第5章 导数及其应用 知识归纳与题型突破（单元复习 9类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第5章 导数及其应用知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识点02：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点03：导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 知识点04：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 知识点05：求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 知识点06：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1、已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. 2、已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 知识点07：含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 知识点08、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 知识点09、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 知识点10、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 03 题型归纳 题型一　导数的运算、公式、法则的灵活应用 例题1．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·青海西宁·期中）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（，且）； 巩固训练 1．（多选）（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 题型二　求切线 例题1．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在点处的切线方程为 . 例题2．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为 ． 巩固训练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在处的切线方程为 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为 . 题型三　已知切线条数求参数 例题1．（24-25高三上·山西运城·开学考试）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 例题2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 ． 巩固训练 1．（23-24高二下·湖北·期末）过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 2．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 题型四　利用导数研究函数的单调性（选填题） 例题1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·安徽）已知函数（）在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 例题3．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）若函数在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五　利用导数研究函数的单调性（含参问题讨论单调性） 例题1．（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)讨论的单调性. 例题2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间. 例题3．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 巩固训练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，讨论的单调性． 3．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 题型六　用导数求函数的极值、最值（不含参） 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 例题2．（2024·吉林·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值与最小值. 巩固训练 1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间与极值. 2．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数． (1)若，求a的取值范围． (2)点在的图象上，设函数，求在上的值域． 题型七　根据函数的最值求含参 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数和有相同的最小值，求. 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，记函数在区间的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 巩固训练 1．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)讨论在区间上的最大值． 2．（2024·黑龙江大庆·三模）已知，函数，且. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 题型八　根据函数的极值（点）求参数 例题1．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在处有极小值，求的取值范围． 例题2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值大于，求a的取值范围． 巩固训练 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数，. (1)当时，研究的单调性； (2)若，当时，函数有极大值m；当时，有极小值n，求的取值范围. 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于0，求a的取值范围． 题型九 求函数的最值（含参） 例题1．（24-25高二下·全国·课前预习）当时，求函数在上的最值． 例题2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间及极值; (2)求函数在上的最大值. 巩固训练 1．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数． (1)若函数在是增函数，求实数的取值范围； (2)当时，令，求在上的最大值． 2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性． (2)求函数在区间上的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 导数及其应用知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 知识点02：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点03：导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 知识点04：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 知识点05：求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 知识点06：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1、已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. 2、已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 知识点07：含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 知识点08、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 知识点09、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 知识点10、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 03 题型归纳 题型一　导数的运算、公式、法则的灵活应用 例题1．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】直接基本初等函数求导法则计算即可. 【详解】因为，，，. 故选：C. 例题2．（23-24高二下·青海西宁·期中）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（，且）； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的乘除法 【分析】直接根据导数的运算法则计算即可． 【详解】（1），. （2），. （3），. （4），. （5），. 巩固训练 1．（多选）（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】利用初等函数的导数公式以及复合函数求导法则、导数的运算法则，可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，A错误； 对于B选项，，B错误； 对于C选项，，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：CD. 2．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）求下列函数的导函数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】（1）（2）（3）（4）利用求导公式、导数的运算法则逐一求出给定函数的导数. 【详解】（1），则. （2）. （3） （4）. 题型二　求切线 例题1．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果. 【详解】由题意可知，，则切点为，因为，则， 所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即 故答案为： 例题2．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】根据题意，设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解. 