第6章 2. 向心力-【新课程能力培养】2024-2025学年高中物理必修第二册学习手册（人教版2019）

学 第六章 圆 周 运 动 2. 向 心 力 知 识 梳 理 知识点 1 向心力 1. 定义： 做匀速圆周运动的物体所受的合力 总指向圆心， 这个指向圆心的力叫作向 心力。 2. 方向： 向心力的方向总是沿半径指向圆心 （与质点的运动方向垂直）， 是变力。 3. 作用效果： 只改变线速度的方向， 不改变 线速度的大小。 4. 效果力： 向心力是根据力的作用效果来命 名的， 并非运动物体真实受到的力。 5. 来源： 可以是重力、 弹力、 摩擦力等各种 性质的力， 也可以是几个力的合力， 还可 以是某个力的分力。 知识点 2 向心力的大小 1. 影响因素： 物体的质量 m 、 速度 v 、 角速 度 ω 、 半径 r 等。 2. 定量研究。 （ 1 ） 实验装置： 向心力演示器 （见教材第 29 页实验） 探究向心力的大小。 （ 2 ） 科学方法： 控制变量法。 （ 3 ） 其他方案： 用圆锥摆粗略验证向心力的 大小。 3. 向心力大小的表达式。 （ 1 ） 线速度形式： F n ＝m v 2 r 。 （ 2 ） 角速度形式： F n ＝mω 2 r 。 （ 3 ） 周期形式： F n ＝m 2π T ! " 2 r 。 知识点 3 变速圆周运动和一般曲线运 动的受力特点 1. 变速圆周运动。 （ 1 ） 定义： 当物体沿圆周运动， 不仅速度方 向不断变化， 其大小也在不断变化时， 这样的运动称为变速圆周运动。 （ 2 ） 受力特点： 物体做变速圆周运动， 其所 受的合力方向不是始终指向圆心， 它既 改变线速度的方向， 也改变线速度的 大小。 2. 一般的曲线运动。 如图， 运动轨 迹既不是直线也不 是圆周的曲线运动， 可以称为一般的曲线运 动。 曲线在各个位置的弯曲程度不一样， 不 同位置上所对应的圆周运动的圆心和半径是 不同的。 要 点 突 破 要点 1 对向心力的理解 1. 向心力是按效果命名的力， 它不是某种性 质的力。 它可以是一个力或几个力的合 力， 也可以是某个力的分力。 例如， 用绳 拴着质量为 m 的物体， 在竖直平面内做 圆周运动， 当它运动到最低点时， 其向心 力由绳的拉力和物体的重力的合力 （ F n = A B r A r B 23 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） T-mg ） 来充当。 是这个指向圆心方向的 合力 （或分力） 产生了改变线速度方向的 效果。 因此在受力分析时， 绝不能沿指向 圆心的方向再多加一个向心力。 2. 若物体做匀速圆周运动， 其向心力必然是 物体所受的合力， 它始终沿着半径方向指 向圆心， 大小恒定， 但方向时刻变化， 为 变力。 例 1 （多选） 下列说法正确的是 （ ） A. 物体由于做圆周运动而产生了一个向心力 B. 向心力只改变做匀速圆周运动物体的线 速度的方向， 不改变线速度的大小 C. 做匀速圆周运动的物体的向心力一定等 于其所受的合力 D. 做匀速圆周运动的物体的向心力是不变的 解析： 物体由于受到了指向圆心的合力 （这 个力充当向心力） 而做圆周运动， 故 A 错 误； 做匀速圆周运动的物体， 其向心力指向 圆心， 方向时刻在变， 大小不变， 向心力的 作用只改变线速度的方向， 不改变线速度的 大小， 所以 B 正确， D 错误； 由于物体做匀 速圆周运动， 所以受到的合力就等于向心 力， C 正确。 答案： BC 变式训练 1 （多选） 如图所示， 小球用细绳悬挂于 O 点， 将其拉离竖直位置一个 角度后释放， 则小球以 O 点为 圆心做圆周运动， 提供小球运 动中所需向心力的是 （ ） A. 绳的拉力 B. 重力和绳拉力的合力 C. 重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D. 绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 要点 2 向心力的来源分析 以下为向心力来源的实例分析： 1. 向心力可以由重力提供。 