专题3.2 双曲线的方程及其几何性质（九个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题3.2 双曲线的方程及其几何性质 一、利用双曲线的定义求轨迹方程 六、求双曲线的离心率 二、双曲线的标准方程问题 七、求双曲线离心率的取值范围 三、利用双曲线的定义解决焦点三角形问题 八、渐近线问题 四、利用双曲线的定义求最值 九、与双曲线有关的其他最值范围问题 五、双曲线的简单几何性质 知识点1 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点2 双曲线的标准方程及其几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 重难点一 利用双曲线的定义求轨迹方程 1．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 . 3．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知点A(0，4)，B(0，－4)，从点C同时出发的两个质点M，N均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，M从C运动到A，N从C运动到B，且M到达A的时间比N到达B的时间晚3秒，则C的轨迹方程为 . 7．已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形： ①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 重难点二 双曲线的标准方程问题 8．对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 9．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 11．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知为双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足（为半虚轴长），则双曲线的标准方程为 . 13．求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程为 ． 14．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 求双曲线的标准方程的常用方法 （1）定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程． （2）用待定系数法求双曲线方程的一般步骤: ①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能； ②设方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为； ③寻关系：根据已知条件列出关于的方程组 ④得方程：解方程组，将代入所设方程 重难点三 利用双曲线的定义解决焦点三角形问题 15．已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 16．已知分别为双曲线的左､右焦点，为的右支上一点，且，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 17．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 18．若是双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 19．点分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的面积为 ． 20．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 21．已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则= . 22．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件的变形使用，二是要特别注意与的关系. 重难点四 利用双曲线的定义求最值 23．已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．7 D．8 24．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 25．设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 26．在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 28．.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为 . 29．已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 30．已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为 . （1）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的同侧，则的最小值是，最大值不存在； （2）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的异侧，则的最小值是，最大值不存在． 重难点五 双曲线的简单几何性质 31．（多选）已知双曲线方程，下列说法中正确的有（    ） A．焦点坐标 B．离心率为 C．焦距为10 D．渐近线方程 32．求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标． 33．我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 34．已知双曲线 与 有共同的渐近线，则它们一定有相等的（    ） A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率 35．（多选）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 36．已知函数的图象是等轴双曲线，将的图象顺时针旋转可得到曲线，则的焦距为（    ） A． B．4 C． D．8 平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质，首先要将双曲线方程化为标准形式或，确定的值，进而求出，再根据双曲线的几何性质得到相应的答案. 重难点六 求双曲线的离心率 37．在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 38．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 39．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 40．在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 41．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于A点，直线AF1交C的另一条渐近线于点B，，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 42．双曲线：的两焦点分别为，，焦距为，为双曲线上一点，且满足，，则双曲线的离心率为 . 43．已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为 ． 44．过双曲线的上焦点，作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的上､下两支分别交于，若，则双曲线的离心率 . 求解双曲线的离心率一般有两种方法 (1)由条件寻找所满足的等式，常用的公式变形为，其中； (2)依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含或的方程，解方程即可，注意依据对所得解进行取舍. 重难点七 求双曲线离心率的取值范围 45．若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 46．已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．已知，分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线右支上存在一点，使，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 49．在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线恰有三条，则双曲线的离心率的取值范围为 . 52．已知双曲线，直线和相互平行，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点，直线和交于点（异于坐标原点）.若直线的斜率为3，直线是坐标原点的斜率，则双曲线的离心率的取值范围为 . 重难点八 渐近线问题 53．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 54．如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 55．已知双曲线的焦点与椭圆的上、下顶点重合，且其中一条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 56．写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 . 57．已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为 . 58．设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程． 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 重难点九 与双曲线有关的其他最值范围问题 59．已知双曲线的左､右顶点分别为是右支上一点，直线与直线的交点分别为，记的外接圆半径分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 60．伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 61．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 62．设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若的面积为8，则C的焦距的最小值为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 63．如图，双曲线的右焦点为，点A在的渐近线上，点A关于轴的对称点为为坐标原点)，记四边形OAFB的面积为，四边形OAFB的外接圆的面积为，则的最大值为 ，此时双曲线的离心率为 . 64．已知双曲线：的一条渐近线与圆O：交于两点，设圆O在两点处的切线与轴分别交于两点、若双曲线的焦距为，则四边形周长的最大值为 ． 一、单选题 1．已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 2．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 3．已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ） A． B． C． D． 5．已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题 7．已知是双曲线的上焦点，点在上，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4 8．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点 9．已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．三角形的周长是12 B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为 C．若，则的位置不唯一 D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是 三、填空题 10．是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的右焦点F到直线的距离为 . 11．设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦距，则 ． 12．如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A，B，岛上安装了信号接收塔，舰艇P沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A，B是曲线的焦点，当P在小岛B正北方向处时，测得距小岛B3海里.当舰艇航行至小岛B西偏南的处时，测得距小岛B1.5海里.在以线段AB中点为圆心，1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P在航行的过程中，会放下巡逻船Q，巡逻船在以PB为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是 . 四、解答题 13．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 14．已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线标准方程， (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 15．已知点，依次为双曲线：的左右焦点，，，. (1)若，以为方向向量的直线经过，求到的距离. (2)在（1）的条件下，双曲线上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 双曲线的方程及其几何性质 一、利用双曲线的定义求轨迹方程 六、求双曲线的离心率 二、双曲线的标准方程问题 七、求双曲线离心率的取值范围 三、利用双曲线的定义解决焦点三角形问题 八、渐近线问题 四、利用双曲线的定义求最值 九、与双曲线有关的其他最值范围问题 五、双曲线的简单几何性质 知识点1 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点2 双曲线的标准方程及其几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 重难点一 利用双曲线的定义求轨迹方程 1．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 2．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 . 【答案】 【详解】因为， 所以轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为， 则，，可得，， 所以轨迹的方程为. 故答案为：. 3．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 4．已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 5．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 6．已知点A(0，4)，B(0，－4)，从点C同时出发的两个质点M，N均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，M从C运动到A，N从C运动到B，且M到达A的时间比N到达B的时间晚3秒，则C的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】如图，设， 则， 所以C的轨迹是以为焦点，且实轴长为的双曲线的下支， 由，得， 所以C的轨迹方程为. 故答案为：.    7．已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】 【详解】易得定点，圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆外切，所以， 所以由双曲线定义知：动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支. 因为，所以. 故动圆圆心的轨迹方程为 双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形： ①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 重难点二 双曲线的标准方程问题 8．对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【答案】B 【详解】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B． 9．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 10．已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 11．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以焦点在y轴上，且． 设双曲线的方程为，所以解得，， 所以双曲线的方程为． 故选：D． 12．已知为双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足（为半虚轴长），则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】依题意， 则由可得， 因为焦点在轴上，因此双曲线的标准方程为. 故答案为： 13．求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的标准方程为（，）， 因为点，在双曲线上， 所以有，解得 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 14．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）在椭圆中，， 所以椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线标准方程为，， 因为双曲线与椭圆有相同焦点， 所以， 点代入双曲线方程，可得， 联立，解得，， 所以双曲线标准方程为． 求双曲线的标准方程的常用方法 （1）定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程． （2）用待定系数法求双曲线方程的一般步骤: ①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能； ②设方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为； ③寻关系：根据已知条件列出关于的方程组 ④得方程：解方程组，将代入所设方程 重难点三 利用双曲线的定义解决焦点三角形问题 15．已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 16．已知分别为双曲线的左､右焦点，为的右支上一点，且，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的半焦距，故的实半轴， 故由双曲线的定义可知， 过作的垂线，垂足为，,则为线段的中点，故， 所以. 故选：A. 17．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【详解】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点， 则由已知得， 则， ， ， 则， 所以. 故选：A. 18．若是双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，点与，与都关于原点O对称，且，因此四边形是矩形，如图， 由双曲线：得：，， 于是， 显然四边形的外接圆半径为，因此， 所以. 故答案为： 19．点分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的面积为 ． 【答案】 【详解】结合题意可得：双曲线的实半轴长，半焦距， 有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为：. 20．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【答案】/0.8 【详解】设的内切圆半径为， 由双曲线的定义得 由题意得， 故， 又双曲线的， 代入上式得：， 故答案为：. 21．已知P是双曲线右支上任意一点，,分别为左、右焦点，设，，则= . 【答案】/0.25 【详解】由可得， 如图：作出的内切圆与三边分别交于, 则， 又， 所以，所以轴， 由内切圆的性质可得，， ,所以, 故答案为： 22．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【答案】(1)10或22 (2) 【详解】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件的变形使用，二是要特别注意与的关系. 重难点四 利用双曲线的定义求最值 23．已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．7 D．8 【答案】A 【详解】 由题设知，，，，圆的半径 由点为双曲线右支上的动点知 ，∴ ∴. 故选：A 24．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】B 【详解】由，所以有， 设圆的圆心为，半径为， 设该双曲线另一个焦点为，所以， 求的最小值转化为求的最小值， 因此当点依次共线时，有最小值， 即， 故选：B 25．设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【详解】因为双曲线方程为，故，则其焦点为， 根据题意，作图如下： 则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； ，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； 则， 故可得， 故的最大值为：. 故选：B. 26．在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设点坐标为，则直线的斜率； 直线的斜率． 由已知有， 化简得点的轨迹方程为． 又，所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以、为顶点的双曲线的左支（除点），因为，设，由双曲线的定义可知，所以，当且仅当、、三点共线时取得最小值，因为，所以，所以，即的最小值为； 故选：A 27．已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如下图所示： 在双曲线中，，，， 圆的圆心为，半径长为， 所以，双曲线的左、右焦点分别为、， 由双曲线的定义可得，， 所以，， 当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 28．.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将直线，变形为，可得，解得：，所以定点为P(4，1). 由双曲线的一条渐近线的方程为，及在双曲线上，可得：解得：， 所以， 所以左、右焦点分别为，. 如图示，要求的最小值，点M需在双曲线的右支上. 由双曲线的定义可得：， 所以， 所以. 所以当三点共线时，即M落在点G处，最小， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】距离的计算方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求最值； （2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 29．已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】    由双曲线方程知：，，，则，， 由双曲线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， 又，. 故答案为：. 30．已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】动点满足，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆, 设双曲线的左焦点为，由题知， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 所以的最大值为， 故答案为： （1）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的同侧，则的最小值是，最大值不存在； （2）若定点与双曲线右焦点在双曲线右支的异侧，则的最小值是，最大值不存在． 重难点五 双曲线的简单几何性质 31．（多选）已知双曲线方程，下列说法中正确的有（    ） A．焦点坐标 B．离心率为 C．焦距为10 D．渐近线方程 【答案】BC 【详解】由双曲线方程，得， 焦点在轴，所以焦点坐标，A选项错误； 所以离心率，B选项正确； 焦距为，C选项正确； .渐近线方程为，D选项错误， 故选：BC 32．求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标． 【答案】实半轴长2，虚半轴长，焦点坐标为，，顶点坐标为， 【详解】把方程化为标准方程， 因此该双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 所以焦点坐标为，，顶点坐标为，． 33．我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 【答案】 【详解】因为，即，解得，所以的虚轴长为， 故答案为：. 34．已知双曲线 与 有共同的渐近线，则它们一定有相等的（    ） A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为 ， 的渐近线方程为， 由题意可得， 又 ，，所以 ， 又推不出，所以推不出 故选：D 35．（多选）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 【答案】CD 【详解】椭圆：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； 双曲线：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； ∵，∴选项A不正确； ∵，∴选项B不正确； ∵，∴选项C正确； ∵，∴选项D正确； 故选：CD 36．已知函数的图象是等轴双曲线，将的图象顺时针旋转可得到曲线，则的焦距为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】函数的图象与对称轴的一个交点就是曲线的顶点， 该点旋转后变为，曲线也是等轴双曲线， 所以的焦距为8， 故选：D 平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质，首先要将双曲线方程化为标准形式或，确定的值，进而求出，再根据双曲线的几何性质得到相应的答案. 重难点六 求双曲线的离心率 37．在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，连接交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 因为，则， 即，整理可得，则， 又因为，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 38．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】设，则，即， 双曲线C的渐近线方程为， 所以， 又，平方后得， 又在中，由可得， 所以， 两式相减，整理得， 所以， 因为， 所以，解得． 故选：C. 39．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，，， 所以， 由双曲线的定义知， 又，则在中，， 在中，， 即，可得. 故选：A 40．在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】    设，则，， ，则，① 则， 所以， ， 所以，② 将①代入②得， ， 因为， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：过两点的直线斜率（或正切值）为，再结合两角差的正切展开式将问题转化为. 41．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于A点，直线AF1交C的另一条渐近线于点B，，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】如图所示，因为，可得点为线段的中点，则， 可得， 因为直线是双曲线的渐近线，由双曲线的对称性可知， 所以， 可得直线的斜率为，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 42．双曲线：的两焦点分别为，，焦距为，为双曲线上一点，且满足，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】由，可得在双曲线的右支上， 因为，，所以， 所以，所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 43．已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】设内切圆半径为，由题意知， 所以， 即，由点为双曲线右支上的一点， 则， 故双曲线的离心率. 故答案为：. 44．过双曲线的上焦点，作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的上､下两支分别交于，若，则双曲线的离心率 . 【答案】 【详解】设双曲线右焦点为，由题，双曲线的一条渐近线方程为即， 过该渐近线作垂线，则由题，， 设，则由题，，， 所以，， 所以在中，①， 在中，②， 在中，③， 由①②得，化简解得， 由①③得，化简解得， 所以， 故双曲线的离心率. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为，，则结合双曲线定义可得、和的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角的余弦值，从而可建立等量关系式依次求出和，进而由离心率公式得解. 求解双曲线的离心率一般有两种方法 (1)由条件寻找所满足的等式，常用的公式变形为，其中； (2)依据条件列出含的齐次方程，利用转化为含或的方程，解方程即可，注意依据对所得解进行取舍. 重难点七 求双曲线离心率的取值范围 45．若直线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：的斜率要小于双曲线渐近线的斜率， 所以. 故选:：D 46．已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线的定义可得， 两式相加可得， 则的周长为，即， 再由，可得，解得， 由. 故选：A 47．如图，在中，，其内切圆与边相切于点，且.延长至点.使得，连接.设以两点为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以两点为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设内切圆与边分别相切于点， 由切线长定理和的对称性，可设. 由，可得. 在中，由余弦定理，. 于是根据椭圆和双曲线的定义，. 接下来确定的取值范围. 设， 在中，， 于是由余弦定理，， 整理得，于是，故， 又因为在内单调递增，可知， 可得，所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值； 2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 48．已知，分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线右支上存在一点，使，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意可得， 代入并整理，得，解得， 所以，即，所以． 因为双曲线上的点到焦点的距离的最小值为， 所以要满足双曲线右支上存在一点，使，则， 即，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为． 故选：B． 49．在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为双曲线的两条渐近线方程为， 又与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧， 由图知，，即，所以离心率， 又，所以，    故选：B. 50．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   设，显然， 则， 所以的离心率．由于， 所以，所以的取值范围是； 故选：A 51．已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线恰有三条，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意知道直线与双曲线两支分别相交，且有两条直线与双曲线同一支相交． 显然满足的直线有1条为x轴，为左右顶点，长度为实轴长，. 当直线过，刚好垂直x轴时，令，可求得.此时直线只有1条. 加上前面的1条，总共2条，不满足题意. 如图， 运用双曲线对称性知道时，刚好有2条，总共3条，满足题意. 即.则.又由于， 则双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 52．已知双曲线，直线和相互平行，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点，直线和交于点（异于坐标原点）.若直线的斜率为3，直线是坐标原点的斜率，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】 由题意，，故， 设的中点的中点， 则，两式相减，得，化简得， 所以，所以①，同理②， 因为，所以三点共线，所以， 将①②代入得，即， 因为，所以，所以， 所以双曲线的离心率为. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到①，同理②，结合三点共线以及离心率公式即可顺利得解. 重难点八 渐近线问题 53．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：； 当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：. 综上所述，双曲线的方程为或. 故选：D 54．如图，已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线：（，），右焦点，渐近线方程为. 将渐近线方程化为一般式为，，    由点到直线距离公式可知，所以， 根据题意，则， 设，由双曲线对称性可知， 而，， 由正切二倍角公式可知， 即，化简可得，即， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：B. 55．已知双曲线的焦点与椭圆的上、下顶点重合，且其中一条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】椭圆的上、下顶点坐标为， 设双曲线的标准方程为，其半焦距为， 由题得双曲线焦点为，即. 因为其中一条渐近线方程为， 所以，即，结合，解得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为:. 56．写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】设所求双曲线的方程为， 因为所求双曲线的焦点在轴上，所以， 则可取， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为：.（答案不唯一） 57．已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为 . 【答案】 【详解】由题意不妨设与双曲线具有相同的渐近线的双曲线E的方程为， 若双曲线E经过点，则，解得， 所以双曲线E的方程为. 故答案为：. 58．设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【答案】 【详解】双曲线的两条渐近线方程为， 设,，,，的中点坐标为,； 所以，， 两式相减得：，化简得：， 由于点,在直线上，则①， 由于， 所以，②， 联立①②得：，，代入，得到， 所以渐近线的方程为． 故答案为：． 根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程． 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 重难点九 与双曲线有关的其他最值范围问题 59．已知双曲线的左､右顶点分别为是右支上一点，直线与直线的交点分别为，记的外接圆半径分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，    设动点，则，即， 设直线的斜率分别为，根据对称性不妨设， 因为，， 则，即， 可知直线方程为：，则直线方程为：， 令得，， 即，，则， 由正弦定理得：，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 60．伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题意得，双曲线的离心率为， 所以，解得， 所以双曲线方程为， 所以下焦点，上焦点，渐近线方程为，如图所示， 根据双曲线的对称性，不妨取渐近线为，即， 因为点为双曲线上支上的动点，所以， 过点作于点，过点作，垂足为， 则， 所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5， 故选：C． 61．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】    如图，由可得其渐近线方程为： 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 由，解得，得 由，解得，得 故，于是，面积为： 则双曲线的焦距,当且仅当取等号 即当时，双曲线的焦距取得最小值. 故选：C. 62．设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点，若的面积为8，则C的焦距的最小值为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】D 【详解】由双曲线，可得其渐近线的方程为， 将代入，可得，即， 则，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以双曲线的焦距的最小值为. 故选：D. 63．如图，双曲线的右焦点为，点A在的渐近线上，点A关于轴的对称点为为坐标原点)，记四边形OAFB的面积为，四边形OAFB的外接圆的面积为，则的最大值为 ，此时双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意可知：，渐近线，即， 则点到渐近线的距离为， 因为，可知， 则，可得， 则， 由题意可知：四边形OAFB的外接圆即为以OF为直径的圆， 则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 可知的最大值为，此时双曲线的离心率为. 故答案为：；. 64．已知双曲线：的一条渐近线与圆O：交于两点，设圆O在两点处的切线与轴分别交于两点、若双曲线的焦距为，则四边形周长的最大值为 ． 【答案】4 【详解】由题意可知渐近线方程为，， 故，故， 又, 由于焦距为，故，则， 由对称性可知四边形为平行四边形，故周长为， 设，由可得，当且仅当，即时等号成立， 故， 故最小值为4 故答案为：4 一、单选题 1．