期中真题必刷压轴60题（20个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（新高考通用）

期中真题必刷压轴60题（20个考点专练） 一．直线与平面所成的角（共4小题） 1．（2023秋•青羊区校级期中）如图，在 中， ，过 中点 的动直线 与线段 交于点 ，将 沿直线 向上翻折至△ ，使得点 在平面 内的射影 落在线段 上，则斜线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 　　． 2．（2023秋•昌江区校级期中）正方体 中，点 满足 ，且 ，直线 与平面 所成角为 ，则 　　． 3．（2023秋•天河区校级期中）在三棱锥 中， ， ， ， ，若 与平面 所成角的最大值为 ，则 的值为 　　． 4．（2023秋•天河区校级期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记 ，活动弹子 在 上移动． （1）求证：直线 平面 ； （2） 为何值时， 的长最小？ （3） 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值． 二．二面角的平面角及求法（共9小题） 5．（2023秋•十堰期中）如图，在棱长为4的正四面体 中， ， 分别在棱 ， 上，且 ，若 ， ， ， ，则 　　 A． B．当 ，直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 C．当 时，点 的轨迹为一条线段（不含端点） D．当 时，平面 与平面 所成的锐二面角为 ，则 6．（2023秋•温州期中）如图，三角形 中， ， ， 为 中点， 为 上的动点，将 沿 翻折到 位置，使点 在平面 上的射影 落在线段 上，则当 变化时，二面角 的余弦值的最小值是 　　． 7．（2023秋•兴庆区校级期中）如图，在四棱柱 中， ， ，平面 平面 ， ． （1）求证： 平面 ； （2）若 为线段 的中点，直线 与平面 所成角为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值． 8．（2023秋•东丽区校级期中）如图，在四棱锥 中， 是 的中点， ， ， 平面 ，且 ， ， ． （1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求平面 与平面 夹角的大小． 9．（2023秋•徐汇区校级期中）在棱长均为2的正三棱柱 中， 为 的中点．过 的截面与棱 ， 分别交于点 ， ． （1）若 为 的中点，试确定点 的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面 与底面 所成锐二面角的正切值； （3）设截面 的面积为 ， 面积为 ， 面积为 ，当点 在棱 上变动时，求 的取值范围． 10．（2023秋•浙江期中）如图，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形，且 ， ， ， ， ， 是正三角形． （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值． 11．（2023秋•思明区校级期中）如图， 是边长为2的正方形，面 面 ，且 ， 是线段 的中点，过 作直线 ， 是直线 上一动点． （1）求证： ； （2）若直线 上存在唯一一点 使得直线 与平面 垂直，求二面角 的余弦值． 12．（2023秋•邯郸期中）如图，在直四棱柱 中， ， ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值． 13．（2023秋•晋安区校级期中）如图，在三棱柱 中， 是边长为4的正方形．平面 平面 ， ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段 上存在点 ，使得 ，并求 的值． 三．两点间的距离公式（共3小题） 14．（2023秋•温州期中）已知两点 ， 点 是直线 上的动点，则下列结论中正确的是 　　 A．存在 使 最小 B．存在 使 最小 C．存在 使 最小 D．存在 使 最小 15．（2023秋•丰台区期中）在平面直角坐标系中，对于点 ， ， ， ，定义 为点 到点 的“折线距离”． （Ⅰ）已知 ， ，求 ； （Ⅱ）已知直线 ． 求坐标原点 与直线 上一点的“折线距离”的最小值； 求圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值． 16．（2023秋•万载县校级期中）设 是抛物线 上的一个动点． （1）求点 到点 的距离与点 到直线 的距离之和的最小值； （2）若 ，求 的最小值． 四．直线与圆的位置关系（共15小题） 17．（2023秋•开封期中）已知圆 ， 是坐标原点， 是圆 上任意一点，若定点 满足 ，则 面积的最大值是 　　 A．3 B．9 C． D． 18．（2023秋•昌江区校级期中）已知直线 恒过定点 ，圆 上的两点 ， ， ， 满足 ，则 的最小值为 　　 A．13 B．18 C．23 D．28 19．（2023秋•天宁区校级期中）点 为圆 上的一动点， 为圆 上一动点， 为坐标原点，则 的最小值为 　　 A．7 B．8 C．9 D．10 20．（2023秋•成都期中）已知直线 和圆 ，点 是直线 上的一个动点，点 是圆 上的一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则下列说法正确的是 　　 A． 的最大值为 B．当 最小时，直线 的方程为 C．若圆 上总存在点 ，使得 ，则 的横坐标的取值范围是 ， D．定点 到动直线 距离最大值为 21．（2023秋•青羊区校级期中）已知圆 为坐标原点），圆 的圆心为点 ，则 　　 A．圆 与圆 共有4条公切线 B． 在圆 上， ， 与圆 切于 ， ，当 最大时， ， ， 共线 C． 在直线 上，直线 与圆 相切于 ，直线 与圆 相切于 ，则 D．圆 与圆 和圆 均外切，则圆 的圆心 的轨迹为双曲线 22．（2023秋•定州市期中）已知 ， 是圆 上不同的两个动点． ， 为坐标原点，则 的取值范围是 　　． 23．（2023秋•铜山区期中）在平面直角坐标系 中，已知 是圆 的一条弦，且满足 ，点 是 的中点，当弦 在圆 上运动时，直线 上存在两点 ， ，使得 恒成立，则线段 长度的最小值是 　　． 24．（2023秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 在圆心为 的圆 上运动，且 ．若直线 上至少存在两个点 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 　　． 25．（2023秋•成都期中）已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点， 是 的中点， ． （1）求圆 的标准方程； （2）求直线 的方程． 26．（2023秋•西夏区校级期中）如图，已知点 在圆 上运动， 轴（垂足为 ，点 在 的延长线上，且 ． （1）求动点 的轨迹方程； （2）直线 与（1）中动点 的轨迹交于两个不同的点 和 ，圆 上存在两点 、 ，满足 ， ，求 的取值范围． 27．（2023秋•番禺区校级期中）已知圆 ，直线 ． （Ⅰ）求圆 的圆心坐标和圆 的半径； （Ⅱ）求证：直线 过定点； （Ⅲ）判断直线 被圆 截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时 的值，以及最短长度． 28．（2023秋•韩城市期中）已知圆 ，直线 ． （1）求证：直线 与圆 相交； （2）计算直线 被圆 截得的最短的弦长． 29．（2023秋•拱墅区校级期中）已知圆 ，直线 ． （1）若直线 与圆 相切，求 的值； （2）若直线 与圆 交于不同的两点 ， ，当 为锐角时，求 的取值范围； （3）若 ， 是直线 上的动点，过 作圆 的两条切线 ， ，切点为 ， ，探究：直线 是否过定点，若过定点，则求出该定点． 30．（2023秋•牡丹江校级期中）已知圆 ，直线 ． （1）求证：直线 恒过定点； （2）判断直线 与圆 的位置关系； （3）当 时，求直线 被圆 截得的弦长． 31．（2023秋•金牛区校级期中）已知圆 ，一动直线 过 与圆 相交于 、 两点， 是 中点， 与直线 相交于 ． （Ⅰ）求证：当 与 垂直时， 必过圆心 ； （Ⅱ）当 时，求直线 的方程； （Ⅲ）探索 是否与直线 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由． 五．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共2小题） 32．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，经过坐标原点 且互相垂直的两条直线 和 与圆 相交于 ， ， ， 四点， 为弦 的中点，则下列说法正确的是 　　 A．线段 长度的最大值为 B．弦 长度的最小值为 C．点 的轨迹是一个圆 D．连接四边形 各边中点所得四边形面积的最大值为 33．（2023秋•鼓楼区校级期中）经过坐标原点 且互相垂直的两条直线 和 与圆 相交于 ， ， ， 四点， 为弦 的中点，下列结论中正确的有 　　 A．弦 长度的最小值为 B．线段 长度的最大值为 C．点 的轨迹是一个圆 D．四边形 面积的取值范围为 六．相交弦所在直线的方程（共1小题） 34．（2023秋•东莞市校级期中）已知圆 与圆 ． （1）求两圆公共弦所在直线的方程； （2）求经过两圆交点且圆心在直线 上的圆的方程． 七．直线和圆的方程的应用（共1小题） 35．（2023秋•启东市校级期中）已知点 是 上的任意一点，点 ，线段 的垂直平分线 和半径 相交于点 （1）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹方程； （2）已知直线 与点 的轨迹交于点 ， ，且直线 的方程为 ，若 为坐标原点，求 面积的最大值． 八．椭圆的几何特征（共5小题） 36．（2023秋•思明区校级期中）已知椭圆 ，点 ， 是椭圆的左、右焦点，点 是椭圆上一点，△ 的内切圆的圆心为 ，若 ，则椭圆的离心率为 　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知椭圆 ，长轴长为8，短半轴长为 ， ， 分别为椭圆左右焦点，点 ， 为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是 　　 A． B．若直线 交椭圆于 ， 两点，且2为 中点，则直线 的方程为 C．△ 内切圆面积的最大值为 D． 的最小值为7 38．（2023秋•晋江市期中）已知点 ， 分别是椭圆 的上下焦点，点 为直线 上一个动点．若 的最大值为 ，则椭圆 的离心率为 　　． 39．（2023秋•番禺区校级期中）设 ， 是椭圆 的左、右焦点，过点 且斜率为 的直线交椭圆于点 ，若 ，则椭圆 的离心率为 　　． 40．（2023秋•雁塔区校级期中）已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点． （1）若 是第一象限内该椭圆上的一点， ，求点 的坐标； （2）若直线 与圆 相切，交椭圆 于 ， 两点，是否存在这样的直线 ，使得 ？ 九．椭圆相关动点轨迹（共1小题） 41．（2023秋•东莞市校级期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点，直线 的方程为 ， 为椭圆 的蒙日圆上一动点， ， 分别与椭圆相切于 ， 两点， 为坐标原点，下列说法正确的是 　　 A．椭圆 的蒙日圆方程为 B．记点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为0 C．一矩形四条边与椭圆 相切，则此矩形面积最大值为 D． 的面积的最大值为 一十．直线与椭圆的综合（共2小题） 42．（2023秋•青冈县校级期中）在 平面上．设椭圆 ，梯形 的四个顶点均在 上，且 ．设直线 的方程为 ． （1）若 为 的长轴，梯形 的高为 ，且 在 上的射影为 的焦点，求 的值； （2）设 ， ， 与 的延长线相交于点 ，当 变化时， 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 43．（2023秋•固镇县期中）已知椭圆 的长轴长为4，且点 在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程； （2）过椭圆 的右焦点 作不与两坐标轴重合的直线 ，与 交于不同的两点 ， ，线段 的中垂线与 轴相交于点 ，求 为原点）的最小值，并求此时直线 的方程． 一十一．椭圆的弦及弦长（共1小题） 44．（2023秋•香格里拉市校级期中）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于 ， 两点，当直线 与 轴垂直时， ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）当直线 的斜率为 时，在 轴上是否存在一点 （异于点 ，使 轴上任意一点到直线 与到直线 的距离相等？若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由． 