13.2 三角形全等的判定（10个知识点+9类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

13.2三角形全等的判定 课程标准 学习目标 ①经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等； ②使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. ③通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等； 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. 知识点01 全等三角形 1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如果两个三角形全等,它们的形状相同,大小相等. 2、“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”. △ABC≌△FDE 3、全等形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 3、几何语言:因为△ABC≌△FDE, 所以AB=FD,AC=FE,BC=DE(全等三角形对应边相等). ∠A=∠F,∠B=∠D,∠C=∠E(全等三角形对应角相等). 【即学即练1】 （24-25八年级上·全国·课后作业）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是_________．（填序号）    知识点02 全等三角形的判定条件 1、如果两个三角形只有一组对应相等的元素,那么这两个三角形不一定全等. 2、如果两个三角形只有两组对应相等的元素,那么这两个三角形不一定全等. 3、三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 知识点03 全等三角形判定——“边角边” 定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝，∠A＝∠，AC ＝，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【即学即练2】 （21-22八年级上·江西宜春·阶段练习）如图：在△ABC中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 知识点04 全等三角形判定——“角边角” 定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【即学即练3】 （24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在△ABC中，，点在边上（点不与点、点重合），作，交边于点．    (1)求证：； (2)若，求证：； 知识点05 全等三角形判定——“角角边” 定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 【即学即练4】 （23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点在线段上，，，．求证：． 知识点06 全等三角形判定——“边边边” 定理：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【即学即练5】 （22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 知识点07 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【即学即练6】 （24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 知识点08 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 4、灵活运用全等判定定理  （1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 （2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 （3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA）；②任一组等角的对边相等(AAS)  已知条件中有两边对应相等，可找 ： ①夹角相等(SAS) ；②第三组边也相等(SSS)  已知条件中有一边一角对应相等，可找 ： ①任一组角相等(AAS或ASA) ；②夹等角的另一组边相等(SAS) 【即学即练7】 （23-24七年级下·广东茂名·单元测试）如图，给出下列四组条件： ①，，；②，，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 知识点09 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【即学即练8】 （24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 知识点10 全等三角形的综合问题 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【即学即练9】 （24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将两个三角形纸板△ABC和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 题型01 全等三角形的概念 【典例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如果△ABC和关于点成中心对称，那么△ABC和的关系是__________． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有________． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 题型02 全等三角形判定——“边角边” 【典例1】（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，、两点分别在线段和的垂线上移动（、不与点、重合），线段，则当_________时，△ABC和全等． 【变式2】（2023九年级·四川宜宾·专题练习）已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 【变式3】（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）如图所示，在△ABC中，，D，E是，的中点，求证：． 题型03 全等三角形判定——“角边角” 【典例1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ，，点D在边上，．求证： 【变式1】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）已知，△ABC，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带______块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 【变式3】（2024·江西南昌·模拟预测）如图，，，，A，E，C，F四点共线，求证：． 题型04 全等三角形判定——“角角边” 【典例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【变式1】（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，在△ABC中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则_______． 【变式2】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，已知 是△ABC的中线， 交 的延长线于点 E ，于点F．求证：． 【变式3】（2024·广东·模拟预测）如图，在四边形中，，是的平分线．求证：． 题型05 全等三角形判定——“边边边” 【典例1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，，，．与交于点G． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【变式1】（22-23八年级上·天津宁河·期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出△ABE ≌△ACD还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 【变式2】（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为________ 【变式3】（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，点B，C，E在一条直线上，在△ABC和中，C是的中点，，．求证：． 题型06 判定全等三角形（直角边、斜边） 【典例1】（23-24八年级上·四川达州·期末）图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 【变式1】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当_______时，以点，，为顶点的三角形与△ABC全等． 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接，．求证：． 题型07 全等三角形判定方法的灵活运用 【典例1】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在下列各组的条件中，不能判定△ABC和全等的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（20-21八年级上·重庆綦江·期末）如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 【变式3】（22-23八年级上·山西·阶段练习）如图和中，，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：；；．    (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③） (2)选取（1）中一个正确的命题进行证明． 题型08 全等三角形的性质 【典例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)若，则______°； (2)若△ABC的周长为20，，则的长为______； (3)若△ABC的面积为6，则的面积为______． 