第7章 4. 宇宙航行-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第二册学习手册（人教版2019）

学 第七章 万有引力与宇宙航行 知 识 梳 理 知识点 1 人造卫星 1. 概念： 环绕地球在空间轨道运行的无人航 天器。 2. 速度。 （ 1 ） 发射速度： 将人造卫星送入预定轨道运 行所必须具有的速度。 卫星离地面越 高， 卫星的发射速度越大。 （ 2 ） 环绕速度： 指卫星在进入轨道后绕地球 做匀速圆周运动的线速度。 由 Gmm 地 r 2 = m v 2 r 得 v= Gm 地 r 姨 ， 因此， 卫星越高， 半 径越大， 卫星的绕行速度就越小。 3. 轨道。 （ 1 ） 椭圆轨道： 地心是椭圆的一个焦点， 满 足开普勒第三定律 a 3 T 2 =k 。 （ 2 ） 圆轨道： 万有引力提供向心力， 万有引 力指向地心， 因此， 圆轨道的圆心为 地心。 （ 3 ） 卫星的轨道平面可以 在赤道平面内， 也可 以和赤道平面成任意 角度， 只要地心是圆 心或椭圆的一个焦点即可， 如图所示。 知识点 2 宇宙速度 1. 第一宇宙速度 （环绕速度）。 （ 1 ） 在地面上发射物体， 使之成为地球的卫 星， 即绕地球做圆周运动 （或椭圆轨道 运动） 所必需的最小速度叫第一宇宙速 度， 同时， 也是卫星做圆周运动的最大 速度。 （ 2 ） 推导。 ① 方法一： 对于做圆周运动的卫星， 地球对 卫星的万有引力提供向心力 ， G mm 地 r 2 = m v 2 r 。 整理得 v= Gm 地 r 姨 ， 可知当轨道半径 r 取为地球半径 R 时， 卫星的线速度 v 最大， 此时有 v= Gm 地 R 姨 ， 将地球质量 M=5.98× 10 24 kg 、 引力常量 G=6.67×10 -11 N · m 2 /kg 2 、 地球半径 R=6400 km 代入得 v=7.9 km/s 。 ② 方法二： 近地卫星所受万有引力近似等于 所受的重力 mg ， 这样由重力 mg 提供向 心力 ， 即 mg= mv 2 R ， 得 v= gR 姨 ， 把 g= 9.8 m/s 2 ， R=6400 km 代入， 得 v=7.9 km/s 。 2. 第二宇宙速度 （脱离速度）。 v=11.2 km/s 是使卫星脱离地球的引力束 缚， 成为绕太阳运行的人造卫星或飞到其他 行星上去的最小发射速度。 当 11.2 km/s≤v< 16.7 km/s 时， 卫星脱离地球束缚， 成为太阳 系的一颗 “小行星”。 3. 第三宇宙速度 （逃逸速度）。 v=16.7 km/s 是使卫星挣脱太阳引力的束 4. 宇 宙 航 行 赤道 地轴 O 55 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 缚、 飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发 射速度。 当 v≥16.7 km/s 时， 卫星脱离太阳 的引力束缚， 跑到太阳系以外的宇宙空间 中去。 知识点 3 人造卫星的运行规律 1. 线速度 （ v ）： Gmm 地 r 2 =m v 2 r ， 整理得 v= Gm 地 r 姨 ， 即轨道半径越大， 线速度越小。 2. 角速度 （ ω ）： Gmm 地 r 2 =mω 2 r ， 整理得 ω= Gm 地 r 3 姨 ， 即轨道半径越大， 角速度越小。 3. 周期 （ T ）： Gmm 地 r 2 =m 4π 2 T 2 r ， 整理得 T= 2π r 3 Gm 地 姨 ， 即轨道半径越大， 周期越大。 即高轨道卫星 （ r 大） 转得慢， 体现为 线速度小、 角速度小、 周期大。 要 点 突 破 要点 1 对卫星的发射速度和运行速度 的理解 1. 发射速度： 指卫星与火箭分离时的速度。 卫星一旦发射就没有能源提供， 卫星只 靠自身的初动能克服地球引力做功， 上升到 一定高度， 进入运动轨道， 要发射一颗人造 卫星， 发射速度不能小于第一宇宙速度。 因 此， 第一宇宙速度又是最小的发射速度。 卫 星离地面越高， 卫星的发射速度越大。 2. 运行速度： 指卫星在进入轨道后绕地球做 匀速圆周运动的线速度。 Gmm 地 r 2 =m v 2 r ， v= Gm 地 r 姨 ， 卫星越高、 半径越大， 运行速度 （环绕速度） 就越小， 近地卫星 v 发 =v 运 ， 其他较高卫星的 v 发 >v 运 。 3. 不同的发射速度对应其运行情形及速度。 （ 1 ） 当 0<v 发 <7.9 km/s 时， Gmm 地 R 2 >m v 2 R ， 物 体会落回地面， 成不了卫星。 （ 2 ） 当 v 发 =7.9 km/s 时， 物体成为地球近地 卫星， 绕地球做圆周运动， v 运 =7.9 km/s 。 （ 3 ） 当 7.9 km/s<v 发 <11.2 km/s 时， 物体绕地 球做椭圆轨道运动， v 运 在轨道不同点速 度大小一般不同， 但 v 运 ≤v 发 。 说明： 做椭圆轨道运动时， 运行速度可大于 7.9 km/s ， 也就是说 7.9 km/s 并不是地球卫星 运行的最大速度， 应该说是做匀速圆周运动 卫星的最大速度。 例 1 （多选） 关于第一宇宙速度， 下列说 法正确的是 （ ） A. 它是人造地球卫星绕地球飞行的最小 速度 B. 它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的 最大运行速度 C. 它是能使卫星进入近地圆形轨道上的最 小发射速度 D. 它是卫星在椭圆轨道上运动到近地点的 速度 解析： 第一宇宙速度是最大的运行速度也是 最小的发射速度， A 错误， B 、 C 正确， 而 卫星在椭圆近地点时引力不足以维持卫星做 圆周运动 ， 速度大于第一宇宙速度 ， D 思路点拨 本题考查对第一宇宙速度的理解。 56 学 第七章 万有引力与宇宙航行 错误。 答案： BC 变式训练 1 关于宇宙速度 ， 下列说法正 确 的 是 （ ） A. 第一宇宙速度是 能使人造地球卫 星绕地球飞行的 最小发射速度 B. 第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球飞 行的最小速度 C. 第二宇宙速度是卫星在椭圆轨道上运行 时的最大速度 D. 第三宇宙速度是发射人造地球卫星的最 小速度 要点 2 近地卫星与同步卫星 1. 近地卫星。 近地卫星的轨道半径可 以近似认为是地球半径， r=R ， 线速度大小为 v= Gm 地 R 姨 = 7.9 km/s ， 周期为 T= 2πR v =2π R 3 Gm 地 姨 ≈ 85 min 。 它们是匀速圆周运动的最大线速度 和最小周期。 2. 同步卫星。 （ 1 ） 同步卫星在地球赤道上空， 即轨道平面 与赤道面重合， 且周期是 24 h 的卫星， 它与地球表面保持相对静止。 （ 2 ） 特点。 ① 周期、 角速度确定： T=24 h ， 角速度等于 地球自转的角速度。 ② 位置确定 ： 相对地面静止且在赤道面 上空。 ③ 轨道确定： 同步轨道只有一个， 且卫星运 行方向与地球自转方向相同。 ④ 高度确定： Gmm 地 （ R+h ） 2 =m 4π 2 T 2 （ R+h ）， 解得 h=3.6×10 7 m=3.6×10 4 km 。 ⑤ 速度确定： Gmm 地 （ R+h ） 2 =m v 2 R+h ， v= Gm 地 R+h 姨 =3.1×10 3 m/s 。 ⑥ 三颗同步卫星作为通信卫星可以进行全球 通信 （两极地区有盲区）。 例 2 （多选） 已知地球的质量为 m 地 ， 半 径为 R ， 自转周期为 T ， 地球同步卫星的 质量为 m ， 引力常量为 G ， 有关同步卫星， 下列说法正确的是 （ ） A. 卫星距地的高度为 Gm 地 T 2 4π 2 3 姨 B. 卫星的速度小于第一宇宙速度 C. 