精品解析：江西省宜春市上高二中2025届高三上学期10月月考数学试题

江西省宜春市上高县2024-2025学年高三10月份月考数学试卷 一、单选题 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题“”为全称量词命题， 则其否定为：. 故选：D 2. 已知复数，（其中为虚数单位），且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘方求出复数，再利用复数除法求出及共轭复数. 【详解】依题意，，由，得， 所以. 故选：A 3. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 5. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ） A. B. 28 C. D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可. 【详解】先作出的大致图象，如下 令，则， 根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意， 因为，当且仅当时取得等号， 又，易知其定义域内单调递减， 即，此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2， 显然只有符合题意，当时有，则， 解方程得的另一个正根为， 又， 此时五个整数根依次是， 显然最大的根和最小的根和为. 故选：A 6. 已知（其中为自然对数的底数），，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的单调性可判断大小，在构造新函数，对其求导根据其单调区间，在根据单调性，可判断大小. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以，即， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，可得， 由在上递增，可得，即， 综上可得. 故选：A 7. 已知函数，则满足的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义得出为偶函数，当时，令，由导数判断其单调性进而得出在上单调递增，根据抽象函数不等式解法求解即可． 【详解】由题意得，的定义域为，， 因为， 所以为偶函数， 当时，令，则， 因为和在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增． 由，得，所以， 两边平方并整理，得，解得． 故选：B． 8. 已知正三棱锥，满足，，，，点在底面上，且，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设为等边三角形的中心，求出，求出点到的距离可得点轨迹是以点为圆心以为半径，且与的三边各有2个交点的三段相等圆弧，求出圆弧所对的圆心角可得答案. 【详解】 ， 设为等边三角形的中心，则平面， 连接，则， 所以， ， 而点到的距离为， 点到的距离为， 所以点轨迹是以点为圆心，以为半径， 且与的三边各有2个交点的三段相等圆弧，如图， 设圆弧与相交于两点，作，则， ，所以，可得， 可得点的轨迹在内部的弧所对的圆心角为， 则弧长为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是确定点的轨迹. 二、多选题 9. 定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为12 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数是偶函数及对称性得出函数周期及对称性判断A,根据函数值结合对称性判断C,应用函数对称性结合单调性判断B,数形结合判断的图象与的图象所有交点个数再结合对称性判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 故，所以，故的图象关于直线对称，故A正确. 对于B，由A中分析可得是周期函数且周期为， 故当时，，故，故B错误. 对于C，由是周期为2的函数可得：，故C正确. 对于D，因为，故的图象关于对称， 而，且时，此时在上为增函数， 故图象如图所示： 由图可得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10，故D错误. 故选：AC 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式得，即可判断A；由基本不等式得，即可判断B；由基本不等式及指数运算即可判断C；根据基本不等式“1”的妙用，得出，即可判断D． 【详解】对于A，，即，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确； 故选：BCD． 11. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为定值.则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. 若，则的方程为 B. 若上的点到两定点的距离之积为16，则点在上 C. 若，点在上，则 D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设上的点为，整理可得的轨迹方程为.对于A：直接代入即可；对于B：可得，代入检验即可得；对于C：根据的轨迹方程为代入点整理可得，换元构建函数，可知为在内的零点，结合二次函数的性质分析判断；对于D：根据题意可得，，结合勾股定理分析求解. 【详解】设上的点为，可得， 整理可得，即的轨迹方程为. 对于选项A：若，即， 所以的轨迹方程为，故A正确； 对于选项B：因为若上的点到两定点的距离之积为16， 即，，可得， 对于点，显然，所以点不在上，故B错误； 对于选项C：若，则的轨迹方程为， 代入点可得，整理可得， 令，可得， 令，可知为在内的零点， 因为的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递增， 且， 可知在内存在唯一零点，且，即，故C正确； 对于选项D：若，则， 且点在第一象限内，则， 又因为的面积为， 可得，且，则， 可得， 则，即， ，即， 所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于选项C：根据题意分析可得，换元构建函数，将方程的根转化为函数零点，结合零点存在性定理分析判断. 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】35 【解析】 【分析】合理对原式进行变形，再利用二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 而由二项式定理得的通项为， 令，解得，令，解得， 则含有的项为， 即的系数为35． 故答案为：35. 13. 对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分、去掉的绝对值，再作差判断的范围，进而得到的解析式，进而求值域. 【详解】当时,, 则， 令,， 则,对称轴为，开口向下， 所以在上单调递减，此时 所以， 此时 当时,, 则， 令， 则,对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增， 此时， 所以, 此时； 终上所述，. 故答案为：. 14. 甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则______；______． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】设出事件，由题意得到，由互斥事件的概率加法公式和全概率公式得到概率的递推式，接着构造等比数列,求出其通项公式即得. 【详解】设“经过次传球后，球在甲的手中”，则事件的概率即，则 依题意，，则 ， 即，(*) 因代入解得，，； 由（*）可得，，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是，，则得，. 故答案为：；. 四、解答题 15. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）根据男游客与女游客的人数的比值,结合卡方计算公式进行计算求解即可； （2）根据超几何分布的性质，结合数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下： 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得： ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关； 【小问2详解】 由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，. 所以的分布列为： 0 1 2 . 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)变形后利用余弦定理可求； (2)先将代入可得，再将代入得，联立方程组解得，由此将向量用表示，求解向量的模可得. 【小问1详解】 由得， 则由余弦定理得， ，. 【小问2详解】 由，解得①， ，，则②， 联立①②可得，，或. ，， 则，且， 所以， 当时，，则长为； 当时，，则长为. 综上所述，的长为或. 17. 如图，在三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，点D为棱的中点，棱上的点M满足平面，． （1）求线段AM的长； （2）若点E为棱BC的中点，且平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理可证得，再由面面平行的性质定理证得，由为的中点，可知为的中点，即可求出线段AM的长； （2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角公式求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，延长交于点，连接， 在中，是中点，D为棱的中点，所以， ，三棱柱中，，， 在上，则四点共面， 因为平面，平面， 平面平面，所以， 因为，，根据题意， 所以是平行四边形，则，则为的中点， 平面平面，平面平面， 平面平面，则， 因为，为的中点，， 则为的中点，所以， 【小问2详解】 因为平面ABC，是以BC为斜边的等腰直角三角形， 点E为棱BC的中点，所以，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面ABC，平面ABC，所以，， ， 所以， 所以， 所以， ， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 线与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）零点个数为1，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式； （2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题； （3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果. 【小问1详解】 由题意得，． 【小问2详解】 由题意得，， 令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，， 所以实数m的取值范围为 【小问3详解】 令，则，整理得， 令，则， 当时，．所以在上单调递减， 又， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点． 当时，，此时函数无零点． 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1． 19. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为. （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 假设存在，则一定有 因为，得 化简得 因为 显然 所以在无解； 故不存在连续的三项为等差数列. 【解析】 【分析】（1）设直线与相关点的坐标，然后联立抛物线和直线方程，利用韦达定理计算出需要的值，最后表示出面积，计算其最值，求出即可； （2）利用抛物线中点弦定理，求出相关直线方程，然后表示出，然后找到两者关系，最后利用其关系求得通项公式即可； （3）利用等差中项的判断方式，判断数列不可能存在连续三项是等差数列. 【小问1详解】 设直线， 联立，得， 得 由韦达定理可知： 由题可知： 因为面积的最小值为，且， 所以. 【小问2详解】 设， 由题可知，，两式求差可得 所以， 所以直线方程为，整理得 同理：方程为： 令可得 可知，方程为： 因为过焦点，所以有 方程为： 令可得 由，可知 因为， 得 取对数可得 由题可知， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； 所以有 解得 【小问3详解】 不存在，理由略 【点睛】关键点点睛：第一问，可以利用常规的计算方式计算，也可以利用抛物线的焦点三角形的面积公式（为直线倾斜角）判断即可，最好证明该二级结论； 第二问，主要是需要找到关系，所以需要多建立直线方程，最好用相同的容易计算的方式，所以利用中点弦定理，建立方程，比较容易计算，得到，此种数列，去对数求解即可; 第三问，判断是否存在连续三项为等差数列，假设存在，然后直接用反证法证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省宜春市上高县2024-2025学年高三10月份月考数学试卷 一、单选题 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，（其中为虚数单位），且，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ） A. B. 28 C. D. 14 6. 已知（其中为自然对数的底数），，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则满足的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥，满足，，，，点在底面上，且，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递增 C. D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为12 10. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为定值.则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. 若，则的方程为 B. 若上的点到两定点的距离之积为16，则点在上 C. 若，点在上，则 D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数为______． 13. 对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为______． 14. 甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则______；______． 四、解答题 15. 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 （1）完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? （2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的长. 17. 如图，在三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，点D为棱的中点，棱上的点M满足平面，． （1）求线段AM的长； （2）若点E为棱BC的中点，且平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）若函数与的图象关于点对称，求的解析式； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）判断函数在的零点个数，并说明理由． 19. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为. （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $