专题01 二次根式（考题猜想，易错必刷30题11种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（华东师大版）

专题01二次根式（易错必刷30题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次根式的定义 · 二次根式有意义的条件 · 二次根式的性质与化简 · 最简二次根式 · 同类二次根式 · 二次根式的加减法 · 二次根式的混合运算 · 二次根式的化简求值 · 二次根式的乘除法 · 二次根式的应用 · 分母有理化 一．二次根式的定义（共3小题） 1．若是整数，则满足条件的自然数n共有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知为整数，则正整数n的最小值为（　　） A．3 B．9 C．18 D．21 3．已知是正整数，则实数n的最小值是 　 　． 二．二次根式有意义的条件（共3小题） 4．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 5．已知x、y为实数，且，则x+y的值是（　　） A．10 B．8 C．5 D．3 6．已知，y＝+﹣2，则2x﹣y的值是 　 　． 三．二次根式的性质与化简（共8小题） 7．化简二次根式的结果是（　　） A． B． C． D． 8．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 9．有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|等于（　　） A．a B．﹣a C．2b+a D．2b﹣a 10．若1≤a≤2，则化简+|a﹣2|的结果是（　　） A．2a﹣3 B．﹣a C．3﹣2a D．1 11．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a﹣b B．2a﹣b C．﹣b D．b 12．式子＝4﹣x成立的x的取值范围是 　 　． 13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么+|b|化简的结果是 　 　． 14．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如：＝＝＝＝|1+|＝1+． 解决问题： 化简下列各式： （1）； （2）． 四．最简二次根式（共2小题） 15．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 16．下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 五．二次根式的乘除法（共1小题） 17．计算：的结果为 　 　． 六．分母有理化（共1小题） 18．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 七．同类二次根式（共3小题） 19．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是（　　） A．﹣2 B．5 C．﹣2或5 D．2或﹣5 20．下列式子中，与为同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 21．若最简根式与是同类二次根式，则m＝　 　． 八．二次根式的加减法（共1小题） 22．已知xy＝3，那么的值是 　 　． 九．二次根式的混合运算（共3小题） 23．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：＝＝＝＝﹣1． 例2：，…… （1）填空：＝　 　，＝　 　． （2）利用上面的结论，求下列式子的值． （3）根据你的推断，比较大小﹣ 　 　﹣．（填＞，＜，＝）． 24．阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． （1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝　 　；②＝　 　． （2）应用：化简． （3）拓展：＝　 　．（用含n的式子表示，n为正整数） 25．计算： （1）（5﹣）÷﹣×； （2）． 一十．二次根式的化简求值（共3小题） 26．已知，，则 等于（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 27．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　 　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 28． 先化简，后求值：，其中． 一十一．二次根式的应用（共2小题） 29．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦一秦九韶公式”．完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7． （1）求△ABC的面积； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长． 30．如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图． （1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； （2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； （3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？ $$专题01二次根式（易错必刷30题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次根式的定义 · 二次根式有意义的条件 · 二次根式的性质与化简 · 最简二次根式 · 同类二次根式 · 二次根式的加减法 · 二次根式的混合运算 · 二次根式的化简求值 · 二次根式的乘除法 · 二次根式的应用 · 分母有理化 一．二次根式的定义（共3小题） 1．若是整数，则满足条件的自然数n共有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解答】解：∵要使有意义， 必须12﹣n≥0，即n≤12， ∵是整数， ∴n只能是3或8或11或12， ∴条件的n共有4个值． 故选：A． 2．已知为整数，则正整数n的最小值为（　　） A．3 B．9 C．18 D．