【详解】当时，函数，可得 设切点为，则， 所以切线方程为， 因为切线过原点，可得，解得，不符合题意，舍去； 当时，函数，可得 设切点为，则， 所切线方程为， 因为切点过原点，可得，解得， 此时切线方程为，即， 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以，且， 所以在处的切线方程为，即． 故答案为：. 2．（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的切线，则切线方程为 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线求得参数，即可求解. 【详解】设切点为，由得， 则切点处的切线， 因为切线过点，所以，解得， 所以切线方程为即. 故答案为： 题型三　已知切线条数求参数 例题1．（24-25高三上·山西运城·开学考试）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、求过一点的切线方程 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率, 切线方程为， ∵切线过原点， ∴， 整理得：, ∵切线有两条， ∴，解得或， ∴的取值范围是, 故答案为： 例题2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点 【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由方程过点可得．构造新函数，结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合判断实数a的取值范围. 【详解】，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点代入可得． 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点可作三条直线与曲线相切． 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高二下·湖北·期末）过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【分析】设切点，即可求解切线方程， 将代入切线方程中得，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 故答案为： 2．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】设切点为：，根据切线过点，得到，令，再根据过点仅可作曲线的两条切线，由 与的图象有两个交点求解. 【详解】设切点为：， ， 所以切线方程为， 又因为切线过点， 所以， 即， 令， 则， 令，得或， 当或时，，当时，， ， 当时，则，且； 当时，则， 所以的图象如图所示： 因为过点仅可作曲线的两条切线， 所以与的图象有两个交点， 则 或. 故答案为：. 题型四　利用导数研究函数的单调性（选填题） 例题1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由可得，令，则在上为减函数，即在上恒成立，求解即可. 【详解】，又，所以， 所以， 由已知对任意的，，且时，， 设，则在上为减函数， 因为，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，所以，所以的取值范围为． 故选：A． 例题2．（2024·安徽）已知函数（）在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数 【详解】 假设 在内不存在单调递减区间，而又不存在常函数情况，所以 在内递增，即有 时不等式恒成立，即时， 恒成立，解得，所以函数 在内存在单调递减区间，实数的取值范围是 故选C 例题3．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，利用在上有变号零点列式求解即得. 【详解】函数，求导得， 由函数在区间上不单调，得在上有变号零点， 由，得， 则，令， 于是，即有， 令，函数在上单调递减，函数值从减小到， 在上单调递增，函数值从增大到， 由在上有变号零点，得直线与函数的图象有交点， 且当有两个交点时，两个交点不重合，因此，解得， 所以k的取值范围是. 故选：B 巩固训练 1．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求出函数的导函数，根据是上的增函数，可得在上恒成立，分离参数，从而可求得答案. 【详解】由， 得， 因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由于，所以，即 故选：A. 2．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）若函数在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【详解】,因为函数在内存在单调递减区间，在内成立，，所以实数的取值范围是，故选A. 【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的． 3．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】对求导并将问题转化为函数在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调性，结合零点存在性定理列不等式求参数范围. 【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点， 设，， 则，则在上单调递增， 所以，即，解得， 则的取值范围是 故选：B. 题型五　利用导数研究函数的单调性（含参问题讨论单调性） 例题1．（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解． 【详解】（1），则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得， 由，解得， （2），函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 例题2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见详解 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，分类讨论的符号以及与0的大小关系，利用导数判断原函数的单调性. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 例题3．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导后分及进行讨论，结合求根公式计算即可得； 【详解】（1），， 若，则，此时在单调递增； 若，令，解得，有， 令得，由得， 此时在单调递增，在单调递减； 巩固训练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值，无极大值． (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的极值； （2）求得，分和，分类讨论，结合导数的符号，进而得到函数的单调区间. 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值，无极大值． （2）解：由函数，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性. 【详解】由题意知：函数的定义域为，且， 令，解得或2， 当时，令，解得或；令，解得； 可知在区间和内单调递减，在区间上单调递增； 当时，令，解得；令，解得或； 可知在区间和内单调递增，在区间上单调递减， 综上所述： 当时，在区间和内单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间和内单调递增，在区间上单调递减． 3．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程； （2）将函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性. 【详解】（1）当时，，则， 则，即切点坐标为，切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 因，由，可得， ① 当时，，当时，，即函数在上单调递减， 当或时，，即函数在和上单调递增； ② 当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③ 当时，则，当时，，即函数在上单调递减， 当或时，，即函数在和上单调递增. 综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增： 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减． 题型六　用导数求函数的极值、最值（不含参） 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）先求导函数，再求斜率，最后点斜式求直线方程； （2）先根据导函数正负得出函数的单调性即可得出极值点，最后代入原函数即可求得极值. 【详解】（1），则， 故曲线在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知，， 当时，； 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，为，无极大值． 例题2．（2024·吉林·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)函数的最大值为2，最小值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切点和切线斜率，即可得切线方程； （2）根据求导判断的单调性，结合单调性分析最值. 【详解】（1）因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为. （2）由（1）可得， 且，则， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 所以函数的最大值为2，最小值. 巩固训练 1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间与极值. 【答案】(1)， (2)增区间为和，减区间为，极大值为，极小值为 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）由题知及联立求解可得结果； （2）令求单调增区间，令求单调减区间，进而可得函数的极值. 【详解】（1）由题意，易知，得. ， 由，解得. （2）由（1）知，易知， 当变化时，，的变化情况如下表所示. 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为. 2．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数． (1)若，求a的取值范围． (2)点在的图象上，设函数，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）借助导数研究函数的单调性后即可得其在上的最小值，即可得解； （2）由题意可计算出a的值，从而得到，再借助导数研究函数在上的单调性，比较的极值点和端点处的函数值的大小，即可得出答案. 