第二章 有理数及其运算——有理数加减及考点 讲义 2024—2025学年鲁教版（五四制）（2024）数学六年级上册

二、有理数的运算 (一)有理数的加减法 一、有理数的加法 1.有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 有理数加法运算“三步法”： ①判—判断是同号相加，异号相加还是同零相加。 ②定—确定和的符号。 ③算—计算和的绝对值(同号加，异号减) 例1-1. 计算：(1) (2) (3) (4) 2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在有理数运算中运用运算律时，通常按下列顺序使用运算律： ① “相反数结合” ——互为相反数的两个数优先相加； ② “凑整结合”——几个数相加得到整数，先相加； ③ “同分母结合” ——含有分数的加法运算，分母相同的(或易于通分的)数先相加； ④ “同号结合” ——符号相同的两个数先相加； 例1-2. 计算：-+(-)++(-)++(-) 观察有一对相反数，一对凑整 原式=[(-)+(-)]+[(-)+]+[+(-)] 相反数结合，凑整结合，剩下两数一般也结合 =(-1)+0+(-) =-1 运用运算律的目的，就是将几个数结合凑整，从而简化运算过程，若没有凑整的情况，可考虑同分母或同号结合，实际应用时一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的。 常用的计算习惯： ①同时含有分数和小数的加法运算，一般考虑将小数转化为分数，再按上述顺序进行运算。分数的运算尽量使用带分数，有时可将其拆分为整数部分和分数部分分别结合计算。 例1-3. 计算：(+0.125)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1.25) 原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) 将小数转化为分数，出现凑整或同分母结合的可能 =[(+)+(-3)]+[(+3)+(-1)]+(+10) 凑整或同分母结合 =-3+2+10 将带分数拆分 =(-3+2+10)+(+) 整数和整数结合，分数和分数结合 =9+1=10 ②有时没有可以凑整的数，并且同号结合比较复杂，可使用“同形结合法”，即整数与整数、小数与小数、分数与分数相加。 例1-4. 计算：(-18.15)+13+12.05+(-9) 观察无凑整结合的情况，同号结合并不简便 原式=[(-18.15)+ 12.05]+[13+(-9)] 使用同形结合 =(-6.1)+4=-2.1 注：一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。 3.有理数加法的应用 例1-5. 某食品厂从生产的袋装食品中抽取20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表： （1）这批样品的质量比标准质量多还是少？多或少几克？ （2）若每袋标准质量为500克，则抽样检测的总质量是多少？ 解析：此类问题解决多个数和的“三步法”：①确定：确定数据的标准量。②表示：用正负数表示每个数据偏离标准值的数值。③计算：标准总量+偏差总值=数据总和 二、有理数的减法 1.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用字母表示为：a-b=a+(-b)。 有理数减法中的“一确定”“两变化”： ①一确定：确定减数的符号 ②两变化：运算符号由“-”变“+”，减数符号改变。 例1-1. 计算：(1) 3-13 (2) (-18)-(-4) (3) 18-(-2) (4) (-5)-7 答案：(1) -10 (2) -14 (3) 20 (4) -12 2.有理数减法应用 （1）数轴上两点间的距离，可用这两点表示的数之差的绝对值表示。 即：|AB|=|a-b|=|b-a|=a-b (a＞b) 例1-2. ①若点C与点O（原点记为点O）的距离记为|OC|，有|OC|=5，则|CD|= ． ②若数轴上M、N两点所表示的数分别为x、y，则|MN|= 答案：①11 ②y-x （2）绝对值化简 化简规则： ①绝对值内的式子为正，绝对值号改为括号； ②绝对值内的式子为负，绝对值号改括号，括号前加负号。 例1-3. 3.有理数加减法混合运算 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。注意，合理使用运算律简化运算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。 如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 例1-4. （1）-40-（-19）+（-24） （2） 答案：（1）-45 （2）1 典型题： 1、(2023日照)计算2－(－3)的结果是(　　) A．－1 B．1 C．－5 D．5 2、若两个有理数的和为负，那么这两个有理数（ ） A.都为负 B.一个为零，另一个为负 C.至少有一个为负 D.异号 3、若|x|=5，|y|=12，且x＞y，则x+y的值为 。 4、 某校七年级1班和2班共有100名学生，在一次数学测试中以90分为标准，超过90分的分数记为正数，不足90分的分数记为负数，这100名同学对应的成绩整理如下表： 请你算出这100名同学这次测试的平均成绩． 5、甲、乙两商场上半年营收如下： 月份 一 二 三 四 五 六 甲商场 +0.8 +0.6 -0.4 -0.1 +0.1 +0.2 乙商场 +1.3 +1.5 -0.6 -0.1 +0.4 -0.1 （“+”表示盈利，“-”表示亏本，以百万为单位） （1）三月份乙商场比甲商场多亏损多少元？ （2）六月份甲商场比乙商场多盈利多少元？ （3）甲、乙两商场上半年平均每月分别盈利或亏损多少元？ 6、计算： 8+(1)5 () ()+3 –(-2.75)-5 -0.25+(-)+2+0.125 3.74-(-1)-(-2.26)+ 1 (-12.7)-(-5)-87.3+3 -2-3+2.25 -0.5+(-3)-2.75+7 -15-(-)+7-|-0.75| 学科网（北京）股份有限公司 $$