第13讲 相似多边形、相似三角形的判定与性质、相似三角形应用（6个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第13讲 相似多边形/相似三角形的判定与性质/相似三角形应用（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点2．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点3．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点4．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点5．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点6．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 题型强化 题型一．相似图形 1．（2023秋•衡南县期末）下列四组图形中，不是相似图形的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•海口期末）如图两个形状相同的举重图案，则的值是 　　． 3．如图所示，将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） 题型二．相似多边形的性质 4．（2023秋•曲阳县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是　　 A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 5．（2024•建邺区校级开学）如图，矩形的边，点、分别在边、上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 　　． 6．（2023秋•平坝区月考）（1）用配方法解方程：； （2）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 题型三．相似三角形的判定 7．（2023秋•宽甸县期末）如图，在△中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，那么经过　　秒时△与△相似． A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒 8．（2023秋•南昌期末）如图，，，，，．点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则的长为　　． 9．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，是的边上的点，已知，，，．求证：． 题型四．相似三角形的判定与性质 10．（2024•福州模拟）如图，在正方形中，，点为上一点，连接交于点，延长交的延长线于点，若，则的长为　　 A． B． C． D．2 11．（2024•九龙坡区自主招生）如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为 　　． 12．（2024秋•榆树市校级月考）在△ABC与△A′B′C′中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，A′B′＝10，B′C′＝12，A′C′＝14． （1）求证：△ABC∽△A′B′C′． （2）直接写出△ABC与△A′B′C′的面积比． 题型五．相似三角形的应用 13．（2024春•牟平区期末）操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是　　 A． B． C． D． 14．（2024秋•绿园区校级月考）已知小颖身高，她的影子长度．若与此同时，小东的影子比小颖的影子长，则小东的身高是 　　． 15．（2024秋•江阴市校级月考）在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题： “今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何．” 用今天的话说，大意是：如图，是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点，出北门20步到处有一树木，出南门14步到，再向西行1775步到处，正好看到处的树木（即点在直线上），求小城的边长． 题型六．作图-相似变换 16．（2022秋•武侯区校级期中）如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（济宁期末）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，，按此规律继续下去，则矩形的面积为　　． 18．（2024•澄城县一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 分层练习 一、单选题 1．下列图形一定是相似图形的是（　　） A．两个矩形 B．两个周长相等的直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形 2．两个五角星相似，相似比为，则它们的面积比等于（    ） A． B． C． D． 3．下列各组图形中一定相似的有（    ） ①任意两个长方形；②两个等边三角形；③两个半径不等的圆；④两个四边形；⑤两个菱形． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 4．关于等边三角形，下列说法不正确的是（    ） A．等边三角形是轴对称图形 B．所有的等边三角形都相似 C．等边三角形是正多边形 D．等边三角形是中心对称图形 5．如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 6．手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形四边形，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 9．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 10．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（）    A． B． C． D． 二、填空题 11．若四边形四边形，且，则四边形与四边形的面积之比为 ． 12．给形状相同且对应边的比为1：2两块标牌表面涂漆，如果小标牌用漆半公升，那么大标牌需要用漆 公升． 13．如图，四边形四边形，则的长为 ． 14．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是 ． 15．图中的各组图形是否是相似图形？ （1） ； （2） ； （3） ． 16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝60，CD＝15，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝ . 17．把一个菱形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍． 18．如图，直角三角形DEF是由直角三角形ABC沿BC向右平移3cm得到的，如果AB=6cm，DH=2cm，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 19．如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．    （1）题中已具备哪一个条件？ （2）在不添加任何辅助线的情况下，还需要哪一个条件？写出这个条件（要求：写出不同的四个条件，勿须证明）． 20．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 21．（1）用配方法解方程：； （2）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 22．2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．    23．景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 24．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 25．已知：的直角坐标系中的位置如图所示． 为的中点，点为折线上的动点，线段把分割成两部分．问：点在什么位置时，分割得到的三角形与相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段，并求出相应的点的坐标）． 26．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 相似多边形/相似三角形的判定与性质/相似三角形应用（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点2．