上海市六年级上学期期中真题必刷易错、压轴60题（22个考点专练）-2024-2025学年六年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

期中真题必刷易错、压轴60题（22个考点专练） 一．正数和负数（共3小题） 1．（2022春•崇明区校级期中）某股民上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 （1）星期三收盘时每股是多少元？ （2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ （3）已知该股民买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果他一直观望到星期六才将股票全部卖出，请算算他本周的收益如何？ 2．（2023秋•蓬江区校级期中）腾飞小组共有8名同学，一次数学测验中的成绩以90分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下：，，，，，，，． （1）本次数学测验成绩的最高分是　 　分，最低分是　 　分； （2）求腾飞小组本次数学测验成绩的平均分． 3．（2023秋•洛龙区期中）公路养护小组乘车沿南北公路巡视维护，某天早晨从地出发，晚上最后到达地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米），，，，，，，请通过计算回答： （1）地在地何方，相距多少千米？ （2）若汽车行驶每100千米耗油8升，出发时汽车油箱有油20升，晚上到达地时油箱还剩油多少升？ 二．数轴（共12小题） 4．（2023秋•苍溪县期中）数轴上某一个点表示的数为，比小2的数用表示，那么的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2023秋•洛江区期中）我们知道，在数轴上，点，分别表示数，则点，之间的距离为．已知点，，，在数轴上分别表示数，，，，且，则线段的长度为 　　． 6．（2023秋•达川区期中）点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于3，则的值为 　　． 7．（2023秋•钟祥市期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 8．（2023秋•河北区期中）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ 9．（2023秋•山阳县校级期中）附加题：已知数轴上两点、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）若点到点，点的距离相等，求点对应的数； （2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由； （3）点、点分别以2个单位长度分、1个单位长度分的速度向右运动，同时点以6个单位长度分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 10．（2023秋•茌平区校级期中）为了迎接全国文明城市创建，市交警队的一辆警车在一条东西方向的公路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为： ，，，，，，（单位：千米） （1）此时，这辆警车的司机如何向队长描述他的位置？ （2）如果此时距离出发点东侧2千米处出现交通事故，队长命令他马上赶往现场处置，则警车在此次巡逻和处理事故中共耗油多少升？（已知每千米耗油0.2升） 11．（2024春•普陀区期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中，并把、这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作，．例如：原点表示数0，原点关于1的对称数组是，． （1）如果点表示数1，那么点关于2的对称数组是 　　； （2）如果，，那么点表示的数是 　　，的值是 　　； （3）如果点、是数轴上的两个动点，，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点、之间的距离． 12．（2023秋•西平县期中）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． （1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 13．（2023秋•铁东区期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　　． （2）图中点所表示的数是　　，点所表示的数是　　． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 14．（2023秋•湘潭县校级期中）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0； （1）点A表示的数为 　 　；点B表示的数为 　 　； （2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）， ①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝　 　；乙小球到原点的距离＝　 　； 当t＝3时，甲小球到原点的距离＝　 　；乙小球到原点的距离＝　 　； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 15．（2023秋•拱墅区校级期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数． （1）求此时刻快车头与慢车头之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ （3）此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 三．绝对值（共4小题） 16．（2023秋•鲤城区校级期中）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若，则的值是　　 A．2 B． C． D． 17．（2023秋•海门市期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为 　　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，，和关于41的“美好关联数”为1，． ①的最小值为 　　； ②的最小值为 　　． 18．（2023秋•鼓楼区校级期中）先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 　　和 　　，，两点间的距离是 　　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 　　；如果，那么为 　　； （3）若点表示的整数为，则当为 　　时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 19．（2023秋•太康县期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）　　． （2）同理表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　． （3）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 四．有理数大小比较（共1小题） 20．（2023秋•英德市期中）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考，下面请探索思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①负数②正数③0．你认为结果可能为 　　（只填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为 　　 【拓展】 （3）数轴上、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． 五．有理数的加法（共2小题） 21．（2023秋•杨浦区校级期中）有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法请问，这样的正整数最小是 　　． 22．