卫星受到的向心力大小为 Gm 地 m R 2 D. 卫星的向心加速度小于地表重力加速度 解析： 同步卫星： Gm 地 m （ R+h ） 2 =m 4π 2 T 2 （ R+h ）， C 错误； h= Gm 地 T 2 4π 2 3 姨 -R ， A 错误； 第一宇宙 速 度 是 最 大 的 运 行 速 度 ， B 正 确 ； 由 Gmm 地 （ R+h ） 2 =ma ， Gm 地 =gR 2 ， a= R 2 （ R+h ） 2 g<g ， D 正确。 r 1 O r 2 m 1 m 2 7.9 km/s<v<11.2 km/s 椭圆 圆 v=7.9 km/s v=11.2 km/s v = 1 6 . 7 k m / s 变式训练 1 题图 思路点拨 本题考查对第一宇宙速度的理解。 57 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 答案： BD 变式训练 2 为了实现人类登陆火星的梦想， 宇航 员进行了一次 “模拟登陆火星” 的实验活 动。 假设火星半径与地球半径之比为 1 ∶ 2 ， 火星质量与地球质量之比为 1 ∶ 9 。 已知地球 表面的重力加速度为 g ， 地球半径为 R ， 万 有引力常量为 G ， 忽略地球自转的影响， 则 （ ） A. 火星表面与地球表面的重力加速度之比 为 2 ∶ 9 B. 火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙 速度之比为 2 姨 ∶ 3 C. 火星的密度为 g 3πGR D. 若宇航员以相同初速度在火星表面与地 球表面能竖直跳起的最大高度之比为 9 ∶ 2 要点 3 卫星变轨与轨道穿梭 1. 卫星变轨。 （ 1 ） 卫星变轨： 当卫星由于某种原因速度突 然改变时 （如开启或关闭发动机或空气 阻力作用）， 万有引力就不再等于向心 力， 卫星将变轨运行。 （ 2 ） 变轨形式。 ① 当卫星的 v 突然增大时 （开启发动机， 使 卫星速度短时间内增大 ）， 所需向心力 m v 2 r 增大， 此时， 万有引力 Gmm 中 r 2 不变， 万有引力不足以提供向心力， 卫星将做离 心运动， 脱离原来的圆轨道， 轨道半径 变大。 ② 当卫星的速度 v 突然减小时， 所需向心力 m v 2 r 减小， 即万有引力大于卫星所需的向 心力， 因此卫星将做向心 （近心） 运动， 同样会脱离原来的圆轨道， 轨道半径变小。 （ 3 ） 同步卫星发射。 发射同步卫星时， 通常先将卫星送到近 地轨道 1 ， 如图所示。 轨道 1 也称为停泊轨 道 ， 卫星绕行的速率为 v 1 。 在 Q 点是第一次点火加速 ， 在短时间内将速率由 v 1 增大 到 v 2 ， 使卫星进入椭圆轨道 2 （又称为转移轨道）， 轨道的远地点 （ P 点） 距 地面高为 35800 km 。 当到达远地点时， 卫星 启动发动机， 进行第二次点火加速， 在短时 间内将速率由 v 3 增大到 v 4 ， 进入同步轨道 3 （又称为工作轨道）。 2. 轨道穿梭。 处在同一轨道上， 一前一后两颗卫星， 后面的卫星需要追上前面的卫星， 如神舟飞 船和天宫二号交会对接， 就是后面的卫星先 减速 （发动机向前喷气） 做向心运动 （椭圆 轨道）， 在内圈运行快， 周期短， 当运行到 要追上的卫星的下面时， 再开启发动机， 加 速升回原来的高轨道。 例 3 （多选） 发射地球的同 步卫星时， 先将卫星发射至近 地圆轨道 1 ， 然后点火， 使其 沿椭圆轨道 2 运动， 最后再次 点火， 将卫星送入同步圆轨道 3 。 轨道 1 、 2 相切于 Q 点 ， 轨道 2 、 3 相 切于 P 点， 如图所示， 则当卫星分别在 1 、 2 、 3 轨道上正常运行时 ， 以下说法正确 1 2 3 P Q 1 2 3 P Q 例 3 题图 58 学 第七章 万有引力与宇宙航行 的是 （ ） A. 卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上 的速率 B. 卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度 C. 卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大 于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度 D. 卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等 于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度 解析： v= Gm 地 r 姨 ， r 3 >r 1 ， v 3 <v 1 ， A 错误； 棕= Gm 地 r 3 姨 ， 棕 3 <棕 1 ， B 正确； 卫星在轨道 1 上 经 Q 点时与在轨道 2 上经过 Q 点时的加速 度均为 a= GM r 2 ， 故两者相等， C 错误； 同 理， D 正确。 答案： BD 变式训练 3 （多选） 如图所示为太 阳系中某行星探测器的轨迹 示意图， 探测器在圆轨道 1 的 P 点点火实施变轨进入椭 圆轨道 2 ， 探测器到达行星 附近的 Q 点时， 再次点火实施变轨， 当探测 器距行星表面的距离为 h 时速度减为零， 之 后开始自由下落， 经测量可知探测器自由下 落的时间为 t 。 已知该行星可视为半径为 R 的质量分布均匀的球体， 引力常量为 G 。 则 下列说法正确的是 （ ） A. 探测器的发射速度应大于该行星的第三 宇宙速度 B. 探测器在圆轨道 1 上的运行周期等于在 椭圆轨道 2 上的运行周期 C. 探测器在 P 点减速才能使其由圆轨道 1 进入椭圆轨道 2 D. 该行星的平均密度为 3h 2πGRt 2 要点 4 近地卫星、 同步卫星与赤道上 的物体的比较 1. 近地卫星与赤道上的物体。 （ 1 ） 相同点： 轨道半径相同， 均等于地球 半径。 （ 2 ） 不同点。 ① 近地卫星受到地球引力完全充当卫星做圆 周运动所需的向心力； 而赤道上随地球自 转的物体受到地球引力充当了物体做圆周 运动所需的向心力和物体重力。 ② 角速度、 线速度、 向心加速度、 周期等均 不相同； 如近地卫星的向心加速度为 a= Gm 地 R 2 ， Gm 地 =gR 2 ， a=g ， 赤道上物体的向 心加速度为 a= 4π 2 T 2 R=0.034 m/s 2 。 2. 近地卫星与同步卫星。 （ 1 ） 相同点： 都是地球的卫星， 地球的引力 提供向心力。 （ 2 ） 不同点： 由于近地卫星轨道半径较小， 近地卫星转得快， 线速度、 角速度、 向 心加速度均比同步卫星的大。 3. 赤道上的物体与同步卫星。 思路点拨 加速度 a= Gm 地 r 2 ， 角速度 棕 、 线速度 v 的关系可由 F 万 =F 向 得出。 P Q 1 2 变式训练 3 题图 59 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） （ 1 ） 相同点： 角速度、 周期相同， 都等于地 球自转的角速度、 周期。 （ 2 ） 不同点。 ① 轨道半径不同： 同步卫星的轨道半径比赤 道上的物体的轨道半径大得多。 ② 受力情况不同： 赤道物体引力的分力充当 向心力， 同步卫星引力全部充当向心力。 ③ 运动情况不同： v=ωr ， a=ω 2 r ， 同步卫星 的线速度、 向心加速度均大于赤道上的 物体。 例 4 有 a 、 b 、 c 、 d 四颗地球卫星， a 还未 发射， 在赤道表面上随地球一起转动， b 是 近地轨道卫星， c 是地球同步卫星， d 是高 空探测卫星， 它们均做匀速圆周运动， 各卫 星排列位置如图所示， 则 （ ） A. a 的向心加速度等于重力加速度 g B. 在相同时间内 b 转过的弧长最长 C. c 在 4 h 内转过的圆心角是 π 6 D. d 的运动周期有可能是 20 h 解析： 地球表面随地球自转的卫星， 万有引 力近似等于重力， 远大于向心力， 故 a 的向 心加速度远小于 g ， A 错误； 对于 b 、 c 、 d 卫星 ， 万有引力提供向心力 ， 由 Gmm 地 r 2 = m v 2 r ， v= Gm 地 r 姨 可知 b 卫星的线速度最大， 而 a 、 c 卫星 （ a 卫星实质上是赤道上的物 体） 具有相同的角速度， 由 v=ωr 可知 c 卫 星比 a 物体的线速度大， 因此 v a <v c <v b ， 故 相同时间内 b 卫星转过的弧长最长， B 正 确； c 为同步卫星 ， 运动周期为 24 h ， 则 4 h 内转过的角度为 π 3 ， C 错误； b 、 c 、 d 三颗卫星中 ， Gmm 地 r 2 =m 4π 2 T 2 r ， 可知 T = 2π r 3 Gm 地 姨 ， 即 d 卫星的周期比 c 卫星大， 大于 24 h ， D 错误。 答案： B 变式训练 4 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制 的全球卫星导航系统， 由地球同步卫星和低 轨道卫星组成 ， 这两种卫星正常运行时 （ ） A. 地球同步卫星的运行周期比低轨道卫星 的运行周期小 B. 地球同步卫星相对于地面是移动的， 但 每天都经过特定地区的上空 C. 地球同步卫星和低轨道卫星都处于失重 状态 D. 低轨道卫星与地球同步卫星可能具有相 同的角速度 地球 a b c d 例 4 题图 思路点拨 本题考查人造卫星运动规律。 对于 卫星绕中心天体做圆周运动问题， 要注 意建立正确的模型， 由万有引力提供向 心力， 分析各物理量的关系。 同时， 还 要充分利用同步卫星与地球自转的周期、 角速度相同这一特点。 60 学 第七章 万有引力与宇宙航行 拓 展 创 新 “引力弹弓” 效应及洛希极限。 1. “引力弹弓” 效应 （ Slingshot effect ）。 引力弹弓就是利用行星的重力场来给太 空探测船加速， 将它甩向下一个目标， 也就 是把行星当作 “引力助推器”。 利用引力弹 弓使我们能探测冥王星以内的所有行星， 以 此来节省燃料、 时间和计划成本。 “引力弹 弓” 效应设想由迈克尔·米诺维奇于 1961 年 提出。 美国发射的 “旅行者一号” 和 “旅行 者二号” 相继升空。 受载荷限制， 执行发射 任务的火箭给它们留的燃料只够飞到木星， 借助木星的引力， 它们的速度由 10 km/s 提 升至 25 km/s ， 远远超过第三宇宙速度， 飞 掠土星之后速度更是达到惊人的 45 km/s 。 2. 洛希极限 （ Roche limit ）。 洛希极限是指当一个小天体与另一个大 天体的距离近到一定程度时， 潮汐力作用就 会使小天体本身解体分散， 即为小天体不被 大天体撕碎的一种极限值 （往往是它们之间 的距离极限）。 换言之， 洛希极限是一个天 体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相 等时两者之间的距离。 如果两者之间的距离 小于这个洛希极限值， 那么， 较小的天体就 会倾向于被 “撕裂” 或碎散， 继而成为母天 体的环。 这个极限值是由法国天文学家洛希 首先求得的， 因此称为洛希极限。 一些内部引力较弱的物体， 例如彗星， 可能在经过洛希极限内时化成碎片。 “苏梅 克 - 列维 9 号” 彗星在 1992 年经过木星时分 成碎片， 于 1994 年落在木星上。 木星的直径大约是 14 万千米， 如果是 地球和木星之间的话， 地球有大气层， 属于 流体， 当地球距离木星 104 万千米的时候， 木星已经开始吸走地球的空气了， 即木星对 地球大气层的洛希极限 （流体洛希极限） 在 104 万千米左右。 变式训练答案 1. A 2. B 3. CD 4. C 61