专题04 二次函数与一元二次方程【五大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题04 二次函数与一元二次方程【五大题型】 由抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解 1．（2023•朝阳区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 2．（2023•平谷区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x1＝﹣3，x2＝1 3．（2023•朝阳区校级期中）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（4，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+3）2+k＝0的解为 　 　． 4．（2023•东城区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 　 　． 由抛物线与x轴的交点求点的坐标 5．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3与x轴交于A，B两点，若点A的坐标是（﹣1，0），则点B的坐标为（　　） A．（3，0） B．（5，0） C．（0，﹣3） D．（1，0） 6．（2023•昌平区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　） A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0） 7．（2023•朝阳区校级期中）抛物线y＝3（x﹣2）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 　 　． 8．（2023•西城区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 　 　． 由抛物线与x轴的交点求字母的值 9．（2023•西城区校级期中）将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 10．（2023•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 11．（2023•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．若将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8，则n的值为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 12．（2023•朝阳区校级期中）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　） A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3 13．（2023•朝阳区校级期中）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，请你写出一个符合条件的m值，m＝　 　． 14．（2023•西城区校级期中）关于x的函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的图象与x轴只有一个交点，则a的值是 　 　． 由抛物线与x轴的交点求字母的取值范围 15．（2023•门头沟区校级期中）若对于一切实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣4或m＞0 B．m＜﹣4或m≥0 C．﹣4＜m＜0 D．﹣4＜m≤0 16．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0 17．（2023•昌平区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a D．a 18．（2023•丰台区校级期中）二次函数y＝﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是　 ． 19．（2023•朝阳区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是　 　． 20．（2023•石景山区校级期中）如图是，二次函数y＝﹣x2+4x的图象，若关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是 　 　． 抛物线与x轴交点的多结论问题 21．（2023•东城区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上； ②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1； ③方程ax2+bx+c＝0的根为0和m； ④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①③ D．③④ 22．（2023•朝阳区校级期中）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论： ①此二次函数表达式为yx2﹣x+9；②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m； ③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜6时，m＜y＜8． 所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 23．（2023•通州区期中统考）函数y＝x2﹣4|x|﹣2的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小； ④当﹣6＜a＜﹣2时，关于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4个实数根． 其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2023•石景山区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；②点C（x1，y1），D（x2，y2）在抛物线上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2；③常数项c的取值范围是2≤c≤3；④系数a的取值范围是﹣1≤a．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 25．（2023•石景山区期中统考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|x2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．bc＜0 B．c＝3 C．当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，则m＝1 D．关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为4 26．（2023•西城区校级期中）下表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … ﹣1 m ﹣1 n … 则对于该函数的性质的判断： ①该二次函数有最大值； ②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2； ③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于x＜0和2＜x之间； ④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大； 其中正确的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③ D．③④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数与一元二次方程【五大题型】 由抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解 1．（2023•朝阳区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根是x＝1． ∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的另一根是t． ∴1+t＝4， 解得 t＝3． 即方程的另一根为3． 答案：D． 2．（2023•平谷区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x1＝﹣3，x2＝1 解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1． 答案：D． 3．（2023•朝阳区校级期中）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（4，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+3）2+k＝0的解为 　x1＝﹣5，x2＝1　． 