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点3．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点4．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点5．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点6．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 题型强化 题型一．相似图形 1．（2023秋•衡南县期末）下列四组图形中，不是相似图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【解答】解：、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； 、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； 、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； 、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是相似形的定义，是基础题． 2．（2023秋•海口期末）如图两个形状相同的举重图案，则的值是 　　． 【分析】利用相似图形对应线段成比例列式求解即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：22.5． 【点评】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是了解相似图形的对应线段成比例，难度不大． 3．如图所示，将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） 【分析】根据相似图形面积的比等于相似比的平方，可以知道分割后的图形的面积是原来图形面积的，分割后的图形的各边长是原来的，按照这个思路可以把原来的图形进行分割． 【解答】解：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，可以按如下方法分割： 【点评】本题考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．根据题意可以知道分割后的面积是原来面积的，则各边长就是原来的，这样就可以把图形分割． 题型二．相似多边形的性质 4．（2023秋•曲阳县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是　　 A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为，，， 甲和丙相似， 故选：． 【点评】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 5．（2024•建邺区校级开学）如图，矩形的边，点、分别在边、上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 　　． 【分析】根据正方形的性质，矩形的性质，相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：四边形为正方形， ， 四边形是矩形， ， 矩形矩形， ，即， 整理得，， 解得，（舍去），， 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 6．（2023秋•平坝区月考）（1）用配方法解方程：； （2）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 解得：； （2）四边形四边形， ， ，，，， ，即， ，即， ，，，， ． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，相似多边形的性质，关键是相似多边形性质的应用． 题型三．相似三角形的判定 7．（2023秋•宽甸县期末）如图，在△中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为；如果、两动点同时运动，那么经过　　秒时△与△相似． A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒 【分析】设经过秒时，△与△相似，则 ，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，△△，即；当时，△△，即，然后解方程即可求出答案． 【解答】解：设经过秒时，△与△相似， 则 ，， ， ， 当时，△△， 即， 解得：， 当时，△△， 即， 解得：， 综上所述：经过或秒时，△与△相似， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，准确分析题意列出方程求解是解题的关键． 8．（2023秋•南昌期末）如图，，，，，．点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则的长为　　． 【分析】设，则，根据垂直的定义得到，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，，即；然后分别解方程求出即可． 【解答】解：设，则， 于，于， ， 当时，， 即， 解得：， ， 当时，，即； 整理得， 解得，， ，， 当为8.4或2或12时，以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似． 故答案为：8.4或2或12． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 9．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，是的边上的点，已知，，，．求证：． 【分析】求出，根据求出，再根据相似三角形的判定定理证明即可． 【解答】证明：，，， ， ， ， 即， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，①有两角对应相等的两三角形相似，②有三边对应成比例的两三角形相似，③有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 题型四．相似三角形的判定与性质 10．（2024•福州模拟）如图，在正方形中，，点为上一点，连接交于点，延长交的延长线于点，若，则的长为　　 A． B． C． D．2 【分析】先求出，进而求出，证明△△即可求出结论． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， 在△中，， ， 解得：（舍去负值）， ， ， 在△中，， ， ， ， △△， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理、相似三角形判定与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 11．（2024•九龙坡区自主招生）如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为 　　． 【分析】设与的交点为，可得和是等腰三角形，设，则，在中，根据勾股定理可建立方程，求出的值，表达和的值，进而可得的长；再根据勾股定理可得的长，由平行可得和相似，根据相似比可得最终结果． 【解答】解：设与的交点为， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，，，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ，， ， 设，则； ，， 在中，， 由勾股定理可得， 即， 解得， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识，求出和的长是解题关键． 12．（2024秋•榆树市校级月考）在△ABC与△A′B′C′中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，A′B′＝10，B′C′＝12，A′C′＝14． （1）求证：△ABC∽△A′B′C′． （2）直接写出△ABC与△A′B′C′的面积比． 【分析】（1）根据三组对应边对应成比例的两个三角形相似，即可得证； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵AB＝5，BC＝6，AC＝7，A′B′＝10，B′C′＝12，A′C′＝14， ∴， ∴△ABC∽△A′B′C′； （2）∵△ABC∽△A′B′C′， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 题型五．相似三角形的应用 13．（2024春•牟平区期末）操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，根据同一时刻，物高与影长成正比得出方程求出的长即可． 