一十二．椭圆的焦点弦及焦半径（共1小题） 45．（2023秋•浙江期中）已知椭圆 的离心率为 ，左焦点 与原点 的距离为1．正方形 的边 ， 与 轴平行，边 ， 与 轴平行， ．过 的直线与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中垂线为 ．已知直线 的斜率为 ，且 ． （1）若直线 过点 ，求 的值； （2）若直线 与正方形 的交点在边 ， 上， 在正方形 内的线段长度为 ，求 的取值范围． 一十三．椭圆的定点及定值问题（共2小题） 46．（2023秋•浙江期中）已知椭圆 的左顶点为 ，焦距为 ．动圆 的圆心坐标是 ，过点 作圆 的两条切线分别交椭圆于 和 两点，记直线 、 的斜率分别为 和 ． （1）求证： ； （2）若 为坐标原点，作 ，垂足为 ．是否存在定点 ，使得 为定值？ 47．（2023秋•湖北期中）已知 ， ， 是椭圆 上的三点，其中 、 两点关于原点 对称，直线 和 的斜率满足 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）点 是椭圆 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点 作斜率不为0的直线 ， 与椭圆的两个交点分别为 、 ，若 为定值，则称点 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由． 一十四．抛物线的焦点弦及焦半径（共1小题） 48．（2023秋•诸暨市校级期中）设抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线 交于点 ， ， ， ．当直线 垂直于 轴时， ． （1）求抛物线 的标准方程． （2）已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， ． ①求证：直线 过定点； ②求 与 面积之和的最小值． 一十五．双曲线的几何特征（共4小题） 49．（2023秋•市南区校级期中）目前我国的火力发电厂主要是燃煤发电．随着我国经济发展及经济结构的调整，火力发电要优化火力发电机组结构，建设高效超临界大型机组，加快关停小火电，降低发电煤耗率．近几 年，通过自主研发与引进技术相结合，火电机组设计制造技术快速发展．与此同时，新型低污染燃烧技术和烟气排放控制技术及装备也已广泛应用于火力发电厂的生产过程．如图，某发电厂的冷却塔，它的外形线是双曲线，在平面直角坐标系中，若该双曲线 过点 ，且渐近线方程为 ，点 是双曲线 上任意一点， ， 分别是双曲线 的左、右焦点，则下列说法正确的是 　　 A．若 ，则 或44 B．以 为中点的弦所在直线方程为 C．若 在双曲线 的右支上运动，则 到直线 的距离均大于 D．若直线 与双曲线 的右支有且仅有一个公共点，则 的取值范围为 50．（2023春•广陵区校级期中）如图，已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点 ， ， 、 、 、 是它们的公共点，且都在圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与双曲线 交于点 ，记直线 、 的斜率分别为 、 ，若椭圆 的离心率为 ，则 的值为 　　 A．2 B． C． D．4 51．（2023秋•湖南期中）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交双曲线于 、 两点，线段 的中垂线交 轴于点 ．若 ，则双曲线的离心率取值范围是 　　． 52．（2023秋•宁波期中）若双曲线 的离心率等于 ，直线 与双曲线 的右支交于 、 两点． （1）求 的取值范围； （2）若 ，点 是双曲线上一点，且 ，求 、 的值． 一十六．双曲线的焦点三角形（共1小题） 53．（2023秋•长安区校级期中）已知点 ，点 是双曲线 左支上的动点， 为其右焦点， 是圆 上的动点，直线 交双曲线右支于 点 为坐标原点），则 　　 A．过点 作与双曲线 有一个公共点的直线恰有4条 B． 的最小值为 C．若 的内切圆 与圆 外切，则圆 的半径为2 D．过点 作 轴的垂线，垂足为 与 不重合），连接 并交双曲线右支于点 ，则 为直线 斜率， 为直线 斜率） 一十七．双曲线与平面向量（共1小题） 54．（2023秋•宛城区校级期中）已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，焦距为4． （1）求双曲线 的方程； （2）直线 过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于 ， 两点，与 轴交于 点， 为坐标原点，若 ，求 面积的取值范围． 一十八．双曲线的定点及定值问题（共2小题） 55．（2023秋•江津区校级期中）已知双曲线 经过点 ，一条渐近线方程为 ，直线 交双曲线于 ， 两点． （1）求双曲线 的方程． （2）若 过双曲线的右焦点 ，是否存在 轴上的点 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有 成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由． 56．（2023秋•永川区校级期中）已知双曲线 过点 和点 ． （1）求双曲线的离心率； （2）过 的直线与双曲线交于 ， 两点，过双曲线的右焦点 且与 平行的直线交双曲线于 ， 两点，试问 是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由． 一十九．曲线与方程（共1小题） 57．（2023秋•西城区校级期中）已知曲线 ，下列说法正确的有 　　． ①曲线 关于 轴对称； ②存在 ，使得曲线 与坐标轴的交点个数为3； ③曲线 围成的区域面积 （a）是关于 的增函数； ④当 时，直线 与曲线 有且仅有2个交点． 二十．直线与圆锥曲线的综合（共3小题） 58．（2023秋•金坛区期中）已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 59．（2023秋•重庆期中）设抛物线 与两坐标轴的交点分别记为 ， ， ，曲线 是经过这三点的圆． （1）求圆 的方程． （2）过 作直线 与圆 相交于 ， 两点， 用坐标法证明： 是定值． 设 ，求 的最大值． 60．（2023秋•射阳县校级期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一定点，记为 ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 （即折叠后图中的点 与点 重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与 的交点为 ； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕． 现取半径为4的圆形纸片，设点 到圆心 的距离为2，按上述方法折纸．以线段 的中点为原点，线段 所在直线为 轴建立平面直角坐标系 ，记动点 的轨迹为曲线 ． （1）求 的方程； （2）直线 与 在第一象限内交于点 ，直线 与 交于 ， 两点（均异于点 ，则直线 ， 的斜率之和是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 期中真题必刷压轴60题（20个考点专练） 一．直线与平面所成的角（共4小题） 1．（2023秋•青羊区校级期中）如图，在 中，，过 中点 的动直线 与线段 交于点 ，将 沿直线 向上翻折至△ ，使得点 在平面 内的射影 落在线段 上，则斜线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 　 　． 【分析】易知 为直线 与平面 所成的角，通过建立空间直角坐标系可求解． 【解答】解：以 为坐标原点， 为 轴，在 平面内过点 与 垂直的直线为 轴， 过点 与 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ， ，2， ， 为 中点， ，1， ，设 ，0， ， ， ，0， ， ， ， 即 ，又 ， ， ，即 ， 平面 ， 与平面 所成的角为 ， ， 即 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ， ． 【点评】本题考查运用空间向量求线面角的取值范围，涉及空间动态问题及函数值域问题，考查转化思想，属难题． 2．（2023秋•昌江区校级期中）正方体 中，点 满足 ，且 ，直线 与平面 所成角为 ，则 　 　． 【分析】根据共面的充要条件及线面垂直的判定定理，利用线面垂直的性质定理及线面角的定义，得出点 在以 为圆心，半径 的圆上，且圆在平面 内，再在平面图形中，得到点 的轨迹方程为 ，从而设出 ，利用数量积的坐标运算即可求出结果． 【解答】解：因为 ，且 ， 所以，点 在平面 上，设 ，连接 ， 且 ，如图1所示， 因为 平面 ，又 平面 ， 所以 ，又 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以 ， 同理可证， ，又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，设正方体的棱长为1，则可知 为棱长为 的正四面体， 所以， 为等边三角形 的中心， 由正弦定理知， ，解得 ， 在 △ 中， ， 连接 ，则 为直线 与平面 所成的角，即 ， 所以， ，即点 在以 为圆心，半径 的圆上，且圆在平面 内， 如图2，把平面 抽象出来，以 中点为坐标原点，直线 为 轴，建立平面直角坐标系， 因为 ，故易知， ， ， ， 又 为等边三角形 的中心，由重心性质知， ， 所以，圆 为 ，设 ， 则 ， 则 ， 所以 ， 故答案为： 【点评】本题考查了线面位置关系和线面角在空间几何体中与向量的综合应用，属于难题． 3．（2023秋•天河区校级期中）在三棱锥 中， ， ， ， ，若 与平面 所成角的最大值为 ，则 的值为 　 　． 【分析】取 的中点 ， 的中点 ，易证 平面 ，分别以 ， 所在直线为 轴， 轴，以过 且垂直平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，然后再利用向量法构建 与面 所成角的正弦值关于 的函数模型，接着利用换元法，基本不等式，即可求出 与平面 所成角的正弦值的最大值，从而可求解问题． 【解答】解：如图，取 的中点 ， 的中点 ，则 ， 又 ， ， 又 ， 为 的中点， ，又 ， ， 平面 ， 设 ，则 ， 如图，分别以 ， 所在直线为 轴， 轴，以过 且垂直平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系， 根据题意易知 ，又 ， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ， ，1， ， ， ， ， ，2， ， ，1， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 则 ，取 ，0， ， 与平面 所成角的正弦值为： ， ， ， 令 ，则 ， ， ， ， 设 与平面 所成角的正弦值为 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 又 与平面 所成角的最大值为 ， ． 故答案为： ． 【点评】本题考查向量法求解线面角问题，函数建模，函数思想，换元法的应用，基本不等式的应用，属难题． 4．（2023秋•天河区校级期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ， 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记 ，活动弹子 在 上移动． （1）求证：直线 平面 ； （2） 为何值时， 的长最小？ （3） 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值． 【分析】（1）在平面 内，过点 作 ，交 于点 ，连接 ， ．由已知可证明 ．进而根据线面平行以及面面平行的判定定理得出平面 平面 ．然后即可根据面面平行的性质，得出证明； （2）先求出 ， ．进而根据面面垂直的性质定理以及（1）的结论推得 ．根据勾股定理得出 ，结合 的取值范围，即可得出答案； （3）以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设 ，0， ， ，求出 ，以及平面 的一个法向量 ．设线面角为 ，根据向量表示出 ．分 以及 结合基本不等式，即可得出答案． 【解答】（1）证明：如图1，在平面 内，过点 作 ，交 于点 ，连接 ， ， ， ． 由已知可得， ， ， ， ， ， ． 又 ， ． 平面 ， ， 平面 ， 平面 ， 同理可得， 平面 ． 平面 ， 平面 ， ， 平面 平面 ． 平面 ， 直线 平面 ． （2）由（1）可知， ， ， ， ． 同理可得， ． 又平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面 ． 平面 ， ． ， ， ， 是直角三角形， ． 又 ， ，即 ， 为线段中点时， 有最小值 ， 当 时， 的长度最小，最小值为 ． （3）由（2）知， 平面 ． 又 ， 以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示， 则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ，设 ，0， ， ， ， ， ． 设 是平面 的一个法向量， 则 ，取 ，则 是平面 的一个法向量． 设 与平面 所成的角为 ， 则 ． 当 时， ； 当 时， 有 ． ，当且仅当 ，即 时等号成立， ， ， ． ， ． 综上所述， 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ． 【点评】本题主要考查直线与平面平行的证明，直线与平面所成角的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题． 二．二面角的平面角及求法（共9小题） 5．（2023秋•十堰期中）如图，在棱长为4的正四面体 中， ， 分别在棱 ， 上，且 ，若 ， ， ， ，则 　　 A． B．当 ，直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 C．当 时，点 的轨迹为一条线段（不含端点） D．当 时，平面 与平面 所成的锐二面角为 ，则 【分析】分析 ， 的范围，根据向量数乘的意义得到点 的轨迹，即可判断选项 ， ，作出直线与平面所成的角，计算正弦值，作出二面角的平面角，计算其正弦值，即可判断选项 ， ． 【解答】解：由题意，当 ， ，则点 的轨迹是 的内部（不含边界）， 所以 的最小值是点 到平面 的距离，最大值是棱长 （取不到）， 如图所示，设 为 的中心，则 平面 ， 所以 与平面 内所有的直线垂直， 则 ， ， 所以 的取值范围为 ，故选项 正确； 当 时， 为 的中位线，点 的轨迹是线段 （不含端点）， 作 平面 ， 为垂足，连接 ， 则 为 与平面 所成角 ， 因为点 到平面 的距离为 ， 是 的中位线， ， 由 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 则 等于点 到平面 的距离，即点 到平面 的距离的一半，所以 ， 在 中， ， ， 边上的高为 ， 所以 ，则 ， 所以 ，故选项 错误； 当 ， 时，点 与点 重合， 当 ， 时，点 与点 重合， ， 是两个极限点（实际上取不到）， 当 ， 时， 是中位线 的中点 ， ， ， 三点不共线， 故选项 错误； 在 上取点 ，使得 ，连接 ， 时，点 的轨迹是线段 （不含端点）， 如图所示，由选项 可知， 平面 ， 从而 与平面 内所有的直线垂直， ， 作 ，垂足为 ，连接 ， 则由于 ， 是平面 内两条相交直线， 故 平面 ，又 平面 ，所以 ， 则 是平面 与平面 所成的锐二面角的平面角，即 ， 在 是 的中点）中， ， ， 由 ，可得 ， 所以 ， ， 则 ． 故选项 正确． 故选： ． 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于难题． 6．（2023秋•温州期中）如图，三角形 中， ， ， 为 中点， 为 上的动点，将 沿 翻折到 位置，使点 在平面 上的射影 落在线段 上，则当 变化时，二面角 的余弦值的最小值是 　 　． 【分析】作出图示，根据位置关系分析出二面角的平面角为 ，然后根据 ， ， 三点共线将问题转变 为平面直角坐标系中的坐标问题，通过计算对应纵坐标的比值结合基本不等式求解出二面余弦值的最小值． 【解答】解：过点 作 交 于 点，连接 ， ，如下图所示： 因为 在平面 内的射影为 点，所以 平面 ，所以 ， 又因为 ， ，所以 平面 ，所以 ， 所以二面角 的平面角为 ，且 ， 又因为 ，所以 ，易知 ， ， 三点共线，且 ， 则 ， 在平面 中建立平面直角坐标系如下图所示： 设 ，因为 在平面 内的射影为 点，所以可知 ， 又 ， ，所以 ， ， 所以 ，所以 ，所以 ， ， 所以 ， 设 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 ，即 时取等号，所以 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查利用几何法求解二面角的余弦值，解答问题的关键在于将空间中线段长度比值转化为平面中坐标的比值，通过利用基本不等式求 解出对应最值，属难题． 7．（2023秋•兴庆区校级期中）如图，在四棱柱 中， ， ，平面 平面 ， ． （1）求证： 平面 ； （2）若 为线段 的中点，直线 与平面 所成角为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值． 【分析】（1）由平面 平面 ，证明 平面 ，得 ，结合 ，可得 平面 ； （2）以 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角的余弦值即可． 【解答】（1）证明：连接 ，设 ， 因为 ， ，所以 是线段 的垂直平分线，即 ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 又 ， ， 平面 ， ， 所以 平面 ． （2）解：由 ，得 ， 因为 ， ，所以 ，所以 ， 又 ， ，故以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 在 中， 为 中点，所以 ， 由 平面 ，知 为 与平面 所成角，即 ， 所以 ， 所以 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， ， 由 平面 ， 平面 ，知 ， 又 ， ， 平面 ， ， 所以 平面 ， 故平面 的一个法向量为 ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 取 ，得 ， 设平面 与平面 的夹角为 ，则 ， 所以平面 与平面 的夹角余弦值为 ． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，利用向量法求平面与平面夹角是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于难题． 8．（2023秋•东丽区校级期中）如图，在四棱锥 中， 是 的中点， ， ， 平面 ，且 ， ， ． （1）求证： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求平面 与平面 夹角的大小． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出 的坐标，计算 ，即可证明结论； （2）求出平面 的法向量，利用空间角的向量求法，可得答案； （3）求出平面 的法向量，利用空间角的向量求法，可得答案． 【解答】证明：（1） ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 则 ， ， 以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， ， ， ， 是 的中点， 则 ，0， ， ，0， ， ，3， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ， 故 ， 则 ， 所以 ，即 （2）解： ，3， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，令 ，则 ， ， ， ， 设直线 与平面 所成的角为 ， ， 则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 ． （3）解： ，1， ， ，0， ， ，0， ， ， 设平面 的法向量 ，则 ，即 ， 不妨令 ，则 ，即 ， ． 又平面 的法向量 ， 设平面 与平面 夹角为 ，则 为锐角， ， ， 故平面 与平面 夹角为 ． 【点评】本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于难题． 9．（2023秋•徐汇区校级期中）在棱长均为2的正三棱柱 中， 为 的中点．过 的截面与棱 ， 分别交于点 ， ． （1）若 为 的中点，试确定点 的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面 与底面 所成锐二面角的正切值； （3）设截面 的面积为 ， 面积为 ， 面积为 ，当点 在棱 上变动时，求 的取值范围． 【分析】（1）延长 ， 相交于点 ，证明 ，可确定点 的位置； （2）利用几何方法找到截面 与底面 所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值； （3）由 ，通过构造函数，利用单调性求取值范围． 【解答】解：（1）在平面 内延长 ， 相交于点 ， 则 平面 ，又 平面 ， 则有平面 平面 ， ，即 ， ， 三点共线， 因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ，即点 为棱 上靠近点 的三等分点． （2）在平面 内延长 ， 相交于点 ，连接 ， 则平面 平面 ， 在平面 内作 于点 ，则 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 在平面 内作 于点 ，连接 ， 又 ， 平面 ， ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 所以 为截面 与底面 所成锐二面角的平面角， 在 中，作 于点 ， ， ， ， ， ， ， 由余弦定理可得： ，则 ， ，可得 ，所以 ， 又 ，所以 ， 故截面 与底面 所成锐二面角的正切值为 ； （3）设 ，则 ， ， ， 设 的面积为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，且 ， 故 ，令 ，则 ， 设 ， 当 时， ， 由 ， ， ，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递减， 所以 （1） ， ，所以 ， 所以 ． 【点评】本题考查线面关系、二面角等知识，考查几何与函数的综合应用，属难题． 10．（2023秋•浙江期中）如图，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形，且 ， ， ， ， ， 是正三角形． （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值． 【分析】（1）由已知，证明 平面 即可证得 ； （2）建立空间直角坐标系，由题设求得点 坐标，进而求得平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求得结论． 【解答】（1）证明：取 的中点，连接 ， ， 因为 是正三角形，所以 ， 在直角梯形 中，因为 ， ， 所以 ，所以 是正三角形，所以 ， 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，而 平面 ， 因此 ； （2）解：过 作 平面 ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴， 建立如图所示空间直角坐标系 ， 则 ，0， ， ，0， ， ， ， 设 ， ， ，由题意 ， ， 故 ，解得 ， 所以 ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，令 ，可得 ， ， 即平面 的一个法向量 ， 设平面 的法向量为 ， 由 ， ， 可得 ，令 ，可得 ， ， 即平面 的法向量 ， 则 ， 由图可知，平面 与平面 所成角为锐二面角， 故平面 与平面 所成角的余弦值为 ． 【点评】本题考查空间线面垂直的判定及性质，考查利用空间向量求得平面与平面所成角的余弦值，属难题． 11．（2023秋•思明区校级期中）如图， 是边长为2的正方形，面 面 ，且 ， 是线段 的中点，过 作直线 ， 是直线 上一动点． （1）求证： ； （2）若直线 上存在唯一一点 使得直线 与平面 垂直，求二面角 的余弦值． 【分析】（1）先证 面 ，进而可得 面 ，从而可证 ； （2）判断 为二面角 的平面角，计算出 ，利用余弦定理可求二面角 的余弦值． 【解答】（1）证明： ， 是 的中点， ， 面 面 ，面 面 ， 面 ， ， ， 面 面 ， ； （2）解：设 的中点为 ，连接 ， ，设 的中点为 ，连接 ， ， ， ， ， ， 四点共面 ， 面 等价于 ， 直线 上存在唯一一点 使得直线 与平面 垂直，即等价于以 为直径的圆与直线 相切， 恰为切点， 直线 与直线 的距离为1，故 ， ， ， 共面， 面 ， 面 在直角 和 中， 面 ， ， 为二面角 的平面角 在 中， ， ， ． 【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定定理，正确作出面面角． 12．（2023秋•邯郸期中）如图，在直四棱柱 中， ， ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值． 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，由法向量的数量积为零，即可证明两平面垂直； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，分别求得两个平面的法向量，利用空间向量求面面夹角． 【解答】（1）证明：因为在直四棱柱 中， 平面 ，又 ， 平面 ， 所以 ， ， 又因为 ，所以 ， 即 ， ， 两两垂直， 以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设 ， 所以 ，0， ， ，1， ， ，4， ， ，0， ， ，4， ， ，0， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 又 ，1， ， ，4， ， 则有 ，令 ，可得 ， ， 所以平面 的一个法向量 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 又 ，0， ， ，4， ， 则有 ，令 ，可得 ， ， 所以平面 的一个法向量 ，1， ， 因为 ， ， ，1， ， 所以平面 平面 ； （2）解：因为 ，0， ， ，1， ， 所以 ，0， ， ，1， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 则有 ，令 ，可得 ， ， 所以平面 的一个法向量为 ， ， ， 设平面 与平面 的夹角的大小为 ， 所以 ， 即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ． 【点评】本题考查面面垂直的判定，考查利用空间向量求二面角，属难题． 13．（2023秋•晋安区校级期中）如图，在三棱柱 中， 是边长为4的正方形．平面 平面 ， ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段 上存在点 ，使得 ，并求 的值． 【分析】 利用 是正方形，可得 ，再利用面面垂直的性质即可证明； 利用勾股定理的逆定理可得 ．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角； 设点 的竖坐标为 ， ，在平面 中作 于 ，可得 ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出． 【解答】 证明： 是正方形， ． 又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ． 解：由 ， ， ． ， ． 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，0， ， ，3， ， ，3， ， ，0， ， ， ， ． 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ， ， ． 则 ，令 ，解得 ， ， ． ，令 ，解得 ， ， ． ． 二面角 的余弦值为 ． 设点 的竖坐标为 ， ，在平面 中作 于 ，可得 ， ， ，3， ， ， ， ，解得 ． ． 【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．两点间的距离公式（共3小题） 14．（2023秋•温州期中）已知两点 ， 点 是直线 上的动点，则下列结论中正确的是 　　 A．存在 使 最小 B．存在 使 最小 C．存在 使 最小 D．存在 使 最小 【分析】 ：先求 关于 的对称点 ，根据 与 的交点坐标即可判断； ：设出 点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时 点坐标； ：结合图示进行分析判断； ：根据绝对值的特点先判断出取最小值时 点的位置，然后联立对应直线方程求解出 点坐标． 【解答】解：对于 ：设点 关于直线 的对称点为 ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ，当且仅当 为 与 交点时满足题意， 又因为 ，即 ， 所以 ，所以 ，所以 ，故 正确； 对于 ：设 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 时， 有最小值， 此时 ，所以 ，故 正确； 对于 ：如下图，根据 ， 与 的位置关系可判断出 有最大值，无最小值，故 错误； 对于 ：因为 ，取等号时 ，即 为 垂直平分线与 的交点， 因为 垂直平分线方程为 ，即 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查了直线方程的应用，属于难题． 15．（2023秋•丰台区期中）在平面直角坐标系中，对于点 ， ， ， ，定义 为点 到点 的“折线距离”． （Ⅰ）已知 ， ，求 ； （Ⅱ）已知直线 ． 求坐标原点 与直线 上一点的“折线距离”的最小值； 求圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值． 【分析】（Ⅰ）直接利用定义求出折线距离； （Ⅱ） 求出直线 与 ， 的交点 ， ，设直线 上任意一点 ，分点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上，点 在线段 上三种情况讨论，即可求解最小值； 由 可知，设 是圆 上任意一点， 是直线 上任意一点，当且仅当 轴时， ， 的最小值为 ，数形结合即可求解． 【解答】解：（Ⅰ） ， ， 由定义可得 ． （Ⅱ） 直线 与 轴的交点 ，与 轴的交点 ， 设直线 上任意一点 ． 当点 在线段 的延长线上时， ， ， ； 当点 在线段 的延长线上时， ， ， ； 当点 在线段 上时， ， ， ． ， ， ． 综上，当点 与点 重合时，坐标原点与直线 上一点的“折线距离”的最小值为 ． 由 可知，设 是圆 上任意一点， 是直线 上任意一点，当且仅当 轴时， ， 的最小值为 ，如图所示． 过 作直线 的垂线，垂足为 ，则 ， ． 当 取最小值时， 取得最小值． 过 点作直线 的垂线，交单位圆于 ，垂足为 ， 当且仅当 与 重合时， 取到最小值 ． 易知 ， 的最小值为 ， 即圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值为 ． 【点评】本题主要考查两点间的距离，考查数形结合思想与运算求解能力，属于难题． 16．（2023秋•万载县校级期中）设 是抛物线 上的一个动点． （1）求点 到点 的距离与点 到直线 的距离之和的最小值； （2）若 ，求 的最小值． 【分析】（1）所求距离等于 到点 的距离与点 到焦点 的距离之和，当 、 、 三点共线时，距离之和最小，由两点间的距离公式可得； （2）所求距离等于 到准线 的距离，当 、 、 三点共线时，距离之和最小，由点到直线的距离公式可得． 【解答】解：（1）可得抛物线 的焦点 ，准线方程为 ， 点 到点 的距离与点 到直线 的距离之和 等于 到点 的距离与点 到焦点 的距离之和， 当 、 、 三点共线时，距离之和最小，且为 ， 由两点间的距离公式可得 ； （2）由抛物线的定义可知 等于 到准线 的距离， 故 等于 到准线 的距离， 可知当 、 、 三点共线时，距离之和最小， 最小距离为 【点评】本题考查抛物线的定义，涉及点到点、点到线的距离，利用好抛物线的定义是解决问题的关键，属中档题． 四．直线与圆的位置关系（共15小题） 17．（2023秋•开封期中）已知圆 ， 是坐标原点， 是圆 上任意一点，若定点 满足 ，则 面积的最大值是 　　 A．3 B．9 C． D． 【分析】设 ， ，由 ，得 ，结合 ，推出 ， 通过任意 恒成立，得到 ，求出 ，然后判断 的位置，求解三角形的面积的最大值即可． 【解答】解：圆 的圆心坐标为 ，半径为2，设 ， ， 由 ，得 ， 化简得 ， 又因为 ，即 ，所以 ， 因为对于任意 恒成立，所以 ，解得 ，所以 ， 所以当 点的纵坐标的绝对值最大时 的面积最大，此时 轴， 所以 或 ， 所以 的面积为 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题． 18．（2023秋•昌江区校级期中）已知直线 恒过定点 ，圆 上的两点 ， ， ， 满足 ，则 的最小值为 　　 A．13 B．18 C．23 D．28 【分析】求出点 的坐标，由条件可得点 ， ， 三点共 线，结合点到直线的距离公式求 的最小值． 【解答】解：将 整理得 ， 由 ，解得 ，所以直线恒过 ， 因为 ，所以 ， ， 三点共线， ， 因为 ， ， ， 为圆 上两点， 所以点 ， 为过点 的直线与圆 的两个交点， 设线段 的中点为 ， ，则 ， ， 因为 表示点 ， ， ， 到直线 的距离和， 分别过 ， ， 作 ， ， 与直线 的垂直， 垂足为 ， ， ，则 ， 所以 ， 因为 ，直线 过点 ， ，所以 ，所以 ， 所以 ，整理得 ， 所以点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆， 所以点 到直线 的距离的最小值为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键在于确定所求解析式的几何意义，并将所求值转化为线段的中点到直线的距离问题，属于难题． 19．（2023秋•天宁区校级期中）点 为圆 上的一动点， 为圆 上一动点， 为坐标原点，则 的最小值为 　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】取点 ，则 ，将 的最小值转化为 的距离即可得到所求． 【解答】解： 为圆 上一动点， 为圆 上一动点， 为坐标原点， 取 ，则 ， ， ， ， 故选： ． 【点评】本题考查了点到圆上动点的距离问题，考查了三角形相似的应用，主要考查转化能力和计算能力，属于难题． 20．（2023秋•成都期中）已知直线 和圆 ，点 是直线 上的一个动点，点 是圆 上的一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则下列说法正确的是 　　 A． 的最大值为 B．当 最小时，直线 的方程为 C．若圆 上总存在点 ，使得 ，则 的横坐标的取值范围是 ， D．定点 到动直线 距离最大值为 【分析】由余弦函数的单调性结合直线与圆的位置关系可判断 ；由切线的性质可判断 ；由曲线 上总存在点 ，使得 ，可得 ，根据正弦范围可求得点 横坐标范围，可判断 ；根据条件，求得 所在直线方程，根据 所过定点即可求得最大距离． 【解答】解：对于 ：由余弦函数的单调性可知，当 最小时， 有最大值， 显然， 无限接近于0，没有最小值，故 没有最大值，故 错误； 对于 最小时，即四边形 的面积最小， 即直角三角形 面积最小，即 最小，又 为定值，故只需要 最小， 当 是点 到直线 的距离时， 最小，最小值为 ， 易知此时直线 的方程为 ，故 正确； 对于 ：因为点 是直线 上的一个动点，所以设 ， 因为曲线 上总存在点 ，使得 ，所以 ， 因此 ， 又因为在 中， ， 所以 ，即 ，解得 ， 因此点 的横坐标的取值范围是 ， ，故 正确； 对于 ：由题意过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 、 ， 可知 、 两点在以 为直径的圆上，设 ， 则 为直径的圆的方程为 ， 和 相减可得直线 的方程，即 ， 即 ，由于 ， 故由 ，得 ，所以直线 恒过定点 ， 故定点 到动直线 距离最大值为 ，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系的综合应用，属难题． 21．（2023秋•青羊区校级期中）已知圆 为坐标原点），圆 的圆心为点 ，则 　　 A．圆 与圆 共有4条公切线 B． 在圆 上， ， 与圆 切于 ， ，当 最大时， ， ， 共线 C． 在直线 上，直线 与圆 相切于 ，直线 与圆 相切于 ，则 D．圆 与圆 和圆 均外切，则圆 的圆心 的轨迹为双曲线 【分析】 选项，判断出两圆外切，得到 正确； 选项，得到三角形全等，设 ，故 ， ，结合正弦函数和余弦函数的单调性，得到 最大，只需 最大，从而得到 正确； 选项，设出 ，表达出 ， 选项，根据双曲线定义得到点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线的一支， 错误． 【解答】解： 选项，圆 的圆心为 ，半径为 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ， 则圆心距为 ，又 ， 由 可知 ，故两圆相离，故圆 与圆 共有4条公切线， 正确； 选项，因为 ， 与圆 切于 ， ，所以 ， ， 由对称性可知， ， 连接 交 于点 ，则 ，且 ， 设 ，则 ， ， 要想 最大只需 最大，而 在 上单调递增，故只需 最大， 某中 面 在 ．上单调递减， 故只需 最大， 显然当 ， ， 三点共线，如图所示时， 最大， 正确； ．选项，设 ， 则 ， ， ， ， 故 ， 正确； 选项，由题意得 ， ， 故 ， 则点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线的一支， 错误． 故选： ． 【点评】本题考查了圆的方程的应用，以及轨迹方程求法，属于难题． 22．（2023秋•定州市期中）已知 ， 是圆 上不同的两个动点． ， 为坐标原点，则 的取值范围是 　 ， 　． 【分析】设 的中点为 ，求得 的轨迹方程，进而数形结合可求 的取值范围． 【解答】解：由圆 ，可得圆 的圆心坐标 ，半径 ， 设圆心到直线 的距离为 ． 由圆的弦长公式，可得 ， 即 ，解得 ， 设 的中点为 ，可得 所以点 的轨迹表示以 为圆心， 为半径的圆． 所以点 的轨迹方程为 ， 因为 ， 又因为 ，所以 ， 即 ． 即 的取值范围为 ， ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属中档题． 23．（2023秋•铜山区期中）在平面直角坐标系 中，已知 是圆 的一条弦，且满足 ，点 是 的中点，当弦 在圆 上运动时，直线 上存在两点 ， ，使得 恒成立，则线段 长度的最小值是 　 　． 【分析】由圆 方程可得圆心 ， ，根据题意可得 ， ， ， 点 在以 为圆心，1为半径的圆上，即点 所在圆的方程为 ，要使得 恒成立，则点 所在的圆在以 为直径的圆的内部，点 到直线 距离为 ， 以 为直径的圆的半径的最小值为 ， 的最小值为 ． 【解答】解：因为圆 ， 所以圆心 ， ， 因为 为 的中点， 所以 ， 因为 ， 所以 为等腰直角三角形， 所以 ， 即点 在以 为圆心，1为半径的圆上， 所以点 所在圆的方程为 ， 要使得 恒成立，则点 所在的圆在以 为直径的圆的内部， 而 在直线 上， 点 到直线 距离 ， 所以以 为直径的圆的半径的最小值为 ， 所以 的最小值为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题中注意逆向思维的应用，属于难题． 24．（2023秋•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 在圆心为 的圆 上运动，且 ．若直线 上至少存在两个点 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 　 　． 【分析】利用垂径定理可求得 ；设 ，利用向量坐标运算可表示出 点坐标，利用两点间距离公式可构造关于 的方程，结合已知得出方程解的个数，由△ 列出不等式，求解即可得出结果． 【解答】解：设 ， ， ， ， 中点 ， 由已知可得，圆 的圆心 ，半径 ． 连接 ，则 ，且 ，所以 ， 由已知可设其中一个点为 ， 则 ， ， 所以 ， 所以 ，所以 ， ， 即 ，所以 ， 所以 ，即 ， 由题意知，至少存在两个点，所以△ ， 整理可得 ，解得 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识，考查数学转化思想方法与运用求解能力，属难题． 25．（2023秋•成都期中）已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点， 是 的中点， ． （1）求圆 的标准方程； （2）求直线 的方程． 【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程； （2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程 【解答】解：（1）设圆 的半径为 ，因为圆 与直线 相切， ， 圆 的方程为 ． （2）①当直线 与 轴垂直时，易知 符合题意； ②当直线 与 轴不垂直时，设直线的方程为 ，即 ． 连接 ，则 ， ， ， 则由 得 ， 直线 为： ， 故直线 的方程为 或 ． 【点评】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，属于中档题． 26．（2023秋•西夏区校级期中）如图，已知点 在圆 上运动， 轴（垂足为 ，点 在 的延长线上，且 ． （1）求动点 的轨迹方程； （2）直线 与（1）中动点 的轨迹交于两个不同的点 和 ，圆 上存在两点 、 ，满足 ， ，求 的取值范围． 【分析】（1）设 ， ，丨 丨 丨 丨，则 ， ，代入圆的方程，即可求得动点 的轨迹方程； （2）将直线 代入椭圆方程，由△ ，求得 的取值范围，利用韦达定理及中点坐标公式，及 ， ，即可求得 的取值范围； 【解答】解：（1）设动点 ，点 ， ， 由点 ， 在圆 上，则 ， 由丨 丨 丨 丨，则 ， ， 把 ， 代入 ， 得动点 的轨迹方程为 ； （2）联立直线 与（1）中的轨迹方程得 ， 消去 ，可得 ， 由于有两个交点 、 ，故△ ，解得丨 丨 ，① 设 ， ， ， ， 的中点 ， 由根与系数的关系得 ， 则 ， 故 的垂直平分线方程为 ， 即 ， 由圆 上存在两点 、 ，满足丨 丨 丨 丨，丨 丨 丨 丨， 可知 的垂直平分线与圆 交于 、 两点， 由直线与圆的位置关系可得 ， 解得：丨 丨 ，② 由①、②解得丨 丨 ， 的取值范围是 ． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属于难题． 27．（2023秋•番禺区校级期中）已知圆 ，直线 ． （Ⅰ）求圆 的圆心坐标和圆 的半径； （Ⅱ）求证：直线 过定点； （Ⅲ）判断直线 被圆 截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时 的值，以及最短长度． 【分析】 将圆的方程化为标准方程，可得圆 的圆心坐标和圆 的半径； （Ⅱ）分离参数可得 ，再建立方程组，可得结论； （Ⅲ）直线 被圆 截得的弦最长时，圆心 在直线 上，圆 截得的弦为直径；当圆心 与 的连线与 垂直时，直线 被圆 截得的弦最短，由此可得结论． 【解答】 解：圆 ，可变为： ， 由此可知圆 的圆心 坐标为 ，半径为5． （Ⅱ）证明：由直线 ，可得 对于任意实数 ，要使上式成立，必须 解得： （6分） 所以直线 过定点 ． （Ⅲ）解：直线 被圆 截得的弦最长时，圆心 在直线 上，圆 截得的弦为直径；当圆心 与 的连线与 垂直时，直线 被圆 截得的弦最短 此时 ， ，圆的半径为5， 直线 被圆 截得的弦最短弦长为 ． 【点评】本题考查圆的方程，考查直线恒过定点，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力． 28．（2023秋•韩城市期中）已知圆 ，直线 ． （1）求证：直线 与圆 相交； （2）计算直线 被圆 截得的最短的弦长． 【分析】（1）由直线方程可知直线过定点，证明直线与圆相交只需证明直线过的定点在圆的内部；（2）相交弦长最短时圆心到直线的距离最大，结合图形可知此距离为直线过的定点与圆心的距离，求得距离后利用弦长的一半，距离，圆的半径构成的直角三角形求弦长． 【解答】（1）证明：圆的标准方程为： ，圆心 半径 ； 直线 当 时，直线 可转换为： ； 当 时，直线 为： 直线 恒过定点 ， ， 所以点 在圆内部，则直线与圆必相交． 解：（2）当 垂直弦 时，弦长最短，设弦长为 ． ； ； 故最短弦长为： 【点评】本题主要考查了直线与圆相交的弦长问题以及直线与圆位置关系的判定，属基础题型． 29．（2023秋•拱墅区校级期中）已知圆 ，直线 ． （1）若直线 与圆 相切，求 的值； （2）若直线 与圆 交于不同的两点 ， ，当 为锐角时，求 的取值范围； （3）若 ， 是直线 上的动点，过 作圆 的两条切线 ， ，切点为 ， ，探究：直线 是否过定点，若过定点，则求出该定点． 【分析】（1）由直线 与圆 相切，得圆心 到直线 的距离等于半径 ，由此能求出 ． （2）设 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，将直线 代入 ，得 ，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出 的取值范围． （3）由题意知 ， ， ， 四点共圆且在以 为直径的圆上，设 ，其方程为 ， ， 在圆 上，求出直线 ，联立方程组能求出直线 过定点 ． 【解答】解：（1） 圆 ，直线 ．直线 与圆 相切， 圆心 到直线 的距离等于半径 ， 即 ， 解得 ． （2）设 ， 的坐标分别为 ， ， ， ， 将直线 代入 ，整理，得 ， ， ， △ ，即 ， 当 为锐角时， ， 解得 ， 又 ， 或 ． 故 的取值范围为 ， ． （3）由题意知 ， ， ， 四点共圆且在以 为直径的圆上， 设 ，其方程为 ， ， 又 ， 在圆 上， ，即 ， 由 ，得 ， 直线 过定点 ． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 30．（2023秋•牡丹江校级期中）已知圆 ，直线 ． （1）求证：直线 恒过定点； （2）判断直线 与圆 的位置关系； （3）当 时，求直线 被圆 截得的弦长． 【分析】（1）把直线 的方程化为 ，令 ，求出方程组的解即得； （2）根据圆 的圆心到定点 的距离 ，得出 点在圆 内，直线 与圆 相交； （3）求 时圆心 到直线 的距离，利用勾股定理求出直线 被圆 所截得的弦长即可． 【解答】解：（1）证明：直线 的方程可化为： ， 令 ，解得 ， 直线 恒过定点 ； （2）圆 的圆心 ，半径 ， 点 与圆心 的距离 ， 点在圆 内，即直线 与圆 相交； （3）当 时，直线 的方程为 ， 由圆心 到直线 的距离为 ， 半径 ， 直线 被圆 所截得的弦长为 ． 【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，以及直线恒过定点的问题，也考查了直线被圆所截得弦长的计算问题，是综合性题目． 31．（2023秋•金牛区校级期中）已知圆 ，一动直线 过 与圆 相交于 、 两点， 是 中点， 与直线 相交于 ． （Ⅰ）求证：当 与 垂直时， 必过圆心 ； （Ⅱ）当 时，求直线 的方程； （Ⅲ）探索 是否与直线 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为 ，由直线 的斜率求出直线 的斜率，根据点 和圆心坐标求出直线 的斜率，得到直线 的斜率与直线 的斜率相等，所以得到直线 过圆心； （Ⅱ）分两种情况：①当直线 与 轴垂直时，求出直线 的方程；②当直线 与 轴不垂直时，设直线 的斜率为 ，写出直线 的方程，根据勾股定理求出 的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线 的距离 ，让 等于 ，列出关于 的方程，求出方程的解即可得到 的值，写出直线 的方程即可； （Ⅲ）根据 ，得到 等于0，利用平面向量的加法法则化简 等于 ，也分两种情况：当直线 与 轴垂直时，求得 的坐标，分别表示出 和 ，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线 与 轴不垂直时，设出直线 的方程，与直线 的方程联立即可求出 的坐标，分别表示出 和 ，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到 与直线 的倾斜角无关． 【解答】解：（Ⅰ） 直线 与直线 垂直，且 ， ，又 ， 所以当直线 与 垂直时，直线 必过圆心 ； （Ⅱ）①当直线 与 轴垂直时，易知 符合题意， ②当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，即 ， 因为 ，所以 ， 则由 ，得 ， 直线 ． 从而所求的直线 的方程为 或 ； （Ⅲ）因为 ， ， 当直线 与 轴垂直时，易得 ， 则 ，又 ， ， 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 则由 ，得 ， ， 则 ， ， 综上， 与直线 的斜率无关，且 ． 【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题． 五．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共2小题） 32．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，经过坐标原点 且互相垂直的两条直线 和 与圆 相交于 ， ， ， 四点， 为弦 的中点，则下列说法正确的是 　　 A．线段 长度的最大值为 B．弦 长度的最小值为 C．点 的轨迹是一个圆 D．连接四边形 各边中点所得四边形面积的最大值为 【分析】由 长度表示圆上点到原点的距离，即可判断 ；根据方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断 ；若 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，圆心 到直线 ， 的距离 且 ，易证 为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定 的轨迹判断 ；根据四边形 的面积 ，利用 ，从而可得面积最值，即可判断 ． 【解答】解：由题易知圆的方程为 ，设圆心为 ，则 ，半径 ， 由三角形两边之和大于第三边可知 ，且 ， 所以当 长度最大时圆心与 ， 共线且在它们中间，此时 错误； 由圆的性质知当 即圆心与直线 距离最大时 的长度最小， 此时圆心与直线 距离为 ，故 ， 正确； 设 ， ， 分别是 ， ， 的中点，则 ， 且 ，且 ， 又 ，易知四边形 为矩形， 而 ， 圆心 到直线 ， 的距离 且 ， 所以 ，则 ，故 所以 在以 为直径， ， 的交点为圆心的圆上， 正确； 由上知 ，则 ， 当且仅当 时取等号， 此时四边形 的面积 ，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查了轨迹方程的应用，考查运算求解能力，属于难题． 33．（2023秋•鼓楼区校级期中）经过坐标原点 且互相垂直的两条直线 和 与圆 相交于 ， ， ， 四点， 为弦 的中点，下列结论中正确的有 　　 A．弦 长度的最小值为 B．线段 长度的最大值为 C．点 的轨迹是一个圆 D．四边形 面积的取值范围为 【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断 ；由 长度表示圆上点到原点的距离，即可判断 ；若 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，圆心 到直线 ， 的距离 ， ， 且 ，易证 为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定 的轨迹判断 ；根据 ，得到四边形 面积关于 ， 的表达式，结合二次函数性质求范围，判断 ． 【解答】解：由已知可得 ，则圆心 ，半径 ， 由圆的性质知：当圆心与直线 距离最大为 时 长度的最小， 此时 ，故 正确； 长度最大，则圆心与 ， 共线且在它们中间，此时 ，故 错误； 若 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点， 则 且 ， 且 ， 又 ，易知： 为矩形，而 ， 若圆心 到直线 ， 的距离 ， ， 且 ， 所以 ，则 ，故 ， 所以 在以 为直径， ， 交点为圆心的圆上，故 正确； 由上分析： ， ， 而 ，所以 ， 令 ， ，则 ， 当 ，即 时， ， 当 或5，即 ， 或 ， 时， ， 所以 ， ，故 不正确． 故选： ． 【点评】本题考查了轨迹方程的应用，属于难题． 六．相交弦所在直线的方程（共1小题） 34．（2023秋•东莞市校级期中）已知圆 与圆 ． （1）求两圆公共弦所在直线的方程； （2）求经过两圆交点且圆心在直线 上的圆的方程． 【分析】（1）将两圆的方程相减可得公共弦方程； （2）设圆的方程： ，把圆心坐标代入直线 求出 值，可得所求的圆的方程． 【解答】解：（1）将两圆的方程相减可得公共弦方程： 即 ； （2）设圆的方程： ， 其圆心坐标为 ， 代入直线 ，解得 所以所求方程为 ． 【点评】本题考查两圆的位置关系的判定方法，圆系方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 七．直线和圆的方程的应用（共1小题） 35．（2023秋•启东市校级期中）已知点 是 上的任意一点，点 ，线段 的垂直平分线 和半径 相交于点 （1）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹方程； （2）已知直线 与点 的轨迹交于点 ， ，且直线 的方程为 ，若 为坐标原点，求 面积的最大值． 【分析】（1）连结 ，由椭圆定义知点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 ，短轴长 的椭圆，由此能求出点 的轨迹方程． （Ⅱ）联立 ，整理，得 ，由此利用椭圆弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出 面积的最大值． 【解答】解：（1）如图，如图，连结 ， 是线段 的垂直平分线， ， ， ， 由椭圆定义知点 的轨迹是以 ， 为焦点， 长轴长为 ，短轴长 的椭圆， 其方程为 ． （Ⅱ）联立 ，整理，得 ， 解得 ， ， ， ， 原点 到直线 的距离为 ， ， 当且仅当 ，即 时， 面积的最大值为 ． 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用． 八．椭圆的几何特征（共5小题） 36．（2023秋•思明区校级期中）已知椭圆 ，点 ， 是椭圆的左、右焦点，点 是椭圆上一点，△ 的内切圆的圆心为 ，若 ，则椭圆的离心率为 　　 A． B． C． D． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．设△ 的内切圆的半径为 ，椭圆的焦距为 ．取线段 的中点为 ．根据 ，利用平行四边形法则化为 ，可得三点 ， ， 共线，可得 与 的关系，利用 ，即可得出结论． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系 设△ 的内切圆的半径为 ，椭圆的焦距为 ． 取线段 的中点为 ． ， ， ，即 ， 三点 ， ， 共线． ， 由 ， ， ， 化为： ． 故选： ． 【点评】本题考查了椭圆的定义及性质、向量的平行四边形法则、三角形面积计算公式、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 37．（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知椭圆 ，长轴长为8，短半轴长为 ， ， 分别为椭圆左右焦点，点 ， 为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是 　　 A． B．若直线 交椭圆于 ， 两点，且2为 中点，则直线 的方程为 C．△ 内切圆面积的最大值为 D． 的最小值为7 【分析】对于 ：根据向量运算可得 ，结合 的取值范围运算求解；对于 ：利用点差法求直线 的斜率，即可得方程；对于 ：利用等面积可得 ，结合椭圆性质分析求解；对于 ：根据椭圆定义转化可得 ，结合图形分析求解． 【解答】解：由题意可知： ，椭圆方程为 ， 对于选项 因为 ， 且 ，所以 ，故 错误； 对于选项 ：设 ， ， ， ， 若 为 中点，则 ， 可得 ， 因为 ， 在椭圆上，则 ， 两式相减得 ， 整理得 ， 即 ， 所以直线 的方程为 ，即 ，故 正确； 对于选项 ：由题意可知： ， ， 设△ 的内切圆半径为 ， 则 ， 可得 ， 当点 为短轴顶点时，△ 的面积取到最大值 ， 可得△ 的内切圆半径的最大值为 ， 所以△ 内切圆面积的最大值为 ，故 正确； 对于选项 ：因为 ， 则 ， 可得 ， 当且仅当 在线段 上时，等号成立， 所以 的最小值为7，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 38．（2023秋•晋江市期中）已知点 ， 分别是椭圆 的上下焦点，点 为直线 上一个动点．若 的最大值为 ，则椭圆 的离心率为 　 　． 【分析】首先设点 的坐标 ，并设 ， ，则 ，并结合两角差的正切公式，以及基本不等式得到关于 ， 的齐次方程，即可求解离心率． 【解答】解：根据对称性，不妨设点 在第一象限，且坐标为 ， 如图：记直线 与 轴的交点为 ，设 ， ， 则 ，由于 ， ， 故 ， ，所以 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立，即 时等号成立， 所以 ， 整理得 ， 所以 ，得 ，所以 ， 即椭圆 的离心率为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆方程与椭圆性质，考查基本不等式的应用，属难题． 39．（2023秋•番禺区校级期中）设 ， 是椭圆 的左、右焦点，过点 且斜率为 的直线交椭圆于点 ，若 ，则椭圆 的离心率为 　 　． 【分析】根据给定条件求出 ，由椭圆半焦距为 表示 ， ，然后利用椭圆定义列式计算作答． 【解答】解：因过点 斜率为 的直线交椭圆于点 ，则有 ， 因为 ，则 ， 在△ 中，可得 ，令椭圆半焦距为 ， 在 △ 中可得： ， ， 由椭圆定义得： ， 可得 ， 所以椭圆 的离心率是 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题． 40．（2023秋•雁塔区校级期中）已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点． （1）若 是第一象限内该椭圆上的一点， ，求点 的坐标； （2）若直线 与圆 相切，交椭圆 于 ， 两点，是否存在这样的直线 ，使得 ？ 【分析】（1）设 ， ，则 ，又 ，联立解出即可得出． （2）设 ， ， ， ．①若 的斜率不存在时， ，代入椭圆方程得： ， 容易得出 ，此时 不成立． ②若 的斜率存在时，设 ，则由已知可得 ．直线方程与椭圆方程联立可得： ，要 ，则 ，即 ，把根与系数的关系代入可得 ，又 ．解出即可判断出结论． 【解答】解：（1）由椭圆方程为 ，可知： ， ， ， ， ， ， ，设 ， ， 则 ， 又 ，联立解得： ， ． （2）设 ， ， ， ． ①若 的斜率不存在时， ，代入椭圆方程得： ， 容易得出 ，此时 不成立． ②若 的斜率存在时，设 ， 则由已知可得 ，即 ． 由 ，可得： ， 则 ， ． 要 ，则 ， 即 ， 即 ，又 ． ，此方程无实解，此时 不成立． 综上，不存在这样的直线 ，使得 ． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题． 九．椭圆相关动点轨迹（共1小题） 41．（2023秋•东莞市校级期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点，直线 的方程为 ， 为椭圆 的蒙日圆上一动点， ， 分别与椭圆相切于 ， 两点， 为坐标原点，下列说法正确的是 　　 A．椭圆 的蒙日圆方程为 B．记点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为0 C．一矩形四条边与椭圆 相切，则此矩形面积最大值为 D． 的面积的最大值为 【分析】对于 ：当 ， 斜率不存在时可得 点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利用△ 和垂直关系可构造等式求得 点轨迹；对于 ：利用椭圆定义将 转化为 ，由平面几何知识可知 最小值为点 到直线 的距离，结合点到直线距离公式可运算求解；对于 ：根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式运算求解；对于 ：推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点弦直线方程为 ，当 时，可求得 的值；当 时，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到 ，换元结合二次函数最值的求法可求得结果． 【解答】解：由题意可知： ， 对于选项 ：当直线 ， 一条斜率为0，另一条斜率不存在时，则 ， 当直线 ， 斜率均存在时，设 ， ，切线方程为： ， 联立方程 得： ， 由 ，整理可得： ，则 ， 又因为 ，则 ，即 ，整理得 ，所以 点轨迹为 ， 且 也满足 ， 所以蒙日圆的方程为 ，故 正确； 对于选项 ，因为 为椭圆 上的点，则 ，即 ， 可得 ， 因为 的最小值为点 到直线 的距离，且 ， 可知 ， 所以 ，故 正确； 对于选项 ：因为矩形四条边均与 相切，可知该矩形为蒙日圆的内接矩形， 设矩形的长为 ，宽为 ，蒙日圆的半径 ，则 ， 可得 ，当且仅当 时，等号成立， 所以此矩形面积最大值为8，故 错误； 对于选项 ：设 ， 位于椭圆上，下证：在 处的切线方程为 ， 由 ，即 ，可知 ， 在直线 上， 联立方程 ，消去 得 ， 即 ，解得 ，即直线 与椭圆相切，所以在点 处的切线方程为 ， 同理可知：在点 处的切线方程为 ， 设 ， ，则 ，可知 ， 坐标满足方程 ， 即切点弦 所在直线方程为： ， 当 时， ，此时 所在直线方程为： ， 可得 ， 当 时，由 得： ， 由 知： ，可得 ， 设 ， ， ， ，则 ， ， 又原点 到直线 的距离 ， ， 令 ，则 ， 可得 ，当且仅当 时，等号成立， 综上所述： 的面积的最大值为 ，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于难题． 一十．直线与椭圆的综合（共2小题） 42．（2023秋•青冈县校级期中）在 平面上．设椭圆 ，梯形 的四个顶点均在 上，且 ．设直线 的方程为 ． （1）若 为 的长轴，梯形 的高为 ，且 在 上的射影为 的焦点，求 的值； （2）设 ， ， 与 的延长线相交于点 ，当 变化时， 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得点 的纵坐标，代入椭圆方程，可得 ； （2）分别将直线 ， 的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据弦长公式代入 列式化简得关于 的关系式，从而可得 的面积，代入 的关系式化简计算即可求出定值． 【解答】解：（1）因为 为 的长轴， 的高为 ， ， 所以点 的纵坐标为 ，代入椭圆方程得 ， 可得 ，又因为 在 上的射影为 的焦点， ，解得 ， ， ． （2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，联立 ， 化简得 ， △ ， ， ， ， 联立 ，化简得 ， ， ， ， ， ， 化简得 ，即 ， 又 的高为 ， ， 将 代入化简得， ， 故 的面积为定值 ． 【点评】本题考查椭圆与直线的综合应用，属于难题． 43．（2023秋•固镇县期中）已知椭圆 的长轴长为4，且点 在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程； （2）过椭圆 的右焦点 作不与两坐标轴重合的直线 ，与 交于不同的两点 ， ，线段 的中垂线与 轴相交于点 ，求 为原点）的最小值，并求此时直线 的方程． 【分析】（1）利用长轴长及给定的点求出 ， 即可作答； （2）设出直线 的方程，与椭圆 的方程联立，求出弦中点坐标及弦长，再求出点 的纵坐标并列式，借助均值不等式求解作答． 