21 【答案】D 【解答】解：是整数，则正整数n的最小值是21， 故选：D． 3．已知是正整数，则实数n的最小值是 　　． 【答案】． 【解答】解：∵是正整数，且最小的正整数是1， ∴当n＝，此时＝1， ∴n的最小值为， 故答案为：． 二．二次根式有意义的条件（共3小题） 4．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【答案】C 【解答】解：根据题意，得 2x﹣4≥0， 解得，x≥2． 故选：C． 5．已知x、y为实数，且，则x+y的值是（　　） A．10 B．8 C．5 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意得： x﹣2≥0且6﹣3x≥0， 解得：x≥2且x≤2， ∴x＝2， ∴y＝3， ∴x+y＝2+3＝5， 故选：C． 6．已知，y＝+﹣2，则2x﹣y的值是 　10　． 【答案】10． 【解答】解：由题意可得， 解得：x＝4， ∴y＝+﹣2＝﹣2， ∴2x﹣y＝8+2＝10． 故答案为：10． 三．二次根式的性质与化简（共8小题） 7．化简二次根式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：若二次根式有意义，则﹣≥0， ﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2， ∴原式＝＝． 故选：B． 8．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 【答案】C 【解答】解：∵2＜a＜3， ∴ ＝a﹣2﹣（3﹣a） ＝a﹣2﹣3+a ＝2a﹣5． 故选：C． 9．有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|等于（　　） A．a B．﹣a C．2b+a D．2b﹣a 【答案】B 【解答】解：观察数轴可知： ，当b＜0时，， 所以原式＝﹣b﹣（a﹣b）＝﹣b﹣a+b＝﹣a． 故选：B． 10．若1≤a≤2，则化简+|a﹣2|的结果是（　　） A．2a﹣3 B．﹣a C．3﹣2a D．1 【答案】D 【解答】解：∵1≤a≤2， ∴+|a﹣2| ＝|a﹣1|+|a﹣2| ＝a﹣1+2﹣a ＝1， 故选：D． 11．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．﹣2a﹣b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【解答】解：∵a＜0＜b，且|a|＞|b|， ∴a＜0，a+b＜0， ∴|a|+ ＝|a|+|a+b| ＝﹣a﹣（a+b） ＝﹣2a﹣b． 故选：A． 12．式子＝4﹣x成立的x的取值范围是 　x≤4　． 【答案】x≤4． 【解答】解：∵＝4﹣x， ∴x﹣4≤0， ∴x≤4． 故答案为：x≤4． 13．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么+|b|化简的结果是 　a﹣2b　． 【答案】a﹣2b． 【解答】解：由题意得： b＜0＜a， ∴b﹣a＜0， ∴+|b| ＝a﹣b+（﹣b） ＝a﹣b﹣b ＝a﹣2b， 故答案为：a﹣2b． 14．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如：＝＝＝＝|1+|＝1+． 解决问题： 化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）2+；（2）﹣2． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝2+； （2） ＝ ＝ ＝﹣2． 四．最简二次根式（共2小题） 15．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【解答】解：①是最简二次根式； ②＝，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． ①③是最简二次根式，故选C． 16．下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A.＝2，故A不符合题意； B.是最简二次根式，故B符合题意； C.＝3，故C不符合题意； D.＝，故D不符合题意； 故选：B． 五．二次根式的乘除法（共1小题） 17．计算：的结果为 　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝3××， ＝， ＝1， 故答案为：1． 六．分母有理化（共1小题） 18．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【答案】C 【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣， ∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误； a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误； ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确； ∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4， ∴a2≠b2，故D选项错误； 故选：C． 七．同类二次根式（共3小题） 19．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是（　　） A．﹣2 B．5 C．﹣2或5 D．2或﹣5 【答案】B 【解答】解：根据题意得，x2﹣4x＝10﹣x， 整理得，x2﹣3x﹣10＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝5， 当x＝﹣2时，10﹣x＝10﹣（﹣2）＝12，二次根式不是最简二次根式，不符合题意，舍去； 当x＝5时，10﹣x＝10﹣5＝5，二次根式是最简二次根式，符合题意； ∴x＝5． 故选：B． 20．下列式子中，与为同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、∵＝2，∴与是同类二次根式，故B符合题意； C、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、＝，∴与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 21．若最简根式与是同类二次根式，则m＝　2　． 