精品解析：天津市第二南开学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年度第一学期高一年级10月阶段评估 数学学科试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分. 考试时间90分钟，祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集补集运算，即可求解. 详解】由题意 故选： 【点睛】本题考查集合交集补集运算，属于基础题. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，再由充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】由可得或，由可得，显然或不能推出，不满足充分性； 反之能推出或，满足必要性．则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 命题 “，”，则它的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题 “，”为特称量词命题， 则：，. 故选：C 4. 设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，作差法比较出大小关系；CD选项，利用不等式的性质得到答案. 【详解】A选项，当时，，A错误； B选项，， 因为，所以，则， 故，，B错误； C选项，两边同乘以得， 两边同乘以得， 故，C正确； D选项，因为，所以， 两边同除以得，D错误. 故选：C 5. 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简集合、，再列出符合题意的集合即可. 【详解】因为，， 又，所以或或或， 即满足条件的集合C共个. 故选：D 6. 不等式成立的一个必要不充分条件是　　 A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为选项中集合的真子集，先利用一元二次不等式的解法解不等式，然后逐一判断即可得结果. 【详解】解不等式可得 或 根据题意，该解集为选项中集合的真子集， 依次将选项代入验证可得,不合题意；不合题意； 或不合题意； 或是或的真子集， 即不等式成立的一个必要不充分条件是或，故选B． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合包含关系的判断及应用和必要条件、充分条件和充要条件的判断，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题． 7. 设，，则有 A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】用“作差法”比较即可. 【详解】 . 故选：C. 8. 某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集. 详解】由题意可知，且，所以， 所以化为， ，解得. 故选：C 9. 设，，则下列不等式中一定成立的是（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可 【详解】对于①，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故②正确； 对于③，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③正确； 对于④， ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上） 10. 设全集，若，，，则集合________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：画出韦恩图如图所示，根据已知，将U中的元素逐一填入，即得答案. 解法二：可以直接根据求得 【详解】解法一：由已知条件，画出韦恩图如图所示，根据已知，将U中的元素逐一填入，可得A={1,3,5,7}， 解法二：， 故答案为:{1,3,5,7}. 【点睛】本题考查集合的交并补混合运算的意义，利用韦恩图解决是关键诀窍. 11. 已知集合，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 12. 若，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合基本不等式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，取等号成立. 故的最小值为， 故答案为： 13. 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可. 【详解】当时，不等式为，满足题意； 当，需满足，解得， 综上可得，的取值范围为， 故答案为：. 14. 设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为________； 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【详解】由已知得：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 故答案为： 15. 已知，，且，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，借助基本不等式可先将的最小值求出，即可得的最大值. 【详解】， 由，故， 则 ， 当且仅当，即、时，等号成立， 则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知集合． （1）求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、补集的知识求得正确答案. （2）对集合是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意或， . 【小问2详解】 当时，，满足. 当时，， 要使，则需，故. 综上所述，的取值范围是. 17. 求下列不等式的解集. （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将不等式组转化为，再分别解出各个一元二次不等式，即可得解； （2）移项、通分，再将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可. 【小问1详解】 因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即，又恒成立， 所以不等式的解集为， 综上，不等式组的解集为. 【小问2详解】 由，即，即， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 18. 设，已知集合， （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解绝对值不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据并集的定义计算可得； （2）将不等式因式分解为，再分、、三种情况讨论，分别求出集合，依题意是的真子集，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，解得， 所以， 当时不等式即，即，解得， 所以，所以； 小问2详解】 由，即， 当时，解得，即； 当时，； 当时，解得，即； 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知，. （1）若不等式恒成立，求的最大值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）12； （2）4. 【解析】 【分析】（1）对给定不等式分离参数，再利用1的妙用求出最小值作答. （2）变形给定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等式作答. 【小问1详解】 因为，，则， 而，当且仅当，即时取等号， 依题意，不等式恒成立，于是 所以m的最大值为12. 【小问2详解】 若，，，则， 当且仅当，即，时取等号， 于是，而，解得， 所以的最小值为4. 20. （1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再结合二次函数的性质计算可得； （2）依题意可得，利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以当，时取得最大值； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期高一年级10月阶段评估 数学学科试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分. 考试时间90分钟，祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题 “，”，则它的否定是（ ） A. “，” B. “，” C “，” D. “，” 4. 设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 不等式成立的一个必要不充分条件是　　 A. B. 或 C. D. 或 7. 设，，则有 A. B. C. D. 8. 某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 设，，则下列不等式中一定成立的是（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上） 10. 设全集，若，，，则集合________. 11. 已知集合，，若，则__________. 12. 若，则最小值是___________. 13. 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 14. 设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为________； 15. 已知，，且，则最大值为___________. 三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知集合． （1）求； （2）若，求实数a的取值范围． 17. 求下列不等式的解集. （1）； （2） 18. 设，已知集合， （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 19. 已知，. （1）若不等式恒成立，求的最大值； （2）若，求的最小值. 20. （1）已知，求最大值； （2）已知，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$