【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点E在上，与交于点F，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，． (1)求证：； (2)求的长度． 【变式3】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，，，． (1)求的周长． (2)求四边形的面积． 题型09 全等三角形的综合问题 【典例1】（21-22八年级上·黑龙江绥化·期末）在△ABC中，，，直线经过点 C ，且 于 D ，于 E ． (1)当直线绕点 C 旋转到图（1）的位置时，求证： ①：②： (2)当直线绕点 C 旋转到图（2）的位置时，求证： ； (3)当直线绕点 C 旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知在△ABC、△ADE中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：． (2)除了已知条件中所给的两个直角外，你还能找出图中的另一个直角吗？请写出该角是______，并说明理由． 【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)说明． (2)说明． (3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 【变式3】（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明,可得出结论,则他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 1．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，是一个任意角，在边，上分别取移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，做法用得到三角形全等的判定定方法是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·河南漯河·期中）如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（    ） A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去 4．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等 5．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，．若，的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（11-12七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 9．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△ABC中，，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，中，， △ABC的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABC中，D为的中点.，，则的取值范围为_____________. 12．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，过点作如果点分别在上运动，并且始终保持，那么当_______时，△ABC与全等． 13．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）在四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_______时，能够使与△CQP全等． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________（填序号）． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形中，、分别平分和，且，，，则________． 16．（22-23八年级上·重庆綦江·期中）在中，，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则的长______． 17．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 19．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 20．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证： (1)． (2)． 21．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，，，，，，垂足分别是，，那么，吗？请说明理由． 22．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，E、F是上两点，且，，求证： (1)． (2)． 23．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 25．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 26．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． ( 32 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2三角形全等的判定 课程标准 学习目标 ①经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等； ②使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. ③通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. 1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“边边边”“边角边”和“角边角”“角角边”和“斜边、直角边”条件判定两个三角形全等； 2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法. 3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力. 知识点01 全等三角形 1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如果两个三角形全等,它们的形状相同,大小相等. 2、“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”. △ABC≌△FDE 3、全等形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 3、几何语言:因为△ABC≌△FDE, 所以AB=FD,AC=FE,BC=DE(全等三角形对应边相等). ∠A=∠F,∠B=∠D,∠C=∠E(全等三角形对应角相等). 【即学即练1】 （24-25八年级上·全国·课后作业）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是_________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 知识点02 全等三角形的判定条件 1、如果两个三角形只有一组对应相等的元素,那么这两个三角形不一定全等. 2、如果两个三角形只有两组对应相等的元素,那么这两个三角形不一定全等. 3、三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 知识点03 全等三角形判定——“边角边” 定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝，∠A＝∠，AC ＝，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【即学即练2】 （21-22八年级上·江西宜春·阶段练习）如图：在△ABC中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【答案】猜想：，，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．①利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出，②利用全等得出，再利用三角形的外角和定理得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】解：猜想：，，证明如下： 证明：①， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴(全等三角形的对应边相等)； ②， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：，． 知识点04 全等三角形判定——“角边角” 定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 【即学即练3】 （24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在△ABC中，，点在边上（点不与点、点重合），作，交边于点．    (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理“”即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． （2）证明：由（1）知：， 在和中， ， ∴． 知识点05 全等三角形判定——“角角边” 定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 【即学即练4】 （23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，根据平行线的性质可得，再利用即可证明，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在△ABC和中， ， ∴． 知识点06 全等三角形判定——“边边边” 定理：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【即学即练5】 （22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在△ABC和中， ， ∴； （2）解：如图： ， ∵， ∴， ∴． 知识点07 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【即学即练6】 （24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)0.8 【分析】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）根据条件可以得出，进而得出； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ，， ，， ∴， ∴． 知识点08 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 4、灵活运用全等判定定理  （1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 （2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 （3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA）；②任一组等角的对边相等(AAS)  已知条件中有两边对应相等，可找 ： ①夹角相等(SAS) ；②第三组边也相等(SSS)  已知条件中有一边一角对应相等，可找 ： ①任一组角相等(AAS或ASA) ；②夹等角的另一组边相等(SAS) 【即学即练7】 （23-24七年级下·广东茂名·单元测试）如图，给出下列四组条件： ①，，；②，，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定是解题关键． 根据全等三角形判定的条件，可得答案． 【详解】解：①，，；可利用判定全等； ②， ，，可利用判定全等； ③，，，可利用判定全等； ④，，，属于，不能判定全等； ∴能判定的条件有3组， 故选C． 知识点09 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【即学即练8】 （24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； (2)若，求与的周长之和． 【答案】(1)；(2)31 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、、、，根据三角形的周长公式计算即可． 本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 【详解】（1）解：，， ． ∵， ， ， 即， ． （2）解：∵， ，， ∴与的周长之和， ． 知识点10 全等三角形的综合问题 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【即学即练9】 （24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将两个三角形纸板△ABC和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用“角角边”证明即可； （2）由得到，然后利用“边边边”证明，得到即可求解． 【详解】（1）证明：， 即， 在△ABC和中 ， ． （2）解：， ，， 在和△ABC中 ， ， ， ， ， ． 题型01 全等三角形的概念 【典例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③，故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如果△ABC和关于点成中心对称，那么△ABC和的关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称的性质，直接利用中心对称的性质可得答案． 【详解】解：∵△ABC和关于点成中心对称， ∴；故答案为： 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有________． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1)；(2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 题型02 全等三角形判定——“边角边” 【典例1】（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在△ABC和△ADE中， ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，、两点分别在线段和的垂线上移动（、不与点、重合），线段，则当_________时，△ABC和全等． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：，， ∴ ∵、不与点、重合， ∴△ABC和全等只能， ∴ 故答案为： 【变式2】（2023九年级·四川宜宾·专题练习）已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在△ABC和中， ， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）如图所示，在△ABC中，，D，E是，的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先利用中点定义可得出，然后利用证明即可． 【详解】证明∶∵D，E是，的中点， ∴，， 又， ∴， 在和中， ， ∴． 题型03 全等三角形判定——“角边角” 【典例1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图， ，，点D在边上，．求证： 【答案】见解析 【分析】先证明，则可得，然后根据即可证明． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵和相交于点O， ∴． 在和中， ， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）已知，△ABC，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定与性质，逐一判断即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，和不一定相等， 和不一定全等， 故A不符合题意； B、，， ， ，， ，， ， ， 故B符合题意； C、和不一定全等， 和不一定相等， 故C不符合题意； D、，， ， ，， ，， 和不一定相等， 和不一定全等， 和不一定相等， 故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带______块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 【答案】② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，灵活运用常见的全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据图形信息结合三角形全等的判定方法即可解答． 【详解】解：第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带②去． 故答案为：②． 【变式3】（2024·江西南昌·模拟预测）如图，，，，A，E，C，F四点共线，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求证即可． 【详解】， ， 即， 在△ABC和中， ， ∴． 题型04 全等三角形判定——“角角边” 【典例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析；(2)3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，所以，再求解即可． 【详解】（1）， ， 在△ABC与中， ， ． （2）由（1）得， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）如图，在△ABC中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，已知 是△ABC的中线， 交 的延长线于点 E ，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据中线得BM=CM，根据垂直得，即可利用证明，则有结论成立． 【详解】证明：∵是△ABC的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ． 【变式3】（2024·广东·模拟预测）如图，在四边形中，，是的平分线．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．首先由角平分线的概念得到，然后由角角边即可证得． 【详解】证明：∵是的平分线， ， 在和中， ， ． 题型05 全等三角形判定——“边边边” 【典例1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，，，．与交于点G． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在△ABC和中，， ∴； （2）解：如图，由（1）知，， ∴，， ∴． 【变式1】（22-23八年级上·天津宁河·期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出△ABE ≌△ACD还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】根据已知条件，，要利用“”推理得△ABE ≌△ACD，只需再得到一组边相等即可，再结合选项中所给的条件，运用线段之间的关系进一步分析即可得出答案． 【详解】解：当时，△ABE ≌△ACD， 理由：∵， 又，， ∴△ABE ≌△ACD（）；故选：B． 【变式2】（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为________ 【答案】41° 【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵AB = CD， ∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD， 在△ACE和△DBF中， ， ∴在△ACE≌△DBF(SSS)， ∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°， ∴∠DBF=180°-55°-84°=41°，故答案为：41°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，点B，C，E在一条直线上，在△ABC和中，C是的中点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由线段中点的定义得到，再利用即可证明． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， 在△ABC和中， ∴． 题型06 判定全等三角形（直角边、斜边） 【典例1】（23-24八年级上·四川达州·期末）图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 【答案】(1)见解析；(2)，见解析；(3)是等边三角形 【分析】（1）由，，，，即可证明， （2）由，即可证明， （3）根据题意由余角的性质可得，即可得到是等边三角形． 本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， （2）解：∵， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴∠D=60°=∠BAG， ∴∠D==∠DAO= 60°，， ∴是等边三角形． 【变式1】（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当_______时，以点，，为顶点的三角形与△ABC全等． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，分两种情况：①当时；②当时；由证明即可得出结果，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 分两种情况：①当时， 在和中， ， ∴； ②当时， 在和中， ， ∴； 综上，当点运动到或时，△ABC与全等， 故答案为：或． 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在四边形中，，E是上的一点，且，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可 【详解】证明：∵， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， 在和中， ∵， ∴． 题型07 全等三角形判定方法的灵活运用 【典例1】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）在下列各组的条件中，不能判定△ABC和全等的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法：，还有直角三角形的，是解题的关键．利用全等三角形的判定方法逐一进行判断． 【详解】解：如图， A、由，，，利用即可证明和全等； B、由，，，利用即可证明和全等； C、由，，，利用即可证明和全等； D、由，，无法证明△ABC和全等， 故选：D． 【变式2】（20-21八年级上·重庆綦江·期末）如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】（1）直接用即可证明； （2）由，可得出，由， 可得出，由即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在△ABC和中 ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键． 【变式3】（22-23八年级上·山西·阶段练习）如图和中，，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：；；．    (1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③） (2)选取（1）中一个正确的命题进行证明． 【答案】(1)正确的命题：如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；(2)见详解 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法来判断即可作答； （2）根据全等三角形的判定与性质，即可证明． 【详解】（1）正确的命题：如果①，③，那么②；如果②，③，那么①， （2）如果①，③，那么②， 证明如下：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即． 如果②，③，那么①，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的常用的判定方法有，，，、等． 题型08 全等三角形的性质 【典例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)若，则______°； (2)若△ABC的周长为20，，则的长为______； (3)若△ABC的面积为6，则的面积为______． 【答案】(1)50；(2)7；(3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为全等三角形的对应角相等，所以，再结合，即可作答． （2）因为全等三角形的对应边相等，所以，即可作答． （3）因为全等三角形的面积相等，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：∵△ABC的周长为20，， ∴ ∵ ∴ （3）解：∵ ∴ 【变式1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点E在上，与交于点F，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)3；(2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据全等三角形对应边相等可得，则； （2）根据 全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1)证明过程见详解；(2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形性质得出，推出，求出即可； （2）由，得出，求出即可． 【详解】（1）证明∶， ， ， ； （2）解：， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，，，． (1)求的周长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解本题的关键． （1） 利用全等三角形的性质可得答案； （2）利用全等三角形的性质证明，利用计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， 的周长． （2）解：， ，，． ， ． ． ． 题型09 全等三角形的综合问题 【典例1】（21-22八年级上·黑龙江绥化·期末）在△ABC中，，，直线经过点 C ，且 于 D ，于 E ． (1)当直线绕点 C 旋转到图（1）的位置时，求证： ①：②： (2)当直线绕点 C 旋转到图（2）的位置时，求证： ； (3)当直线绕点 C 旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)见解析；(3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题； ②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）证明①在△ABC中，， ， 于 D ，于 E， ， ， ， ， ； ②， ，， ； （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ； （3）解：， 理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知在△ABC、△ADE中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：． (2)除了已知条件中所给的两个直角外，你还能找出图中的另一个直角吗？请写出该角是______，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等问题要注意找条件，有些条件需在图形中仔细观察，认真推敲方可，做题时，有时需要先猜后证． （1）要证，现有，，需它们的夹角，而由，即可得证； （2）从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力，要证，需证，需证即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵， ∴． （2）解：结论： 理由如下：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式2】（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)说明． (2)说明． (3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，即可得证； （3）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明，得出，，即可得解． 【详解】（1）证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴； （3）证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明,可得出结论,则他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）上述结论仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 1．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，是一个任意角，在边，上分别取移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，做法用得到三角形全等的判定定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．根据作图过程可得，，再利用可判定． 【详解】解：根据题意可知，在和中 故选：B． 3．（22-23八年级上·河南漯河·期中）如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（    ） A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形，第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则根据全等三角形的判定，利用“”来配一块一样的玻璃． 【详解】解：③中含原三角形的两角及夹边，根据“”，能够唯一确定三角形．其它两个不行． 故选：A． 4．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，全等三角形的判定．