第6章 4. 生活中的圆周运动-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第二册学习手册（人教版2019）

学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 4. 生活中的圆周运动 知 识 梳 理 知识点 1 火车转弯 1. 火车车轮的结构特点。 火车的车轮有凸出的轮 缘， 且火车在轨道上运行时， 有突出轮缘的一边在两轨道的 内侧， 这种结构有助于固定火 车运动的轨迹。 2. 火车转弯时的运动特点。 火车转弯时实际是在做圆周运动， 因而 具有向心加速度， 由于其质量巨大， 所以需 要很大的向心力。 3. 火车转弯时的向心力来源。 实际上， 铁路轨道在 转弯处内、 外轨道并非水 平。 在修筑铁路时， 要根 据弯道的半径和规定的行 驶速度， 适当选择内外轨 的高度差， 使转弯时所需的向心力几乎完全 由重力 mg 和支持力 F Ｎ 的合力提供。 知识点 2 汽车过拱形桥 1. 车过凸形桥。 汽车通过凸形桥最高 点时， 受力如图所示。 向 心力为 F n ＝mg－F N ＝ mv 2 R ， 由牛顿第三定律， 汽车对桥的压力 F N ′＝F N ＝ mg－m v 2 R ， 故汽车在凸形桥上运动时， 对桥 的压力小于汽车的重力， 处于失重状态。 讨论： （ 1 ） 当 v＝ gR 姨 时， F N ＝0 。 （ 2 ） 当 0≤v< gR 姨 时， 0<F N ≤mg 。 （ 3 ） 当 v> gR 姨 时， 汽车将脱离桥面做平抛 运动， 发生危险。 2. 车过凹形桥。 汽车通过凹形桥最低 点时， 受力如图所示。 重 力 mg 和支持力 F N 的合力 提供汽车做圆周运动的向 心力， 满足关系： F n ＝F N －mg＝ mv 2 R ， 即 F N ＝ mg＋ mv 2 R 。 汽车对桥的压力 F N ′ ＝F N ＝mg ＋ mv 2 R ， 故汽车在凹形桥上运动时， 对桥的压 力大于汽车的重力， 处于超重状态。 可见， 汽车在凹形桥上运动时， 对桥的 压力大， 故凹形桥易被压垮， 因而实际中凸 形桥多于凹形桥。 知识点 3 航天器中的失重现象 1. 质量为 M 的航天器在近地轨道运行时， 航天器的重力提供向心力 ， 满足关系 ： Mg＝M v 2 R ， 则 v＝ gR 姨 。 2. 质量为 m 的航天员： 航天员的重力和座 舱对航天员的支持力提供向心力， 满足关 轮缘 琢 F F N mg F N G v F N mg 32 学 第六章 圆 周 运 动 系： mg－F N ＝ mv 2 R 。 当 v＝ gR 姨 时， F N ＝0 ， 即航天员处于完全失重状态。 3. 航天器内的任何物体都处于完全失重状 态， 任何物体之间均无压力。 知识点 4 离心运动 1. 离心运动： 做圆周运动的物体， 在合力突 然消失或者不足以提供圆周运动所需的向 心力的情况下， 就会做远离圆心的运动， 这种运动叫作离心运动。 2. 离心运动的原因： 合力突然消失或不足以 提供所需的向心力， 而不是物体又受到了 “离心力”。 3. 合力与向心力的关系 对圆周运动的影响。 若 F 合 ＝mω 2 r ， 物体 做匀速圆周运动。 若 F 合 <mω 2 r ， 物体做离心运动。 若 F 合 ＝0 时， 物体沿切线方向飞出。 若 F 合 >mω 2 r ， 物体做近心运动。 4. 离心运动的应用和防止。 （ 1 ） 应用： 离心干燥器； 洗衣机的脱水筒； 离心制管技术。 （ 2 ） 防止： 汽车在公路转弯处必须限速行 驶； 转动的砂轮、 飞轮的转速不能太高。 要 点 突 破 要点 1 车辆转弯类 1. 火车向心力来源分析。 （ 1 ） 如果弯道处内、 外轨一样 高， 火车转弯时， 外侧车 轮的轮缘挤压外轨， 使外轨发生弹性形 变， 外轨对轮缘的弹力充当火车转弯的 向心力， 如图所示， 但火车质量太大， 靠这种方法得到向心力， 轮缘与外轨间 的相互作用力太大， 铁轨和车轮极易 受损。 （ 2 ） 修筑铁路时， 在转弯 处 使 外 轨 略 高 于 内 轨， 并根据弯道的半 径和规定的行驶速度 v 0 ， 适当选择内 、 外 轨的高度差， 使火车转弯时所需要的向 心力， 几乎完全由重力 mg 和支持力 F N 的合力来提供， 这样轨道与轮缘也就几 乎没有挤压了， 如图所示。 2. 速度分析。 若使重力与支持力的合力恰好提供火车 转弯所需的向心力， 而防止对内 （外） 轨产 生挤压而造成设备损坏， 那么 g 、 h 、 L 、 R 、 v 0 各量间必然存在一定的对应关系。 设内、 外轨间的距离为 Ｌ ， 内、 外轨的 高度差为 h ， 火车转弯的半径为 R ， 火车转 弯的规定速度为 v 0 ， 如上图所示。 在 α 较小 时， 有 F 合 =mgtan α≈mgsin α=mg h L ， 由牛顿第二定律 ， 得 F 合 =m v 2 0 R ， 所以 mg h L =m v 2 0 R ， 即 火 车 通 过 弯 道 时 的 规 定 速 度 v 0 = Rgh L 姨 。 说明： 规定速度一般提前确定， 而 R 、 L 也 F 合 =0 F 合 =mω 2 r F 合 <mω 2 r F 合 >mω 2 r F α F F N mg 33 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 是确定的， 故铺设轨道时需要根据上述条件 确定 h 。 3. 转弯速度与轮缘所受侧压力分析。 （ 1 ） 当 v＝v 0 时， 转弯时所需向心力等于支持 力和重力的合力， 这时内、 外轨均无侧 压力， 这就是设计的限速状态。 （ 2 ） 当 v>v 0 时， 所需向心力大于支持力和重 力的合力， 这时外轨对车轮有向里的侧 压力， 以弥补向心力不足的部分。 （ 3 ） 当 v<v 0 时， 所需向心力小于支持力和重 力的合力， 这时内轨对车轮有向外的侧 压力， 以抵消向心力过大的部分。 说明： 火车转弯时受力情况和运动特点与圆 锥摆类似。 4. 其他弯道， 如高速公路或 赛车道等， 其讨论也类似 于火车转弯， 弯道处的设 计也是采用 “外高内低” 式， 以减轻转弯处的摩擦 对车轮的损坏。 如图： （ 1 ） 当车速 v> Rgtan θ 姨 时， 车轮仍将受到 沿斜面向下的摩擦力作用。 （ 2 ） 若车速 v< Rgtan θ 姨 时， 则车轮受到沿 斜面向上的摩擦力作用。 例 1 （多选） 公路急转弯处 通常是交通事故多发地带。 如 图 ， 某公路急转弯处是一圆 弧 ， 当汽车行驶的速率为 v c 时， 汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋 势。 则在该弯道处 （ ） A. 路面外侧高内侧低 B. 车速只要低于 v c ， 车辆便会向内侧滑动 C. 车速虽然高于 v c ， 但只要不超出某一最高 限度， 车辆便不会向外侧滑动 D. 当路面结冰时， 与未结冰时相比， v c 的值 变小 解析： 当汽车行驶的速率为 v c 时， 汽车恰好 没有向公路内外两侧滑动的趋势， 此时的向 心力由地面的支持力和重力的合力提供， 故 路面外侧高内侧低， A 正确； 当车速低于 v c 时， 车所需向心力减小， 车可能只是具有向 内侧滑动的趋势， 和地面之间会产生横向静 摩擦力， 但只要不超过最大静摩擦力限度， 则不一定能够滑动， B 错误； 同理 ， C 正 确； 当路面结冰时， 只是最大静摩擦力变 小， 但 v c 是车和地面无摩擦时的临界值， 与 路况无关， D 错误。 答案： AC 变式训练 1 有一列重为 100 t 的火车， 以 72 km/h 的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道， 轨道半径为 400 m 。 （ g 取 10 m/s 2 ） （ 1 ） 试计算铁轨受到的侧压力。 （ 2 ） 若要使火车以此速率通过弯道， 且使铁 轨受到的侧压力为 0 ， 我们可以适当倾斜 路基， 试计算路基倾斜角度 θ 的正切值。 θ F N F 向 mg 外侧内侧 公 路 例 1 题图 按车辆转弯问题讨论， 注意对关键 条件的理解。 思路点拨 34 学 第六章 圆 周 运 动 要点 2 圆周运动的临界问题 水平面内圆周运动的临界问题， 无非是 “临界速度” 或 “临界力” 的问题， 具体来 说， 主要是与绳子的拉力、 弹簧的拉力、 接 触面的弹力和摩擦力等相关联。 解答此类问 题的方法是找准临界点， 判断出临界状态或 者条件， 应用圆周运动的动力学规律分析。 例如： 汽车、 摩托 车或自行车在水平面上 转弯， 其向心力都是由 地面摩擦力提供的， 受 力分析如图所示。 此时重力和地面对车的支 持力平衡， 当达到最大静摩擦力时， 即有 F max =μmg≥m v 2 R ， 可得车辆转弯的安全速度 v≤ μgR 姨 ， 此时车身与竖直方向倾斜的安 全角 θ≤tan -1 μ 。 竖直平面内的圆周运动模型分为有支持 物和无支持物两种情况， 对应的 “恰能过最 高点” 的临界条件不同， 应注意区别。 对于 物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题， 中学物理中只研究物体通过最高点和最低点 的情况， 并且经常出现临界状态。 下面对临 界问题简要分析如下： 1. 轻绳模型 （如 图所示）。 小球在细绳 作用下 （或者沿竖直光滑轨道内侧） 在竖直 平面内做圆周运动时， 无物体支撑小球， 称 为 “轻绳模型”。 （ 1 ） 绳 （内轨道） 施力特点： 只能施加向内 的拉力 （或压力）。 （ 2 ） 在最高点的动力学方程： F T ＋mg＝m v 2 r 。 （ 3 ） 在最高点的临界条件： F T ＝0 ， 此时 mg＝ m v 2 r ， 则 v＝ gr 姨 。 ①v＝ gr 姨 时， 拉力或压力为 0 ， 此为小 球通过最高点的临界速度。 ②v> gr 姨 时， 小球受向下的拉力或压力。 ③v< gr 姨 时， 小球不能达到最高点， 实 际上在到达最高点之前就脱离圆轨道， 做斜 抛运动， 即轻绳模型的临界速度为 v 临 ＝ gr 姨 。 2. 轻杆模型 （如图所示）。 小球被轻杆约束 着 （或在竖直放置的 光滑细管内 ） 在竖直 平面内做圆周运动时， 有物体支撑小球， 称 为 “轻杆模型”。 （ 1 ） 杆 （管道） 施力特点： 既能施加向下的 拉力， 也能施加向上的支持力。 （ 2 ） 在最高点的动力学方程。 ① 当 v＞ gr 姨 时， F N ＋mg＝m v 2 r ， 杆对球 有向下的拉力， 且随 v 增大而增大。 ② 当 v＝ gr 姨 时， mg＝m v 2 r ， 杆对球无 作用力。 ③ 当 v＜ gr 姨 时， mg－F N ＝m v 2 r ， 杆对球 有向上的支持力。 ④ 当 v＝0 时， mg＝F N ， 球恰好到达最高点。 （ 3 ） 轻杆类的临界速度为 v 临 ＝0 。 3. 通过上述讨论可以发现： （ 1 ） 在最高点， 当 v＞ gr 姨 时， 两模型下的 受力特征相同， 球均受向下的弹力作用。 