专题04 一次函数（考题猜想，易错必刷30题13种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

专题04一次函数（易错必刷30题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数关系式 · 函数自变量的取值范围 · 函数的图象 · 正比例函数的图象 · 一次函数图象与系数的关系 · 一次函数图象上点的坐标特征 · 一次函数的定义 · 正比例函数的定义 · 一次函数的图象 · 一次函数图象与几何变换 · 待定系数法求一次函数解析式 · 一次函数的应用 · 一次函数综合题 一．函数关系式（共1小题） 1．某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为　 　． 二．函数自变量的取值范围（共1小题） 2．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 三．函数的图象（共5小题） 3．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 4．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 6．把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，1min后将容器内注满．那么容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　） A．B． C．D． 7．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论： ①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇． ②这次比赛全程是10千米． ③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 正确的结论为　 　． 四．一次函数的定义（共1小题） 8．已知函数y＝（m﹣1）+1是一次函数，则m＝　 　． 五．正比例函数的定义（共1小题） 9．如果函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|是x的正比例函数，那么k的值为（　　） A．0 B．1 C．0或2 D．2 六．一次函数的图象（共2小题） 10．函数y1＝|x|，．当y1＞y2时，x的范围是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．x＞2 11．在同一坐标系中，函数y＝﹣ax与y＝ 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 七．正比例函数的图象（共1小题） 12．一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝abx（a、b为常数且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 八．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 13．已知一次函数y＝（m﹣4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．﹣≤m＜4 C．﹣≤m≤4 D．m 九．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 14．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 15．若直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b的值是　 　． 16．在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线l2：y＝mx+m（m＞0）与l1交于点E．若点E坐标为（1，n）． （1）求E的坐标和m的值； （2）点P在直线l2上，若S△AEP＝3，求点P的坐标． 一十．一次函数图象与几何变换（共2小题） 17．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1 18．将函数y＝2x﹣1的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y＝|2x﹣1|的图象，与直线y＝x+b的图象交点的横坐标x均满足﹣1＜x＜2，则b的取值范围为（　　） A．b＜1 B．﹣≤b＜1 C．1＜b＜4 D．0≤b＜1 一十一．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 19．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2 一十二．一次函数的应用（共8小题） 20．A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 21．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3） 实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 22．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 23．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值： C D 总计/t A 　 　 　 　 200 B x 　 　 300 总计/t 240 260 500 （2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 24．小明从A地匀速前往B地，同时小亮从B地匀速前往A地，如图表示两人距B地的路程y（m）与行驶时间x（min）之间的函数关系． 马小虎审题不清，将“两人距B地的路程y”看成了“两人距A地的路程y”，由此得到小明的速度为100m/min． （1）A地与B地的距离为　 　m，a＝　 　m，b＝　 　min，小明的实际速度为　 　m/min； （2）求当0≤x≤60时，两人的距离s（m）与x的函数表达式，并在图2中画出图象； （3）当两人之间的距离不大于2000m时，直接写出x的取值范围． 25．某农业观光园计划将一块面积为900m2的园圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）． （1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式． （2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？ （3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价． 26．洋洋和妮妮分别从学校和公园同时出发，沿同一条路相向而行．洋洋开始跑步中途改为步行，到达公园恰好用了30min．妮妮骑单车以300m/min的速度直接回学校．两人离学校的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）学校与公园之间的路程为 　 　m，洋洋步行的速度为 　 　m/min； （2）求妮妮离学校的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 27． 某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： （1）求张强返回时的速度； （2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？ （3）请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？ 一十三．一次函数综合题（共3小题） 28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点D． （1）点C的坐标为 　 　；求直线BC的表达式； （2）若点E为线段BC上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数表达式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM． ①若∠MBC＝90°，请直接写出点P的坐标　 　 　； ②若△PQB的面积为，求出点M的坐标； ③若点K为线段OB的中点，连接CK，如图2，若在线段OC上有一点F，满足∠CKF＝45°，求出点F的坐标 30．【模型建立】 （1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型应用】 （2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式； （3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由． $$专题04一次函数（易错必刷30题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数关系式 · 函数自变量的取值范围 · 函数的图象 · 正比例函数的图象 · 一次函数图象与系数的关系 · 一次函数图象上点的坐标特征 · 一次函数的定义 · 正比例函数的定义 · 一次函数的图象 · 一次函数图象与几何变换 · 待定系数法求一次函数解析式 · 一次函数的应用 · 一次函数综合题 一．函数关系式（共1小题） 1．某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为　y＝1.2x+3.4　． 【答案】y＝1.2x+3.4， 【解答】解：依据题意得：y＝7+1.2（x﹣3）＝1.2x+3.4， 故答案为：y＝1.2x+3.4， 二．函数自变量的取值范围（共1小题） 2．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 【答案】C 【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选：C． 三．函数的图象（共5小题） 3．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意； C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意； D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意． 故选：C． 4．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由图象可得，当t＝1时，s＝0， 即出发1小时时，甲乙在途中相遇，故①正确， 甲的速度是：120÷3＝40千米/时，则乙的速度是：120÷1﹣40＝80千米/h，故②正确； 出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×（80﹣40）＝60千米，故③正确； 在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故④错误， 故选：C． 5．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快， 所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大， 故选：B． 6．把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，1min后将容器内注满．那么容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水， 所以函数图象均为匀速上升， 由此可排除B，C选项， 刚开始时由于长方体铁块在圆柱体容器内， 注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积， 所以水面以较快速度均匀上升， 当水淹没长方体铁块后一直到水注满容器， 底面积是圆柱体的底面积， 所以水面以较慢速度均匀上升， 所以排除A选项，选项D符合题意， 故选：D． 7．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论： ①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇． ②这次比赛全程是10千米． ③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇． 正确的结论为　①③　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①15到33分钟的速度为km/min， ∴再行1千米用的时间为9分钟， ∴第一次相遇的时间为15+9＝24min，正确； ②第一次相遇时的路程为6km，时间为24min， 所以乙的速度为6÷24＝0.25km/min， 所以全长为48×0.25＝12km，故错误； ③甲第三段速度为5÷10＝0.5km/min，7+0.5×（t﹣33）＝0.25t， 解得t＝38，正确， 故答案为：①③． 四．一次函数的定义（共1小题） 8．已知函数y＝（m﹣1）+1是一次函数，则m＝　﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式， 则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）． 因而有m2＝1， 解得：m＝±1， 又m﹣1≠0， ∴m＝﹣1． 