江西省南昌三中教育集团2024-2025学年九年级上学期数学第一次摸底测试

南昌三中教育集团 2024—2025 学年上学期初三数学试卷 命题人：张琴 审题人：樊奇花 一、选择题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2﹣5x+c=0 一定有实数根的是（ ） A. a=0 B. c=0 C. a＞0 D. c＞0 2. 在直角坐标系中，把抛物线 2y x= 向左平移 2 个单位长度，向下平移 1 个单位长度， 得到抛物线（ ） A.  22 1y x   B.  22 1y x   C.  22 1y x   D.  22 1y x   3. 已 知 一 个 二 次 函 数 图 象 经 过        1 1 2 2 3 3 4 43, , 1, , 1, , 3,P y P y P y P y  ， 其 中 2 3 4y y y  ，则 1 2 3, ,y y y 中最值情况是（ ） A. 1y 最小， 3y 最大 B. 2y 最小， 1y 最大 C. 2y 最小， 3y 最大 D. 无法判断 4. 若函数 y＝（m﹣1）x2﹣6x+ 3 2 m的图象与 x轴有且只有一个交点，则 m的值为（ ） A. ﹣2或 3 B. ﹣2或﹣3 C. 1或﹣2或 3 D. 1或﹣2或﹣3 5. 一次函数  0y ax b a   与二次函数  2 0y ax bx c a    在同一平面直角坐标系 中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    的对称轴为直线 = 1x  ，其部分图象交 x轴负半轴于点 A， 交 y轴正半轴于点 B，如图所示，则下列结论： ① 2 4 0b ac  ；②2 0a b  ；③ ( )m am b a b   （m为任意实数）； ④点 1 2 3 7 3 5, , , , , 2 2 4                   y y y 是该抛物线上的点，且 1 2 3y y y  其中正确的有（ ） （6） （11） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 7. 用配方法解方程 2 6 1 0x x   ，经过配方，得到______． 8. 若方程 2 6 0x ax   有两个相等的实数根，则 a ______． 9. 若一元二次方程 2 6 0x x   的两根为 1x ， 2x ，则 1 2 1 1  x x 的值为______． 10. 若 m，n是方程 2 2 2 0x x   的两个实数根，则 2 22 4 4 2023m n n   的值为______． 11. 二次函数  2 0y ax bx c a    的部分图象如图，图象过点  1,0 ，对称轴为直线 2x  ，若抛物线与 y轴交于点 A，且 5 2 OA  ，则抛物线与 x轴正半轴上的交点坐标为______． 12. 定义  , ,a b c 为函数 2y ax bx c   的“特征数”．如函数 2 3y x x   的特征数为  1,3,0 ，函数 4y x  的特征数为 0,1, 4 ，若特征数为 2 ,6,3a  的函数图象与 x轴只 有一个交点，则 a的值为______． 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13.解方程 （1）x2﹣4x+2＝0（配方法） （2）x2﹣2x﹣2＝0（公式法） 14．解方程 （1） 2 4 1x x  （2）  21 3 3x x   15. 已知关于 x的一元二次方程  2 3 1 0x m x m     ． （1）若 1x  是方程的一个根，求实数 m的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 16. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加， 2022年出口量为 20万台，2024年出口量增加到 45万台. （1）求 2022年到 2024年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少? （2）按照这个增长速度，预计 2025年我国新能源汽车出口量为多少? 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 C，A分别在 x轴，y轴上，经过 A，C 两点的抛物线交 x轴于另一点 D，连接 AC．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作 图痕迹） （1）在图 1中的抛物线上找出点 E，使DE AC ． （2）在图 2中的抛物线上作出该抛物线的顶点 F． 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18.已知：二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    中的 x和 y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 1 0 m 8 … （1）可求得 m的值为__________； （2） 求出这个二次函数的解析式； （3）当0 3x  时，则 y的取值范围为______________ 19.某商家销售一种成本为 20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量�(件)与当天的销 售单价�(元/件)满足一次函数关系，并且当� = 25时，� = 550；当� = 30时� = 500.物价部 门规定，该商品的销售单价不能超过 52元/件． (1)求出 y与 x的函数关系式； (2)问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是 8000元？ (3)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润． 20. 如图，已知抛物线 21y x mx  与 x轴交于点  2,0A ． （1）求 m的值和顶点 M的坐标； （2）求直线 AM 的解析式 2y ； （3）根据图象，直接写出当 1 2y y 时 x的取值范围 ． 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21. 阅读下列材料并解决问题 【问题】解方程： ； 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设 ，则原方程为 ，解得 ， 舍去 所以 ， ， ． 