22.3 实践与探索 同步练习 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

22.3　实践与探索 第1课时　面积与数字问题 1.已知平行四边形的底比该底上的高长1 m,且面积为110 m2,若设高为x m,则可列方程为( ) A.x(x-1)=110 B.x(x-1)=110 C.x(x+1)=110 D.x(x+1)=110 2.一个多边形的对角线共有35条,它是几边形?若设它是n边形,则可列方程为( ) A.n(n-3)=35 B.n(n-2)=35 C.=35 D.=35 3.在一次同学聚会上,参加的每个人都与其他人握手一次,共握手190次,设参加这次同学聚会的有x人,可得方程为( ) A.x(x-1)=190 B.x(x-1)=380 C.x(x-1)=95 D.(x-1)2=380 4.如图所示,矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图,其中边AB的长为40 m,边BC的长为25 m,该展区内有三个全等的矩形展位,每个展位的面积都为200 m2,阴影部分为宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度.若设人行通道的宽度为x m,下列方程正确的是( ) A.(40-3x)(25-2x)=200 B.(40-4x)(25-2x)=600 C.40×25-80x-100x+8x2=200 D.40×25-80x-100x=600 5.如图所示,用12 m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地,场地的面积为20 m2,并且在垂直于墙的一边开一个1 m长的小门(用其他材料).若设垂直于墙的一边长为x m,则可列方程为( ) A.x×=20 B.x×=20 C.x(12-2x+1)=20 D.x(12-2x-1)=20 6.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形,做成的无盖盒子容积为400 cm3,则原铁皮的边长为( ) A.12 cm B.14 cm C.16 cm D.18 cm 7.[数学文化]《增删算法统宗》中记载:“今有门厅一座,不知门广高低,长竿横进使归室,争奈门狭四尺,随即竖竿过去,亦长二尺无疑,两隅斜去恰方齐,请问三色各几?”其大意是今有一房门,不知宽与高,长竿横着进门,门的宽度比竿小4尺进不了;将竿竖着进门,竿比门长2尺;将竿斜着穿过门的对角,恰好进门.试问门的宽、高和竿长各是多少?如图所示,若设竿长AC为x尺,依题意可得方程是( ) A.(x-4)2+(x-2)2=x2 B.42+(x-2)2=x2 C.(x-4)2+(x-2)2=2x2 D.(x-4)2+22=x2 8.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方小2,如果把这个数的个位数字与十位数字交换,那么所得到的两位数比原来的数小36,则原来的两位数是　 　.  9.《代数学》中记载,形如x2+8x=33的方程,求正数解的几何方法是:如图①所示,先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形,得到大正方形的面积为:x2+8x+4 ×22=33+16=49,依图①可列方程为(x+2×2)2=49,解得正数解x=3.构造出如图②所示的图形,已知阴影部分的面积为50,则正数x=　 　.  ① ② 10.(2023游仙期中)学校准备利用操场开元旦晚会,师生坐在足球场区域,已知足球场宽度为72 m(观众席不一定要占满球场宽度),其他三边利用总长为140 m的移动围栏围成一个矩形的观众席,并在观众席内按行、列摆放单人座椅,要求每个座位占地面积为1 m2(如图所示),且观众席内的区域恰好都安排了座位. (1)若观众席内有x行座椅,用含x的代数式表示每行的座椅数,并求x的最小值. (2)如果全校师生共2 400人,那么座位够坐吗?请说明理由. 11.如图所示,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC和CD边向点D以2 cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从A,B同时出发,其中一点到达终点,另一点也随之停止,那么经过多少秒,△PBQ的面积等于8 cm2? 12.如图所示,在矩形ABCD中,BC=20 cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=x cm(x≠0),则AP=2x cm, CM=3x cm,DN=x2 cm. (1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形? (2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形? 第2课时　变化率与利润问题 1.(2022河池)某厂家今年一月份的口罩产量是30万个,三月份的口罩产量是50万个.若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x,则所列方程为( ) A.30(1+x)2=50 B.30(1-x)2=50 C.30(1+x2)=50 D.30(1-x2)=50 2.将进货单价为40元的商品按50元出售时,可售出500个,经市场调查发现:该商品每涨价1元,其销售量减少10个,为了赚取 8 000元利润,则售价应定为( ) A.60元 B.80元 C.60元或80元 D.70元 3.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某区提出打造“森林城市”目标,绿色森林点亮城市,城市景色不断添绿.该区2020年底森林覆盖率为33.5%,在2022年底森林覆盖率达到35.6%,设该区这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,那么可列方程为( ) A.33.5%(1+x)=35.6% B.33.5%(1+2x)=35.6% C.33.5%(1+x)2=35.6% D.33.5%(1+2x)2=35.6% 4.中秋佳节即将到来,某食品专卖店准备了一批“雪月饼”,每盒利润为100元,平均每天可卖200盒,经过调查发现每降价1元,可多销售10盒,为了尽快减少库存,决定采取降价措施,专卖店要想平均每天盈利32 000元,每盒月饼应降价　 　元.  5.(1)(2023闵行期中)某型号的手机连续两次降价,售价由原来的 1 200元降到588元,若每次降价的百分率相同,则平均每次降价的百分率为 　 　.  (2)(2023黄浦期中)某商场对空调进行两次降价,假设两次降价的百分率相同,降价后的价格为降价前的64%,则每次降价的百分率为　 　.  6.国家4A级景区“荷兰花海”以每件20元的批发价进了一批纪念品在元旦期间销售,经第一天销售调查可知:每件售价30元,每天可以卖出5 000件.若售价每上涨5元,其销售量将减少500件. (1)当每件纪念品售价为36元时,每天可卖出　　　件,日销售利润是　　　元;  (2)若每件纪念品售价上涨m元,商店每天能卖出　　　件(用含m的代数式表示);  (3)为了实现平均每日80 000元的销售利润,并使消费者得到实惠,售价应定为多少元? 7.李师傅去年开了一家商店,今年1月份开始盈利,2月份盈利2 000元,4月份的盈利达到2 880元,且从2月到4月,每月盈利的平均增长率都相同.那么按照这个平均增长率,预计五月份这家商店的盈利将达到( ) A.3 320元 B.3 440元 C.3 450元 D.3 456元 8.某校九(1)班组织学生参加春游活动,所联系的旅行社收费标准 如下: 春游活动结束后,该班共支付给该旅行社活动费用2 800元,请问该班共有多少人参加这次春游活动? 9.(2023汝州期中)某商店代销一种智能学习机,促销广告显示“若购买不超过40台学习机,则每台售价800元,若超过40台,则每超过1台,每台售价将减少5元”.该学习机的进价与进货数量关系如图所示. (1)当x>40时,用含x的代数式表示每台学习机的售价. (2)若该商店一次性购进并销售学习机60台,每台学习机可以获利多少元? (3)若该商店在一次销售中获利4 800元,则该商店可能购进并销售学习机多少台? 10.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件.批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的单价.第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元,设第二个月单价降低x元. (1)填表(不需化简): 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价/元 80 40 销售量/件 200 (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9 000元,那么第二个月的单价应是多少元? 22.3　实践与探索（答案） 第1课时　面积与数字问题 1.已知平行四边形的底比该底上的高长1 m,且面积为110 m2,若设高为x m,则可列方程为(D) A.x(x-1)=110 B.x(x-1)=110 C.x(x+1)=110 D.x(x+1)=110 2.一个多边形的对角线共有35条,它是几边形?若设它是n边形,则可列方程为(D) A.n(n-3)=35 B.n(n-2)=35 C.=35 D.=35 3.在一次同学聚会上,参加的每个人都与其他人握手一次,共握手190次,设参加这次同学聚会的有x人,可得方程为(B) A.x(x-1)=190 B.x(x-1)=380 C.x(x-1)=95 D.(x-1)2=380 4.如图所示,矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图,其中边AB的长为40 m,边BC的长为25 m,该展区内有三个全等的矩形展位,每个展位的面积都为200 m2,阴影部分为宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度.若设人行通道的宽度为x m,下列方程正确的是(B) A.(40-3x)(25-2x)=200 B.(40-4x)(25-2x)=600 C.40×25-80x-100x+8x2=200 D.40×25-80x-100x=600 5.如图所示,用12 m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地,场地的面积为20 m2,并且在垂直于墙的一边开一个1 m长的小门(用其他材料).若设垂直于墙的一边长为x m,则可列方程为(C) A.x×=20 B.x×=20 C.x(12-2x+1)=20 D.x(12-2x-1)=20 6.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形,做成的无盖盒子容积为400 cm3,则原铁皮的边长为(D) A.12 cm B.14 cm C.16 cm D.18 cm 7.[数学文化]《增删算法统宗》中记载:“今有门厅一座,不知门广高低,长竿横进使归室,争奈门狭四尺,随即竖竿过去,亦长二尺无疑,两隅斜去恰方齐,请问三色各几?”其大意是今有一房门,不知宽与高,长竿横着进门,门的宽度比竿小4尺进不了;将竿竖着进门,竿比门长2尺;将竿斜着穿过门的对角,恰好进门.试问门的宽、高和竿长各是多少?如图所示,若设竿长AC为x尺,依题意可得方程是(A) A.(x-4)2+(x-2)2=x2 B.42+(x-2)2=x2 C.(x-4)2+(x-2)2=2x2 D.(x-4)2+22=x2 8.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方小2,如果把这个数的个位数字与十位数字交换,那么所得到的两位数比原来的数小36,则原来的两位数是　73　.  9.《代数学》中记载,形如x2+8x=33的方程,求正数解的几何方法是:如图①所示,先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形,得到大正方形的面积为:x2+8x+4 ×22=33+16=49,依图①可列方程为(x+2×2)2=49,解得正数解x=3.构造出如图②所示的图形,已知阴影部分的面积为50,则正数x=　5-5　.  ① ② 10.(2023游仙期中)学校准备利用操场开元旦晚会,师生坐在足球场区域,已知足球场宽度为72 m(观众席不一定要占满球场宽度),其他三边利用总长为140 m的移动围栏围成一个矩形的观众席,并在观众席内按行、列摆放单人座椅,要求每个座位占地面积为1 m2(如图所示),且观众席内的区域恰好都安排了座位. (1)若观众席内有x行座椅,用含x的代数式表示每行的座椅数,并求x的最小值. (2)如果全校师生共2 400人,那么座位够坐吗?请说明理由. 解:(1)∵移动围栏的总长为140 m,且观众席内有x行座椅, ∴每行的座椅数为(140-2x)个. ∵140-2x≤72,∴x≥34, ∴x的最小值为34. (2)座位够坐.理由如下: 依题意,得x(140-2x)=2 400, 整理,得x2-70x+1 200=0, 解得x1=30(不符合题意,舍去),x2=40, ∴如果全校师生共2 400人,那么座位够坐. 11.如图所示,在边长为6 cm的正方形ABCD中,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC和CD边向点D以2 cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从A,B同时出发,其中一点到达终点,另一点也随之停止,那么经过多少秒,△PBQ的面积等于8 cm2? 解:设经过x s,△PBQ的面积等于8 cm2. 当0<x<3时,点Q在BC上运动,点P在AB上运动, 则PB=(6-x)cm,BQ=2x cm, ∴S△PBQ=PB·BQ=×(6-x)×2x=8,解得x=2或x=4. 又x<3,∴x=2符合题意. 当3≤x<6时,点Q在CD上运动,点P在AB上运动, ∴S△PBQ=×(6-x)×6=8,解得x=, ∴经过2 s或 s,△PBQ的面积等于8 cm2. 12.如图所示,在矩形ABCD中,BC=20 cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=x cm(x≠0),则AP=2x cm, CM=3x cm,DN=x2 cm. (1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形? (2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形? 解:(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形. ①当点P与点N重合时,由x2+2x=20,得x1=-1,x2=--1(舍去). ∵BQ+ CM=x+3x=4(-1)<20,此时点Q与点M不重合. ∴x=-1符合题意. ②当点Q与点M重合时,由x+3x=20,得x=5. 此时DN=x2=25>20,不符合题意. 故点Q与点M不能重合. ∴所求x的值为-1. (2)由(1)知点Q只能在点M的左侧, ①当点P在点N的左侧时, 由20-(x+3x)=20-(2x+x2), 解得x1=0(舍去),x2=2. 当x=2时,四边形PQMN是平行四边形. ②当点P在点N的右侧时, 由20-(x+3x)=(2x+x2)-20, 解得x1=-10(舍去),x2=4. 当x=4时,四边形NQMP是平行四边形. 综上所述,当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四 边形. 第2课时　变化率与利润问题 1.(2022河池)某厂家今年一月份的口罩产量是30万个,三月份的口罩产量是50万个.若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x,则所列方程为(A) A.30(1+x)2=50 B.30(1-x)2=50 C.30(1+x2)=50 D.30(1-x2)=50 2.将进货单价为40元的商品按50元出售时,可售出500个,经市场调查发现:该商品每涨价1元,其销售量减少10个,为了赚取 8 000元利润,则售价应定为(C) A.60元 B.80元 C.60元或80元 D.70元 3.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某区提出打造“森林城市”目标,绿色森林点亮城市,城市景色不断添绿.