【答案】2． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴﹣2m+9＝5m﹣5， 解得m＝2， 故答案为：2． 八．二次根式的加减法（共1小题） 22．已知xy＝3，那么的值是 　±2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵xy＝3， ∴x、y同号， ∴原式＝x+y＝+， 当x＞0，y＞0时，原式＝+＝2； 当x＜0，y＜0时，原式＝﹣+（﹣）＝﹣2． ∴原式＝±2． 九．二次根式的混合运算（共3小题） 23．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：＝＝＝＝﹣1． 例2：，…… （1）填空：＝　﹣　，＝　﹣　． （2）利用上面的结论，求下列式子的值． （3）根据你的推断，比较大小﹣ 　＜　﹣．（填＞，＜，＝）． 【答案】（1）﹣；﹣； （2）9； （3）＜． 【解答】解：（1）＝＝﹣； ＝＝﹣； 故答案为：﹣；﹣； （2） ＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣ ＝﹣1+ ＝﹣1+10 ＝9； （3）∵＝＝+， ＝＝+， 而＞， ∴＞， ∴﹣＜﹣， 故答案为：＜． 24．阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题． （1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝　﹣　；②＝　+　． （2）应用：化简． （3）拓展：＝　　．（用含n的式子表示，n为正整数） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①＝＝﹣； ②＝＝+； 故答案为：①；②+； （2） ＝+++...+ ＝﹣+﹣+﹣+...+﹣ ＝﹣； （3） ＝+++...+ ＝+++...+ ＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣） ＝， 故答案为：． 25．计算： （1）（5﹣）÷﹣×； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（5﹣）÷﹣× ＝5÷﹣÷﹣+2 ＝5﹣﹣+2 ＝10﹣4﹣+2 ＝6+； （2） ＝3+2+1﹣（8﹣9） ＝3+2+1+1 ＝5+2． 一十．二次根式的化简求值（共3小题） 26．已知，，则 等于（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解答】解：∵，， ∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝（++﹣）2﹣2（+）（﹣） ＝（2）2﹣2×（3﹣2） ＝12﹣2 ＝10， 故选：C． 27．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　﹣1　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）＝＝﹣1， 故答案为：； （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣ ＝﹣1 ＝； （3）∵a＝+2， ∴a﹣2＝． ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3． 答：2a2﹣8a+1的值为3． 28．先化简，后求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a＝+＝+， ∴（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6）， ＝a2﹣3﹣a2+6a， ＝6a﹣3， ＝6×（+）﹣3， ＝3． 一十一．二次根式的应用（共2小题） 29．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦一秦九韶公式”．完成下列问题： 如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7． （1）求△ABC的面积； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a＝8，b＝5，c＝7， ∴p＝＝10． ∴△ABC的面积S＝＝10； （2）如图，∵△ABC的面积＝BC•AD， ∴×8×AD＝10， ∴AD＝． 30．如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图． （1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； （2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； （3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？ 【答案】（1）2，3； （2）如图1裁法得到长方形纸条的总长度为（80﹣30）cm； 如图2裁法得到长方形纸条的总长度为30cm； （3）12.5cm2． 【解答】解：（1）如图3，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝BC＝20，∠ACB＝90°， ∴AB＝AC＝×20＝40cm， ∴CD＝AB＝20cm， ＝＝2，且2＜2＜3， ∴如图1裁法最多能得到2条长方形纸条； 20÷5＝4， ∴如图2裁法最多能得到3条长方形纸条； （2）如图1， ∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴EF＝AF＝5cm， ∴EQ＝40﹣5﹣5＝（40﹣10）cm， 同理得：DP＝40﹣10﹣10＝（40﹣20）cm， ∴如图1裁法得到长方形纸条的总长度＝EQ+DP＝40﹣10+40﹣20＝（80﹣30）cm； 如图2， 同理可知△PEB是等腰直角三角形，且BE＝5cm， ∴PD＝20﹣5＝15cm，QG＝15﹣5＝10cm，•••， ∴如图2裁法得到长方形纸条的总长度＝15+10+5＝30（cm）； （3）如图4， 如图1裁法：PG＝＝（20﹣）cm， FG＝PG﹣PF＝20﹣﹣5＝（20﹣）cm， 如图2裁法：PG＝＝cm， FG＝PG﹣PF＝﹣5＝cm， ∵20﹣＜， ∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为（）2＝12.5（cm2）． $$