2.2 简谐运动的描述（举一反三）【五大题型】-2024-2025学年高二物理举一反三系列（人教版2019选择性必修第一册）

2.2 简谐运动的描述【五大题型】 【人教版2019】 目录 知识点1：描述简谐运动的物理量 1 【题型1 简谐运动的振幅、周期、频率】 2 【题型2 简谐运动路程和位移的求解】 5 【题型3 简谐运动的周期性和多解问题】 8 知识点2：简谐运动的函数表达式 12 【题型4 简谐运动表达式的应用】 13 知识点3：简谐运动的振动图像 18 【题型5 振动图像的理解和应用】 18 知识点1：描述简谐运动的物理量 一、振幅 （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅，常用字母A表示。在国际单位制中，振幅的单位是米（m），常用单位还有厘米（cm）。 （2）物理意义：振幅是表示物体振动强弱的物理量，振幅越大，说明物体振动越剧烈。它的大小反映了振动系统能量的大小。 （3）振幅、位移和路程的关系 振幅 位移 路程 定义 振子离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 振子运动轨迹的长度 标、矢量 标量 矢量 标量 联系 ①振幅等于振子最大位移的大小；②振子在一个周期内的位移为零；③振子在一个周期内的路程等于4 倍振幅 二、周期和频率 1、全振动 （1）定义：振动物体经历一个完整的振动过程称为一次全振动。 （2）对做简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断： ①如果物体的位移、速度和加速度都回到原值（大小和方向都相同），即物体完成了一次全振动； ②物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的4倍。 2、周期和频率 （1）周期 ①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，通常用T表示。单位是秒（s）。 ②物理意义：周期是表示物体振动快慢的物理量。周期越大，表示物体振动得越慢；周期越小，表示物体振动得越快。 （2）频率 ①定义：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，用f表示。单位是赫兹，符号是Hz，简称赫。 ②物理意义：频率是表示物体振动快慢的物理量。频率越大，表示物体振动得越快；频率越小，表示物体振动得越慢。 3、周期和频率的关系： 。 4、圆频率（ω） ①圆频率（ω）是表示简谐运动快慢的物理量。 ②圆频率与周期、频率的关系： 。 【题型1 简谐运动的振幅、周期、频率】 【例1】（23-24高二下·河南南阳·期末）如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐振动，O为平衡位置，，若振子从B第一次运动到O的时间是0.5s，则下列说法正确的是（　　） A．振幅是10cm B．振动周期是1s C．经过一次全振动，振子通过的路程是10cm D．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm 【答案】D 【解析】A．弹簧振子在B、C间做简谐振动，O为平衡位置，则振幅为 故A错误； B．振子从B第一次运动到O的时间是0.5s，则 解得 故B错误； C．经过一次全振动，振子通过的路程是 故C错误； D．从B开始经过3s，即 振子通过的路程是 故D正确。 故选D。 【变式1-1】（22-23高二下·河南南阳·期中）劲度系数为k的轻弹簧与质量为m的小球组成弹簧振子，第一次在光滑水平面内用力把弹簧压缩后静止释放让它振动，第二次将弹簧竖直悬挂，将其竖直下拉使弹簧伸长后静止释放让它振动，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则水平和竖直振动的周期之比和振幅之比分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】A．弹簧的固有周期由弹簧自身决定，与振幅无关，即 可知水平和竖直振动的周期之比为，振幅等于小球相对于平衡位置位移的最大值，水平振动时的振幅为 竖直振动时的振幅为 可知水平和竖直振动的振幅之比为。 故选A。 【变式1-2】（23-24高二上·江苏·月考）有一个弹簧振子，让其在水平方向上的B、C之间做简谐运动。已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动。求：振子的振幅和周期。 【答案】10 cm，0.2 s 【解析】振子的振幅 周期 【变式1-3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）如图所示，劲度系数为的弹簧上端固定一质量为的小球，小球在竖直方向上做简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，重力加速度为，求： （1）小球振动到最低点时的加速度的大小和方向； （2）小球做简谐运动的振幅。 【答案】（1），竖直向上 （2） 【解析】（1）根据题意，在最高点由牛顿第二定律有 解得 由简谐运动的对称性可知，小球振动到最低点时的加速度的大小为，方向竖直向上。 （2）小球做简谐运动，由重力和弹簧的弹力提供回复力，在平衡位置则有 解得 则有小球做简谐运动的振幅为 【题型2 简谐运动路程和位移的求解】 【例2】（23-24高二上·山东泰安·期中）一质点做简谐运动，振幅为A、周期为T，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处。P为运动轨迹上的一点，P点与O、B、C三点均不重合，从质点经过P点时开始计时，下列说法正确的是（　　） A．经过时，质点的速度与经过P点时的速度相同 B．经过，质点的路程等于 C．经过，质点的路程不可能大于A D．经过时，质点的瞬时速度不可能与经过P点时相等 【答案】B 【解析】A．根据振动的周期性可知，经过半个周期后，质点速度方向一定与开始时速度的方向相反，故A错误； B．根据振动的周期性可知，经过半个周期质点的路程等于2A，故B正确； C．质点在平衡位置附近的速度较大，而在最大位移附近的速度较小，所以若质点从P点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在内的路程要大于A；若质点从P点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点子在内的路程要小于A，故C错误； D．若质点开始时向平衡位置运动，经过时，若质点到达与P对称的位置，则质点的瞬时速度与经过P时的瞬时速度是相等的，故D错误。 故选B。 【变式2-1】（23-24高二上·宁夏银川·月考）质点在水平弹簧作用下做简谐运动，O点为平衡位置，取向右为正方向。质点在水平方向先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1s，质点通过N点后再经过1s第2次通过N点，在这2s内质点通过的总路程为12cm。则下列说法正确的是（　　） A．质点的振动周期为4s，振幅为4cm B．质点在M点和N点时，动能相同，系统弹性势能也相同 C．质点在MO之间时，偏离平衡位置的位移是负值，加速度为负值 D．质点的回复力与位移大小成正比，方向可能相同 【答案】B 【解析】A．简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O时间与由O到N的时间相等，那么平衡位置O到N点的时间，因过N点后再经过质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到最大位置的时间，因此，质点振动的周期是 这2s内质点总路程的一半，即为振幅，所以振幅 故A错误； B．M、N两点关于平衡位置O点对称，质点在M点和N点时，动能相同，系统弹性势能相同，故B正确； C．质点在MO之间时，偏离平衡位置的位移是负值，加速度为正值，故C错误； D．质点的回复力与位移大小成正比，方向相反，故D错误。 故选B。 【变式2-2】（22-23高二上·河北邯郸·月考）一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．质点的振幅是4cm B．0～10s内质点经过的路程是20cm C．在时质点的速度为0 D．在和两时刻，质点的位移相同 【答案】B 【解析】A．由图可知，质点的振幅是2cm，故A错误； B．每个周期质点的路程为4A，可知0～10s内质点的路程是振幅的10倍，故路程为20cm，故B正确； C．在时，质点位于平衡位置，故速度最大，故C错误； D．在和两时刻，质点的位移大小相等，方向相反，即位移不相同，故D错误。 故选B。 【变式2-3】（23-24高二下·四川内江·期中）一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8cm，频率为0.5Hz，在t=0时位移是，且向x轴负向运动，求： （1）10s内物体运动的路程； （2）100s时物体相对于平衡位置的位移； （3）试写出用正弦函数表示的振动方程。 【答案】（1）160cm；（2）；（3） 【解析】（1）由于频率为0.5s，则 所以10s内物体运动的路程为 （2）由于t=0时位移是，100s等于50个周期，所以100s时物体相对于平衡位置的位移为； （3）简谐运动的振动方程为 t=0时，有 解得 或（舍去） 故振动方程为 【题型3 简谐运动的周期性和多解问题】 【例3】（23-24高二上·陕西榆林·月考）一弹簧振子做简谐运动，周期为，下列叙述正确的是（　　） A．若，则时刻和时刻的速度一定相同 B．若，则时刻和时刻弹簧长度一定相等 C．若时刻和时刻的动能相等，则一定等于的整数倍 D．若时刻和时刻的位移大小相等，方向相同，则一定等于的整数倍 【答案】A 【解析】A．经过，则时刻和时刻，即相差一个周期的两个时刻振子的速度一定相同，选项A正确； B．若，质点位移大小相等，方向相反，但弹簧的长度不一定相等，选项B错误； C．当质点经过同一位置或关于平衡位置对称位置时，动能相等，不一定等于的整数倍，选项C错误； D．时刻和时刻的位移大小相等，方向相同，表示质点通过同一位置，但不一定等于的整数倍，选项D错误。 故选A。 【变式3-1】（多选）（23-24高二下·江西南昌·期中）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A．