【解决问题】 解方程 ． 关于 的方程 恰好有 个不相等的实数根满足此方程，求 的值． 22.如图，已知抛物线的顶点为 A（0，2），矩形 CDEF的顶点 C、F在抛物线上，点 D、E 在 x轴上，CF交 y轴于点 B（0，4），且矩形其面积为 32． （1）此抛物线的解析式． （2）点 P是 x轴上一点，若△PCF为等腰三角形，请直接写出 P点坐标． （22） （23） 六、解答题（本大题共 12 分） 23. 如图所示，已知抛物线 2 ( 0)y ax a  与一次函数 y kx b  的图象相交于 ( 1, 1)A   ， (2, 4)B 两点，点 P是抛物线上不与 A，B重合的一个动点，点 Q是 y轴上的一个动点． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）当点 P在直线 AB上方时，求出 PAB 面积最大时点 P的坐标； （3）是否存在以 P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出 P的坐标； 若不存在，请说明理由． 1、 选择题 BDA CCA 2、 填空题 7、 8、 9、 10、2043 11、 12、0或 三、 13、(总分6分） （1） 配方法（3分） ∵x2﹣4x+2＝0， ∴x2﹣4x＝﹣2， ∴x2﹣4x+4＝2， ∴（x﹣2）2＝2， ∴x＝2±； （2） 公式法（3分） ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0， 则x1±， 即x1＝1，x2＝1． 14、 (总分6分) （1）， （3分） （2），（3分） 15、(总分6分) (1)解：将代入原式，得， 解得：；（3分） (2)证明：∵ ， 又∵无论m取何值，恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根；（6分） 16 、(总分6分) (1)解：设年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两年新能源汽车出口量的年平均增长率为；（3分） (2)万台， ∴预计2025年我国新能源汽车出口量为67.5万台．（6分） 17、(总分6分) 解：（1）如图1，延长BA交抛物线于点E，点E即为所求；（3分） （2）如图2，延长CA、DE交于点P知△PCD为等腰三角形，连接AD、CE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F即为所求．（6分） 18、 (总分8分) 解：（1）∵抛物线过点（1，0），（3，0）， ∴抛物线对称轴为直线， ∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3）， ∴m＝3， 故答案为3；(2分) （2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣4x+3， 故答案为y＝﹣4x+3；(5分) （3）由抛物线的性质得当x=2时，y有最小值-1， 由图表可知抛物线y＝a+bx+c过点（0，3），（3，0）， 因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤y＜3．(8分) 19、 (总分8分) 解：设， 根据题意可得， 解得， 则；(2分) 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 销售单价最高不能超过52元/件， ， 答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元；(5分) 利润 ， 当时，w取最大值为：9000， 故当销售单价定50元时，每天获得的利润最大，其最大利润为9000元．(8分) 20 、(总分8分) 解 (1)将代入可得 ，解得，即， 则的对称轴为 将代入得，，即；(2分) (2）设，将，代入可得 ，解得， 即；(5分) (3)由图像可得：当时x的取值范围为或 (8分) 21、(总分9分) 解解：，  设，则原方程为，  解得：，舍去，  当时，，  ，  ，  ，  所以，  解得：，，  经检验：，是原方程的解．（5分）  设，，  因为原方程有三个实数解，  所以与的图象有三个交点，     由图知，． （9分） 22、(总分9分) 解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2）， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵四边形CDEF为矩形， ∴C、F点为抛物线上的对称点， ∵矩形其面积为32，OB＝4， ∴CF＝8， ∴F点的坐标为（4，4）， 设抛物线解析式为y＝ax2+2，把F（4，4）代入得16a+2＝4，解得a， ∴抛物线解析式为yx2+2；(3分) （2）设P（x，0）． ①当PF＝PC时，点P在线段CF的垂直平分线上，此时点P与点O重合，其坐标是（0，0）；(5分) ②当PF＝CF＝8时，（x﹣4）2+42＝64，解得x＝4±4，所以此时点P的坐标是（4+4，0）或（4﹣4，0）；(7分) ③当PC＝CF＝8时，（x+4）2+42＝64，解得x＝﹣4±4，所以此时点P的坐标是（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0）；(9分) 综上所述，符合条件的点P的坐标是：（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0）． 六、解答题（12分） 23、（1）将代入，得：， ∴； 由题意得：，解得：， ∴；(2分) （2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两者交于点， ，， ，， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 过点作于，作于．则，， ，． ． ，，， 当时，的值最大． 当时，，， 即面积的最大值为，此时点的坐标为，(6分) （3）存在三组符合条件的点， 当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， ，，，， 可得坐标如下： ①的横坐标为，代入二次函数表达式， 解得：，；(8分) ②的横坐标为3，代入二次函数表达式， 解得：，；(10分) ③的横坐标为1，代入二次函数表达式， 解得：，．(12分) 故：的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $