第二章有理数及其运算一 有理数相关概念及考点 讲义 2024—2025学年鲁教版（五四制）(2024)数学六年级上册

有理数重要知识点及典型考题 一、有理数的基本概念 一、正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数； 当a表示负数时，-a是正数； 当a表示0时，-a仍是0。 例1-1. 已知任意一个有理数a，其相反数-a表示（ ） A. 负数 B. 正数 C. 0 D.不确定 答案：D 例1-2. 判断：带正号的数是正数，带负号的数是负数，( ) 解析：a为任意有理数，+a,-a就不能做出简单判断。 ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量 判断依据：①必须是同一属性的量(数值上不一定相同) ②表示的意义相反(含有一对反义词或符号相反) 表示方法：若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量， 例1-3. 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为： 答案：-8℃ 3. 0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 在小学学习自然数时，0表示什么也没有，初中学习有理数，0有了确定的意义，表示正数和负数的分界点。 二、有理数 1. 有理数的概念 定义：可以写成 (p、q为整数)形式的数称为有理数。 整数和分数统称为有理数。 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的形式的数才是有理数。 ①无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数(如π)。 ②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 例2-1. 下列各数是有理数的有（ ）个。 -1，，3.1415926，2π， ， ， ，π-π。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：3.1415926是π的近似数，是一个有限小数，所以是有理数；含π的数或式子，要经过运算或化简后再判断，如=1，π-π=0，都是有理数。 答案：D 2. 有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为 （也叫自然数） ②负整数、0统称为 ③正有理数、0统称为 ④负有理数、0统称为 例2-2. 把下列各数分类： -3，0.45，，0，9，-1，-1，10，-3.14 （1）正整数：{ } （2）负整数：{ } （3）整数：{ } （4）分数：{ }． 例2-3. 下列说法正确的有（ ）个 ① 0是最小的整数 ② 一个有理数，不是正数就是负数 ③ 若a是正数，则-a一定是负数 ④ 自然数一定是正数 ⑤ 整数包括正整数和负整数 ⑥ 非正数就是负数和0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 解析：①引入负数后，整数范围扩大了，负整数也是整数，比零小，该项错误。②“一个有理数，不是正数就是负数”代表有理数只含有正数和负数两类，实际上有理数包含正数、负数和零三类。该项错误。④自然数包括零和正整数，可能是零，也可能是正数。该项错误。⑤整数包括正整数、零和负整数，该项错误。 答案：D 三、数轴 ⒈数轴的概念 定义：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线； ⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； ⑶同一数轴上的单位长度要统一； ⑷数轴三要素都是根据实际需要规定的。 例3-1. 下列直线是数轴的是（ ） A. B. C. D. 解析：A项负数在正方向上。B项负方向上负数排列顺序错误。D项单位长度不统一。 答案：C 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可用数轴上的点来表示，正有理数在原点右边，负有理数在原点左边，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 例3-2. 如图，数轴上点A表示的数是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，绝对值大的反而小(距离原点远的数比距离原点近的数小)。 例3-3. 把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号将各数从小到大排列起来： -，-4.5，0，-4，，-1，2.5 例3-4. 如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．b＞c C．b＞a D．a＞c 答案：C 4.数轴之最 (1)最小的自然数是0，无最大的自然数； (2)最小的正整数是1，无最大的正整数； (3)最大的负整数是-1，无最小的负整数； (4)最大的非正数是0，无最小的非正数； (5)最小的非负数是0，无最大的非负数； (6)绝对值最小的数是0，无绝对值最大的数。 5.数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。 例3-4.①将数轴上表示-1的点A向右移动6个单位长度，此时点A所对应的数为 ②在数轴上，与原点的距离等于2的点表示的数为 ③在数轴上，与表示-1的距离等于4的点表示的数为 答案：①+5. ②±2. ③-5和3 四、相反数 ⒈相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶ 0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 2.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0； ⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数， 即a，b互为相反数，则a+b=0(常用于解决化简求值问题) 例4-1. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的相反数是2 。试求代数式 x－（a＋b＋cd）＋（a＋b）＋（－cd）的值． 答案：-4 3.相反数的几何意义 互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）分布在原点两侧，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 注：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 例4-2. 在数轴上，与原点的距离等于2.5的点表示的数为 ． 答案：±2.5 例4-3. 如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上． （1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ； （2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ； （3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置． 解析：根据相反数的几何意义，表示互为相反数的两点的中点即为原点。 答案：（1）B (2) C (3) 线段BC的中点 4.