【解答】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，，，， 则， ， 解得， 旗杆的高度是， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2024秋•绿园区校级月考）已知小颖身高，她的影子长度．若与此同时，小东的影子比小颖的影子长，则小东的身高是 　　． 【分析】设小东的身高为 ，根据三角形相似的性质得出同一时刻同一地点物体的高度和影长的比相等得出，求解即可． 【解答】解：设小东的身高为 ， 由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时物体的高度和影长成正比例是解答此题的关键． 15．（2024秋•江阴市校级月考）在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题： “今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何．” 用今天的话说，大意是：如图，是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点，出北门20步到处有一树木，出南门14步到，再向西行1775步到处，正好看到处的树木（即点在直线上），求小城的边长． 【分析】此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角形的性质解题，相似三角形的对应边成比例． 【解答】解：设小城的边长为步，根据题意， ， ， 即， 去分母并整理， 得， 解得，（不合题意，舍去）， 小城的边长为250步． 【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小城的边长． 题型六．作图-相似变换 16．（2022秋•武侯区校级期中）如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得． 【解答】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 17．（济宁期末）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，，按此规律继续下去，则矩形的面积为　　． 【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，，的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第4个矩形的面积． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形的相似矩形， 矩形的边长和矩形的边长的比为 矩形的面积和矩形的面积的比， 矩形的面积， 矩形的面积， 依此类推，矩形的面积和矩形的面积的比 矩形的面积 矩形的面积， 按此规律第4个矩形的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了作图相似变换，矩形的性质，勾股定理，解此题的关键是能根据相似多边形的性质求出的结果、得出规律． 18．（2024•澄城县一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接，点即为所求． 【解答】解：如图，点即为所求． 理由：由作图可知， ， ， ， ． 【点评】本题考查作图相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 分层练习 一、单选题 1．下列图形一定是相似图形的是（　　） A．两个矩形 B．两个周长相等的直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形 【答案】C 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】A. 两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B. 两个周长相等的直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意； C. 两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意； D. 两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意. 故选C. 【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备． 2．两个五角星相似，相似比为，则它们的面积比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】相似多边形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】解：两个五角星相似，相似比为， 它们的面积比等于． 故选C． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方． 3．下列各组图形中一定相似的有（    ） ①任意两个长方形；②两个等边三角形；③两个半径不等的圆；④两个四边形；⑤两个菱形． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【详解】①任意两个长方形，对应角相等，但边的比不一定相等，故不一定相似； ②两个等边三角形, 对应角相等，对应边成比例，故相似； ③两个半径不等的圆,相似； ④两个四边形, 对应角不一定相等，但边的比不一定相等，故不一定相似； ⑤两个菱形, 对应角不一定相等，故不一定相似； 故选A. 【点睛】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．形状相同，大小不一定相同的图形称为相似图形．全等是相似的一种特殊情况． 4．关于等边三角形，下列说法不正确的是（    ） A．等边三角形是轴对称图形 B．所有的等边三角形都相似 C．等边三角形是正多边形 D．等边三角形是中心对称图形 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、相似图形、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的定义，可判断A的正误；根据相似的判定条件，可判断B的正误；根据正多边形的定义，可判断C的正误；根据中心对称图形的定义，可判断D的正误． 【详解】解：A、根据轴对称图形的定义，可知等边三角形是轴对称图形，正确，故不符合题意； B、由所有的等边三角形的角都是60°，所以所有的等边三角形都相似，正确，故不符合题意； C、因为等边三角形的角相等，边相等，所以等边三角形是正多边形，正确，故不符合题意； D、根据中心对称图形的定义，可知等边三角形不是中心对称图形，错误，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形，相似，正多边形等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 5．如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故A，B不符合题意； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故D不符合题意． 当时，不能判定，故C符合题意． 故选：C． 6．手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案． 【详解】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求； B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求； C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求； D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例． 7．如图，四边形四边形，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形的内角和为解答即可． 【详解】解：∵四边形四边形 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、多边形的内角和；理解相似多边形的对应角相等是解题的关键． 8．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ） A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC 【答案】A 【知识点】证明两三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意； B．若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意； C．若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意； D．若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法． 9．