第十五章 分式（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第十五章 分式（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列各式，，，，，，，中，分式共有（      ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式，，，，，，，中，是分式的有，，，，，， 一共有6个分式， 故选：B． 2．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 3．如果分式的值为零，那么x的值等于（   ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：根据题意得：且． 解得：， 故选：C． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查条件分式的求值，解题的关键是根据，得，再整体代入变形后的分式进行计算即可； 【详解】解∶ 由 ，得 ，    ∴ ， ∴； 故选：A． 5．下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵， ∴不论a为何值时，都有意义，故①正确； ②∵当时，， 此时分式无意义， ∴②错误； ③∵的值为负，， ∴， ∴，故③正确； ④∵有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且，故④正确． 故选：B 6．下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的基本性质（把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为解答即可． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选：A． 7．把分式的x，y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（　　） A．为原分式值的 B．为原分式值的 C．为原分式值的10倍 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键． 将所给分式里的x、y换成、，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解． 【详解】解析：x、y均扩大为原来的10倍后， ∴ 故选：A． 8．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 9．下列变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，异分母的加减法，逐项判断即可；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变 【详解】A.当时， ，选项A不正确，不符合题意； B. 选项B不正确，不符合题意； C. ，选项C正确，符合题意； D. 选项D不正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，，异分母的加减法，掌握分式的基本性质是解题的关键． 10．下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．根据分式的乘除运算法则计算，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 11．设，，，有以下2个结论：①当时，；②当时，．下列判断正确的是（    ） A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【分析】本题考查分式的减法运算，计算出的值，进行分类讨论即可． 【详解】解：， 当时，， ∴， ∴， 当时，，， 当时，，则：， ∴， 当时，，则：， ∴， 故①错②对； 故选A． 12．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式、单项式的乘法法则、合并同类项、积的乘方等知识点解答． 【详解】解：A．；故本选项不符合题意； B．；故本选项不符合题意； C．、不是同类项，不能合并；故本选项不符合题意； D．；故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题综合考查了完全平方公式、合并同类项、单项式的乘法、积的乘方．解题时，需熟记整式混合运算的运算法则． 13．下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程的解为； ③方程的最简公分母是； ④是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据增根的定义，解分式方程，最简公分母，分式方程的定义，逐一进行判断即可得出结论． 【详解】解：解分式方程不一定会产生增根；故①错误； 当时，，∴不是方程的解；故②错误； 方程的最简公分母是；故③错误； 是分式方程，故④正确． 综上，正确的只有1个； 故选A． 【点睛】本题考查分式方程的概念，最简公分母，增根的定义．熟练掌握相关定义，是解题的关键． 14．2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得 ． 故选：A 15．下列结论中： ①定义运算“⊕”，规定，则； ②若把分式中的和都扩大到原来的3倍，则这个分式的值也扩大到原来的3倍； ③若，则可能； ④若，，则． 其中答案正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的乘方，零指数幂．根据有理数的混合运算的法则，分式的基本性质，零指数幂，幂的乘方的法则对各结论进行分析即可． 【详解】解：①2⊕，故①结论正确； ②若把分式中的和都扩大到原来的3倍，则这个分式的值不变，故②结论错误； ③， ，，或， 解得：，，或， 故③结论正确； ④，， ，， ，故④结论正确． 综上所述，正确的有①③④． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．若分式有意义，则应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】题目主要考查分式的化简求值，先进行化简，然后约分，利用取值范围即可得出结果，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：． 18．已知，，代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则进行化简，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ． 故答案是：． 19．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】4 【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，先解不等式组，解得取的整数，再解分式方程，根据分式方程的解，确定的取值范围，最后综合两个的取值范围，即可解题． 【详解】解： 整理得， 不等式组有且仅有4个整数解， ，整理得， 又， ， ， 整理得， 关于的分式方程有非负整数解， 有，解得，即，故， ，整理得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（6分）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 21．（6分）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是增根，分式方程无解． 22．（7分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，整式的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算单项式乘以多项式，再计算加减运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（7分）先化简，再从，1，2 中选一个合适的数代入求值． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先分解因式后约分，根据同分母分式的加减法的法则化简，再利用分式有意义的条件确定的值，最后代入计算． 【详解】解： 若分式有意义，则， ∴． 当时，原式 ． 24．（8分）随着科技与经济的发展，机器人自动化的市场越来越大，并且成为自动化生产线的主要方式，某化工厂要在规定的时间内搬运1800千克化工原料，现有A、B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】A型机器人每小时搬运90千克，型机器人每小时搬运60千克． 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据题意列出分式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验：为分式方程的解， 则， 型机器人每小时搬运90千克，型机器人每小时搬运60千克． 25．（8分）杨老师在讲分式的化简求值时，设计了一款接力游戏，要求同学之间用合作的方式完成分式的化简求值，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力游戏中，出现错误的同学是（   ） A．甲和丙    B．甲和丁    C． 乙和丙    D．乙和丁 (2)请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)D (2)见解析 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则． （1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． （2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 则接力游戏中，出现错误的同学是乙和丁， 故选：D； （2）原式＝ ＝ ＝， ， ∴ 当时，原式＝； 或当时，原式＝． 26．（8分）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或4或8 【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得，再解即可； （2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得，且，再解即可； （3）分式值为整数，将分式变形为，再根据数的整除求解． 【详解】（1）解：∵分式无意义， ∴， 解得：或； （2）∵分式值为0， ∴， 解得：； （3） ∵分式的值为整数， ∴或5或或， 解得：或8或2或， ∵且， ∴整数x的值为或4或8． 【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． 27．（12分）观察下列等式： ，①，② ，③，④，⑤…… （1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边； （2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空：________； （3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1 【答案】（1），；（2）；（3）2，6，12，20，30，42，56，8 【分析】（1）规律为分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差，其结果为连续的两个自然数的倒数的差，根据规律写出算式即可； （2）根据（1）中的结论计算即可； （3）根据题意设计倒数和为1的8个数即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）∵ ∴ ∴ ∴这8个数为2，6，12，20，30，42，56，8． 【点睛】本题考查了规律探索问题，有理数的加减混合运算，分式的计算，找到规律是解题的关键． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列各式，，，，，，，中，分式共有（      ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 3．如果分式的值为零，那么x的值等于（   ） A． B．1 C．3 D．或3 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 6．下列各式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 7．把分式的x，y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（　　） A．为原分式值的 B．为原分式值的 C．为原分式值的10倍 D．不变 8．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 10．下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 11．设，，，有以下2个结论：①当时，；②当时，．下列判断正确的是（    ） A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对 12．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 13．下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程的解为； ③方程的最简公分母是； ④是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（    ） A． B． C． D． 15．下列结论中： ①定义运算“⊕”，规定，则； ②若把分式中的和都扩大到原来的3倍，则这个分式的值也扩大到原来的3倍； ③若，则可能； ④若，，则． 其中答案正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．若分式有意义，则应满足 ． 17．已知，则 ． 18．已知，，代数式的值为 ． 19．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（6分）计算：． 21．（6分）解方程：． 22．（7分）计算： (1)； (2)． 23．（7分）先化简，再从，1，2 中选一个合适的数代入求值． 24．（8分）随着科技与经济的发展，机器人自动化的市场越来越大，并且成为自动化生产线的主要方式，某化工厂要在规定的时间内搬运1800千克化工原料，现有A、B两种机器人可供选择，已知A型机器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料． 25．（8分）杨老师在讲分式的化简求值时，设计了一款接力游戏，要求同学之间用合作的方式完成分式的化简求值，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力游戏中，出现错误的同学是（   ） A．甲和丙    B．甲和丁    C． 乙和丙    D．乙和丁 (2)请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，”中选择一个合适的数代入求值． 26．（8分）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 27．（12分）观察下列等式： ，①，② ，③，④，⑤…… （1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边； （2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空：________； （3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$