五．正比例函数的定义（共1小题） 9．如果函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|是x的正比例函数，那么k的值为（　　） A．0 B．1 C．0或2 D．2 【答案】A 【解答】解：由题意得： |k﹣1|＝1且k﹣2≠0， ∴k＝2或k＝0且k≠2， ∴k＝0， 故选：A． 六．一次函数的图象（共2小题） 10．函数y1＝|x|，．当y1＞y2时，x的范围是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．x＞2 【答案】C 【解答】解：由图象可知：在（﹣1，1）左边，（2，2）的右边，y1＞y2， ∴x＜﹣1或x＞2． 故选：C． 11．在同一坐标系中，函数y＝﹣ax与y＝ 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：若正比例函数y＝﹣ax的图象从左往右下降，则﹣a＜0， 此时，一次函数y＝ 的图象与y轴交于负半轴，故A选项正确，B选项错误； 若正比例函数y＝﹣ax的图象从左往右上升，则﹣a＞0， 此时，一次函数y＝ 的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项错误；而D选项不合题意． 故选：A． 七．正比例函数的图象（共1小题） 12．一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝abx（a、b为常数且ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【答案】C 【解答】解：若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，y＝abx经过一、三象限， 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，y＝abx经过二、四象限， 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，y＝abx经过二、四象限， 若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，y＝abx经过一、三象限， 故选：C． 八．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 13．已知一次函数y＝（m﹣4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．﹣≤m＜4 C．﹣≤m≤4 D．m 【答案】B 【解答】解：根据题意得 ， 解得﹣≤m＜4． 故选：B． 九．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 14．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能比较 【答案】A 【解答】解：∵k＝﹣＜0， ∴y随x的增大而减小． ∵﹣4＜2， ∴y1＞y2． 故选：A． 15．若直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b的值是　±6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：直线y＝3x+b与两坐标轴的交点为（0，b）、（﹣，0） 则直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积：•|b|•|﹣|＝6 解得：b＝6，b＝﹣6， 则b的值是±6． 故答案为：±6 16．在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线l2：y＝mx+m（m＞0）与l1交于点E．若点E坐标为（1，n）． （1）求E的坐标和m的值； （2）点P在直线l2上，若S△AEP＝3，求点P的坐标． 【答案】（1）E（1，4），m＝2； （2）P（1.5，5）或（0.5，3）． 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣x+5＝4，即点E（1，4）， 将点E的坐标代入y＝mx+m得：4＝m+m， 解得：m＝2； （2）由（1）知，直线l2：y＝2x+2， 设点P的横坐标为t，则P（t，2t+2）， 过点P作PM∥y轴交直线l1于点M， 则M（t，﹣t+5）， ∴PM＝|2t+2﹣（﹣t+5）|＝|3t﹣3|， ∵直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B， ∴A（5，0）， ∴S△AEP＝PM•（xA﹣xE）＝3，即|3t﹣3|•（5﹣1）＝3， 解得t＝1.5或t＝0.5， ∴P（1.5，5）或（0.5，3）． 一十．一次函数图象与几何变换（共2小题） 17．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1 【答案】D 【解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3）， ∴点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3）， 代入直线y＝2x+b，可得 4+b＝3， 解得b＝﹣1， 一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1）， （0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1）， 代入直线y＝kx+3，可得 2k+3＝﹣1， 解得k＝﹣2． 故选：D． 18．将函数y＝2x﹣1的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数y＝|2x﹣1|的图象，与直线y＝x+b的图象交点的横坐标x均满足﹣1＜x＜2，则b的取值范围为（　　） A．b＜1 B．﹣≤b＜1 C．1＜b＜4 D．0≤b＜1 【答案】B 【解答】解：如图，所得的折线的函数解析式为， 当x＝﹣1时，y＝2+1＝3，即A（﹣1，3）； 当x＝2时，y＝4﹣1＝3，即B（2，3）； 当y＝0时，x＝，即C（，0）； 把A（﹣1，3）代入y＝x+b中，可得b＝4， 把B（2，3）代入y＝x+b中，可得b＝1， 把C（，0）代入y＝x+b中，可得b＝﹣， ∵函数y＝|2x﹣1|的图象与直线y＝x+b的图象交点的横坐标x均满足﹣1＜x＜2， ∴，即﹣≤b＜1， 故选：B． 一十一．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 19．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2 【答案】C 【解答】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大， ∴当x＝1时，y＝2且当x＝3时，y＝6， 令x＝1，y＝2，解得m＝，不符题意， 令x＝3，y＝6，解得m＝﹣6，不符题意， 当m＜0时，一次函数y随x增大而减小， ∴当x＝1时，y＝6且当x＝3时，y＝2， 令x＝1，y＝6，解得m＝﹣2， 令x＝3，y＝2，解得m＝﹣2，符合题意， ∴故选：C． 一十二．一次函数的应用（共8小题） 20．A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法： ①乙晚出发1小时； ②乙出发3小时后追上甲； ③甲的速度是4千米/小时； ④乙先到达B地． 其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确； 乙出发3﹣1＝2小时后追上甲，故②错误； 甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确； 乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时）， 则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时）， 乙到达B地用的时间为：20÷6＝（小时）， 1+3， ∴乙先到达B地，故④正确； 正确的有3个． 故选：C． 21．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得 解得 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元． （2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000， ②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33， ∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000， 33≤x≤70 ①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小， ∴当x＝34时，y取最大值， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． ②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000， 即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝70时，y取得最大值． 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大． 22．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得： 解得：． ∴大货车用8辆，小货车用7辆． （2）y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）． （3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100， 解得：x≥5， 又∵3≤x≤8， ∴5≤x≤8且为整数， ∵y＝100x+9400， k＝100＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝5时，y最小， 最小值为y＝100×5+9400＝9900（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元． 23．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值： C D 总计/t A 　（240﹣x）　 　（x﹣40）　 200 B x 　（300﹣x）　 300 总计/t 240 260 500 （2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）填表如下： C D 总计/t A （240﹣x） （x﹣40） 200 B x （300﹣x） 300 总计/t 240 260 500 依题意得：20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x） 解得：x＝200 两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200． （2）w与x之间的函数关系为：w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200 由题意得： ∴40≤x≤240 ∵在w＝2x+9200中，2＞0 ∴w随x的增大而增大 ∴当x＝40时，总运费最小 此时调运方案为： （3）由题意得w＝（2﹣m）x+9200 ∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小； m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变； 2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下： 24．小明从A地匀速前往B地，同时小亮从B地匀速前往A地，如图表示两人距B地的路程y（m）与行驶时间x（min）之间的函数关系． 马小虎审题不清，将“两人距B地的路程y”看成了“两人距A地的路程y”，由此得到小明的速度为100m/min． （1）A地与B地的距离为　4500　m，a＝　1500　m，b＝　30　min，小明的实际速度为　150　m/min； （2）求当0≤x≤60时，两人的距离s（m）与x的函数表达式，并在图2中画出图象； （3）当两人之间的距离不大于2000m时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）A地与B地的距离为4500m，a＝1500m，b＝30min，小明的速度为150m/min； （2）s＝；图象见解答； （3）10≤x≤35． 【解答】解：（1）由图象可得， A地与B地的距离为4500m， a＝100×15＝1500， b＝4500÷[（4500﹣1500）÷20]＝30， 小明的实际速度为：4500÷30＝150（m/min）， 故答案为：4500，1500，30，150； （2）由题意可得， 小亮的实际速度为：1500÷15＝100（m/min）， 当0≤x≤15时，s＝4500﹣（150+100）x＝﹣250x+4500； 当15＜x≤20时，s＝4500﹣（150+100）×15﹣150（x﹣15）＝﹣150x+3000； 当20＜x≤30时，s＝150（x﹣20）＝150x﹣3000； 当30＜x≤60时，s＝1500+100（x﹣30）＝100x﹣1500； 综上，s与x的关系式为：s＝； 图象如图1： （3）如图2所示， 当y＝2000时，﹣250x+4500＝2000， ∴x＝10， 100x﹣1500＝2000， ∴x＝35， ∴当两人之间的距离不大于2000m时，x的取值范围是10≤x≤35． 