相反数的求法 ⑴求一个非负数或单个字母的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得 如：5的相反数是-5；a的相反数是-a ⑵求前面带“-”的单个数或字母，要先用括号括起来再添“-”，然后化简 如：-5的相反数是-(-5)，化简得5；-a的相反数是-(-a)，化简得a ⑶求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简 如：5a+b的相反数是-(5a+b）。化简得-5a-b； 例4-4. ①x-2的相反数是 ． ②已知a+2的相反数是-3，那么a的相反数 答案： ① 2-x ② -1 5.相反数的表示方法 一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0） 常见考点：已知a,b互为相反数，则：a+b=0. 6.多重符号的化简 化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果； 即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。 例4-5， -[-（-2.8）]= ，-（-6）= ，-[-（+6）]= ． = ，= ，+（+2.5）= 答案：-2.8；6；6；2；-4；2.5. 五、绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 注：0的绝对值是它本身，0的绝对值是它的相反数。 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。 即a为任意有理数，都有|a|≥0。 即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 与 |a|=0互推； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 例5-1. 如果|a＋2|＋|b－1|＝0，那么 (a＋b)2 022 的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 022 D．2 022 解析：由题意得，a=-2，b=1，a+b=-1，(a＋b)2 022=1.选B 4.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 5.绝对值的化简 ①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。 例5-2. ①已知︱a︱=5,︱b︱=8,且a＞b,试求a+b的值。 ②已知︱a︱=5,︱b︱=8,且︱a+b︱= -(a+b),试求a+b的值。 典型题： 1、如果向东走2m记为+2m，则向西走3m可记为（　　） A．+3m B．+2m C．-3m D．-2m 2、一种面粉的质量标识为“25±0.20千克”，下列面粉中合格的是（　　） A．25.30千克 B．24.70千克 C．25.51千克 D．24.82千克 3、(2023徐州)如图，数轴上点A，B，C，D分别对应实数a，b，c，d，下列各式的值最小的是　(　　) A．|a| B．|b| C．|c| D．|d| 4、(2023杭州)已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中－1＜a＜0，0＜b＜1.若a·b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是(　　) 5、若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 6、(2023通辽)2 023的相反数是(　　) A．2 023 B．－2 023 C. D．－ 7、在0，﹣1，2，﹣3这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3 8、如图，a、b两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） A. a+b＜0 B．ab＜0 C．b-a＜0 D． 9、(2022·聊城)实数a的绝对值是，a的值是(　　) A. B．－ C．± D．± 10、(2021·泰安)下列各数：－4，－2.8，0，|－4|，其中比－3小的数是(　　) A．－4 B．|－4| C．0 D．－2.8 11、(2021·枣庄)如图，数轴上有三个点A，B，C.若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．4 12、若数轴上表示-2和5的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离是（　　） A．-3 B．-7 C．3 D．7 13、我国在数的发展史上有辉煌的成就．早在东汉初，我国著名的数学书九章算术明确提出了“正负术”如果“盈”记为“”，那么“亏”可以记为______． 14、(2023陕西)如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是________． 15、数轴上的点向右移个单位长度后，又向左移个单位长度，此时正好表示，那么原来点表示的数是          ． 16、(2023·陕西)如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是________． 17、(2023湘潭)已知实数a，b满足(a－2)2＋|b＋1|＝0，则ab＝________． 18、已知︱a︱=5,︱b︱=8,且∣ab∣= -ab,试求a+b的值。 19、体育课上，对初一（）班的学生进行了仰卧起坐的测试，以能做 个为标准，超过的个数用正数来表示，不足的个数用负数来表示，其中 名女学生成绩如图： (1)请直接写出这 名女生分别做了多少个仰卧起坐． (2)请用两种方法计算出这 名女生一共做了多少个仰卧起坐． 20、某原料仓库一天的原料进出记录(运进用正数表示，运出用负数表示)如下表： 进出量/t －3 4 －1 2 －5 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由． (2)根据实际情况，现有两种方案：方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元；方案二：不管运进还是运出，都是每吨费用6元．从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ (3)在(2)的条件下，设运进原料共a t，运出原料共b t．当a，b之间满足怎样的关系时，两种方案的运费相同？ 21、一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：，，，，，，单位：米． 守门员最后是否回到了球门线的位置？ 在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？ 守门员全部练习结束后一共跑了多少米？ 22、读下列有关资料，根据所得信息解决下列问题。 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为 ． ③若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|的最小值= ． ④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x-2|=5，则满足条件的所有整数x的是 ． ⑤若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x-3|+|x-5|有最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$