解：∵抛物线y＝a（x﹣h+3）2+k是由抛物线线y＝a（x﹣h）2+k向左平移3个单位所得，且物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（4，0）， ∴抛物线y＝a（x﹣h+3）2+k与x轴交点坐标为（﹣5，0），（1，0）， ∴x1＝﹣5，x2＝1为方程a（x﹣h+3）2+k＝0的解， 答案：x1＝﹣5，x2＝1． 4．（2023•东城区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 　x1＝﹣1，x2＝3　． 解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是：x＝1， （﹣1，0）关于x＝1的对称点是：（3，0）， 则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3． 答案：x1＝﹣1，x2＝3． 由抛物线与x轴的交点求点的坐标 5．（2023•西城区校级期中）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3与x轴交于A，B两点，若点A的坐标是（﹣1，0），则点B的坐标为（　　） A．（3，0） B．（5，0） C．（0，﹣3） D．（1，0） 解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3， ∴该抛物线的对称轴为直线x1， ∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3与x轴交于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0）， ∴点B的坐标为（3，0）， 答案：A． 6．（2023•昌平区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　） A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0） 解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2， 根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2， 即x2﹣1＝2，得x2＝3， 所以，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， 答案：B． 7．（2023•朝阳区校级期中）抛物线y＝3（x﹣2）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 　（5，0）　． 解：∵函数y＝3（x﹣2）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0）， ∴抛物线对称轴为：直线x＝2， ∴则它与x轴的另一个交点坐标是：（5，0）． 答案：（5，0）． 8．（2023•西城区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 　（﹣2，0）　． 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0）， ∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）． 答案：（﹣2，0）． 由抛物线与x轴的交点求字母的值 9．（2023•西城区校级期中）将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣2， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2）， ∵抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点， ∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+1）2， ∴a＝2， 答案：D． 10．（2023•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 解：∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点， ∴点A（﹣1，0），点B（3，0），该抛物线的对称轴是直线x1， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，该抛物线顶点的纵坐标是：y＝（1+1）×（1﹣3）＝﹣4， ∵在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m， ∴m8， 答案：B． 11．（2023•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．若将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8，则n的值为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 解：抛物线y＝2x2+bx+c，当y＝0时， 设2x2+bx+c＝0两根为x1、x2， 则， ∵AB＝4， ∴|x1﹣x2|＝4， ∴， ∴，即b2﹣8c＝64， ∵将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8， 即当y＝n时，抛物线上两点之间距离为8， 设2x2+bx+c＝n两根为x3、x4， 则， ∴|x3﹣x4|＝8， ∴， ∴，即b2﹣8c+8n＝256， ∵b2﹣8c＝64， ∴64+8n＝256， 解得：n＝24． 答案：C． 12．（2023•朝阳区校级期中）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　） A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3 解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4）， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， 则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0）， 把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4）， 如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴3+b＝0，解得b＝﹣3； 当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b， 所以b的值为﹣3或， 答案：A． 13．（2023•朝阳区校级期中）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，请你写出一个符合条件的m值，m＝　10（答案不唯一）　． 解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点， ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×m＜0， 解得：m＞9， 取m＝10， 答案：10（答案不唯一）． 14．（2023•西城区校级期中）关于x的函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的图象与x轴只有一个交点，则a的值是 　0或﹣1　． 解：当a＝0时，y＝﹣x﹣1为一次函数， 该直线与x轴有一个交点，符合题意， 当a≠0时，令y＝ax2+（a﹣1）x﹣1＝0， ∴Δ＝（a﹣1）2+4a＝0， 解得：a＝﹣1， 答案：0或﹣1． 由抛物线与x轴的交点求字母的取值范围 15．（2023•门头沟区校级期中）若对于一切实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣4或m＞0 B．m＜﹣4或m≥0 C．﹣4＜m＜0 D．﹣4＜m≤0 解：若m＝0，则﹣1＜0，显然成立， 若m≠0，若不等式mx2﹣mx﹣1＜0的解是一切实数，则抛物线y＝mx2﹣mx﹣1的开口向下，与x轴无交点， ∴， 解得：﹣4＜m＜0， 综上，m的取值范围是﹣4＜m≤0． 答案：D． 16．（2023•西城区校级期中）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0 解：令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0． ∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解， ∴， 解得：k＞﹣1且k≠0． 答案：B． 17．（2023•昌平区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a D．a 解：根据图象得：a＜0，b＜0， ∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3）， ∴， ∴a+b＝﹣3， ∵b＜0， ∴﹣3＜a＜0， 答案：B． 18．（2023•丰台区校级期中）二次函数y＝﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是　k　． 解：∵二次函数y＝﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方， ∴Δ＜0，即（﹣3）2﹣4×（﹣2）k＜0． 解得：k． 答案：k． 19．（2023•朝阳区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是　0＜m＜1　． 解：令y＝x2﹣（m+1）x＝0， 解得：x＝0，x'＝m+1， ∴抛物线与x轴的两个交点为（0，0）和（m+1，0）， ∵其中一个交点的横坐标大于1且小于2， ∴1＜m+1＜2， 即0＜m＜1， 答案：0＜m＜1． 20．（2023•石景山区校级期中）如图是，二次函数y＝﹣x2+4x的图象，若关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是 　﹣5＜t≤4　． 解：y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， 当x＝2时，y有最大值4， 当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣5， 关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解可看作抛物线y＝﹣x2+4x与y＝t在1＜x＜5内有公共点， 所以t的范围为﹣5＜t≤4． 答案：﹣5＜t≤4． 抛物线与x轴交点的多结论问题 21．（2023•东城区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上； ②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1； ③方程ax2+bx+c＝0的根为0和m； ④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①③ D．③④ 解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1， 由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①正确； 抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误； 当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③错误； 当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确； 答案：A． 22．（2023•朝阳区校级期中）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论： ①此二次函数表达式为yx2﹣x+9； ②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m； ③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）； ④当0＜x＜6时，m＜y＜8． 所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为（2，9），抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0）， 则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+9， 将（8，0）代入上式得：0＝a（8﹣2）2+9，解得a， 故抛物线的表达式为yx2﹣x+8，故①错误，不符合题意； ②从点A、B的横坐标看，点A距离抛物线对称轴远，故n＞m正确，符合题意； ③抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），则另外一个交点为（﹣4，0）， 故③正确，符合题意； ④从图象看，当0＜x＜6时，m＜y≤9，故④错误，不符合题意； 答案：C． 23．（2023•通州区期中统考）函数y＝x2﹣4|x|﹣2的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小； ④当﹣6＜a＜﹣2时，关于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4个实数根． 其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：如图： ①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确； ②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误； ③如图所示：当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则正确； ④如图所示：当﹣6＜a＜﹣2时，关于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4个实数根，则正确； 则正确的个数有3个， 答案：C． 24．（2023•石景山区校级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；②点C（x1，y1），D（x2，y2）在抛物线上，且满足x1＜x2＜1，则y1＞y2；③常数项c的取值范围是2≤c≤3；④系数a的取值范围是﹣1≤a．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0），所以①正确； ∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包含这两个点）运动， ∴抛物线开口向下，2≤c≤3，所以③正确； ∴当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴当x1＜x2＜1，y1＜y2；所以②错误； ∵x1， ∴b＝﹣2a， ∵x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0， ∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a， 而2≤c≤3， ∴2≤﹣3a≤3， ∴﹣1≤a，所以④正确． 答案：D． 25．（2023•石景山区期中统考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|x2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．bc＜0 B．c＝3 C．当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，则m＝1 D．关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为4 解：∵（﹣1，0）（3，0）是函数图象和x轴的交点， ∴， 解得：， ∴bc＝（﹣2）×（﹣3）＝6＞0， 故A、B错误； 如图，当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，应该有2条直线， 故C错误； 关于x的方程|x2+bx+c|＝3，即x2﹣2x﹣3＝3或x2﹣2x﹣3＝﹣3， 当x2﹣2x﹣3＝3时，， 当x2﹣2x﹣3＝﹣3时，， ∴关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为2+2＝4， 故D正确， 答案：D． 26．（2023•西城区校级期中）下表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … ﹣1 m ﹣1 n … 则对于该函数的性质的判断： ①该二次函数有最大值； ②不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2； ③方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于x＜0和2＜x之间； ④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大； 其中正确的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③ D．③④ 解：∵当x＝0时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝﹣1；当x，y；当x，y； ∴二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小． ∴a＞0即二次函数有最小值 则①④错误 由图表可得：不等式y＞﹣1的解集是x＜0或x＞2； 由图表可得：方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别位于x＜0和2＜x之间； 答案：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$