根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的判定定理，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A不符合题意； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B不符合题意； 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故选项C符合题意； 如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积也可能相等，故选项D不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，．若，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形的性质，由全等三角形的性质可得，即可得，得到，再根据直角三角形的的性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（11-12七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 7．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将△ABC绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 8．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可． 【详解】解：A、如图和的斜边都是，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； B、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D、，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△ABC中，，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，根据题意可得，得到，根据平角的性质可得，即，根据三角形的内角和，，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：A ． 10．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，中，， △ABC的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的定义和全等三角形的性质判断④即可． 【详解】解：在△ABC中，， ∴， 又∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∴，故④正确； 在△APH和中， ∵， ，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； 故选：A． 11．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABC中，D为的中点.，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．延长至E，使得，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】延长至E，使得，连接，如图， ∵点D是BC的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，过点作如果点分别在上运动，并且始终保持，那么当_______时，△ABC与全等． 【答案】6或8 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解答本题的关键，应边相等分情况解答即可．根据已知斜边相等，再添加一条直角边相等即可． 【详解】解：∵△ABC与全等，， ∴分两种情况： ①与是对应边时，； ②与是对应边时，； 综上所述：当或8时，△ABC与全等； 故答案为：6或8． 13．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）在四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_______时，能够使与△CQP全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据线段的中点定义可得，再设点的运动时间为秒，则，从而可得，然后根据已知可得分两种情况：当，时；当，时，分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：：∵点为的中点，， ∴， 设点的运动时间为秒，则， ∵， ∴， ∵， ∴①当，时，， 此时， 解得：， ∴， 此时点的运动速度为：； ②当，时，， 此时， 解得：， 此时点的运动速度为：； 综上所述：当点的运动速度为或时，能够使与全等． 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可判断③；证明得出，，即可判断①②，根据即可判断④，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴，故③正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，故②正确， ∴，故①正确； ，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形中，、分别平分和，且，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，根据平行线性质得出求出，，求出，根据三角形内角和定理求出，得到，延长、交于，求出，再证明，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ， ， ∴， ∴， 延长、交于，如图： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·重庆綦江·期中）在中，，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则的长______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据可证明△ADE≌△BDF，得出，则可求出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵为的中点， ∴， 在△ADE和△BDF中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解；(2) 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． 根据，通过角的计算即可得出，结合、即可证出，进而即可得出．再根据外角的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中 ， ； （2）解：， ， ． 18．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据，可得出，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在△ABC和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 19．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和；(2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应边和对应角的概念即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得：，结合等量代换即可求解 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和； （2）∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键． 20．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论； （2）因为，则，根据，，得出．又因为，则，得出． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，，，，，，垂足分别是，，那么，吗？请说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，首先证明，可得，，然后再证明，进而可得,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【详解】解：， 理由：在和中, ， ， ，． 在和△BDF中， ， ， ． 22．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，E、F是上两点，且，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．先证明，再利用证明即可； （2）本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定；先证明，再利用证明△ADE≌△CBF，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴， 在△ADE和△CBF中， ， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理， （1）根据全等三角形的性质得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出，，，推出即可； 解题的关键是掌握记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 24．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，，即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 25．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程．证明见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ，即， ； 在与中， ， ， ， ， ，故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ，， ，， ， ， ， 在与中， ，， ， ， ， ，即， ． 26．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，，；(2)见解析；(3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴．故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$