已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】因为方程 表示双曲线，所以， 解得或. 故选：B 2．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【详解】由圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 又由双曲线的左右焦点为， 连接， 可得 , 当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值为. 故选：B. 3．已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，点到渐近线的距离为，即， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得：. 在中，由余弦定理得：. 因为，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：D 4．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设，由题意得． 若曲线是椭圆，则， 则，；故即， 而A中离心率为，B中离心率为，均不满足； 若曲线是双曲线，则， 则，，故即， 而C中离心率为，D中离心率为，故D满足题设要求， 故选：D. 5．已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示： 不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离； 又，于是，可得,故离心率， 因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得， 又，则，所以直线的方程为， 联立双曲线方程整理可得； 易知是该方程的一个实数根，另一根即为； 所以，可得， 于是轴，又因为 所以． 故选：B 6．已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 二、多选题 7．已知是双曲线的上焦点，点在上，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4 【答案】AC 【详解】由可得，所以，得，A正确，B错误， 当为上顶点时，此时的最小值为．C正确，D错误， 故选：AC 8．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点 【答案】ACD 【详解】对于椭圆的方程为，可得， 对于双曲线的方程为，可得， 且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上， 对于选项A：因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的一条渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：因为椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上， 所以椭圆和双曲线不共焦点，故B错误； 对于选项C：椭圆的离心率，故C正确； 对于选项D：因为，可知双曲线的顶点在椭圆内部， 所以椭圆和双曲线的图像有4个公共点，故D正确； 故选：ACD. 9．已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．三角形的周长是12 B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为 C．若，则的位置不唯一 D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是 【答案】ACD 【详解】由题意可得双曲线，，，，，， 圆心坐标，半径， A，，，， 所以三角形的周长是12，故A正确； B，由题意可设双曲线的方程为或， 变形为标准形式或，， 又双曲线的焦距为8，所以， 所以双曲线为或，故B错误； C，，所以点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 所以轨迹方程为， 圆心坐标代入椭圆方程可得， 所以圆心在椭圆上， 又点是圆上点，画出图形可得 所以，的位置不唯一，故C正确； D，由双曲线的定义可得， 所以， 所以， 因为， 所以当三点共线时，取得最小值， 又因为的最小值为， 所以的最小值是，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 10．是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的右焦点F到直线的距离为 . 【答案】4 【详解】双曲线（）的渐近线方程为，故， 所以右焦点F的坐标为，F到直线的距离. 故答案为：4. 11．设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦距，则 ． 【答案】 【详解】将点坐标代入椭圆方程得，即椭圆的焦距为， 因为表示双曲线，则或， 当时，双曲线的焦距为； 当时，双曲线的焦距为； 综上所述：. 故答案为： 12．如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A，B，岛上安装了信号接收塔，舰艇P沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A，B是曲线的焦点，当P在小岛B正北方向处时，测得距小岛B3海里.当舰艇航行至小岛B西偏南的处时，测得距小岛B1.5海里.在以线段AB中点为圆心，1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P在航行的过程中，会放下巡逻船Q，巡逻船在以PB为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是 . 【答案】无论P在何处，以PB为直径的圆均与布满暗礁的圆外切 【详解】 以AB所在的轴为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，由题意知，，， ，，， 则可知舰艇航行的轨迹方程是双曲线，且，， 则方程为，暗礁区域的圆心为，半径为1， 设，以PB为直径的圆域内全面巡逻，设圆心为，则圆心， 半径为，则， 则无论在何处，以PB为直径的圆均与布满暗礁的圆外切. 四、解答题 13．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为． （2）法一： ∵双曲线1的焦点在轴上， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二： 设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 14．已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线标准方程， (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】(1); (2). 【详解】（1）由双曲线一条渐近线方程为，可以该双曲线方程为， 由点在双曲线上，可得，即， 所以双曲线标准方程为. （2）由双曲线标准方程为可知：左顶点的坐标为，右焦点为的坐标， 可设双曲线右支上任意一点，且，则， 所以， 又因为满足双曲线方程，则， 所以， 由于二次函数的对称轴是， 所以当，单调递增， 即当时，二次函数有最小值， 所以的最小值是. 15．已知点，依次为双曲线：的左右焦点，，，. (1)若，以为方向向量的直线经过，求到的距离. (2)在（1）的条件下，双曲线上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）由题意可知：，，， 则，可知双曲线的方程为， 因为为直线的方向向量，则直线的斜率， 且点在直线上，则直线方程为，即， 所以到的距离. （2）由题意可知：，设， 则， 因为，整理得：， 由点在双曲线上，则， 可得：，即， 所以，无解，所以不存在. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$