对于A,若直线 过原点，则代入得，这显然是不成立的，故A正确； 对于B，由于直线方程表示是过点斜率存在的直线方程，故B错误； 对于C，直线可化为，，可知直线恒过定点， 因为，所以，， 由几何图形可知点到直线的距离恒小于或等于， 只有当直线与垂直时，取到点到该直线距离的最大值， 所以此时直线的斜率为，结合直线方程可得，，故C正确； 对于D，由，，可得：， 利用倾斜角与正切值的函数单调性，结合图形可知：斜率的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线斜率为2，有，则. 依题意有或， 当时，，即， 解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合； 当时，，即， 解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合. 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况：利用点到平面距离相等列式计算即可求. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为：时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 由于和两点到直线的距离相等， 所以， 解得，此时直线的方程为：， 综上所述，直线的方程为：或. 故答案为：或 13. 如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，，分别为，的中点，，且二面角的平面角大于60°，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角大小建立不等式求解可得. 【详解】因为底面，底面， 所以，又为直角，所以两两垂直， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 因为为的中点，所以， 所以， 设为平面的法向量， 则，令得， 易知，平面的一个法向量为, 由图可知，二面角的平面角为锐角，记为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，将问题转化为求两点到原点距离之和的最小值与最大值的和， 结合图形可得答案. 【详解】设，. 则， 表示两点到原点距离之和. 如图，建立直角坐标系，其中. 注意到点在直线上（其中）， 过B作y轴垂线，垂足为.则， 设原点关于直线对称的点为，又直线斜率为-2. 则，即. 则由对称性， ，当且仅当C，B，D三点共线， 即DC垂直于y轴时取最小值； 又设DC垂直于y轴时，与直线交点为E. 则当点B位于点E上方或下方时，始终有， 要使最大，则点B需位于G点或H点， 可得最大值为. 则最小值与最大值的和是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：对于求解含有根式的条件等式范围问题，可利用数形结合思想，将问题转化为距离相关的问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若三条直线，，. （1）当与垂直时，与的交于点，与的交于点，求和点到的距离. （2）若三条直线不能构成三角形，求的值. 【答案】（1）； （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得的方程为，联立方程组求得和，结合两点间的距离公式和点到直线的距离公式，即可求解； （2）若三条直线不能构成三角形，得到三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行，结合直线的位置关系，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 由直线的斜率为，直线的斜率为， 当与垂直时，可得，解得，即直线的方程为， 联立方程，解得，即， 联立方程，解得，即， 则， 可得到直线的距离为， 所以，点到的距离为. 【小问2详解】 若三条直线不能构成三角形，则三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行． ①若三条直线交于同一点时，解方程组，解得， 即与的交点是，把点代入直线的方程，得； ②若其中至少有两条直线平行时， 当，可得，解得，此时的方程为，且； 当，得，解得，此时直线的方程为，且， 综上可得，三条直线不能构成三角形，则或或． 16. 直线的方程为，. （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若直线分别交轴、轴的正半轴于点，点是坐标原点. （ⅰ）若的面积为16，求的值； （ⅱ）当的面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1）或． （2）（ⅰ）或（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令，列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解（ⅰ），换元令，结合基本不等式判断（ⅱ）即可求解. 【小问1详解】 当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． 【小问2详解】 由题意知，，，且在轴，轴上的截距分别为，， 所以，解得， 所以的面积， （ⅰ）由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． （ⅱ），令，则，且， 则， 当且仅当，即，时，的面积取最小值， 此时直线的方程为． 17. 的三个顶点分别是，，. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ），轨迹是以为圆心，半径为的圆． 【解析】 【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）（ⅰ）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； （ⅱ）设，点，由，求得，根据在圆上运动，得到，代入，即可求解. 【小问1详解】 解：设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点. （1）若，证明：平面； （2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，，平面， 可知，， 在中，为的中点，则， 因为，所以，则，， 在中，， 即， 所以，即， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）分别证明，，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求两个平面的夹角. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意可知：平面， 所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，所以． 又因为，故，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为， 则，即，可取； 设平面的法向量为， 则，即，可取； 从而可知， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 19. 如图，已知四边形为菱形，，，将菱形绕所在直线旋转到的位置，使得平面平面，连接，，得到几何体，、分别为、上的动点，且，，其中. （1）求的长； （2）是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）求的最小值，并求取最小值时，点到平面的距离与点到平面的距离的比值. 【答案】（1） （2）存在； （3）最小值为，比值为． 【解析】 【分析】（1）取的中点，由余弦定理求得，证得和，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得，再求得平面的一个法向量，根据平面，得到，列出方程，即可求解； （3）由，得到，利用二次函数的饿性质，求得的最小值，再由向量的距离公式，分别求得到平面的距离为和到平面的距离为，即可求解. 【小问1详解】 解：取的中点，连接，， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以，所以，即， 同理，且，故为二面角的平面角， 因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面， 又因为平面，所以，所以， 所以在直角中，可得，所以． 【小问2详解】 解：由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，， 可得，，，，，，， 因为，， 可得，， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以是平面的一个法向量， 若直线平面，则满足，即， 解得，满足，所以存在，使得直线平面. 【小问3详解】 解：由（2）知：， 则，当时，取得最小值，最小值为， 此时，， 因为是平面的一个法向量， 所以到平面的距离为， 此时， 又因为是平面的一个法向量， 所以到平面的距离为， 则，即当取最小值时，点到平面的距离与点到平面的距离的比值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $