期中真题必刷易错60题（29个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（新高考通用）

期中真题必刷易错60题（29个考点专练） 一．异面直线及其所成的角（共4小题） 1．（2023秋•乐安县校级期中）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，，且，为上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•贺兰县校级期中）如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则异面直线，所成的角是 　　． 3．（2023秋•信宜市期中）正四面体中，，分别是，的中点，则直线和夹角的正弦值为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将△翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角的余弦值等于 　　． 二．空间向量及其线性运算（共3小题） 5．（2023秋•金凤区校级期中）在三棱锥中，为的中点，，若，，，，则　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•朝阳区校级期中）在棱长为1的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•麒麟区校级期中）平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，． （1）用向量，，表示向量； （2）求线段的长度． 三．空间向量的共线与共面（共2小题） 8．（2023秋•合肥期中）在平行六面体中，向量、、、是　　 A．有相同起点的向量 B．等长的向量 C．共面向量 D．不共面向量 9．（2023秋•西城区校级期中）已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为　　 A．1 B． C． D． 四．空间向量的数量积运算（共2小题） 10．（2023秋•越秀区校级期中）如图，在空间四边形中，等于　　 A． B．1 C．0 D．不确定 11．（2023秋•辽宁期中）已知向量，则　　 A．向量是与向量方向相反的单位向量 B． C．向量的夹角的大小为 D．若向量，为实数），则 五．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共2小题） 12．（2023秋•霞山区校级期中）已知是空间的一个基底，若，则　　 A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底 C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底 13．（2023秋•和平区校级期中）如图，在四面体中，是的重心，延长交于点，是上的一点，且，若，则，，为　　 A． B． C． D． 六．空间向量基本定理及空间向量的基底（共1小题） 14．（2023秋•惠州校级期中）已知向量在基底，，下的坐标是，2，，则向量在基底，，下的坐标为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 七．空间向量数量积的坐标表示（共2小题） 15．（2023秋•大埔县校级期中）若，3，，，2，，，2，，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 16．（2023秋•香格里拉市校级期中）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高为 　　． 八．平面的法向量（共2小题） 17．（2023秋•九龙坡区校级期中）已知空间中三点，1，，，2，，，3，，则　　 A．与是共线向量 B．直线的一个方向向量是，1， C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是，， 18．（2023秋•东莞市校级期中）直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的一种位置关系为 　　．（写出满足条件的一种可能即可） 九．直线与平面所成的角（共6小题） 19．（2023秋•皇姑区校级期中）已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段，在平面内的射影相互垂直，则　　． 20．（2023秋•新安县校级期中）如图：在三棱柱中，底面为正三角形，且，，则下列说法正确的是　　 A．直线与底面所成角的余弦值为 B．设中点为，则线段的长度的最小值为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值的最大值为 21．（2023秋•上城区校级期中）如图，三棱台中，，，，点在平面上的射影在的平分线上． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若到平面的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值． 22．（2023秋•松北区校级期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点，分别为和中点． （1）求证：直线平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 23．（2023秋•温州期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值． 24．（2023秋•永春县校级期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 一十．空间向量法求解直线与平面所成的角（共1小题） 25．（2023秋•东莞市校级期中）在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，则　　 A．平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线到平面的距离为 一十一．二面角的平面角及求法（共1小题） 26．（2023秋•西城区校级期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成的角的余弦值． 一十二．直线的倾斜角（共1小题） 27．（2023秋•市中区校级期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 　　． 一十三．直线的一般式方程与直线的性质（共1小题） 28．（2023秋•屯溪区期中）下列说法正确的是　　 A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．点关于直线的对称点为 C．过，，，两点的直线方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 一十四．直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题） 29．（2023秋•沙河口区校级期中）已知直线与直线平行，则的值为　　． 一十五．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题） 30．（2023秋•鼓楼区校级期中）已知直线，若直线与垂直．则的倾斜角为　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•龙凤区校级期中）下列说法错误的是　　 A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 B．“ “是直线与直线互相垂直的充要条件 C．若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为 D．过两点，，，的直线的方程都可以表示为 32．（2023秋•台山市校级期中）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，若边上的高所在直线的方程为，则点的坐标为 　　． 一十六．待定系数法求直线方程（共1小题） 33．（2023秋•东莞市期中）已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点．求 （1）过点且与平行的直线方程； （2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程． 一十七．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题） 34．（2023秋•泰安期中）已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是　　 A．若反射光线平分圆的周长，则反射光线所在直线的方程为 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于，两点，则的面积的最大值为 35．（2023秋•天宁区校级期中）点关于直线的对称点为，则的方程为　　． 36．（2023秋•荔城区校级期中）一条光线从点射出，经轴反射后穿过点． （1）求反射光线所在直线的方程． （2）圆心在轴，半径为3的圆与（1）中的相交弦长为4，求圆的方程． 一十八．两点间的距离公式（共2小题） 37．（2023秋•龙凤区校级期中）已知动直线和，是两直线的交点，，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 　　． 38．（2023秋•叙州区校级期中）点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为　　． 一十九．点到直线的距离公式（共1小题） 39．（2023秋•晋江市期中）点、、直线，动点在直线上，则的最小值为　 　． 二十．与直线有关的动点轨迹方程（共1小题） 40．（2023秋•东莞市校级期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线． （Ⅰ）求曲线的轨迹方程； （Ⅱ）直线与曲线交于、两点，求． 二十一．圆的切线方程（共2小题） 41．（2023秋•福建期中）两个圆与恰有三条公切线，则的最大值为　　 A．5 B． C．4 D． 42．（2023秋•中牟县期中）已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）设过点的直线与圆交于另一点，以为直径的圆过原点，求直线的方程． 二十二．过圆外一点的圆的切线方程（共1小题） 43．（2023秋•奎屯市校级期中）已知圆，点为直线上的任意一点，为圆的切线为切点），则的最小值为　　 A．1 B． C．2 D． 二十三．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共1小题） 44．（2023秋•婺源县校级期中）已知圆，对于直线上的任意一点，圆上都不存在两点、使得，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 二十四．圆与圆的位置关系及其判定（共3小题） 45．（2023秋•湖南期中）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是　　 A． B． C． D． 46．（2023秋•盐城期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是　　 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 47．（2023秋•郫都区校级期中）若圆与圆的交点为，，则　　 A．线段中垂线方程为 B．公共弦所在直线方程为 C．若实数，满足圆，则的最大值为 D．过点作圆的切线方程为 二十五．圆系方程（共1小题） 48．（2023秋•安岳县校级期中）圆心在直线上，且经过两圆，的交点的圆的方程为　　 A． B． C． D． 二十六．椭圆的几何特征（共5小题） 49．（2023秋•平定县校级期中）已知曲线，则　　 A．当时，是圆 B．当时，是椭圆且一焦点为 C．当时，是椭圆且焦距为 D．当时，是焦点在轴上的椭圆 50．（2023秋•东城区期中）我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆” 的中心在坐标原点，为左焦点，，分别为长轴和短轴上的顶点，则　　 A． B． C． D． 51．（2023秋•安徽期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，　　． 52．（2023秋•菏泽期中）已知椭圆的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点 构成等边三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为． （ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； （ⅱ）求△面积的取值范围． 53．（2023秋•海淀区校级期中）椭圆的焦点、，点是椭圆上动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围是 　　． 二十七．抛物线的焦点与准线（共1小题） 54．（2023秋•连云区校级期中）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则　　 A． B． C． D． 二十八．双曲线的几何特征（共4小题） 55．（2023秋•山东期中）双曲线的焦距等于　　 A．2 B．4 C．3 D．6 56．（2023秋•杏花岭区校级期中）下列命题中正确的是　　 A．双曲线与直线有且只有一个公共点 B．平面内满足的动点的轨迹为双曲线 C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 57．（2023秋•重庆期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点在双曲线上，且，则　　． 58．（2023秋•永春县校级期中）如图，若，是双曲线的两个焦点． （1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于16，求点到另一个焦点的距离； （2）若是双曲线左支上的点，且，试求△的面积． 二十九．直线与圆锥曲线的综合（共2小题） 59．（2023秋•武陵区校级期中）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点． 60．（2023秋•长安区校级期中）已知，是椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，线段与轴的交点满足． （1）求椭圆的方程． （2）椭圆上任一动点，关于直线的对称点为，，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错60题（29个考点专练） 一．异面直线及其所成的角（共4小题） 1．（2023秋•乐安县校级期中）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，，且，为上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值． 【解答】解：由于，， 所以，，由于，，平面， 所以平面，而四边形是正方形，所以， 由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，0，，，3，，，0，，，3，， ， 设异面直线与所成角为， 则． 故选：． 【点评】本题考查异面直线的定义及其余弦值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．（2023秋•贺兰县校级期中）如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则异面直线，所成的角是 　　． 【分析】建立空间坐标系，利用向量垂直即可求解． 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2， 则，0，，，0，，，1，，，1，， 所以， 故， 所以，故异面直线，所成的角为． 故答案为：． 【点评】本题考查利用数量积判断线线垂直的方法，属于基础题． 3．（2023秋•信宜市期中）正四面体中，，分别是，的中点，则直线和夹角的正弦值为　　 A． B． C． D． 【分析】利用基底向量法，将问题转化为向量的夹角的计算问题． 【解答】解：设，，， 则设，易知的两两夹角均为， 所以， 由题意，， 由正四面体的性质可知， ， 所以，， 设直线和夹角为，所以． 故选：． 【点评】本题考查利用向量法求空间角，属于中档题． 4．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将△翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角的余弦值等于 　　． 【分析】将△沿着翻折成三棱锥，点在底面上的投影在的平分线上，三棱锥的高为△过点的高，当平面平面时，三棱锥的高最大，体积最大，由此求出异面直线与所成角的余弦值． 【解答】解：△，△ 是边长为1的等边三角形，将△沿着翻折成三棱锥，如图所示， 点在底面上的投影在的平分线上，则三棱锥的高为△过点的高， 所以当平面平面时，三棱锥的高最大，体积最大， 此时为平面与平面所成的角， 所以，且，，，平面， 所以平面． 分别取，中点为，，连接，，， 因为，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在△ 中，， 在△中，，所以， 由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面图形的折叠问题，也考查了异面直线所成的角计算问题，是中档题． 二．空间向量及其线性运算（共3小题） 5．（2023秋•金凤区校级期中）在三棱锥中，为的中点，，若，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合向量的线性表示，以为基底表示，再由空间向量基本定理可求． 【解答】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 因为， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 6．（2023秋•朝阳区校级期中）在棱长为1的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，交于点，以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，即可判断选项中的命题是否正确． 【解答】解：连接，交于点，以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，所以，，，， 所以，0，，，，，，，， 所以，，，，，，所以，选项正确； 因为，0，，，，，所以，，，，，， 所以，选项错误； 因为，0，，所以，选项正确； 因为，0，，，0，， 所以，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了空间向量的数量积运算问题，也考查了推理与运算能力，是中档题． 7．（2023秋•麒麟区校级期中）平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，． （1）用向量，，表示向量； （2）求线段的长度． 【分析】（1）利用平面向量加减法的三角形法则和数乘运算法则求解； （2）利用基底向量表示出，然后平方即可求解． 【解答】解：（1）由平行六面体的性质可知： ； （2）由已知得，，，， 所以 ， 所以． 【点评】本题考查空间向量的运算与模长的计算方法，属于中档题． 三．空间向量的共线与共面（共2小题） 8．（2023秋•合肥期中）在平行六面体中，向量、、、是　　 A．有相同起点的向量 B．等长的向量 C．共面向量 D．不共面向量 【分析】画出平行六面体，找出相应向量，利用共面向量定理判断，即可得到正确选项． 【解答】解：向量、、显然不是有相同起点的向量，不正确； 等长的向量，不正确；是共面向量，不正确； 选项、、结合图形，明显错误． 又， 、、共面． 故选：． 【点评】本题考查共线向量与共面向量，考查学生空间想象能力，判断能力． 9．（2023秋•西城区校级期中）已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为　　 A．1 B． C． D． 【分析】根据空间向量的共面定理得，代入数据得到方程组，求解即可． 【解答】解：向量与向量，共面，不共线，则， 即，2，，，， 所以，解得． 故选：． 【点评】本题考查了空间向量的共面定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 四．空间向量的数量积运算（共2小题） 10．（2023秋•越秀区校级期中）如图，在空间四边形中，等于　　 A． B．1 C．0 D．不确定 【分析】用、和作基向量，表示出向量的数量积即可得出结论． 【解答】解：空间四边形中， ． 故选：． 【点评】本题考查了空间向量的数量积运算问题，是基础题． 11．（2023秋•辽宁期中）已知向量，则　　 A．向量是与向量方向相反的单位向量 B． C．向量的夹角的大小为 D．若向量，为实数），则 【分析】根据空间向量的坐标表示与运算法则，对选项中的命题真假性判断即可． 【解答】解：对于，因为，1，，，，， 所以，且，选项正确； 对于，由，，得，选项错误； 对于，由，计算，， 可得向量、的夹角大小为，选项正确； 对于，由，即，1，，1，，，， 即，解得，，所以，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 五．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共2小题） 12．（2023秋•霞山区校级期中）已知是空间的一个基底，若，则　　 A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底 C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底 【分析】根据空间向量的共线定理、共面定理，对选项中的命题真假性判断即可． 【解答】解：对于，因为，所以，所以向量、、共面，不是空间的一组基底； 对于，因为，所以，所以向量、、共面，不是空间的一组基底； 对于，假设与、不是空间的一组基底，则， 因为、、是空间的一组基底，所以、的值不存在，即可向量、、不共面，是空间的一组基底； 对于，由选项知，向量、、是空间的一组基底，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了命题真假判断的判断问题，也考查了空间向量的共线定理、共面定理应用问题，是基础题． 13．（2023秋•和平区校级期中）如图，在四面体中，是的重心，延长交于点，是上的一点，且，若，则，，为　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角形重心的性质以及向量的几何运算将用、和表示，然后根据空间向量基本定理求解即可． 【解答】解：因为， 所以， 即，根据空间向量基本定理可得， 故选：． 【点评】本题考查了空间向量基本定理，三角形重心的性质，是基础题． 六．空间向量基本定理及空间向量的基底（共1小题） 14．（2023秋•惠州校级期中）已知向量在基底，，下的坐标是，2，，则向量在基底，，下的坐标为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】由向量，设，由向量相等列方程组求解即可． 【解答】解：由题意知，向量， 设，则， 所以，解得； 所以向量在基底，，下的坐标为，，． 故选：． 【点评】本题考查了空间向量的线性运算应用问题，是基础题． 七．空间向量数量积的坐标表示（共2小题） 15．（2023秋•大埔县校级期中）若，3，，，2，，，2，，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 【分析】直接求出向量的坐标，计算求解． 【解答】解：由已知得，1，， 故，1，，2，． 故选：． 【点评】本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题． 16．（2023秋•香格里拉市校级期中）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高为 　5　． 【分析】求出平面的法向量，在法向量上的投影的绝对值即为这个四棱锥的高． 【解答】解：设平面的法向量为， 则，所以， 所以取， 所以此四棱锥的高为． 故答案为：5． 【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，是基础题． 八．平面的法向量（共2小题） 17．（2023秋•九龙坡区校级期中）已知空间中三点，1，，，2，，，3，，则　　 A．与是共线向量 B．直线的一个方向向量是，1， C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是，， 【分析】根据空间向量的坐标表示与运算法则，对选项中的命题真假性判断即可． 【解答】解：因为，1，，，2，，，3，， 所以，1，，，2，，，与不共线，选项错误； 由，1，，所以直线的一个方向向量是，1，，选项正确； 由，1，，，，， 所以与夹角的余弦值是，，选项正确； 设，，，因为，，所以，，且、不共线， 所以是平面的一个法向量，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 18．（2023秋•东莞市校级期中）直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的一种位置关系为 　或　．（写出满足条件的一种可能即可） 【分析】利用空间向量法判断线面关系即可得解． 【解答】解：因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 而，所以，则或． 故答案为：或． 【点评】本题考查利用坐标法判断线面平行或线在面内，属于基础题． 九．直线与平面所成的角（共6小题） 19．（2023秋•皇姑区校级期中）已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段，在平面内的射影相互垂直，则　　． 【分析】以为原点，以、在平面内的射影所在直线为、轴建立空间直角坐标系，利用两点间的坐标公式求解即可． 【解答】解：以为原点，以、在平面内的射影为、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，0，，，，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了空间中的位置关系应用问题，也考查了转化思想，是基础题． 20．（2023秋•新安县校级期中）如图：在三棱柱中，底面为正三角形，且，，则下列说法正确的是　　 A．直线与底面所成角的余弦值为 B．设中点为，则线段的长度的最小值为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值的最大值为 【分析】中，由三余弦定理求出的值； 中，时最短，求出即可； 中，过点作，垂足为，连接，为所求二面角的夹角，计算即可； 中， 变大时直线 与平面所成角越来越小接近于0． 【解答】解：对于，设直线与底面所成的角为， 由三余弦定理知，，解得，选项正确； 对于，当时，最短为，所以选项正确； 对于，过点作，垂足为，连接为中点），因为平面，所以平面， 所以为所求二面角的夹角，计算得，所以选项正确； 对于，当 变大时，直线 与平面所成角越来越小接近于0，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题． 21．（2023秋•上城区校级期中）如图，三棱台中，，，，点在平面上的射影在的平分线上． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若到平面的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）设点在平面上的射影为，由平面，证明，再证明平面，即可得出； （Ⅱ）以为原点，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出和平面的一个法向量，计算直线与平面所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：设点在平面上的射影为，则点在的平分线上， 所以平面，因为平面，所以， 因为，△，所以，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以； （Ⅱ）解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为到平面的距离为4，所以，0，， ，所以，，， 因为，所以，所以，所以， 所以，，，，，，所以，，， ，，，，，， 设平面的一个法向量为，，，则，即，令，得，， 所以，，，设直线与平面所成的角为， 则，． 【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了直线与平面所成角的计算问题，是中档题． 22．（2023秋•松北区校级期中）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点，分别为和中点． （1）求证：直线平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【分析】（1）取的中点，根据题意证得且，得到四边形为平行四边形，从而得到，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解． 【解答】（1）证明：取的中点，连接，， 在中，因为，分别为，的中点，可得且， 又因为为的中点，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． （2）解：因为底面是菱形，且，连接，可得为等边三角形， 又因为为的中点，所以，则， 又由平面，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为底面是菱形，且，， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设直线与平面所成的角为， 则，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【点评】本题考查了线面平行的判定定理以及线面角的计算问题，是中档题． 23．（2023秋•温州期中）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值． 【分析】（1）取中点，连，，证明四边形为平行四边形，得出，平面． （2）取中点，连，，证明面，，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的一个法向量，计算与平面所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：取中点，连，，因为为中点，所以，且， 因为，，所以，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）解：取中点，连，，因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以面，由平面知识易知，； 以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，，0，，，1，，，0，，， 则，0，，，， 设面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 设与平面所成的角为， 则，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题． 24．（2023秋•永春县校级期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【分析】（1）取的中点，连接，，证明，平面，得出四边形为平行四边形，证明，平面，平面平面，得出平面． （2）连接，求出四棱锥的高，以点为坐标原点，以，所在直线为轴，轴，过点作平面的垂线，以向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的一个法向量，计算直线与平面所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示： 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 又，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）解：连接，设该四棱锥的高为，则体积为，解得． 以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，过点作平面的垂线， 以向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 易得，，0，，，2，，，2，，，0，， 则，，， 设，则， 所以，所以． 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为， 则，， 令，则且， 所以， 所以当，即时，取得最大值，且最大值为． 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了直线与平面所成角的计算问题，以及推理与运算能力，是中档题． 一十．空间向量法求解直线与平面所成的角（共1小题） 25．（2023秋•东莞市校级期中）在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，则　　 A．平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线到平面的距离为 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得． 【解答】解：建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令得，又， 则，又平面，所以平面，正确； 因为，可得， 所以直线与的余弦值为，正确； 因为，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为，故错误； 因为且，可得平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离，即为点到平面的距离， 因为，所以点到平面的距离， 故直线到平面的距离为，即正确． 故选：． 【点评】本题考查利用坐标法求空间角与距离的计算，线面平行的证明问题，属于中档题． 一十一．二面角的平面角及求法（共1小题） 26．（2023秋•西城区校级期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成的角的余弦值． 【分析】（1）由四边形是矩形得出，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量，即可求出平面与平面所成角的余弦值． 【解答】（1）证明：因为四边形是矩形，所以，又因为平面，平面，所以平面； （2）解：因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，0，、，0，、，1，、，1，、，0，、，1，， 所以，0，，，1，， 设平面的一个法向量为，，， 由，取，可得，1，， 易知平面的一个法向量为，0，， 设平面与平面所成的角为锐角，则． 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【点评】本题考查了直线与平面平行的证明问题，也考查了二面角的计算问题，是中档题． 一十二．直线的倾斜角（共1小题） 27．（2023秋•市中区校级期中）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是 　，，　． 【分析】根据题意，设直线的斜率为，求出直线、的斜率，结合图象分析可得的取值范围，结合直线的斜率与倾斜角的关系分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设直线的斜率为，则有， 如图：，， 若直线与连接，的线段总有公共点， 则， 则有， 又由，则有或， 即的取值范围为，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，涉及直线与线段相交，是基础题． 一十三．直线的一般式方程与直线的性质（共1小题） 28．（2023秋•屯溪区期中）下列说法正确的是　　 A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．点关于直线的对称点为 C．过，，，两点的直线方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【分析】求出截距得到三角形的面积判断的正误；利用对称知识判断的正误；直线的两点式方程判断 的正误，利用截距相等判断 的正误． 【解答】解：直线在两坐标轴上的截距分别为：2，，与坐标轴围成的三角形的面积是：，所以正确； 点与的中点坐标，满足直线方程，并且两点的斜率为：，所以点关于直线的对称点为，所以正确； 当，时，过，，，两点的直线方程为，所以不正确； 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以不正确； 故选：． 【点评】本题考查命题的真假的判断直线方程的求法、对称知识以及直线的截距的应用，是易错题． 一十四．直线的一般式方程与直线的平行关系（共1小题） 29．（2023秋•沙河口区校级期中）已知直线与直线平行，则的值为　0或　． 【分析】讨论直线的斜率是否存在，然后根据两直线的斜率都存在，则斜率相等建立等式，解之即可． 【解答】解：当时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是，，显然两直线是平行的． 当时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等， ， 解得：，或（舍 综上，或， 故答案为：0或． 【点评】本题主要考查了两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，属于基础题． 一十五．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题） 30．（2023秋•鼓楼区校级期中）已知直线，若直线与垂直．则的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：因为直线与垂直，且， 所以，解得， 设的倾斜角为，则， 结合，，所以． 故选：． 【点评】本题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 31．（2023秋•龙凤区校级期中）下列说法错误的是　　 A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 B．“ “是直线与直线互相垂直的充要条件 C．若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为 D．过两点，，，的直线的方程都可以表示为 【分析】根据直线方程、直线的方向向量、直线斜率、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确的答案． 【解答】解：对于，直线在两坐标轴上截距相等，所以选项错误． 对于，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以“ “是直线与直线互相垂直的充分不必要条件， 所以选项错误． 对于，若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为， 所以选项正确． 对于，当或时，直线方程不能表示为， 所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了直线方程、直线的方向向量、直线斜率、充要条件等知识应用问题，是基础题． 32．（2023秋•台山市校级期中）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，若边上的高所在直线的方程为，则点的坐标为 　　． 【分析】设点的坐标，由的中点在中线上，且点在高线上，联立方程组求解即可． 【解答】解：由题意，设点，则的中点为，， 所以，即； 又因为点在直线上，所以，即； 所以，解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线方程与交点坐标应用问题，是基础题． 一十六．待定系数法求直线方程（共1小题） 33．（2023秋•东莞市期中）已知直线与直线，为它们的交点，点为平面内一点．求 （1）过点且与平行的直线方程； （2）过点的直线，且到它的距离为2的直线方程． 【分析】（1）根据平行求出直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程； （2）由两直线的方程联立求得点，讨论过点的直线斜率不存在和斜率存在时， 求得点到直线的距离为2时的直线方程． 【解答】解：（1）直线的斜率为， 过点且与平行的直线方程为 ， 化为一般式为； （2）由，解得， ， 当斜率不存在时，方程为，不合题意； 当斜率存在时，设方程为， 化为一般式为， 则点到直线的距离为， ， 即， 解得或； 所求的直线方程为或． 【点评】本题考查了直线的方程应用问题，也考查了平行于点到直线的距离计算问题，是基础题． 一十七．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题） 34．（2023秋•泰安期中）已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是　　 A．若反射光线平分圆的周长，则反射光线所在直线的方程为 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于，两点，则的面积的最大值为 【分析】根据直线与圆相切、相交时的性质以及点关于直线对称的性质逐项判断即可． 【解答】解：圆，即，故圆心为，半径为1， 点关于轴的对称点为， 对于：由题意知，反射光线过圆心，则，反射光线所在直线的方程为，即，正确； 对于：将代入得，将代入得，圆关于直线对称的圆心为：，对称圆的半径，所以对称圆的方程为， 即，错误； 对于：如图，关于轴的对称点，，切点三点共线，， 而，，所以，正确； 对于：如图，（当时取等号），正确． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系及其应用，属于中档题． 35．（2023秋•天宁区校级期中）点关于直线的对称点为，则的方程为　　． 【分析】先求出、的中点，再求的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程． 【解答】解：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线． 、的中点坐标，的斜率为： 中垂线的斜率为：3 则的方程为：即： 故答案为： 【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查计算能力，是基础题． 36．（2023秋•荔城区校级期中）一条光线从点射出，经轴反射后穿过点． （1）求反射光线所在直线的方程． （2）圆心在轴，半径为3的圆与（1）中的相交弦长为4，求圆的方程． 【分析】（1）利用关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，结合点斜式方程可解答案； （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再结合弦长与半径的值可求圆心坐标，则圆的方程可求． 【解答】解：（1）设点关于轴的对称点为， 则直线的斜率为，则方程为， 所以直线的方程为． （2）设圆心，则圆心到直线的距离为， 由弦长等于4得，解得． 所以圆的方程为或． 【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 一十八．两点间的距离公式（共2小题） 37．（2023秋•龙凤区校级期中）已知动直线和，是两直线的交点，，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 　　． 【分析】先求得，的坐标，然后判断出，根据基本不等式求得的最大值． 【解答】解：直线，即， 所以直线过定点． 直线，即， 所以直线过定点． 所以， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线方程与基本不等式应用问题，也考查了理解与计算能力，是基础题． 38．（2023秋•叙州区校级期中）点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为　　． 【分析】求出动直线恒过的定点，利用由投影的定义得出点的轨迹为圆，由此求出的最小值． 【解答】解：动直线恒过定点， 由投影的定义知，， 所以点在以为直径的圆上，且半径，圆心； 所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了动点的轨迹和圆的性质应用问题，也考查了转化与应用能力，是中档题． 一十九．点到直线的距离公式（共1小题） 39．（2023秋•晋江市期中）点、、直线，动点在直线上，则的最小值为　　． 【分析】求关于直线的对称点，则取得最小值． 【解答】解：求关于直线的对称点， 则，解得， 即， 连接交直线于点， 则此时取得最小值， 故答案为：． 【点评】本题考查了对称点的求法、两点之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题． 二十．与直线有关的动点轨迹方程（共1小题） 40．（2023秋•东莞市校级期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线． （Ⅰ）求曲线的轨迹方程； （Ⅱ）直线与曲线交于、两点，求． 【分析】（Ⅰ）设出点的坐标，根据题意列方程化简求解即可； （Ⅱ）根据曲线的轨迹是圆，计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算弦长即可． 【解答】解：（Ⅰ）设点的坐标为，根据题意知，所以； 化简得，化为， 所以曲线的轨迹方程为； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线的轨迹方程表示的是圆心坐标为，半径为2的圆， 计算圆心到直线的距离为， 所以． 【点评】本题考查了求点的轨迹方程以及直线与圆的位置关系应用问题，是中档题． 二十一．圆的切线方程（共2小题） 41．（2023秋•福建期中）两个圆与恰有三条公切线，则的最大值为　　 A．5 B． C．4 D． 【分析】根据题意知两圆外切，利用圆心距等于半径之和，结合基本不等式求得的最大值． 【解答】解：圆的标准方程为， 圆的标准方程为； 由两个圆恰有三条公切线知，两圆外切， ； 又， ，当且仅当时取“”． 的最大值为． 故选：． 【点评】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键． 42．（2023秋•中牟县期中）已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）设过点的直线与圆交于另一点，以为直径的圆过原点，求直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意写出直径所在直线方程，求出圆心坐标和半径，即可写出圆的方程； （Ⅱ）解法一，由直径对直角得出，由此求出直线、的斜率，求出交点坐标，写出直线方程． 解法二，设出直线的方程，由直线与圆的方程联立求得点、的坐标，即可得出直线的方程． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，过点的直径所在直线方程为；（1分） 由解得，圆心坐标为；（3分） 半径；（5分） 圆的方程为；（6分） （Ⅱ）解法一：以为直径的圆过原点，；（8分） 又，； 直线方程为；（10分） 由，可得点坐标为；（11分） 直线方程为， 即直线的方程为；（13分） 解法二：当不与轴垂直时，设直线的方程为， 且，，，；（7分） 由， 解得，（8分） ，；（9分） ，，，，（10分） 由题意，； ，解得；（11分） 当与轴垂直时，解得，与题意不符（12分） 直线的方程为．（13分） 【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，是中档题． 二十二．过圆外一点的圆的切线方程（共1小题） 43．（2023秋•奎屯市校级期中）已知圆，点为直线上的任意一点，为圆的切线为切点），则的最小值为　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】由切线性质可得，所以，若要最小，只要最小，根据点到直线垂线段最短，即可得解． 【解答】解：根据题意知圆的半径，圆心为， 根据切线性质可得， 所以， 若要最小，只要最小， 根据点到直线垂线段最短，，． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题． 二十三．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共1小题） 44．（2023秋•婺源县校级期中）已知圆，对于直线上的任意一点，圆上都不存在两点、使得，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】作出图形，考虑、都与圆相切，设，则，分析可知，当时，最大，此时最大，计算出圆心到直线的距离，分析可得，列不等式求得实数的取值范围． 【解答】解：如图所示， 圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 考虑、都与圆相切， 此时，由切线长定理可知，， 又因为，，则△△， 设，则， 因为，则， 所以当时，最大，此时，最大， 因为对于直线上的任意一点， 圆上都不存在两点、使得，则，可得， 则，可得，解得或， 所以的取值范围是，，． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力与数形结合思想，是中档题． 二十四．圆与圆的位置关系及其判定（共3小题） 45．（2023秋•湖南期中）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出两圆相交的充要条件，即圆心距大于半径差的绝对值，小于半径和的绝对值，据此求出的集合，再从选项中找到该集合的真子集． 【解答】解：由题意知：，；，， 所以，所以要使两圆相交，只需， 即， 显然只有选项中的集合是的真子集，满足题意． 故选：． 【点评】本题考查充分条件与必要条件的判断方法，属于中档题． 46．（2023秋•盐城期中）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是　　 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【分析】根据题意判断直线过圆的圆心，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距与半径的关系判断位置关系． 【解答】解：因为圆的面积被直线平分， 所以直线过圆心，所以，解得， 所以圆的圆心为，半径为， 又因为圆的圆心为，半径为， 且，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，是基础题． 47．（2023秋•郫都区校级期中）若圆与圆的交点为，，则　　 A．线段中垂线方程为 B．公共弦所在直线方程为 C．若实数，满足圆，则的最大值为 D．过点作圆的切线方程为 【分析】求出两圆的圆心与半径，再判断选项中的命题是否正确． 【解答】解：圆的圆心为，，圆的圆心为，半径为； 所以的直线方程是，所以线段中垂线方程为，选项错误； 由，得， 所以公共弦所在直线方程为，选项正确； 设，得，则圆心到直线的距离， 即，解得，所以的最大值为2，选项错误； 因为点在圆上，过该点的圆的切线斜率为， 所以切线方程为，选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了圆的一般方程与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题． 二十五．圆系方程（共1小题） 48．（2023秋•安岳县校级期中）圆心在直线上，且经过两圆，的交点的圆的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程． 【解答】解：，解得两圆交点为，与， 因为所求圆经过此两点，连接，即是所求圆的一段弦． 因为的斜率 所以其垂直平分线斜率；中点坐标为 所以垂直平分线为 垂直平分线与直线上的交点即圆圆心，联立两方程 解得，，所以圆心点坐标为 连接即为圆半径 所以所求圆的方程为即： 故选：． 【点评】本题是基础题，考查两个圆的交点的求法；圆的方程的求法：就是求出圆心、求出半径，考查计算能力．也可以应用圆系方程求解． 二十六．椭圆的几何特征（共5小题） 49．（2023秋•平定县校级期中）已知曲线，则　　 A．当时，是圆 B．当时，是椭圆且一焦点为 C．当时，是椭圆且焦距为 D．当时，是焦点在轴上的椭圆 【分析】根据各个选项中的值或者范围依次判断即可． 【解答】解：曲线， 当时，曲线为：，表示以为圆心，为半径的圆，故正确； 当时，曲线为：，表示，，焦点在轴上的椭圆，此时，焦点为，故错误； 当时，曲线为：，表示，，的椭圆，故焦距，故正确； 当时，曲线为：，表示双曲线，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查曲线方程的判断，考查计算能力，属于基础题也是易错题． 50．（2023秋•东城区期中）我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆” 的中心在坐标原点，为左焦点，，分别为长轴和短轴上的顶点，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据椭圆的离心率和、、的关系，得出，利用三角形相似求出的值． 【解答】解：黄金椭圆中，， ， ， ， 即， ， 即， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了椭圆方程与几何性质的应用问题，是基础题． 51．（2023秋•安徽期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，　　． 【分析】根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可． 【解答】解：如图：由题可知，． 因为平分，所以到，的距离相等， 设为，则， 易知是△的中位线，延长，交于点，则为的中点， 过作于， 易得， 则，从而． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的数学运算与逻辑推理等核心素养，属于中档题． 52．（2023秋•菏泽期中）已知椭圆的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个端点 构成等边三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为． （ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； （ⅱ）求△面积的取值范围． 【分析】（Ⅰ）根据焦点坐标求得，根据椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．求得和的关系式，进而求得和，则椭圆的方程可得． （Ⅱ）设出直线的方程，与椭圆方程联立消去，设出，的坐标，则可利用韦达定理求得和的表达式，根据点坐标求得关于轴对称的点的坐标，设出定点，利用和的斜率相等求得． 由中判别式△求得的范围，表示出三角形面积，利用的范围，求得的最大值，继而求得三角形面积的范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是，所以半焦距． 因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形． 所以，解得，所以椭圆的标准方程为． （Ⅱ）设直线与联立并消去得：． 记，． 由关于轴的对称点为，得，， 根据题设条件设定点为，得，即． 所以即定点． 由中判别式△，解得．可知直线过定点． 所以， 得， 令记，得，当时，． 在上为增函数．所以， 得．故△的面积取值范围是． 【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力． 53．（2023秋•海淀区校级期中）椭圆的焦点、，点是椭圆上动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围是 　　． 【分析】设，根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据是钝角推断出代入坐标求得和的不等式关系，求得的范围． 【解答】解：设，则， 且是钝角 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式，是钝角推断出，是解题关键，属基础题． 二十七．抛物线的焦点与准线（共1小题） 54．（2023秋•连云区校级期中）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则　　 A． B． C． D． 【分析】写出抛物线的焦点，以及直线的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系和弦长公式求，由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，解方程求得，再判断选项中的命题是否正确． 【解答】解：抛物线的焦点为，， 则直线的方程为，代入抛物线方程得， 设，，，，则， 根据抛物线定义，， 所以． 坐标原点到直线的距离， 所以的面积为， 解得，所以选项正确； 又因为，所以选项错误； 由得，解得，， 所以，选项正确； ，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法，以及联立直线方程和抛物线方程，根与系数的关系和弦长公式，是中档题． 二十八．双曲线的几何特征（共4小题） 55．（2023秋•山东期中）双曲线的焦距等于　　 A．2 B．4 C．3 D．6 【分析】根据双曲线的方程求出即可． 【解答】解：由双曲线的方程得，， 则， 即， 则双曲线的焦距为， 故选：． 【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据，，的关系求出是解决本题的关键．比较基础． 56．（2023秋•杏花岭区校级期中）下列命题中正确的是　　 A．双曲线与直线有且只有一个公共点 B．平面内满足的动点的轨迹为双曲线 C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为 【分析】联立求出双曲线与直线只有一个交点，可判断；举出反例可判断；根据焦点在轴上，得到不等式组，求出，可判断；由双曲线焦距和渐近线方程，得到，，得到双曲线方程，可判断． 【解答】解：对于，解方程组得唯一解， 所以双曲线与直线有且只有一个公共点，所以对； 对于，当时，满足的动点的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以错； 对于，若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则且，解得，所以对； 对于，设双曲线标准方程为，由，则， 渐近线方程为，即，由，解得，， 双曲线的标准方程为，所以错． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 57．（2023秋•重庆期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线倾斜角为，若点在双曲线上，且，则　13　． 【分析】根据渐近线的倾斜角可得斜率，进而利用公式求，再根据双曲线的定义求解即可． 【解答】解：由题意：，故， 所以，故，所以双曲线， 所以，， 因为小于到右顶点的距离，故在双曲线的左支上， 由双曲线的定义可得， 解得． 故答案为：13． 【点评】本题考查双曲线的标准方程、定义和几何性质，属于中档题． 58．（2023秋•永春县校级期中）如图，若，是双曲线的两个焦点． （1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于16，求点到另一个焦点的距离； （2）若是双曲线左支上的点，且，试求△的面积． 【分析】（1）根据双曲线的定义解答； （2）利用双曲线的方程求得和，进而利用配方法求得的值代入余弦定理求得的值进而求得． 【解答】解：（1）由题意，设到两个焦点的距离分别为，16，则，解得或22； （2）根据双曲线的方程可知，，， 则， ， ， ， △的面积为． 【点评】本题开考查了双曲线的定义以及性质的运用，关键是利用性质正确得到、的位置关系，从而求面积． 二十九．直线与圆锥曲线的综合（共2小题） 59．（2023秋•武陵区校级期中）双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点． 【分析】（Ⅰ）设双曲线的方程是，则，．由此能求出双曲线的方程． （Ⅱ）由，得，由△，且，得，且．设，、，，由以为直径的圆过原点，知．由此能够求出． 【解答】解：（Ⅰ）设双曲线的方程是，则，． 又，，． 所以双曲线的方程是． （Ⅱ）①由 得， 由△，且，得，且． 设，、，，因为以为直径的圆过原点，所以， 所以． 又，， 所以， 所以，解得． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要认真审题，注意双曲线性质的灵活运用，合理地进行等价转化． 60．（2023秋•长安区校级期中）已知，是椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，线段与轴的交点满足． （1）求椭圆的方程． （2）椭圆上任一动点，关于直线的对称点为，，求的取值范围． 【分析】（1）由已知，点，在椭圆上，又，在轴上，为、的中点，由此解得，．从而能得到 所求椭圆的方程． （2）点，关于直线的对称点为，，由题设能导出，由点，在椭圆上，知．由此可求出的取值范围． 【解答】解：（1）由已知，点，在椭圆上 有①（1分） 又，在轴上， 为、的中点，（2分） ，．（3分） 由，②（4分） 解①②，解得舍去）， 故所求椭圆的方程为．（6分） （2）点，关于直线的对称点为，， （8分） 解得，（10分） （11分） 点，在椭圆上，， ． 即的取值范围为，．（12分） 【点评】本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$