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【知识点】证明两三角形相似 【详解】根据相似三角形的判定可得△AGB∽△FGH，△HED∽△HBC，△HED∽△BEA，△AEB∽△CBH，共4对．故答案选C． 考点：相似三角形的判定． 10．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质“相似多边形对应边的比叫做相似比”，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 故选：A． 二、填空题 11．若四边形四边形，且，则四边形与四边形的面积之比为 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：四边形四边形，， 四边形与四边形的面积比， 故答案为：． 12．给形状相同且对应边的比为1：2两块标牌表面涂漆，如果小标牌用漆半公升，那么大标牌需要用漆 公升． 【答案】2． 【知识点】比的应用、相似多边形的性质 【详解】试题分析：根据两块标牌的对应边的比为1：2，故可求出其对应面积的比，根据其面积的比即可求解． 解：∵两块标牌的对应边的比为1：2， ∴两块标牌面积的比为1：4， ∵小标牌用漆半公升， ∴大标牌用漆4×0．5=2公升． 考点：相似多边形的性质． 13．如图，四边形四边形，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键．由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将代入，计算即可求出边的长． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 14．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是 ． 【答案】 【知识点】证明两三角形相似、由平行判断成比例的线段 【分析】根据DE∥BC，可得 ，从而得到,即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ， ∴， ∴， ∵，DE＝1， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 15．图中的各组图形是否是相似图形？ （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 相似 相似 不相似 【知识点】相似图形 【详解】观察、分析可知：图（1）中的两个长方形是“相似”的；图（2）中的两个六边形是“相似”的；图（3）中的两个四边形“不相似”. 故答案为：（1）相似；（2）相似；（3）不相似. 16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝60，CD＝15，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝ . 【答案】30 【知识点】相似多边形的性质 【详解】解：在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=60，DC=15，E，F分别是腰AD，BC上的点，且EF∥AB，∵梯形DEFC∽梯形EABF，∴，即EF2=AB•CD=60×15=900，∴EF=30．故答案为30． 点睛：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比等于相似比． 17．把一个菱形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍． 【答案】 4 16 【知识点】相似多边形的性质 【分析】把一个菱形的各边都扩大4倍，则新菱形和原来的菱形相似且相似比为4：1，根据相似多边形对应线段之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，即可解答． 【详解】把一个菱形的各边都扩大4倍，则新菱形和原来的菱形相似且相似比为4：1， ∴其对角线扩大到原来的4倍，其面积扩大到原来的16倍． 故答案为 4；16． 【点睛】本题主要考查相似多边形的性质：相似多边形对应线段之比等于相似比，相似多边形面积之比等于相似比的平方． 18．如图，直角三角形DEF是由直角三角形ABC沿BC向右平移3cm得到的，如果AB=6cm，DH=2cm，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】15 cm 【分析】根据平移的性质可知：AB=DE，BE=CF；由此可求出EH和CF的长．由于CH∥DF，可得出△ECH∽△EFD，根据相似三角形的对应边成比例，可求出EC的长．已知了EH、EC，DE、EF的长，即可求出△ECH和△EFD的面积，进而可求出阴影部分的面积． 【详解】由平移的性质知，DE=AB=6cm，CF=BE=3cm，∠DEC=∠B=90° ∴EH=DE-DH=4cm ∵HC∥DF ∴△ECH∽△EFD ∴ ， 又∵BE=CF， ∴EC=6cm， ∴EF=EC+CF=9cm， ∴S阴影=S  -S  = DE•EF-EC•EH=15cm . 故答案为15 cm. 【点睛】此题考查平移的性质，解题关键在于求出EC的长. 三、解答题 19．如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．    （1）题中已具备哪一个条件？ （2）在不添加任何辅助线的情况下，还需要哪一个条件？写出这个条件（要求：写出不同的四个条件，勿须证明）． 【答案】（1） 或；（2） 或 或 或 或 ． 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】（1）根据题意由题中已具备的条件出了已知还有可证明的出的； （2）由题意直接根据相似三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：（1）∵   ， ∴   ， ∴   ， ∴   题中已具备的条件有： 或； （2） 或 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握，属于基础性题目． 20．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 21．（1）用配方法解方程：； （2）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 【答案】（1）（2），， 【知识点】解一元二次方程——配方法、相似多边形的性质、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，相似多边形的性质，多边形内角和． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【详解】解：（1） 解得：； （2）四边形四边形， ， ， ，即， ，即， ， ． 22．2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．    【答案】 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ， ， 根据题意得，，，， ， 答：的大致距离为． 23．景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 【答案】10米 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案； 【详解】解：， ， ， ， ， ， 米． 24．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】(1)， (2)43 【知识点】相似三角形应用举例、二元一次方程的解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度． 【详解】（1）由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； （2）对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 25．已知：的直角坐标系中的位置如图所示． 为的中点，点为折线上的动点，线段把分割成两部分．问：点在什么位置时，分割得到的三角形与相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段，并求出相应的点的坐标）． 【答案】见解析． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【详解】试题分析：按照公共锐角进行分类,可以分为两种情况:当∠BOC为公共锐角时,只存在∠PCO为直角的情况;当∠B为公共锐角时,存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况.如图,,,． 解：过作，垂足为，则，点的坐标为，过作，垂足为，则，点的坐标为，过作，垂足为（如图），则，易知，，，∴，，∴． 符合要求的点有三个，其连线段分别为，，（如图）． 26．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 学科网（北京）股份有限公司 $$