【详解】（1），故在上单调递增， 则有，故，即； （2）由在的图象上，则，即，得， 则，， 令，可得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得极大值，， 当时，取得极小值，， 又， 所以在上的值域为. 题型七　根据函数的最值求含参 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数和有相同的最小值，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）利用导数工具研究函数的单调性，进而得函数即可得证； （2）利用导数分别求出函数和的单调性，进而得和，令得，构造函数，再利用导数求出在区间上是单调递增的且即可得解. 【详解】（1）当时，， 令，得，令，得， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以有最小值，所以当时，. （2）由题，因为为减函数，所以为增函数， 当时，单调递减，故无最小值，不符合； 当时，令得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 故. 又，令得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 故， 因为和有相同的最小值，所以，即， 整理得，设函数， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以是函数的唯一零点，即为方程的唯一实根， 综上所述，. 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，记函数在区间的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】(1)在区间和内单调递增，在区间上单调递减． (2)． 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求得，对参数a进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性； （2）根据（1）中所求，求得m和M，则，结合即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 令，得或，令，得， 所以在区间和内单调递增，在区间上单调递减． （2）当时，， 由（1）可得函数在区间内单调递减，在区间内单调递增． 所以函数在区间内的最小值， 又，因为，所以， 所以，所以， 又，所以解得， 所以实数的取值范围为． 巩固训练 1．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)讨论在区间上的最大值． 【答案】(1)极小值为，极大值为； (2)答案见解析. 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出函数的导数，探讨导数值正负求出极值. （2）借助（1）求出的函数的单调性，再对进行分类讨论，结合单调性得到最大值. 【详解】（1）函数定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值， 所以函数的极小值为，极大值为. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递减，； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 由，得，， 当时，，，； 当时，，，； ③当时，在上单调递增，； ④当时，在上单调递增，在上单调递减，； ⑤当时，在上单调递减，， 所以当或时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为. 2．（2024·黑龙江大庆·三模）已知，函数，且. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）先得到函数的定义域，求导，由解出的值，进而得到，由得到单调递减区间，由得到单调递增区间； （2）若恒成立，则成立，由（1）知，从而可以得到的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，由已知得， 因为，所以，解得，所以. 令，解得（舍），. 当时，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值. 因为在上只有一个极值，所以. 因为恒成立，所以，即，得. 所以的取值范围是. 题型八　根据函数的极值（点）求参数 例题1．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在处有极小值，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】（1）求出的导数，令导数为，根据导数求出函数的单调区间，求出的极值； （2）求出，根据二次函数的性质求出的取值范围，分和两个情况求解. 【详解】（1）当时，，， 令，解得或， 若和时，；若，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的极大值为，的极小值为. （2）由题意可知：， 令，且，解得或， 令，解得， 若时，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则在处有极小值，符合题意； 若时，则， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 若时，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则在处有极小值，不符合题意； 若时，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在处有极小值，符合题意； 综上所述：. 例题2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值大于，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）根据有极小值，且极小值大于列不等式，根据函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）的定义域是， ，在上单调递增， 令，解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以在处取得极小值， 依题意，， 即，函数在上单调递增，且当时，， 所以. 巩固训练 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数，. (1)当时，研究的单调性； (2)若，当时，函数有极大值m；当时，有极小值n，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2) 【知识点】根据极值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导并结合即可判断出的单调性； （2）根据（1）中结论可得，构造函数并求导得出其单调性即可求得的取值范围. 【详解】（1）易知函数的定义域为，则， 又因为，所以当时，， 当或时，； 因此可得在上单调递减，在上单调递增； （2）若，由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值， 所以， 即； 设函数，则， 所以在上单调递增，所以， 即的取值范围为. 2．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，再按值分段讨论的正负即可. （2）由（1）的信息，结合极小值情况，求解不等式即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递增区间为，无递减区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，无极值， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值， 整理得，令，函数， 函数在上单调递增，，由，解得，即， 所以a的取值范围是. 题型九 求函数的最值（含参） 例题1．（24-25高二下·全国·课前预习）当时，求函数在上的最值． 【答案】最大值为，最小值为 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先利用导数判断函数的单调性，进而利用单调性求最值即可. 【详解】由题意得，， 令，得，． 所以，在上，则在上单调递增； 在上，则在上单调递减； 在上，则在上单调递增. 因为，，，． 所以． ． 例题2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间及极值; (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1)时，单调递增，时，单调递减，极大值为无极小值. (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，求出，的解，即可求出单调区间，进而求出极值； （2）结合（1）的结论判断函数在上的单调性，计算极值以及端点处的函数值，可得答案. 【详解】（1）当时，.. 又 令，则，即时，单调递增. 令，则，即时，单调递减. 当时，有极大值为无极小值. （2） 当在单调递增， ， 当 在上单调递增，上单调递减， ①，即在上单调递增，， ②，即在上单调递增，上单调递减， ， 综上: . 巩固训练 1．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数． (1)若函数在是增函数，求实数的取值范围； (2)当时，令，求在上的最大值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求cosx（型）函数的最值、由函数在区间上的单调性求参数、简单复合函数的导数 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定单调区间及单调性建立恒成立的不等式，并求解即得. （2）求出函数及导数，再按正数的取值情况分类讨论求出最大值. 【详解】（1）函数，求导得， 由在是增函数，得，， 而函数在上单调递减，则当时，，于是， 所以实数的取值范围. （2）当时，，求导得， 当时，，函数递增，当时，，函数递减， 而，因此当，即时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，， 所以当时，的最大值为；当时，的最大值为； 当时，的最大值为. 2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性． (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先确定函数的定义域为，求导，令可得函数增区间和减区间. （2）讨论函数在区间上的单调性，再求函数的最大值. 【详解】（1） （ⅰ）当时，则，从而在上单调递增； （ⅱ）当时，令． 从而在区间上单调递增， 在区间，单调递减. （2）（ⅰ）当时，在区间[0，2]上单调递增，所以的最大值是； （ⅱ）当即时，在区间[0，2]上单调递增，所以的最大值是； （ⅲ）当即时，在区间上递增，在上递减，所以的最大值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$