【解答】解：（1）因为椭圆 的长轴长为4，所以 ， 又点 在椭圆 上，所以 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 ； （2）由（1）知， ，设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， 由 ，消去 并整理得： ， 则 ， ， 则 ， 故线段 的中点 ， 则线段 的中垂线方程为： ， 令 ，得 ，即点 ， 则 ，当且仅当 ，即 时取“ ”， 所以当 时， 取得最小值24， 此时直线 的方程为 或 ． 【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的综合应用，属难题． 一十一．椭圆的弦及弦长（共1小题） 44．（2023秋•香格里拉市校级期中）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于 ， 两点，当直线 与 轴垂直时， ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）当直线 的斜率为 时，在 轴上是否存在一点 （异于点 ，使 轴上任意一点到直线 与到直线 的距离相等？若存在，求 点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意列式求解 ， ， ，即可得结果； （2）根据题意分析可得 轴为直线 与直线 的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解． 【解答】解：（1）设椭圆 的半焦距为 ， 由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆 的标准方程为 ． （2）由（1）可得： ， 根据题意可设直线 ， ， ， ， ， ， ， 联立方程 ，消去 得 ， 则△ ， 可得 ，① 由题意可知 轴为直线 与直线 的对称轴，则 ， 可得 ， 因为 ，可得 ， 整理得 ，② 将①代入②得： ，解得 ， 所以存在点 ，使 轴上任意一点到直线 与到直线 的距离相等，此时 ． 【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题． 一十二．椭圆的焦点弦及焦半径（共1小题） 45．（2023秋•浙江期中）已知椭圆 的离心率为 ，左焦点 与原点 的距离为1．正方形 的边 ， 与 轴平行，边 ， 与 轴平行， ．过 的直线与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中垂线为 ．已知直线 的斜率为 ，且 ． （1）若直线 过点 ，求 的值； （2）若直线 与正方形 的交点在边 ， 上， 在正方形 内的线段长度为 ，求 的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件构造方程组 ，求出椭圆方程，再与直线联立结合韦达定理表示出 ， ，代入直线方程即可求出 ； （2）利用弦长公式表示出 和 ，转化为关于 的表达式，再利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：（1）由已知 ， ，所以 ， 故椭圆 ， 直线 ，设 ， ， ， ， 的中点为 ， ， 联立 ，得 ， 所以 ， ，于是 ， ， 得 ，即 ， 代入 化简得 ，解得 ； （2）当 ，直线 ，恰好都经过 ， ， 对 ，今 得 ， ， 要使 与正方形 的交点在边 上，则 即 ， 要使 与正方形 的交点在边 上，同理可得 ， 所以 ， ， ， 故 ， 令 ，则 ， ， 因为 ，所以 ， 从而 ，且 ， 所以 ． 即 的取值范围是 ． 【点评】本题考查了圆锥曲线的综合问题，以及运算能力，是一道压轴题． 一十三．椭圆的定点及定值问题（共2小题） 46．（2023秋•浙江期中）已知椭圆 的左顶点为 ，焦距为 ．动圆 的圆心坐标是 ，过点 作圆 的两条切线分别交椭圆于 和 两点，记直线 、 的斜率分别为 和 ． （1）求证： ； （2）若 为坐标原点，作 ，垂足为 ．是否存在定点 ，使得 为定值？ 【分析】（1）根据条件，求出椭圆的方程，得到 ， 是方程 的两根，再求出 即可； （2）方法一和二，根据条件，得到直线 过的定点，再结合 ，点 的轨迹是以 为直径的圆上的一段弧，说明 为定值即可． 【解答】解：（1）证明：由题意，可得 ，解得 ， ， 故椭圆方程为 ． 设过点 与圆 的切线的直线为 ， 动圆的半径为 ，则 ，所以 ， 所以 ， 是方程 的两根， 由韦达定理知， ． （2）方法一：设点 ， ， ， ． 直线 的方程为 ，代入 ， 消去 ，得 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 化简得 ， 将 代入并化简得 ，解得 或 ， 当 时，直线 方程为 ，过点 ，不合题意舍去， 当 时，直线 方程为 ，过定点 ， 因为 ，所以点 的轨迹是以 为直径的圆上的一段弧， 故存在点 ，使得 为定值． 方法二：设点 ， ， ， ， 将 代入 ， 消去 ，得 ， 则 ，得 ， ， 所以 ． 因为 ，所以将 换成 ，得 ， 则直线 的斜率 ， 所以直线 的方程为 ， 由椭圆的对称性可知，直线 必过轴上一定点 ， ， 所以 ， 化简，得 ， 这是一个与 无关的方程，所以 ，即直线 过定点 ． 因为 ，所以点 的轨迹是以 为直径的圆上的一段弧， 故存在点 ，使得 为定值． 【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，椭圆的性质，考查了方程思想，转化思想和分类讨论思想，属难题． 47．（2023秋•湖北期中）已知 ， ， 是椭圆 上的三点，其中 、 两点关于原点 对称，直线 和 的斜率满足 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）点 是椭圆 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点 作斜率不为0的直线 ， 与椭圆的两个交点分别为 、 ，若 为定值，则称点 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由． 【分析】（1）设 ，由 化简可得椭圆 的标准方程； （2）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，由韦达定理可得 ， ，又 ，从而可求 的表达式，即可求解． 【解答】解：（1）设 ，易知 ， 由 ，得 ， 化简得 ，故椭圆 的标准方程为 ． （2） 点 是椭圆 长轴上的不同于 、 的任意一点， 故可设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 由 ，得 ， 恒成立． 又 ， ， ， 要使其值为定值，则 ， 故当 ，即 时， ． 综上，存在这样的稳定点 ． 【点评】本题考查了求解椭圆的标准方程，考查了联立直线与椭圆方程解决问题的能力，考查了韦达定理的应用，考查了方程思想，属于难题． 一十四．抛物线的焦点弦及焦半径（共1小题） 48．（2023秋•诸暨市校级期中）设抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线 交于点 ， ， ， ．当直线 垂直于 轴时， ． （1）求抛物线 的标准方程． （2）已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， ． ①求证：直线 过定点； ②求 与 面积之和的最小值． 【分析】（1）利用弦长求解 ，即可求解抛物线方程； （2）①设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； ②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可． 【解答】解：（1）由题意，当直线 垂直于 轴时， ，代入抛物线方程得 ， 则 ， 所以 ，即 ， 所以抛物线 ． （2）①设 ， ， ， ， 直线 ， 与抛物线 联立，得 ，因此 ， ． 设直线 ，与抛物线 联立，得 ， 因此 ， ，则 ．同理可得 ． 所以 ， 因此直线 ，由对称性知，定点在 轴上， 令 得， ， 所以直线 过定点 ． ②因为 ， ， 所以 ， 当且仅当 时取到最小值 ． 【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题． 一十五．双曲线的几何特征（共4小题） 49．（2023秋•市南区校级期中）目前我国的火力发电厂主要是燃煤发电．随着我国经济发展及经济结构的调整，火力发电要优化火力发电机组结构，建设高效超临界大型机组，加快关停小火电，降低发电煤耗率．近几 年，通过自主研发与引进技术相结合，火电机组设计制造技术快速发展．与此同时，新型低污染燃烧技术和烟气排放控制技术及装备也已广泛应用于火力发电厂的生产过程．如图，某发电厂的冷却塔，它的外形线是双曲线，在平面直角坐标系中，若该双曲线 过点 ，且渐近线方程为 ，点 是双曲线 上任意一点， ， 分别是双曲线 的左、右焦点，则下列说法正确的是 　　 A．若 ，则 或44 B．以 为中点的弦所在直线方程为 C．若 在双曲线 的右支上运动，则 到直线 的距离均大于 D．若直线 与双曲线 的右支有且仅有一个公共点，则 的取值范围为 【分析】根据题意可先求出双曲线方程为 ，再根据双曲线的几何性质针对各个选项，分别求解即可． 【解答】解： 在平面直角坐标系中，若该双曲线 过点 ， 且渐近线方程为 ，点 是双曲线 上任意一点， ， 分别是双曲线 的左、右焦点， 设所求双曲线方程为 ，该双曲线 过点 ， ， 该双曲线方程为 ， ， ， ， ， 对 选项， ，又 ， ， 或44，但 ， ， 选项错误； 对 选项，设以 为中点的弦所在直线与双曲线交于 ， ， ， ， 则 ，且 ， ， ， ， ， 以 为中点的弦所在直线方程为 ，即 ， 选项正确； 对 选项， 双曲线 的渐近线方程为 ， 而直线 与渐近线 的距离 ， 若 在双曲线 的右支上运动，则 到直线 的距离均大于 ， 选项错误； 对 选项，当 与双曲线 的右支相切时， 联立 ，可得 ， △ ， ， ，又渐近线斜率为 ， 若直线 与双曲线 的右支有且仅有一个公共点，则 的取值范围为 ， 选项正确． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，化归转化思想，属难题． 50．（2023春•广陵区校级期中）如图，已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点 ， ， 、 、 、 是它们的公共点，且都在圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与双曲线 交于点 ，记直线 、 的斜率分别为 、 ，若椭圆 的离心率为 ，则 的值为 　　 A．2 B． C． D．4 【分析】设椭圆方程为 ，双曲线方程为 ，根据椭圆离心率得到 ，故椭圆方程为 ，联立 ，求出 点坐标，从而由对称性得到 ， ， 点坐标，表达出直线 方程，将 点代入双曲线方程，结合 ，得到双曲线方程，与 方程联立 坐标，利用斜率计算公式从而求出 ，即可得出答案． 【解答】解：由题意设椭圆标准方程为 ， ， 双曲线标准方程为 ，则 ， 由 ， ， ， ， 故椭圆方程为 ，联立 ，可得： ， ， ， 则 ， ， 由对称性可知 、 两点关于原点对称， 、 两点关于 轴对称， 则 ， ， ， ， ， ， 故 ，直线 ． 将 点代入 中得， ．① ，② ②①结合得到 或 ， ，显然 ， 故 ， 故双曲线的方程为 ． 联立 与 ， 化为 ， 设 ， ，解得 ， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 【点评】本题考查了圆锥曲线方程及性质、相交问题、斜率计算公式、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 51．（2023秋•湖南期中）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交双曲线于 、 两点，线段 的中垂线交 轴于点 ．若 ，则双曲线的离心率取值范围是 　 　． 【分析】根据题意利用韦达定理求 以及线段 的中垂线的方程，进而可求点 和 ，结合 运算求解即可． 【解答】解：设双曲线的右焦点为 ， ， ， ，则直线 ， 联立方程 ，消去 得： ， △ ， ， ， 则 ， 设线段 的中点 ， ， 则 ， ， 即 ，且 ，线段 的中垂线的斜率为 ， 则线段 的中垂线所在直线方程为 ， 令 ，则 ，解得 ， 即 ，则 ， 由题意可得： ，即 ，整理得 ， 则 ，注意到双曲线的离心率 ， 双曲线的离心率取值范围是 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于难题． 52．（2023秋•宁波期中）若双曲线 的离心率等于 ，直线 与双曲线 的右支交于 、 两点． （1）求 的取值范围； （2）若 ，点 是双曲线上一点，且 ，求 、 的值． 【分析】（1）由题意可知， ， ．基础即可得出． 直线 与双曲线 联立可得： ．利用直线 与双曲线 的右支交于 、 两点的特点即可得出． （2）利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式可得 ，再利用向量相等、点与双曲线的位置关系即可得出 ． 【解答】解：（1）由题意可知， ， ． ， 双曲线方程为 ， 直线 与双曲线 联立可得： ． 则： ． （2）设 ， ， ， ． 则 ， ． ， ． 得： 又 ． ． 设 ， ，由 ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交弦长问题、向量坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 一十六．双曲线的焦点三角形（共1小题） 53．（2023秋•长安区校级期中）已知点 ，点 是双曲线 左支上的动点， 为其右焦点， 是圆 上的动点，直线 交双曲线右支于 点 为坐标原点），则 　　 A．过点 作与双曲线 有一个公共点的直线恰有4条 B． 的最小值为 C．若 的内切圆 与圆 外切，则圆 的半径为2 D．过点 作 轴的垂线，垂足为 与 不重合），连接 并交双曲线右支于点 ，则 为直线 斜率， 为直线 斜率） 【分析】根据点的位置可确定与双曲线 有一个公共点的直线条数判断 ；根据 ， ，结合双曲线定义判断 ；设 ，由两圆外切可构造方程求得圆 的半径判断 ；设直线 ，可求得 ， ，从而将 化为 ，利用基本不等式可判断 ． 【解答】解：如图， 对于 ， 双曲线的渐近线方程为 ，点 在双曲线外， 过 可作平行于渐近线的两条直线与双曲线有且仅有一个交点， 又过 可作双曲线的两条切线，与双曲线有且仅有一个交点， 过点 作与双曲线 有一个公共点的直线恰有4条，故 正确； 对于 ，由双曲线方程知其焦点为 ， 圆 的圆心 为双曲线的左焦点， ， （当且仅当 ， ， 三点共线时，等号成立）， （当且仅当 ， ， 三点共线时，等号成立）， ，故 错误； 对于 ，由双曲线焦点三角形性质可知， 的内切圆 的圆心 必在 上， 设 ，则圆 的半径为 ， 圆 与圆 相外切， ，解得 ，即 的内切圆 的半径为 ，故 错误； 对于 ，设 ， ， ， ，则 ， ， ， ， 又 ， ， ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查了双曲线的性质的应用，属于难题． 一十七．双曲线与平面向量（共1小题） 54．（2023秋•宛城区校级期中）已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，焦距为4． （1）求双曲线 的方程； （2）直线 过双曲线的右焦点与双曲线的右支交于 ， 两点，与 轴交于 点， 为坐标原点，若 ，求 面积的取值范围． 【分析】（1）由题知 ，进而结合 求解即可得答案； （2）由题设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ， ，进而与双曲线方程联立，结合题意得 且 ，进而根据韦达定理，结合弦长公式，距离公式，面积公式得 ，再换元求解即可． 【解答】解：（1）因为双曲线 的一条渐近线方程是 ， 所以 ，即 ， 因为焦距为4，所以 ，即 ， 因为 ， 所以 ， ， 所以双曲线 的方程为 ； （2）解：由题知双曲线的右焦点为 ， 故设直线 的方程为 ， ， 则联立方程 得 ， 设 ， ， ， ， ， ， 所以 ， 因为直线与双曲线的右支交于 ， 两点， 所以 ， ， 即 且 ， 所以 ，解得： 且 ， 因为直线与与 轴交于 点，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 点 到直线 的方程为 距离为 ， 所以 面积为 ， 令 ，则 ， 所以 ， 因为 在 是单调递减函数， 所以 ， 所以 ， 所以 面积的取值范围为 ． 【点评】本题考查了双曲线的标准方程，直线与双曲线的综合问题，属于难题． 一十八．双曲线的定点及定值问题（共2小题） 55．（2023秋•江津区校级期中）已知双曲线 经过点 ，一条渐近线方程为 ，直线 交双曲线于 ， 两点． （1）求双曲线 的方程． （2）若 过双曲线的右焦点 ，是否存在 轴上的点 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有 成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据渐近线方程，求出 ， 的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，最后解出 ， 即可． （2）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率存在时，设出直线的点斜式方程并代入双曲线方程并化简，进而根据根与系数的关系与 得到答案． 【解答】解：（1）双曲线 的渐近线方程为 ，依题意 ，即 ， 又 ，于是 ， ， 所以双曲线 的方程是 ． （2）双曲线 的右焦点为 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ， ， 由 消去 得： ， 显然△ ，设 ， ， ， ， 则 ，假设存在点 符合条件， 而 ，由 ，得 ， 即 ，整理得 ， 于是 ，整理得 ， 依题意， 对任意的 恒成立， 因此 ，解得 ，此时点 的坐标为 ， 当直线 的斜率不存在时，直线 与双曲线 的二交点 ， ，不妨令 ， ， 当点 的坐标为 时， ， 所以存在定点 符合条件， ． 【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 56．（2023秋•永川区校级期中）已知双曲线 过点 和点 ． （1）求双曲线的离心率； （2）过 的直线与双曲线交于 ， 两点，过双曲线的右焦点 且与 平行的直线交双曲线于 ， 两点，试问 是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由． 【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程，再结合离心率公式求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求出 ， ， ，再代入化简求解即可． 【解答】解：（1）将点 和点 的坐标代入 ， 得 解得 所以双曲线的离心率 ． （2）依题意，可得直线 的斜率存在，设 ． 联立 得 ， 设 ， ， ， ，则 ， 所以 ． ，直线 ． 设 ， ， ， ． 联立 得 ， 则 且△ ， 则 ， 所以 ，所以 为定值，定值为 ． 【点评】本题考查了双曲线的性质和直线与双曲线的综合，考查了转化思想和方程思想，属难题． 一十九．曲线与方程（共1小题） 57．（2023秋•西城区校级期中）已知曲线 ，下列说法正确的有 　①③④．　． ①曲线 关于 轴对称； ②存在 ，使得曲线 与坐标轴的交点个数为3； ③曲线 围成的区域面积 （a）是关于 的增函数； ④当 时，直线 与曲线 有且仅有2个交点． 【分析】因为曲线 中含有 ，所以对 分情况讨论，得到曲线 的方程，因为方程含参数 ，所以需要对 分 ， ， 三种情况，可以画出三个图，然后根据图形判断四个选项即可． 【解答】解：对于①：因为 ，所以有 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时，曲线 即为 ，关于 轴对称， 当 时，曲线 表示的是关于 轴对称对称的圆的部分图象．①正确； 对于②：当 时， ，所以曲线 过点 ， ， 当 时， ，即 ，所以曲线 过点 ， ， 当 时，曲线 与坐标轴有两个交点， 当 时，曲线 与坐标轴有四个交点，所以②错误； 对于③：当 时， ， 如图所示： 当 时，曲线 表示的两个圆的方程分别为： ，圆心为 ，半径 ， ，圆心为 ，半径 ， 由②知，曲线 过 ， 两点， 当 时，如图所示： 由图可知，曲线 恒过 ， ，且两个圆的圆心纵坐标均为1， 所以曲线 围成的区域面积 （a）随 的增大而增大； 当 时，如图所示： 由图可知，曲线 同样恒过 ， ，且两个圆的圆心纵坐标还是1， 所以曲线 围成的区域面积 （a）随 的增大而增大； 且 时，区域面积 （a）介于 和 之间， 所以曲线 围成的区域面积 （a）是关于 的增函数，③正确； 对于④：当 时，若 ，联立 ，整理得 ，解得 ， 即 与曲线 有且仅有2个交点， 若 ，联立 ，整理得 ，解得 ， 即 与曲线 有且仅有2个交点，所以④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查圆的方程的综合应用，属于难题． 二十．直线与圆锥曲线的综合（共3小题） 58．（2023秋•金坛区期中）已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是 　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 【分析】利用实数 ， 满足 ，通过讨论 ， ，得到方程对应的图像，借助图像分析可得 的取值就是图像上一点到直线 的距离的范围的2倍，求出切线方程，根据平行直线间的距离公式求出最小值和最大值的极限值，即可得到答案． 【解答】解：因为实数 ， 满足 ， 当 ， 时， ，其图像是焦点在 轴上的椭圆的第一象限的部分； 当 ， 时， ，其图像是焦点在 轴上的双曲线的第四象限的部分； 当 ， 时， ，其图像是焦点在 轴上的双曲线上的第二象限的部分； 当 ， 时， ，其图像不存在． 作出 对应的图像如图所示， 任意一点 到直线 的距离 ， 所以 ， 结合图像可得， 的范围就是图像上一点到直线 距离范围的2倍， 双曲线 ， ，其中一条渐近线 与直线 平行， 通过图像可得，当曲线上一点位于点 时， 取得最小值， 当曲线上一点靠近双曲线的渐近线 时， 取得最大值，不能取到等号， 设 与 其在第一象限的图像切于点 ， 联立方程组 ，可得 ， 因为 ，解得 或 （舍 ， 所以直线 与直线 的距离为 ， 此时 ， 直线 与直线 的距离为 ， 此时 ， 所以 的取值范围是 ． 故选： ． 【点评】本题考查了曲线方程的理解与应用，椭圆与双曲线标准方程的理解与应用，直线与圆锥曲线位置关系的应用，两条平行直线间距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 59．（2023秋•重庆期中）设抛物线 与两坐标轴的交点分别记为 ， ， ，曲线 是经过这三点的圆． （1）求圆 的方程． （2）过 作直线 与圆 相交于 ， 两点， 用坐标法证明： 是定值． 设 ，求 的最大值． 【分析】（1）根据题意，设圆的方程为 ，由待定系数法，代入计算，即可得到结果； （2） 根据题意，讨论直线 的斜率存在与不存在，联立直线与圆的方程，结合根与系数的关系代入计算，即可得到结果； 根据题意，联立直线与圆的方程，结合韦达定理，由基本不等式即可得到结果． 【解答】解：（1）设抛物线与 轴分别交于 ， ，交 轴于点 ， 令 ，则 ，即 ，令 ，则 ，则 ． ， 设圆的方程为 ， 则 ，解得 ， 则 ，化为标准式为 ． （2） 证明：当直线 的斜率不存在时，则 方程为 ， 联立 ，可得 或 ， 即 ，则 ， ，则 ； 当当直线 的斜率存在时，设 方程为 ， 联立直线与圆的方程 ，消去 可得 ， 设 ， ， ， ， 由根与系数的关系可得 ， ， 且 ， ， 则 ，是定值． 由 可知，当直线 的斜率不存在时， ， 且 ，则 ， ，则 ； 当直线 的斜率存在时，设 方程为 ， 则 ． 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最大值为 ． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 60．（2023秋•射阳县校级期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是 ，在圆内异于圆心处取一定点，记为 ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 （即折叠后图中的点 与点 重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与 的交点为 ； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕． 现取半径为4的圆形纸片，设点 到圆心 的距离为2，按上述方法折纸．以线段 的中点为原点，线段 所在直线为 轴建立平面直角坐标系 ，记动点 的轨迹为曲线 ． （1）求 的方程； （2）直线 与 在第一象限内交于点 ，直线 与 交于 ， 两点（均异于点 ，则直线 ， 的斜率之和是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【分析】（1）由题意，点 满足 ，根据椭圆定义，可知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，直接可得方程； （2）求出点 ，设 ， ， ， ， ，将直线 ， 的斜率之和用坐标表示出来，经过计算可得斜率之积为定值0． 【解答】解：（1）由题意可知， ， 故点 的轨迹是以 ， 为焦点，且长轴长 的椭圆， 焦距 ，所以 ， 所以曲线 的方程为 ； （2）易求得 ， 设 ， ， ， ， ， 联立 ，消去 得 ， 则△ ，解得 ， 又 ， 则 ， 所以直线 ， 的斜率之和为定值0． 【点评】本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的综合问题，属难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ _1234569430.u$$