25．某农业观光园计划将一块面积为900m2的园圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A区域面积的2倍．设A区域面积为x（m2）． （1）求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式． （2）若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？ （3）若三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元，在（2）的前提下，全部栽种共需84000元．请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）y＝3x+12x+12（900﹣3x）＝﹣21x+10800． （2）当y＝6600时，即﹣21x+10800＝6600， 解得：x＝200， ∴2x＝400，900﹣3x＝300， 答：A，B，C三个区域的面积分别是200m2，400m2，300m2． （3）设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，在（2）的前提下，分别种植甲、乙、丙三种花卉的株数为600株，2400株，3600株， 根据题意得：， 整理得：3b+5c＝95， ∵三种花卉的单价（都是整数）之和为45元，且差价均不超过10元， ∴b＝15，c＝10或b＝10，c＝13， ∴a＝20或a＝22， ∵差价均不超过10 ∴a＝20，b＝15，c＝10， ∴种植面积最大的花卉总价为：2400×15＝36000（元）， 答：种植面积最大的花卉总价为36000元． 26．洋洋和妮妮分别从学校和公园同时出发，沿同一条路相向而行．洋洋开始跑步中途改为步行，到达公园恰好用了30min．妮妮骑单车以300m/min的速度直接回学校．两人离学校的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）学校与公园之间的路程为 　4000　m，洋洋步行的速度为 　100　m/min； （2）求妮妮离学校的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）求两人相遇的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）结合题意和图象可知，线段CD为妮妮路程与时间函数图象，折线O﹣A﹣B为洋洋的路程与时间图象， 则学校与公园之间的路程为4000米，洋洋步行的速度＝＝100m/min， 故答案为：4000，100； （2）妮妮骑自行车从公园回学校所需时间为4000÷300＝（分钟）， ∴妮妮离学校的路程y关于x的函数解析式为y＝4000﹣300x（0≤x≤）； （3）当x＝10时，妮妮离学校的路程y＝4000﹣300x＝4000﹣300×10＝1000（米）， 由图可知x＝10时，洋洋离学校的路程是2000米， ∴两人相遇是在洋洋慢跑途中， 由4000﹣300x＝x得：x＝8， ∴两人相遇的时间为8min． 27．某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： （1）求张强返回时的速度； （2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？ （3）请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）3000÷（50﹣30）＝3000÷20＝150（米/分）， 答：张强返回时的速度为150米/分； （2）（45﹣30）×150＝2250（米），点B的坐标为（45，750）， 妈妈原来的速度为：2250÷45＝50（米/分）， 妈妈原来回家所用的时间为：3000÷50＝60（分）， 60﹣50＝10（分）， 妈妈比按原速返回提前10分钟到家； （3）如图： 设线段BD的函数解析式为：y＝kx+b， 把（0，3000），（45，750）代入得：， 解得：， ∴y＝﹣50x+3000， 线段OA的函数解析式为：y＝100x（0≤x≤30）， 设线段AC的解析式为：y＝k1x+b1， 把（30，3000），（50，0）代入得： 解得：， ∴y＝﹣150x+7500，（30＜x≤50） 当张强与妈妈相距1000米时，即﹣50x+3000﹣100x＝1000或100x﹣（﹣50x+3000）＝1000或（﹣150x+7500）﹣（﹣50x+3000）＝1000， 解得：x＝35或x＝或x＝， ∴当时间为35分或分或分时，张强与妈妈何时相距1000米． 一十三．一次函数综合题（共3小题） 28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到线段AC，过点B，C作直线，交x轴于点D． （1）点C的坐标为 　（4，1）　；求直线BC的表达式； （2）若点E为线段BC上一点，且△ABE的面积为，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（4，1），y＝﹣x+3； （2）E（2，2）； （3）点P的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，1）或（1，5）． 【解答】解：（1）直线y＝﹣3x+3中，当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3），OB＝3， 当y＝0时，﹣3x+3＝0， ∴x＝1， ∴A（1，0），OA＝1， 如图1，过点C作CG⊥x轴于G， 由旋转得：AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠CAG＝90°， ∵∠AOB＝∠CGA＝∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠CAG＝∠ABO， ∴△BOA≌△AGC（AAS）， ∴AG＝OB＝3，CG＝OA＝1， ∴C（4，1）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3； 故答案为：（4，1）； （2）如图2，过点E作EF⊥y轴于F， ∵点E为线段BC上一点， ∴设点E的坐标为（m，﹣m+3）（0≤m≤4）， ∵四边形AOBE的面积＝S△AOB+S△ABE＝S△BEF+S梯形AOFE， ∴×1×3+＝•m•（3+m﹣3）+•（1+m）•（﹣m+3）， 解得：m＝2， ∴E（2，2）； （3）分三种情况： ①如图3，四边形ABEP是平行四边形， ∵A（1，0），B（0，3），E（2，2）， ∴由平移得：P（3，﹣1）； ②如图4，四边形APBE是平行四边形， 由平移得：P（﹣1，1）； ③如图5，四边形ABPE是平行四边形， 由平移得：P（1，5）； 综上，点P的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，1）或（1，5）． 29．如图1，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数表达式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，连接BM． ①若∠MBC＝90°，请直接写出点P的坐标　 　，　； ②若△PQB的面积为，求出点M的坐标； ③若点K为线段OB的中点，连接CK，如图2，若在线段OC上有一点F，满足∠CKF＝45°，求出点F的坐标 【答案】（1）直线BC的解析式为， （2）①，； ②，0）或，0）； ③点F的坐标为，0）． 【解答】解：（1）对于，令x＝0，y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0， ∴， ∴x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴C（6，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为， （2）①设点M（m，0）， ∴， ∵B（0，3），C（6，0）， ∴BC2＝45，BM2＝OM2+OB2＝m2+9，MC2＝（6﹣m）2， ∵∠MBC＝90°， ∴△BMC是直角三角形， ∴BM2+BC2＝MC2， ∴m2+9+45＝（6﹣m）2， ∴， ∴，， 故答案为：，． ②设点M（n，0）， ∵点P在直线上， ∴， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∵△PQB的面积为， ∴， ∴， ∴，0）或，0）， ③过点F作FH⊥FK交CK于H，过点H作HE⊥x轴于E， ∵∠CKF＝45°， ∴△KFH是等腰直角三角形， ∴KF＝FH，∠KFO+∠HFE＝90°， ∵∠KFO+∠FKO＝90°， ∴∠HFE＝∠FKO， ∵∠KOF＝∠FEH＝90°， ∴△KOF≌△FEH（AAS）， ∴EH＝OF，EF＝OK， ∵点K为线段OB的中点，OB＝3， ∴，， 设F（x，0），则，EH＝OF＝x，则，x）， ∵C（6，0），， 设直线CK的解析式为y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线CK的解析式为， ∵点H在CK上，，x）， ∴，解得：， ∴点F的坐标为，0）． 30．【模型建立】 （1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型应用】 （2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式； （3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示： ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， 又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BEC＝90°， 又∵∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△CDA和△BEC中， ， ∴△CDA≌△BEC（AAS）； （2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴 于点D，如图2所示： ∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°， 又∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， 又∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠BAO＝∠CBD， 又∵∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝45°， ∴AB＝CB， 在△ABO和∠BCD中， ， ∴△ABO≌∠BCD（AAS）， ∴AO＝BD，BO＝CD， 又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3）， ∴AO＝2，BO＝3， ∴BD＝2，CD＝3， ∴点C的坐标为（﹣3，5）， 设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 点A、C两点在直线l2上，依题意得： ， 解得：， ∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10； （3）能成为等腰直角三角形，依题意得， ①若点P为直角时，如图3甲所示： 设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m， ∵∠CPD＝90°，CP＝PD， ∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°， ∴∠CPM+∠PDH＝90°， 又∵∠CPM+∠DPM＝90°， ∴∠PCM＝∠PDH， 在△MCP和△HPD中， ， ∴△MCP≌△HPD（AAS）， ∴CM＝PH，PM＝HD， ∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m）， 又∵点D在直线y＝﹣2x+1上， ∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m， 解得：m＝， 即点D的坐标为（，﹣）； ②若点C为直角时，如图3乙所示： 设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n， CA＝CD， 同理可证明△PCM≌△CDH（AAS）， ∴PM＝CH，MC＝HD， ∴点D的坐标为（4+n，﹣7）， 又∵点D在直线y＝﹣2x+1上， ∴﹣2（4+n）+1＝﹣7， 解得：n＝0， ∴点P与点A重合，点M与点O重合， 即点D的坐标为（4，﹣7）； ③若点D为直角时，如图3丙所示： 设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k， CD＝PD， 同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS）， ∴MD＝PQ，MC＝DQ， ∴点D的坐标为（，）， 又∵点D在直线y＝﹣2x+1上， ∴﹣2×＝， 解得：k＝， ∴点P与点A重合，点M与点O重合， 即点D的坐标为（，﹣）； 综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）． $$