1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4 空间向量的应用 1 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 2 【学习目标】 1.联系空间向量与立体几何，知道直线的方向向量和平面的法向量. 2.结合空间几何体，能求出有关直线的方向向量和平面的法向量. 3.在空间点的向量表示的基础上，能借助直线的方向向量和平面的法向量 来刻画直线和平面. 3 知识点 空间元素的向量表示 1.空间中点的向量表示 如图，在空间中,我们取一_______作为基点,那么空间中任意一点 就可以用向量 来表示.我们把向量称为点 的__________. 定点 位置向量 课 前 预 习 4 2.空间中直线的向量表示 确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用 是直线 的方向向量,在 直线上取， 是 直线 上的任意一点 _____ 空间任意直线由直 线上一点及直线的 方向向量唯一确定 课 前 预 习 5 确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用 是直线 的方向向量,在 直线上取， 是 直线上的任意一点， 是空间中的任意一点 __________ 空间任意直线由直 线上一点及直线的 方向向量唯一确定 续表 课 前 预 习 6 3.空间中平面的向量表示 确定平面的条件 图形表示 向量表示 两条直线相交于点 ，它们的 方向向量分别为,,为平面 内任意一点 P是平面内的任意一点， 是空间中的任意一点 课 前 预 习 7 确定平面的条件 图形表示 向量表示 给定点和平面 的法向量 ， 以及平面 内一点 续表 课 前 预 习 8 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线 的一个方向向量. ( ) × [解析] 当时，不是直线 的方向向量，故错误. （2）若，在直线上，则直线的一个方向向量为 . ( ) √ [解析] ， 与共线的非零向量都可以作为直线 的方向向量， 故正确. 课 前 预 习 9 （3）若向量, 为同一平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一 定平行.( ) × [解析] 以这两个向量为方向向量的直线也可能重合，故错误. 课 前 预 习 10 2.平面的法向量有几个?它们的关系是怎样的? 解：平面的法向量有无数个,它们是平行向量. 课 前 预 习 11 探究点一 确定空间中点的位置 例1 已知点，，在直线上取， 两点，位置如图所示，求满足下列条件的点和点 的 坐标. （1） ； 课 中 探 究 12 解：由已知，得，即，则 . 设点的坐标为，则,即 , , ， 所以点的坐标为 . 课 中 探 究 13 （2） . 解：因为，所以 ， 所以，则 ， 设点的坐标为,则,所以点 的 坐标为 . 课 中 探 究 14 变式 已知点,,为线段上一点且,则点 的坐标为 ( ) C A. B. C. D. [解析] 设,为线段上一点且, ,即 , 因此点C的坐标为 .故选C. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，然后列 出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标. 课 中 探 究 16 探究点二 求空间直线的方向向量 例2 如图所示，在平行六面体 中， 设，，，，， 分别是 ，，的中点，以{，， }为空间的一 个基底. （1）求直线 的一个方向向量； 解： ， 直线的一个方向向量为 . 课 中 探 究 17 （2）求直线 的一个方向向量； 解： ， 直线的一个方向向量为 . （3）求直线 的一个方向向量. 解： , 直线的一个方向向量为 . 课 中 探 究 18 变式（1） 若，在直线上，则直线 的一个方向向量为 ( ) C A. B. C. D. [解析] 依题意，直线的一个方向向量为 ，分 析选项可知只有C符合题意，A,B,D均不符合题意.故选C. 课 中 探 究 19 （2）已知直线的一个方向向量，且直线过点 和点 ，则 ( ) D A.0 B.1 C. D.3 [解析] 连接，由题意得，因为直线 过点A和点B，且 直线的一个方向向量，所以，所以存在实数 ，使得 ，即，即解得 所以 .故选D. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点，用所给的基向量表示以这两 个点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算. 课 中 探 究 21 探究点三 求平面的法向量 例3 如图，在长方体中， ， ， ，建立适当的空间直角坐标系，求下列 平面的一个法向量： （1）平面 ； 课 中 探 究 22 解：以为原点，,,所在的直线分别为,, 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,, , ，所以 . 因为 平面，所以为平面 的一个 法向量，所以平面的一个法向量为 . 课 中 探 究 23 （2）平面 ； 解：设平面的法向量为 ， 因为, ， 所以令，则 ， 所以平面的一个法向量为 . 课 中 探 究 24 （3）平面 . 解：设平面的法向量为 ， 因为, ， 所以令，则 ， 所以平面的一个法向量为 . 课 中 探 究 25 变式1 已知,,，则下列向量是平面 法向量的是 ( ) C A. B. C. D. [解析] 因为,,，所以, ， 设平面的法向量为，则可得 ， 经检验，仅 符合题意．故选C. 课 中 探 究 26 变式2 如图所示，在三棱柱 中， ,，,为 的中点， 平面 .建立适当的空间直角坐标系,分别求平 面与平面 的一个法向量. 解:连接，因为，为 的中点， 所以 . 又因为 平面，所以, , 所以，， 两两垂直. 课 中 探 究 27 以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，,, , 所以, . 易知向量是平面 的一个法向量. 设平面的法向量为 ， 则即 取，则平面的一个法向量为 （, ,1）. 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 利用待定系数法求平面的法向量的步骤: ①设向量：设平面的法向量为 . ②选向量：在平面内选取两个不共线向量， . ③列方程组：列出方程组 并解方程组. ④赋非零值：取其中一个为非零值（常取 ）,得到平面的一个法向量. 课 中 探 究 29 1.对平面的法向量的理解 （1）平面 的一个法向量垂直于平面 内所有直线的方向向量. （2）一个平面的法向量有无数个,它们互相平行. 2.直线的方向向量和平面的法向量的作用 （1）可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面的平行、垂 直等位置关系. （2）可以利用它们求直线与平面所成的角. （3）可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题. 备 课 素 材 30 1.求法向量的关键是转化为空间向量的数量积运算. 例1 已知平面 经过点，,，则平面 的一个法 向量是______________________. （答案不唯一） [解析] 因为，,，所以 ， ， 设平面 的法向量为，则 即 解得,，令，则，可得平面 的一个法向量为 . 备 用 习 题 31 2.求平面法向量的三个注意点. （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量. （2）取特值：在求法向量的坐标时，可令，， 中的一个为特殊 值即可求得另两个值，这样就得到了平面的一个法向量. （3）注意0：令法向量 的某个坐标为某特殊值时一定要注意这个坐 标不为0. 备 用 习 题 32 例2 如图，平面 平面， 是边长 为1的正三角形，四边形 是菱形， ，是的中点，是 的中点，试建 立恰当的空间直角坐标系，求平面 的一个法向量. 解：连接，因为，为的中点，所以 ， 又因为平面 平面，平面 平面， 平面 ， 所以 平面.连接，，因为， ， 所以是等边三角形，所以 . 备 用 习 题 33 以为原点，，，所在直线分别为轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得，， ， 所以， . 设平面的法向量为 ， 则即 所以令，则， ， 所以平面的一个法向量为 . 备 用 习 题 34 例3 在四棱锥中，底面 是直角梯形， ， ， 平面 ， ， ，建立适当的空间直角坐标 系，并求平面和平面 的法向量． 解：因为 平面，, 平面 ，所以, ， 又 ，，所以 ， 所以以为原点，以，，的方向分别为轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系， 备 用 习 题 35 如图所示， 则,,,.易知 是平面 的一个法向量． ，， 设平面 的法向量为 ， 则 取，得, ， 故是平面 的一个法向量． 备 用 习 题 36 $$