高一数学期中考试模拟试卷（A卷）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

2024-2025学年度第一学期期中考试模拟试卷（A卷） 高一数学 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 5．设，则（    ） A． B． C． D． 6．“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（   ） A．B．C．D． 8．定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域是 12．已知幂函数图象过点，则= ， . 13．计算： . 14．已知函数．①若，则a的值为 ． ②若不等式对任意都成立，则实数a的取值范围是 ． 15．高斯是德国著名的数学家，被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：，，其中表示不超过x的最大整数，例如：，.令函数，则下列说法正确的有 ①． ②．是周期函数 ③．在上单调递增 ④． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．在①“命题”是真命题；②命题是真命题；这两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，， (1)当时，求． (2)若选_____，求实数的取值范围． 17．已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 18．已知在上有意义，单调递增且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 19．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 20．已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）试用函数单调性定义证明：在上是减函数； （3）要使方程在上恒有实数解，求实数的取值范围. 21．已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中考试模拟试卷（A卷） 高一数学 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的概念即可得出答案. 【详解】因为，，所以 故选：D 2．若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论. 【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误； 对B：当，时，由不能推出，所以B错误； 对C：当时，由不能推出，所以C错误； 对D：由，又，所以，所以D正确. 故选：D 3．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用函数奇偶性定义易得函数奇偶性，对于函数单调性判断，可以通过函数图象进行判断，或者等价转化简化函数解析式，再进行判断. 【详解】 对于项，为奇函数，不符合题意，故A项错误； 对于B项，为偶函数，在上单调递减，不符合题意，故B项错误； 对于C项，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意，故C项正确； 对于D项，为奇函数，不符合题意，故D项错误. 故选：C． 4．函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 5．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】在上单调递增，在上单调递减，． 故选：A． 6．“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分性，必要性的定义判定即可. 【详解】若，则方程为， 即，则其只有一个解； 若方程只有一个解，则或，所以或， 所以“”是“方程只有一个解”的充分不必要条件. 故选：B 7．如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案. 【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 8．定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 9．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以，且和是一元二次方程的两根， 所以，解得 所以不等式可化为，即， 解得，则不等式的解集是． 故选：A 10．记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】分类讨论结合一次函数、二次函数的性质与图象计算即可. 【详解】以下只分析函数在上的图象及性质，分类讨论如下： ①当时，函数在区间上单调递增， 即，此时单调递减，；    ②当时，， 所以， 易知当时，， 当，， 此时；    ③当时，， 即， 易知当时，， 当，， 此时；      而，综上可知的最小值为. 故选：A 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数的定义域是 【答案】 【分析】根据二次根式和分式的意义可得答案. 【详解】要使有意义，则， ∴， ∴的定义域为， 故答案为：． 12．已知幂函数图象过点，则= ， . 【答案】 【分析】设幂函数，待定系数法可求得，代入即得解 【详解】由题意，设幂函数，图象过点 故 故幂函数为 故答案为：， 13．计算： . 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】; 故答案为： 14．已知函数．①若，则a的值为 ． ②若不等式对任意都成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对①：根据题意，分类讨论当和时，代入分段函数，分别解方程即可；对②：根据题意可得函数的最小值为，结合分段函数单调性分析运算. 【详解】对①：当时，则，则； 当时，则，则（舍去）； 综上所述：； 对②：∵不等式对任意都成立，则函数的最小值为， ∴，解得， 故实数a的取值范围是； 故答案为：①；②. 15．高斯是德国著名的数学家，被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：，，其中表示不超过x的最大整数，例如：，.令函数，则下列说法正确的有 ①． ②．是周期函数 ③．在上单调递增 ④． 【答案】①②④ 【分析】根据“高斯函数”的含义结合函数周期性以及单调性一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于①，表示不超过x的最大整数，故，①正确； 对于②，函数，则， 即是周期函数，②正确； 对于③，不妨取以及，则， 即在上不单调递增，③错误； 对于④，，， 则，即，④正确， 故选：①②④ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．在①“命题”是真命题；②命题是真命题；这两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，， (1)当时，求． (2)若选_____，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）明确集合，根据并集的运算求. （2）根据所选条件，确定集合的关系，根据集合的关系求参数的取值范围. 【详解】（1）当，，，所以. （2）若选①，则， 因为，所以， 由，所以实数的取值范围是：. 若选②，则，由. 且或或或， 得：或或或.所以 所以实数的取值范围是：. 17．已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； 【分析】（1）当a＝﹣4时，代入不等式f（x）≤0，可得：（x﹣1）（x﹣3）≤0，解出即可得出． （2）由题意可得一元二次方程f（x）＝0无实数根，因此△＜0，解出即可得出． 【详解】（1）当，不等式为．   ∵方程有两个实数根，．   ∴不等式的解集为．        （2）∵解集为R， ∴方程无实根， ∴．     ∴实数的取值范围是． 18．已知在上有意义，单调递增且满足． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，通过令，即可证明结果； （2）根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求出结果. 【详解】（1）因为，令，得到， 所以. （2）， 又函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的的解集为. 19．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论. 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，， 由函数性质可知当时单调递增，所以当时，， 当时，， 由不等式性质可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 综上当时，. 20．已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）试用函数单调性定义证明：在上是减函数； （3）要使方程在上恒有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】（1）根据奇函数的性质可求得结果； （2）按照取值、作差、变形、判号、下结论这五个步骤证明即可得解； （3）令，转化为求在上的值域，利用（2）的结论和奇偶性可得在上为减函数，根据单调性可求得结果. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，，所以， 因为，所以， 故. （2）任取，且， 则 . ∵， ∴， ∴， ∴在上是减函数. （3）方程在上恒有实数解，即在上恒有实数解， 由（2）知在上是减函数，又是奇函数， 所以在上也是减函数， 令，则在上为减函数， ， 所以，， ∴实数的取值范围为. 21．已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1349 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1），， 集合，集合. （2），，且， T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足， ； （3）设集合满足题意，其中， 则 ， ， ，由容斥原理，， 的最小元素为0，最大元素为，， 解得 实际上时满足题意，证明如下： 设， 则， 题意有，即， m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多， 即时满足题意 综上，的最大值为1349. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$