v v r r F N F F 1 θ mg 35 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） （ 2 ） 在最低点， 两模型下的受力特征也相同， 球均受向上的弹力作用， 处于超重状态。 例 2 如图所示 ， 水平 转盘的中心有个竖直小 圆筒， 质量为 m 的物体 A 放在转盘上， 到竖直 小圆筒中心的距离为 r ， 物体 A 通过轻绳、 无摩擦的滑轮与物体 B 相连， B 与 A 质量 相同， 物体 A 与转盘间的最大静摩擦力是 正压力的 μ （ μ<1 ） 倍， 则转盘转动的角速 度在什么范围内， 物体 A 才能随转盘转动？ 解析： 因为物体 A 随转盘做匀速圆周运动， 所以它所受的合外力必然指向圆心。 而其中 重力与支持力平衡， 轻绳的拉力指向圆心， 因此物体 A 所受摩擦力的方向一定沿着半 径或指向圆心或背离圆心。 当物体 A 将要沿圆盘向外滑动时， 物体 A 所受的最大静摩擦力指向圆心， 物体 A 的 向心力为轻绳的拉力与最大静摩擦力之和， 即 F+F max =mω 2 max r ， 又有 F max =μN=μmg ， F=mg ， 解得 ω max = g （ 1+μ ） r 姨 ， 当物体 A 将要沿圆盘向里滑动时， 物体 A 所受的最大静摩擦力背离圆心， 物体 A 的 向心力为轻绳的拉力与最大静摩擦力之差， 即 F-F max =mω 2 min r ， 解得 ω min = g （ 1-μ ） r 姨 ， 因此， 要使物体 A 随转盘一起， 其角速度的 取值范围是 g （ 1-μ ） r 姨 ≤ω≤ g （ 1+μ ） r 姨 。 答案： g （ 1-μ ） r 姨 ≤ω≤ g （ 1+μ ） r 姨 变式训练 2 长 L=0.5 m ， 质量可以 忽略不计的杆， 其下端固定 于 O 点， 上端连着一个质量 为 m＝2 kg 的小球 A ， A 绕 O 点做圆周运动。 如图所示， g 取 10 m/s 2 。 在 小球 A 通过最高点时， 试讨论下列两种情 况下杆的受力： （ 1 ） 当小球 A 的速率 v 1 ＝1 m/s 时。 （ 2 ） 当小球 A 的速率 v 2 ＝4 m/s 时。 A B 例 2 题图 A m L O 变式训练 2 题图 涉及水平面内圆周运动的临界问题， 往往围绕静摩擦力的取值范围进行讨论， 特别要注意静摩擦力大小的突变性以及 方向的隐蔽性。 思路点拨 36 学 第六章 圆 周 运 动 拓 展 创 新 离心分层现象 如图， 在一个盛 有清水的圆筒形容器 （转鼓 ） 中 ， 倒入一 组同样大小的钢球和 木球， 然后启动电机 使其绕轴高速旋转。 此时， 由于离心力的大 小与物体的质量成正比 （体积相同时与它的 密度成正比）， 所以钢球很快被甩到最外层， 而木球则被推向转轴， 清水则占据了 “中间 地带”。 可见， 一旦转鼓高速转动起来， 容 器中的物质就会按密度分层排列。 密度小者 （轻相） 聚集在 “中央”， 即转轴附近， 密度 大者 （重相） 则分散在 “边区”， 即转鼓壁 附近。 这种现象称为离心沉降。 如果在转鼓 上开满小孔， 则其中的液体就会在离心力作 用下通过小孔被 “驱逐出境”， 而固体颗粒 则停留在转鼓壁面上， 从而达到脱水的目 的， 这种现象称为离心过滤。 例如， 奶油的 提取， 啤酒、 酒、 果汁的澄清， 污水的净 化， 就属于离心沉降； 而煤、 矿石和海盐的 脱水等则属于离心过滤。 变式训练答案 1. （ 1 ） 1×10 5 N （ 2 ） 0.1 2. （ 1 ） 杆受小球的压力 16 N ， 方向向下。 （ 2 ） 杆受小球的拉力 44 N ， 方向向上。 木球 清水 钢球 转鼓转轴 37