专题06 角的平分线的性质【四大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题06 角的平分线的性质【四大题型】 利用角平分线的性质求角度 1．（2023•西城区校级期中）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 2．（2023•海淀区校级期中）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝80°，则∠BOC＝　 　°． 3．（2023•西城区校级期中）如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 　 　． 4．（2023•海淀区校级期中）如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝　 　． 利用角平分线的性质求长度 5．（2023•西城区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 6．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，与BD交于点E，若BC＝5，△BCE的面积为5，则ED的长为（　　） A． B．1 C．2 D．5 7．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为（　　） A． B．1 C．2 D．5 8．（2023•西城区校级期中）如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为　 　cm． 9．（2023•海淀区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC长是　 　． 10．（2023•海淀区校级期中）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　 　． 11．（2023•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝2，若△ABD的面积为5，求AB的长． 12．（2023•西城区校级期中）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长． 利用角平分线的性质求面积 13．（2023•海淀区校级期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于，则△ABD的面积为（　　） A． B．3 C．6 D．12 14．（2023•朝阳区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 15．（2023•丰台区校级期中）如图，Rt△ABC中，，AB＝AC．在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC．若△ABC的面积为8cm2，则△BPC的面积为（　　）cm2． A．6 B．5 C．4 D．3 16．（2023•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD＝5，AB＝6，则△ABD的面积是 　 　． 17．（2023•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，若AB＝3，DE＝2，则△ABD的面积是 　 　． 18．（2023•海淀区校级期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，CD＝8，则△ABD的面积是 　 　． 与角平分线性质相关的多结论问题 19．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有（　　） ①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③AD+DE+AE＝AB+AC；④BF＝CF． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2023•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（　　） ①∠CED＝∠CDE； ②S△AEC：S△AEG＝AC：AG； ③∠ADF＝2∠FDB；④CE＝DF． A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2023•海淀区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论： ①PC平分∠ACF； ②∠ABC+∠APC＝180°； ③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC； ④∠BAC＝2∠BPC． 其中正确的是（　　） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 22．（2023•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 角的平分线的性质【四大题型】 利用角平分线的性质求角度 1．（2023•西城区校级期中）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 解：过点E作EF⊥AD， ∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点， ∴CE＝EB＝EF，又∠B＝90°，且AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴∠EAB＝∠EAF． 又∵∠CED＝35°，∠C＝90°， ∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°， 即∠CDA＝110°，∠DAB＝70°， ∴∠EAB＝35°． 答案：A． 2．（2023•海淀区校级期中）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝80°，则∠BOC＝　130　°． 解：∵点O到△ABC三边距离相等， ∴点O为△ABC的三条角平分线的交点， ∴，， ∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°， 答案：130． 3．（2023•西城区校级期中）如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 　34°　． 解：在AC上截取AE＝AB，连接DE， ∵AC＝AB+BD， ∴EC＝BD， 在△ABD和△AED中， AB＝AE，∠DAC＝∠BAD，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD＝ED， ∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴∠ACB＝∠EDC+∠ECD＝∠AED＝∠ABD∠ABC＝34°． 答案：34°． 4．（2023•海淀区校级期中）如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝　150°　． 解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC， ∴AD是∠BAC的平分线， ∵∠BAC＝40°， ∴∠CAD∠BAC＝20°， ∴∠DGF＝∠CAD+∠ADG＝20°+130°＝150°． 答案：150°． 利用角平分线的性质求长度 5．（2023•西城区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 解：如图，过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2， ∴DE＝DF＝2， ∵S△ABC＝7， ∴S△ADB+S△ADC＝7， ∴AB×DEAC×DF＝7， ∴4×2AC×2＝7， 解得：AC＝3． 答案：A． 6．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，与BD交于点E，若BC＝5，△BCE的面积为5，则ED的长为（　　） A． B．1 C．2 D．5 解：过点E作EF⊥BC于F， ∵△BCE的面积为5， ∴BC×EF＝5，即5×EF＝5， 解得，EF＝2， ∵CE平分∠ACB，ED⊥AC，EF⊥BC， ∴ED＝EF＝2， 答案：C． 7．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为（　　） A． B．1 C．2 D．5 解：作DF⊥BC交BC的延长线于F， ∵BC＝5，△BCD的面积为5， ∴DF＝2， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF＝2， 答案：C． 8．（2023•西城区校级期中）如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为　15　cm． 解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵点D到AB的距离等于5cm， ∴DE＝5cm， ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝5cm， ∵BD＝2CD， ∴BD＝2×5＝10cm， ∴BC＝CD+BD＝5+10＝15cm． 答案：15． 9．（2023•海淀区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC长是　6　． 解：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝2， ∵S△ABC＝10， ∴AB×DEAC×DF＝10，即4×2AC×2＝10， 解得，AC＝6， 答案：6． 10．（2023•海淀区校级期中）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　2　． 解：过P作PE⊥OA于点E， ∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB， ∴PE＝PD， ∵PD＝2， ∴PE＝2， ∴点P到边OA的距离是2． 答案：2． 11．（2023•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝2，若△ABD的面积为5，求AB的长． 解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝2， ∵△ABD的面积为5， ∴AB•DE＝5， ∴AB＝5， ∴AB的长为5． 12．（2023•西城区校级期中）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长． （1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F． ∵CE⊥AD， ∴∠DEC＝∠CFB＝90°， ∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠CBF， 在△CDE与△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE＝CF， ∴AC平分∠DAB； （2）解：由（1）可得BF＝DE＝4， 在Rt△ACE和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AE＝AF＝10， ∴AB＝AF﹣BF＝6． 利用角平分线的性质求面积 13．（2023•海淀区校级期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于，则△ABD的面积为（　　） A． B．3 C．6 D．12 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∵AC＝2，△ACD的面积为， ∴2•DF，解得DF， ∴DE， ∵AB＝4， ∴△ABD的面积4＝3． 答案：B． 14．（2023•朝阳区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 解：过D作DF⊥AB于F， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD＝3， ∴DF＝CD＝3， ∵点E为AB的中点，AB＝12， ∴BE＝6， ∴△DBE的面积BE•DF6×3＝9， 答案：C． 15．（2023•丰台区校级期中）如图，Rt△ABC中，，AB＝AC．在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC．若△ABC的面积为8cm2，则△BPC的面积为（　　）cm2． A．6 B．5 C．4 D．3 解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线， ∴AP＝PD， ∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形， ∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP． ∵S△ABC＝S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC＝S△DBP+S△DCP， ∴． 答案：C． 16．（2023•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD＝5，AB＝6，则△ABD的面积是 　15　． 解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，DE⊥AB，∠BAC的角平分线AD交BC于点D， ∴DE＝CD＝5， ∵AB＝6， ∴， 答案：15． 17．（2023•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，若AB＝3，DE＝2，则△ABD的面积是 　3　． 解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2， ∴DF＝DE＝2， ∵AB＝3， ∴△ABD的面积AB•DF3， 答案：3． 18．（2023•海淀区校级期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，CD＝8，则△ABD的面积是 　48　． 解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示． ∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°， ∴DE＝DC＝8， ∴， 答案：48． 与角平分线性质相关的多结论问题 19．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有（　　） ①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③AD+DE+AE＝AB+AC；④BF＝CF． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①∵∠B、∠C的平分线相交于F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF． ∵DE∥BC， ∴∠BFD＝∠CBF，∠CFE＝∠BCF， ∴∠DBF＝∠BFD，∠CFE＝∠ECF， ∴BD＝FD，CE＝EF． ∴△BDF，△CEF都是等腰三角形．故①正确； ②根据①得DE＝DF+EF＝DB+CE．故②正确； ③根据②得AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC．故③正确； ④AB和AC不一定相等，∴BF和CF不一定相等．故④错误． 答案：C． 20．（2023•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（　　） ①∠CED＝∠CDE； ②S△AEC：S△AEG＝AC：AG； ③∠ADF＝2∠FDB； ④CE＝DF． A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠C＝90°，∠CGA＝90°， ∴∠CDE＝90°﹣∠CAD，∠AEG＝90°﹣∠BAD， ∴∠AEG＝∠CDE， ∴∠CED＝∠CDE，故①正确； 如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝EG， ∴S△AECAC•EHAC•EG， ∵S△AEGAG•EG， ∴S△AEC：S△AEG＝AC：AG，故②正确； 无法证明∠ADF＝2∠FDB； ∵∠CED＝∠CDE， ∴CE＝CD， ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB， ∴CD＝DF， ∴CE＝DF，故④正确， 答案：C． 21．（2023•海淀区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论： ①PC平分∠ACF； ②∠ABC+∠APC＝180°； ③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC； ④∠BAC＝2∠BPC． 其中正确的是（　　） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D， ①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， 故本小题正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 很明显∠MPN≠∠APC， ∴∠ABC+∠APC＝180°错误， 故本小题错误； ③在Rt△APM与Rt△APD中，， ∴Rt△APM≌Rt△APD（HL）， ∴AD＝AM， 同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN， ∴CD＝CN， ∴AM+CN＝AD+CD＝AC， 故本小题正确； ④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN∠ACF＝∠BPC∠ABC， ∴∠BAC＝2∠BPC， 故本小题正确． 综上所述，①③④正确． 答案：B． 22．（2023•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 解：∵BE是AC边的中线， ∴AE＝CE， ∵△ABE的面积，△BCE的面积AB， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确； ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°， ∴∠FAG＝∠ACB， ∵CF是∠ACB的角平分线， ∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB， ∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误； ∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB， ∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB， ∴∠AFG＝∠AGF， ∴AF＝AG，故③正确； 根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误； 即正确的为①③， 答案：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$