上海高一数学上学期期中考前模拟卷02（1-3章+幂函数）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

高一上学期期中模拟卷02 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题4分共计42分） 1．若全集，，则用列举法表示集合 ． 2．若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 3．命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为 ． 4．已知：，则的最小值是 ． 5．不等式的解集为 . 6．已知，，则 （用，表示） 7．若不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 8．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 9．设全集为，集合是的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为 ． 10．已知集合，，，若，且，则实数的值为 ． 11．已知，记符号表示不大于x的最大整数（例如：，）．若集合，或，则 ． 12．研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，有如下解决方案： 解：由，令，则， 所以不等式的解集为. 参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 二、选择题（每题4分，共计16分） 13．下列函数中，既是幂函数又是上的严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 14．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：） A．9 B．10 C．11 D．12 16．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 三、解答题（6+8+8+8+12=42分） 17．求解下列不等式组或方程： (1) （2） 18．在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 19．已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 20.已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)若两根异号，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)求使的值为整数的实数的整数值． 21.已知代数式和． (1)若，求不等式的解集； (2)若，证明：、中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数、满足的条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上学期期中模拟卷02 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题4分共计42分） 1．若全集，，则用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】先用描述法求出，进而采用列举法求出. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 2．若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是一元二次方程的两根， 由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 3．命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为 ． 【答案】.      【详解】分析： 利用的否定为不都等于，从而可得结果. 考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为或. 4．已知：，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即得. 【详解】由，得，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值2. 故答案为：2 5．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合二次不等式可得，结合绝对值的几何意义分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，，则， 整理得，解得或（舍去）， 由，可得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 6．已知，，则 （用，表示） 【答案】 【分析】先得到，利用换底公式、对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， ， 所以. 故答案为： 7．若不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分析可知，且方程的解为，可得出，再利用分式不等式的解法可得出不等式的解集. 【详解】因为不等式的解集为，则且方程的解为， 所以，，可得，则即为，即， 等价于，解得， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 8．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 9．设全集为，集合是的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为 ． 【答案】 【分析】根据图，得到集合关系即可. 【详解】由图可知元素属于但不属于， 即阴影部分对应的集合为， 故答案为： 10．已知集合，，，若，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，即可将3代入，求得a的值。验证后即可确定答案. 【详解】由题意，且， 可得, 故，解得或， 当时，，不满足； 当时，，符合题意， 故实数的值为， 故答案为： 11．已知，记符号表示不大于x的最大整数（例如：，）．若集合，或，则 ． 【答案】 【分析】先求出，再结合取整函数特点，分，，，，和几种情况，进行求解. 【详解】， 当时，，由于，舍去； 当时，，此时，满足要求， 当时，，此时，舍去， 当时，，此时，舍去， 当时，，此时，舍去， 当时，，此时，满足要求， 故答案为： 12．研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，有如下解决方案： 解：由，令，则， 所以不等式的解集为. 参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】参考题中所给解法，通过变形将不等式中的变为的形式，再令，解不等式即可. 【详解】由得，， 令，因为，所以. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 二、选择题（每题4分，共计16分） 13．下列函数中，既是幂函数又是上的严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义以及性质即可求解. 【详解】对于A;不是幂函数，故不符合， 对于B; 是幂函数，且在单调递增，符合， 对于C; 是指数函数，不符合要求， 对于D; 不是幂函数，不符合要求， 故选：B 14．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过变形得到，，，再利用集合间包含关系的判断方法即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，则，而为奇数，所以， 故选：C. 15．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果. 【详解】由题设，可得， 所以，则，故， 所以教师用户超过20000名至少经过12天. 故选：D 16．设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④ 若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】对于①，若为“完美集合”，对任意的，，①对； 对于②，完美集合不一定是无限集，例如，②错； 对于③，集合， 在集合中任意取两个元素，，，其中、、、为整数， 则，， ， 集合为“完美集合”，③对； 对于④，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，④错. 故选：A. 三、解答题（6+8+8+8+12=42分） 17．求解下列不等式组或方程： (1) （2） 【答案】(1)；（2）. 【详解】（1）对于不等式可得或， 解得或； 对于不等式可得，即， 等价于，解得； 所以不等式组的解集为或 ， 即该不等式组的解集为 （2）， ， 所以原不等式组的解集为. 18．在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【分析】（1）根据所给公式即可代入求解， （2）根据，结合对数的运算即可求解距离，进而可求解声源处的声音强度. 【详解】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以 ， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 19．已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别解一元二次不等式和一元一次不等式后求交集可得； （2）由得出时，恒成立，由此分类讨论可得； （3）在（2）的条件下问题转化为在上有解，结合（2）中m的范围即得． 【详解】（1）（1），，则或， ，则， 所以不等式组的解集为：； （2）因为当时，，所以当时，恒成立， 当时，，的解为，不能满足时，恒成立， 当时，不满足题意， 当时，由得，化为， 若时，，不等式的解为或，因为，所以满足题意， 若时，，不等式的解为或， 因此，，因此， 综上，的取值范围是． （3）时，，因此存在使得， 又， 因此在上有解，由于， 所以，解得， 综上，． 20.已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)若两根异号，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)求使的值为整数的实数的整数值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)的值为或或 【分析】（1）结合韦达定理，即可求解； （2）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在； （3）根据题意，可得能被整除，即可求出的值. 【详解】（1）由题意得，即， 所以实数的取值范围为. （2）不存在，理由如下： 因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以，所以， 由根与系数的关系得，， 所以， 解得，而， 故不存在实数使得成立． （3）由根与系数的关系得， 因为的值为整数，而为整数，所以只能取、、， 又，所以整数的值为或或． 21.已知代数式和． (1)若，求不等式的解集； (2)若，证明：、中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数、满足的条件． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)分类讨论解绝对值不等式； (2)利用反证法即可证明； (3)根据分类讨论去掉的绝对值，从而只用讨论含一个绝对值的不等式恒成立问题，再进行分类即可求解. 【详解】（1）， 当时，，所以，所以不存在； 当时，，所以，所以； 当时，，所以，所以； 综上，解集为 （2）当时，假设都小于，即 ，此不等式无解， 因此假设不成立，所以、中至少有一个数不小于. （3）若，不等式对于任意实数恒成立. ①当时，，即， 而，故时，恒成立, ②当时，，即， 而在时恒成立， 故只需讨论当时，恒成立，实数满足的条件. （i）当时，，即， 若，要使在上恒成立，不满足，舍去； 若，要使在上恒成立，则且； 若，要使在上恒成立，则， 即； （ii）当时，，即， 由于，得，要使在上恒成立， 不满足，舍去； 综上，或，即. 【点睛】关键点睛：第3小问解决问题的关键是根据和分类讨论，将不等式中两个绝对值化简为一个绝对值，再对剩余绝对值式子根据绝对值中式子的符号再进行讨论即可求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$