0.6s B．0.8s C．2.0s D．2.4s 【答案】BD 【解析】O为平衡位置，设C点为M同侧最远点，振子从O→C所需时间为，简谐运动具有对称性，所以振子从M→C 所用时间和从C→M所用时间相等，故 解得周期 s 若振子一开始从平衡位置向另外一个最远点运动，设点与点M关于点O对称，则振子从点经过点C'到点所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，为0.2s，振子从点C回到点O用时，则 解得周期为 故选BD。 【变式3-2】（多选）（23-24高一下·重庆沙坪坝·期末）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，时振子的位移为，时位移为，则（　　） A．振子在与两处的加速度可能相等 B．振子在与两处的速度可能不同 C．若振幅为，振子的周期可能为 D．若振幅为，振子的周期可能为 【答案】BC 【解析】AB．由于振子在与两处相对平衡位置对称，所以振子在与两处的加速度大小相等，方向相反；根据对称性可知，振子在与两处的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反，故A错误，B正确； CD．若振幅为，则时有 可得 可知从平衡位置到位置的最短时间为，根据对称性和周期性可知，从位置到位置所用时间满足 （，，） 或 （，，） 或 （，，） 可得 （，，） 或 （，，） 或 （，，） 当时，可得 或或 当时，可得 或或 故C正确，D错误。 故选BC。 【变式3-3】（多选）（24-25高三上·北京朝阳·月考）如图所示，轻弹簧上端固定，下端与一质量为m的小球相连。开始时用手托住小球使弹簧恰好为原长，此时小球处于A位置。释放小球使其由静止开始竖直下落，小球经过B点时速度达到最大值，小球能够到达的最低点为C点，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。已知AB间距离为h1，BC间距离为h2，重力加速度为g（不计空气阻力），则下列说法正确的是 （　　） A．弹簧的劲度系数为 B．小球在位置B时的动能等于 mgh1 C．弹性势能的最大值为mg(h1+h2) D．从A到C过程中小球的机械能一直减小 【答案】ACD 【解析】A．小球经过B点时速度达到最大值，可知在B点时受力平衡，则有 小球做简谐运动，位移大小关于平衡位置对称，即，弹簧的劲度系数为 故A正确； B．小球下降到B位置时，重力势能减小量为mgh1，且减小的重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能，则在位置B时的动能小于mgh1，故B错误； C．在最高点A时小球的重力势能转化为在最低点C时的弹性势能，可知弹性势能的最大值为mg(h1+h2)，故C正确； D．从A到C过程中，小球的机械能和弹簧的弹性势能之和保持不变，由于弹簧的弹性势能一直变大，则小球的机械能一直减小，故D正确。 故选ACD。 知识点2：简谐运动的函数表达式 一、相位、相位差 （1）相位：相位是用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态的物理量。是一个随时间变化的量，它的值相当于角度，其单位是弧度（或度）。 （2）相位差（） ①它是指两个相位的差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异。 ②两个同频率简谐运动的相位差：。 可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。 ①同相：相位差为零，。 ②反相：相位差为π，。 二、简谐运动的函数表达式 （1）表达式： ，也可以写成或。 （2）表达式中各物理量的意义 物理量 符号 单位 物理含义 位移 x m 振动质点相对于平衡位置的位移 振幅 A m 振动质点偏离平衡位置的最大距离 圆频率 ω rad/s 质点振动的快慢， 时间 t s 振动的时间 初相 rad t =0时的相位 【题型4 简谐运动表达式的应用】 【例4】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为，下列说法正确的是（　　） A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同 B．简谐运动的周期为2s C．第3s末振子的位移为 D．时，振子的加速度方向发生变化 【答案】D 【解析】AC．弹簧振子在第1s末与第3s末的位移分别为 弹簧振子在第1s末与第3s末相对平衡位置的位移不相同，弹簧振子不在同一位置，弹簧的长度不相同，AC错误； B．根据题意得 解得 B错误； D．时，弹簧振子的位移为 时，振子的位移等于零，表明振子在平衡位置处，加速度方向发生变化，D正确。 故选D。 【变式4-1】（多选）（23-24高二下·河南南阳·月考）如下图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动，以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为。