该区2020年底森林覆盖率为33.5%,在2022年底森林覆盖率达到35.6%,设该区这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,那么可列方程为(C) A.33.5%(1+x)=35.6% B.33.5%(1+2x)=35.6% C.33.5%(1+x)2=35.6% D.33.5%(1+2x)2=35.6% 4.中秋佳节即将到来,某食品专卖店准备了一批“雪月饼”,每盒利润为100元,平均每天可卖200盒,经过调查发现每降价1元,可多销售10盒,为了尽快减少库存,决定采取降价措施,专卖店要想平均每天盈利32 000元,每盒月饼应降价　60　元.  5.(1)(2023闵行期中)某型号的手机连续两次降价,售价由原来的 1 200元降到588元,若每次降价的百分率相同,则平均每次降价的百分率为 　30%　.  (2)(2023黄浦期中)某商场对空调进行两次降价,假设两次降价的百分率相同,降价后的价格为降价前的64%,则每次降价的百分率为　20%　.  6.国家4A级景区“荷兰花海”以每件20元的批发价进了一批纪念品在元旦期间销售,经第一天销售调查可知:每件售价30元,每天可以卖出5 000件.若售价每上涨5元,其销售量将减少500件. (1)当每件纪念品售价为36元时,每天可卖出　　　件,日销售利润是　　　元;  (2)若每件纪念品售价上涨m元,商店每天能卖出　　　件(用含m的代数式表示);  (3)为了实现平均每日80 000元的销售利润,并使消费者得到实惠,售价应定为多少元? 解:(1)4 400　70 400　(2)(5 000-100m) (3)设每件售价应定为x元,则每件的销售利润为(x-20)元,日销售量为5 000-500×=(8 000-100x)(件).根据题意,得(x-20)(8 000-100x)=80 000. 整理,得x2-100x+2 400=0, 解得x1=40,x2=60. 又∵要使消费者得到实惠,∴x=40. ∴每件售价应定为40元. 7.李师傅去年开了一家商店,今年1月份开始盈利,2月份盈利2 000元,4月份的盈利达到2 880元,且从2月到4月,每月盈利的平均增长率都相同.那么按照这个平均增长率,预计五月份这家商店的盈利将达到(D) A.3 320元 B.3 440元 C.3 450元 D.3 456元 8.某校九(1)班组织学生参加春游活动,所联系的旅行社收费标准 如下: 春游活动结束后,该班共支付给该旅行社活动费用2 800元,请问该班共有多少人参加这次春游活动? 解:∵25人的费用为2 500元<2 800元, ∴参加这次春游活动的人数超过25人. 设该班参加这次春游活动的人数为x人. 根据题意,得[100-2(x-25)]x=2 800, 整理,得x2-75x+1 400=0, 解得x1=40,x2=35. 当x=40时,100-2(x-25)=70<75,不合题意,舍去; 当x=35时,100-2(x-25)=80>75. 答:该班共有35人参加这次春游活动. 9.(2023汝州期中)某商店代销一种智能学习机,促销广告显示“若购买不超过40台学习机,则每台售价800元,若超过40台,则每超过1台,每台售价将减少5元”.该学习机的进价与进货数量关系如图所示. (1)当x>40时,用含x的代数式表示每台学习机的售价. (2)若该商店一次性购进并销售学习机60台,每台学习机可以获利多少元? (3)若该商店在一次销售中获利4 800元,则该商店可能购进并销售学习机多少台? 解:(1)由题意,得当x>40时,每台学习机的售价为800-5(x-40)=(-5x+1 000)(元). (2)设图中直线表达式为y=kx+b. 把(0,700)和(50,600)代入,得 解得 ∴直线表达式为y=-2x+700. 当x=60时,进价为y=-2×60+700=580(元),售价为800-5×(60-40) =700(元), ∴每台学习机可以获利700-580=120(元). (3)当x>40时,每台学习机的利润是(-5x+1 000)-(-2x+700)=(-3x+ 300)(元), 则x(-3x+300)=4 800, 解得x1=80,x2=20(舍去). 当x≤40时,每台学习机的利润是800-(-2x+700)=(2x+100)(元), 则x(2x+100)=4 800, 解得x1=30,x2=-80(舍去). ∴该商店可能购进并销售学习机80台或30台. 10.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件.批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的单价.第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元,设第二个月单价降低x元. (1)填表(不需化简): 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价/元 80 40 销售量/件 200 (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9 000元,那么第二个月的单价应是多少元? 解:(1)填表如下: 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价/元 80 80-x 40 销售量/件 200 200+10x 800-200- (200+10x) (2)根据题意,得80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9 000, 整理,得x2-20x+100=0, 解这个方程,得x1=x2=10. 当x=10时,80-x=70>50. 答:第二个月的单价应是70元. 学科网（北京）股份有限公司 $$