小球在竖直面内从一定高度沿光滑轨道 滑下， 当它经过轨道最高点时， 若轨道对其 的弹力恰好为 0 ， 则此时的向心力由重力提 供， 如图甲所示。 2. 向心力可以由弹力提供。 沿竖直光滑器壁在水平面内做匀速圆周 运动的小球， 其向心力由弹力 F 提供， 如图 乙所示。 3. 向心力可以由摩擦力提供。 物体随转盘做匀速圆周运动， 且物体相 对转盘静止， 向心力由转盘对物体的静摩擦 力提供， 如图丙所示。 对向心力的性质、 效果和特点要准 确理解。 物体做圆周运动， 其向心力一 定指向圆心， 与速度方向垂直， 不会改 变速度的大小， 只改变速度的方向。 思路点拨 O 兹 v mg N G F 甲 乙 N G f O 棕 丙 F x mg F 丁 变式训练 1 题图 24 学 第六章 圆 周 运 动 4. 向心力可以由某个力的分力或某几个力的 合力提供。 小球在细线作用下， 在水平面内做圆锥 摆运动， 向心力可以说由细线的拉力沿水平 方向的分力提供， 也可以说由细线的拉力和 重力的合力提供， 如图丁所示。 5. 向心力可以由万有引力提供。 物体与物体之间存在一种吸引力， 称之 为万有引力。 例如， 地球做圆周运动的向心 力由太阳和地球之间的万有引力提供， 这将 在下一章学习。 例 2 如图所示 ， 一圆台 可绕通过圆台中心 O 且垂 直于台面的竖直轴转动 。 在圆台上放置一小木块 A ， 它随圆台一起做匀速圆周 运动。 则关于木块 A 的受力， 下列说法正确 的是 （ ） A. 木块 A 受重力、 支持力和向心力作用 B. 木块 A 受重力、 支持力和静摩擦力作用， 静摩擦力的方向与木块运动方向相反 C. 木块 A 受重力、 支持力和静摩擦力作用， 静摩擦力的方向与木块运动方向相同 D. 木块 A 受重力、 支持力和静摩擦力作用， 静摩擦力的方向指向圆台中心 解析： 木块 A 在水平圆台上随圆台一起做 匀速圆周运动， 在竖直方向受竖直向下的重 力和竖直向上的支持力， 且两力是一对平衡 力； 由于 A 做匀速圆周运动， 故其必须有向 心力作用， 所以 A 必定受到静摩擦力作用， 静摩擦力一定指向圆台中心提供向心力， 故 D 正确， B 、 C 错误。 向心力不是木块受到 的力， 是木块 A 所受重力、 支持力和静摩擦 力的合力， 故 A 错误。 答案： D 变式训练 2 如图所示， 半径为 r 的圆 筒， 绕竖直中心轴 OO′ 旋转 ， 小物块 a 靠在圆筒的内壁上， 它与圆筒内壁间的动摩擦因数 为 μ ， 设最大静摩擦力与滑动 摩擦力相同。 现要使 a 不下落， 则圆筒转动 的角速度 ω 至少为 （ ） A. μgr 姨 B. μg 姨 C. g r 姨 D. g μr 姨 要点 3 匀速圆周运动的动力学问题 1. 指导思路。 凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向 心力， 而物体所受外力的合力提供向心力， 这是处理该类问题的理论基础。 2. 基本解题流程。 （ 1 ） 明确研究对象， 对研究对象进行受力分 析， 画出受力示意图。 （ 2 ） 将物体所受外力分解到互相垂直的两个 方向上， 其中一个分力沿圆周运动的半 径方向， 另一个分力沿垂直半径的方向。 （ 3 ） 列方程： 沿半径方向满足 F 合 1 ＝m v 2 r ＝ ω A O 例 2 题图 小木块做匀速圆周运动， 受到的圆 台对它的静摩擦力提供向心力， 静摩擦 力的方向指向圆台中心。 思路点拨 O O′ a 变式训练 2 题图 25 学 高 中 物 理 必 修 第二册 （人教版） 图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程 或 Fcos θ=mg Fsin θ=mω 2 lsin n θ 或 mgtan θ=mω 2 lsin θ 或 Fcos θ=mg Fsin θ=mω 2 （ d+lsin θ n ） 或 mgtan θ=mω 2 （ d+lsin θ ） 或 F N cos θ=mg F N sin θ=mω 2 n r 或 mgtan θ=mω 2 r 或 F 升 cos θ=mg F 升 sin θ=mω 2 n r 或 mgtan θ=mω 2 r F N =m A g F 拉 =m B g=m A ω 2 n r ω A m l θ F θ mg x y O mg F y θ F F x F mg θ ω A d l θ F θ mg F mg θ x y O mg F y F F x θ 光滑 ω r θ θ x y O mg F y θ F N F x F N mg θ 飞机 ω 在水平面上 θ mg F 升 mg F 升 x y O F y F x θ mg F 升 θ F N mg F 拉 F N A m A g F 拉 x F N y O m A g mω 2 r＝m 2π T " # 2 r ； 垂直半径方向满足 F 合 2 ＝0 。 （ 4 ） 联立方程求出结果。 3. 常见模型的实例分析如下表： 例 3 如图所示为圆锥摆模型： 长为 L 的细线， 拴一质量为 m 的小球， 一端固定于 O 点， 让 其在水平面内做匀速圆周运 动。 当摆线 L 与竖直方向的夹 角为 α 时， 求： （ 1 ） 线的拉力。 （ 2 ） 小球运动的线速度的大小。 （ 3 ） 小球运动的角速度及周期。 解析： 做匀速圆周运动的小 球受力如图所示， 小球受重 力 mg 和绳子的拉力 F 。 （ 1 ） 因为小球在水平面内做 匀速圆周运动， 所以小球受 到的合力指向圆心 O′ ， 且 是水平方向。 由平行四边形定则得小球受到 的合力大小为 mgtan α ， 线对小球的拉力大 小为 F＝ mg cos α 。 （ 2 ） 由牛顿第二定律得 mgtan α＝ mv 2 r ， 由几何关系得 r＝Lsin α 。 α L O′ O 例 3 题图 圆锥摆模型中小球做匀速圆周运动， 圆心在轨迹圆的圆心上， 向心力由小球 的重力和细线的拉力的合力提供。 思路点拨 例 3 题答图 F 合 r O F α O′ mg α m A ω A m B B 光滑 26 学 第六章 圆 周 运 动 所以， 小球做匀速圆周运动线速度的大小为 v＝ gLtan αsin α 姨 。 （ 3 ） 小球运动的角速度 ω＝ v r ＝ gLtan αsin α 姨 Lsin α ＝ g Lcos α 姨 ， 小球运动的周期 T＝ 2π ω ＝2π Lcos α g 姨 。 答案： （ 1 ） mg cos α （ 2 ） gLtan αsin α 姨 （ 3 ） g Lcos α 姨 2π Lcos α g 姨 变式训练 3 质量相等的两个小球 分别固定在轻杆的中点 A 及端点 B ， 当杆在光滑的 水平面上绕 O 点匀速转动时， 如图所示， 求 杆的 OA 段及 AB 段对球的拉力之比。 拓 展 创 新 魔力飞转发光陀螺玩具因其新奇的创意 深受小朋友的喜欢。 室外开阔地， 让陀螺转 动， 并且达到一定的速度， 陀螺会自己发出 七彩炫光。 其内部电路图可简化为如图所 示 ， 当陀螺静 止时 ， 弹簧处 于原长 ， 触点 小球 A 与金属 片 B 断开， 二极管不发光。 O 点为竖直转动 轴上一点， 当陀螺绕 O 点转动时， 轻质弹簧 便会伸长， 转速增大到一定值时， 可使小球 A 与金属片 B 接触， 电路被接通， 发光二极 管便发出亮光， 下列说法正确的是 （ ） A． 其他条件不变， 弹簧的劲度系数减小 ， 陀螺的转速要大一些才能使二极管发光 B． 其他条件不变， 小球 A 的质量增大， 陀 螺的转速要大一些才能使二极管发光 C． 其他条件不变， 小球 A 的质量减小， 陀 螺的转速要大一些才能使二极管发光 D． 只要陀螺转动， 小球 A 就会做离心运动， 二极管就一定会发光 解析： 由弹簧弹力提供向心力 ， 可得 kx= mω 2 （ l+x ）。 得知要使二极管发光， x 不变， 若 k 减小， 则所需的角速度不变 （甚至变小一 些） 也可以使二极管发光， 故 A 错误； 由弹 簧弹力提供向心力可得 kx=mω 2 （ l+x ）。 当质量 减小， 其他条件不变， 则需要更大的角速度 才能使二极管发光， 故 C 正确， B 错误； 当 所需要的向心力没有达到足够大的时候， 弹 簧的形变量没有达到足够大， A 、 B 没有接 触， 二极管不会发光， 故 D 错误。 答案： C 变式训练答案 1. CD 2. D 3. 3 ∶ 2 变式训练 3 题图 A B O 发光二极管 O A B 27