时刻，一小球从距物块h高处自由落下；时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小。以下判断正确的是（　　） A． B．简谐运动的周期是 C．内物块运动的路程是 D．时，物块与小球运动方向相同 【答案】ABD 【解析】A．时，物块的位移为 则对小球 解得 故A正确； B．简谐运动的周期是 故B正确； C．内物块经历，运动的路程是 故C错误； D．当 此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，故D正确。 故选ABD。 【变式4-2】（23-24高二下·云南昆明·月考）如图所示，在光滑水平桌面上有一轻质橡皮筋，橡皮筋一端固定在O点，另一端穿过固定在点的光滑圆环，与一小球相连。小球套在水平放置的光滑固定细杆上，小球内径略大于细杆直径。已知O、、三点共线且垂直于细杆，橡皮筋的原长恰好等于O、之间的距离，橡皮筋的劲度系数为k。现在将小球从点拉至距离点L的P点后由静止释放，经过时间小球第一次经过点，不计空气阻力，橡皮筋始终在弹性限度内。 （1）试说明小球的运动为简谐运动； （2）设沿指向P方向为正，写出小球的振动方程。 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）对小球进行受力分析可知，小球受到的合力沿细杆指向点，设， 则合力大小 其中为偏离的位移大小；并且合力的方向与偏离的位移方向相反，设偏离的位移大小为x，则小球受到的合力满足 故小球的运动为简谐运动 （2）小球初始为正向的最大位移L，所以 又因为小球做简谐运动的周期为，所以 小球的振动方程 【变式4-3】（23-24高二下·四川攀枝花·月考）如图所示，在倾角为θ=30°的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物体A和B，它们的质量均为m=2kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，C为一固定挡板，现让一质量也为m=2kg的物体D在A上方某处由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，此后做简谐运动，运动过程中，物体B对C的最小弹力为Fmin=5N，重力加速度g取10m/s2。求： （1）释放物体D之前弹簧的形变量； （2）D和A做简谐运动的振幅A； （3）若弹簧振子的周期为，其中m0为振子质量，k为弹簧劲度系数。若以平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为位移正方向建立位移坐标轴x： a.以振子在最低点时作为t=0时刻，写出振子的振动方程；（用正弦形式表示） b.从最低点开始计时，振子从最低点第一次运动到位移为处所需时间为多少？（可用π表示） 【答案】（1）0.1m；（2）0.25m；（3）s 【解析】（1）释放D之前，对A物体，由平衡条件 kx1=mgsin30° 解得压缩量 x1=10cm （2）当AD在最高点时，挡板弹力最小，此时弹簧处于伸长状态，设伸长量为x2，则有 Fmin+kx2=mgsin30° 代入数据得伸长量 AD粘在一起后，设运动到平衡位置时形变量为x3，则有 kx3=2mgsin30° 代入数据得 x3=20cm 故简谐运动的振幅 A=x2+x3=25cm （3）简谐振动的周期为 故圆频率 设振动方程为 x=Asin（ωt+φ） 当t=0时，x=25cm，代入方程得 故振动方程为 AD从最低点第一次运动到平衡位置，用时 AD从平衡位置第一次运动到位移为处，用时 则从最低点开始计时，振子从最低点第一次运动到位移为处所需时间 知识点3：简谐运动的振动图像 根据振动图像可获知如下信息：振幅是A，周期为T，初相为，可写出表达式。 【题型5 振动图像的理解和应用】 【例5】（23-24高二下·内蒙古·期中）一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．振子的振幅为10cm B．第1s末振子的动能大于第2s末振子的动能 C．内振子的加速度方向始终相同 D．内振子的速度先增大后减小 【答案】D 【解析】A．由题图可知，弹簧振子的振幅是5cm，故A项错误； B．由题图可知，振子在第1s末处于最大位移处，此时振子的动能为零，在第2s末，振子在平衡位置，此时振子的动能最大，故B项错误； C．在振子的位移为正，在振子的位移为负，由回复力公式可知，振子在这两段时间的回复力方向相反，结合牛顿第二定律可知，其加速度的方向在内振子的加速度方向不是始终相同的，故C项错误； D．由题图可知，在振子从负向最大位移处运动到正向最大位移处，所以在该过程振子的速度先增大后减小，故D项正确。 故选D。 【变式5-1】（多选）（24-25高二上·湖南长沙·月考）P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．P、Q的振幅之比是 B．P、Q的振动周期之比是 C．P、Q在内经过的路程之比是 D．时刻，P、Q的位移大小之比是 【答案】ABC 【解析】A．由振动图像可知P的振幅为，Q的振幅为，则P、Q的振幅之比是，故A正确； B．由振动图像可知P的周期为，Q的周期为，则P、Q的周期之比是，故B正确； C．在内P完成一个周期的振动，则路程为，Q完成两个周期的振动，则路程也为，故路程之比是，故C正确； D．P和Q离开平衡位置的位移方程为 则时刻，P、Q的位移分别为 则P、Q的位移大小之比是，故D错误。 故选ABC。 【变式5-2】（24-25高二上·四川遂宁·开学考试）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑的水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子，振动周期为1.6s，振幅为24cm B．0.5s末和1.1s末，振子的速度相同 C．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相反 D．振子做简谐运动的表达式为 【答案】C 【解析】AD．由题图可知，振子的周期为1.6s，振幅为12cm，则有 设振子做简谐运动的表达式为 解得 故AD错误； B．由图可知，0.5s末振子从平衡位置向最大位移处运动，1.1s末振子从最大位移处向平衡位置运动，所以振子在这两个时刻的速度方向不相同，故B错误； C．由图可知，在时间内弹簧振子从平衡位置移动到最大位移处，该过程中，弹簧振子做减速运动，即振子的速度和加速度方向始终相反，故C正确。 故选C。 【变式5-3】（23-24高二下·四川成都·开学考试）如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿正方向 C．振子的振动方程为 D．振子在前1.5 s内的位移大小为0.2 m 【答案】D 【解析】A．振子从C点经过O点运动到B点为半次全振动，故A错误； B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向，故B错误； C．由图乙可知，振子的振幅为，周期为，则角速度为 规定水平向右为正方向，初相为 则振子的振动方程为 故C错误； D．时刻，振子位于B点，时，振子位于C点，故位移大小为0.2 m，故D正确。 故选D。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 简谐运动的描述【五大题型】 【人教版2019】 目录 知识点1：描述简谐运动的物理量 1 【题型1 简谐运动的振幅、周期、频率】 2 【题型2 简谐运动路程和位移的求解】 4 【题型3 简谐运动的周期性和多解问题】 6 知识点2：简谐运动的函数表达式 7 【题型4 简谐运动表达式的应用】 8 知识点3：简谐运动的振动图像 10 【题型5 振动图像的理解和应用】 11 知识点1：描述简谐运动的物理量 一、振幅 （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅，常用字母A表示。在国际单位制中，振幅的单位是米（m），常用单位还有厘米（cm）。 （2）物理意义：振幅是表示物体振动强弱的物理量，振幅越大，说明物体振动越剧烈。它的大小反映了振动系统能量的大小。 （3）振幅、位移和路程的关系 振幅 位移 路程 定义 振子离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 振子运动轨迹的长度 标、矢量 标量 矢量 标量 联系 ①振幅等于振子最大位移的大小；②振子在一个周期内的位移为零；③振子在一个周期内的路程等于4 倍振幅 二、周期和频率 1、全振动 （1）定义：振动物体经历一个完整的振动过程称为一次全振动。 （2）对做简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断： ①如果物体的位移、速度和加速度都回到原值（大小和方向都相同），即物体完成了一次全振动； ②物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的4倍。 2、周期和频率 （1）周期 ①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，通常用T表示。单位是秒（s）。 ②物理意义：周期是表示物体振动快慢的物理量。周期越大，表示物体振动得越慢；周期越小，表示物体振动得越快。 （2）频率 ①定义：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，用f表示。单位是赫兹，符号是Hz，简称赫。 ②物理意义：频率是表示物体振动快慢的物理量。频率越大，表示物体振动得越快；频率越小，表示物体振动得越慢。 3、周期和频率的关系： 。 4、圆频率（ω） ①圆频率（ω）是表示简谐运动快慢的物理量。 ②圆频率与周期、频率的关系： 。 【题型1 简谐运动的振幅、周期、频率】 【例1】（23-24高二下·河南南阳·期末）如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐振动，O为平衡位置，，若振子从B第一次运动到O的时间是0.5s，则下列说法正确的是（　　） A．振幅是10cm B．振动周期是1s C．经过一次全振动，振子通过的路程是10cm D．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm 【变式1-1】（22-23高二下·河南南阳·期中）劲度系数为k的轻弹簧与质量为m的小球组成弹簧振子，第一次在光滑水平面内用力把弹簧压缩后静止释放让它振动，第二次将弹簧竖直悬挂，将其竖直下拉使弹簧伸长后静止释放让它振动，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则水平和竖直振动的周期之比和振幅之比分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（23-24高二上·江苏·月考）有一个弹簧振子，让其在水平方向上的B、C之间做简谐运动。已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动。求：振子的振幅和周期。 【变式1-3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）如图所示，劲度系数为的弹簧上端固定一质量为的小球，小球在竖直方向上做简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，重力加速度为，求： （1）小球振动到最低点时的加速度的大小和方向； （2）小球做简谐运动的振幅。 【题型2 简谐运动路程和位移的求解】 【例2】（23-24高二上·山东泰安·期中）一质点做简谐运动，振幅为A、周期为T，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处。P为运动轨迹上的一点，P点与O、B、C三点均不重合，从质点经过P点时开始计时，下列说法正确的是（　　） A．经过时，质点的速度与经过P点时的速度相同 B．经过，质点的路程等于 C．经过，质点的路程不可能大于A D．经过时，质点的瞬时速度不可能与经过P点时相等 【变式2-1】（23-24高二上·宁夏银川·月考）质点在水平弹簧作用下做简谐运动，O点为平衡位置，取向右为正方向。质点在水平方向先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1s，质点通过N点后再经过1s第2次通过N点，在这2s内质点通过的总路程为12cm。则下列说法正确的是（　　） A．质点的振动周期为4s，振幅为4cm B．质点在M点和N点时，动能相同，系统弹性势能也相同 C．质点在MO之间时，偏离平衡位置的位移是负值，加速度为负值 D．质点的回复力与位移大小成正比，方向可能相同 【变式2-2】（22-23高二上·河北邯郸·月考）一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．质点的振幅是4cm B．0～10s内质点经过的路程是20cm C．在时质点的速度为0 D．在和两时刻，质点的位移相同 【变式2-3】（23-24高二下·四川内江·期中）一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8cm，频率为0.5Hz，在t=0时位移是，且向x轴负向运动，求： （1）10s内物体运动的路程； （2）100s时物体相对于平衡位置的位移； （3）试写出用正弦函数表示的振动方程。 【题型3 简谐运动的周期性和多解问题】 【例3】（23-24高二上·陕西榆林·月考）一弹簧振子做简谐运动，周期为，下列叙述正确的是（　　） A．若，则时刻和时刻的速度一定相同 B．若，则时刻和时刻弹簧长度一定相等 C．若时刻和时刻的动能相等，则一定等于的整数倍 D．若时刻和时刻的位移大小相等，方向相同，则一定等于的整数倍 【变式3-1】（多选）（23-24高二下·江西南昌·期中）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（　　） A．0.6s B．0.8s C．2.0s D．2.4s 【变式3-2】（多选）（23-24高一下·重庆沙坪坝·期末）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，时振子的位移为，时位移为，则（　　） A．振子在与两处的加速度可能相等 B．振子在与两处的速度可能不同 C．若振幅为，振子的周期可能为 D．若振幅为，振子的周期可能为 【变式3-3】（多选）（24-25高三上·北京朝阳·月考）如图所示，轻弹簧上端固定，下端与一质量为m的小球相连。开始时用手托住小球使弹簧恰好为原长，此时小球处于A位置。释放小球使其由静止开始竖直下落，小球经过B点时速度达到最大值，小球能够到达的最低点为C点，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。已知AB间距离为h1，BC间距离为h2，重力加速度为g（不计空气阻力），则下列说法正确的是 （　　） A．弹簧的劲度系数为 B．小球在位置B时的动能等于 mgh1 C．弹性势能的最大值为mg(h1+h2) D．从A到C过程中小球的机械能一直减小 知识点2：简谐运动的函数表达式 一、相位、相位差 （1）相位：相位是用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态的物理量。是一个随时间变化的量，它的值相当于角度，其单位是弧度（或度）。 （2）相位差（） ①它是指两个相位的差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异。 ②两个同频率简谐运动的相位差：。 可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。 ①同相：相位差为零，。 ②反相：相位差为π，。 二、简谐运动的函数表达式 （1）表达式： ，也可以写成或。 （2）表达式中各物理量的意义 物理量 符号 单位 物理含义 位移 x m 振动质点相对于平衡位置的位移 振幅 A m 振动质点偏离平衡位置的最大距离 圆频率 ω rad/s 质点振动的快慢， 时间 t s 振动的时间 初相 rad t =0时的相位 【题型4 简谐运动表达式的应用】 【例4】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为，下列说法正确的是（　　） A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同 B．简谐运动的周期为2s C．第3s末振子的位移为 D．时，振子的加速度方向发生变化 【变式4-1】（多选）（23-24高二下·河南南阳·月考）如下图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动，以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为。时刻，一小球从距物块h高处自由落下；时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小。以下判断正确的是（　　） A． B．简谐运动的周期是 C．内物块运动的路程是 D．时，物块与小球运动方向相同 【变式4-2】（23-24高二下·云南昆明·月考）如图所示，在光滑水平桌面上有一轻质橡皮筋，橡皮筋一端固定在O点，另一端穿过固定在点的光滑圆环，与一小球相连。小球套在水平放置的光滑固定细杆上，小球内径略大于细杆直径。已知O、、三点共线且垂直于细杆，橡皮筋的原长恰好等于O、之间的距离，橡皮筋的劲度系数为k。现在将小球从点拉至距离点L的P点后由静止释放，经过时间小球第一次经过点，不计空气阻力，橡皮筋始终在弹性限度内。 （1）试说明小球的运动为简谐运动； （2）设沿指向P方向为正，写出小球的振动方程。 【变式4-3】（23-24高二下·四川攀枝花·月考）如图所示，在倾角为θ=30°的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物体A和B，它们的质量均为m=2kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，C为一固定挡板，现让一质量也为m=2kg的物体D在A上方某处由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，此后做简谐运动，运动过程中，物体B对C的最小弹力为Fmin=5N，重力加速度g取10m/s2。求： （1）释放物体D之前弹簧的形变量； （2）D和A做简谐运动的振幅A； （3）若弹簧振子的周期为，其中m0为振子质量，k为弹簧劲度系数。若以平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为位移正方向建立位移坐标轴x： a.以振子在最低点时作为t=0时刻，写出振子的振动方程；（用正弦形式表示） b.从最低点开始计时，振子从最低点第一次运动到位移为处所需时间为多少？（可用π表示） 知识点3：简谐运动的振动图像 根据振动图像可获知如下信息：振幅是A，周期为T，初相为，可写出表达式。 【题型5 振动图像的理解和应用】 【例5】（23-24高二下·内蒙古·期中）一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．振子的振幅为10cm B．第1s末振子的动能大于第2s末振子的动能 C．内振子的加速度方向始终相同 D．内振子的速度先增大后减小 【变式5-1】（多选）（24-25高二上·湖南长沙·月考）P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．P、Q的振幅之比是 B．P、Q的振动周期之比是 C．P、Q在内经过的路程之比是 D．时刻，P、Q的位移大小之比是 【变式5-2】（24-25高二上·四川遂宁·开学考试）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑的水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子，振动周期为1.6s，振幅为24cm B．0.5s末和1.1s末，振子的速度相同 C．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相反 D．振子做简谐运动的表达式为 【变式5-3】（23-24高二下·四川成都·开学考试）如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿正方向 C．振子的振动方程为 D．振子在前1.5 s内的位移大小为0.2 m 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$