（2023秋•海曙区期中）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层），，，，，，． （1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼． （2）该中心大楼每层高，电梯每向上或下需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？ 六．有理数的加减混合运算（共1小题） 23．（2023秋•玉泉区期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米） ，，，，，，，． （1）请你帮忙确定地相对于地的方位？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 七．有理数的除法（共1小题） 24．（2023秋•朝阳区校级期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 八．有理数的乘方（共1小题） 25．（2023秋•杨浦区校级期中）控制论之父维纳在某年曾经说过：“我现在的年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我．我将在数学领域干成一番大事业”．请问，他是在 　　岁的时候说的这个话． 九．有理数的混合运算（共11小题） 26．（2023秋•开州区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是　 　． 27．（2021春•虹口区校级期中）计算：． 28．（2020秋•普陀区校级期中）如果规定，求的值． 29．（2023秋•礼县期中）规定一种新运算“※”，两数，通过“※”运算得，即※，例如：3※，根据上面规定解答下题： （1）求7※的值； （2）7※与※7的值相等吗？ 30．（2023秋•滨海新区期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． （1）求出，的值； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位长度秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ ②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 31．（2023秋•官渡区校级期中）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，， （1）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ （2）离开下午出发点最远时是多少千米？ （3）若汽车的耗油量为0.06升千米，油价为4.5元升，这天下午共需支付多少油钱？ 32．（2023秋•婺源县校级期中）先观察：，，， （1）探究规律填空：　 　　 　； （2）计算： 33．（2023秋•渠县校级期中）蜗牛从某点开始沿一东西方向直线爬行，规定向东爬行的路程记为正数，向西爬行的路程记为负数．爬过的各段路程依次为（单位：厘米），，，，，，． （1）通过计算说明蜗牛是否回到起点． （2）蜗牛离开出发点最远时是多少厘米？ （3）在爬行过程中，如果每爬1厘米奖励2粒芝麻，则蜗牛一共得到多少粒芝麻？ 34．（2023秋•永城市校级期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：　　，　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　 ．任何非零数的圈2次方都等于1； ．对于任何正整数，； ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．　　；　　；　　． （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 　　； （3）算一算：． 35．（2023秋•濠江区校级期中）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：　　； （2）规律应用：计算：； （3）拓展提高：计算：． 36．（2023秋•五华区期中）观察算式： ， ， ； （1）按规律填空： ①　　； ②　　； ③如果为正整数，那么　　； （2）计算（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 一十．整数的认识（共1小题） 37．（2023秋•闵行区期中）最小的自然数是 　　． 一十一．数的整除（共2小题） 38．（2020秋•浦东新区校级期中）下列说法错误的个数是　　 ①，一定能整除；②24和36公有的素因数是2，3；③整数的最大因数正好等于整数的最小倍数，则一定大于；④因为，所以6.3是7的倍数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（2022秋•嘉定区期中）在75，50，42，40，66中，既是2的倍数又能被5整除的数有 　　． 一十二．最大公因数（共1小题） 40．（2022秋•嘉定区期中）甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是 　　． 一十三．最小公倍数（共2小题） 41．（2022秋•宝山区期中）正整数6和8的最小公倍数是 　　． 42．（2020秋•青浦区期中）已知甲，乙，那么甲、乙的最小公倍数是 　　． 一十四．质数（素数）（共1小题） 43．（2021秋•徐汇区校级期中）若一个数既是素数又是2的倍数，则这个数是 　　． 一十五．分数的认识（共2小题） 44．（2022秋•嘉定区期中）下列各图，用分数表示图中阴影部分与整体的关系，正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（2023秋•奉贤区期中）100克清水中放入20克糖，那么糖是糖水的 　　（几分之几）． 一十六．最简分数（共2小题） 46．（2023秋•奉贤区期中）用最简分数表示：2小时25分　　小时． 47．（2022秋•徐汇区校级期中）用最简分数表示：360米　　千米：2分09秒　　分钟． 一十七．分数的基本性质（共1小题） 48．（2023秋•崇明区期中）若一个分数的分子缩小至原来的，分母扩大为原来的2倍，则结果是　　 A．原分数的 B．原分数的 C．原分数的3倍 D．原分数的6倍 一十八．分数大小的比较（共4小题） 49．（2023秋•长宁区校级期中）下列说法正确的是　　 A．因为，所以2.6能被1.3整除 B．两个相邻的正整数的最大公因数为1 C．16的因数有2，4，8，16 D．大于的真分数只有1个 50．（2022秋•杨浦区期中）在里，括号里应填上什么自然数 　　． 51．（2022秋•松江区期中）比较大小：　　．（填“”、“ ”或“” 52．（2021秋•徐汇区校级期中）用“”号将，，，从小到大排列为 　　． 一十九．分数的加减法（共2小题） 53．（2020秋•青浦区期中）减去所得的差与一个数的和是，求这个数． 54．（2022秋•静安区期中）分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如：； （1）仿照上例分别把分数和分拆成两个不同的单位分数之和． （2）在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？ 二十．分数除法的应用（共1小题） 55．（2018秋•金山区期中）把一根7米长的绳子平均分成三段，每段绳子的长度是 　　米． 二十一．分数的混合运算（共1小题） 56．（2023秋•杨浦区校级期中）如图，三个大小相同的长方形拼在一起，组成一个大长方形，把第二个长方形平均分成2份，再把第三个长方形平均分成3份，那么图中阴影部分面积是大长方形面积的 　　． 二十二．分数混合运算的应用（共4小题） 57．（2022秋•闵行区校级期中）18吨减去它的后，再加上吨，结果是　　 A．吨 B．18吨 C．吨 D．吨 58．（2022秋•奉贤区校级期中）小明去文具店买蓝色和红色水笔，数量与价格见下表： 数量（支 单价（元支） 蓝色水笔 10 2 红色水笔 15 3 问题：（1）蓝色水笔的数量占所有笔数量的几分之几？ （2）红色水笔的总价占所有笔总价的几分之几？ 59．（2021秋•嘉定区期中）小明的书架上共有120本书，这些书包括小说、科技类书籍、学习参考书、外文书和动漫，其中小说有25本，请回答下列问题： （1）小说占书总数的几分之几？ （2）科技类书籍的数量占总数的，学习参考书和外文书共占总数的，问动漫书有多少本？ 60．（2021秋•徐汇区校级期中）某文具商店某一天销售三种品牌的圆珠笔的价格和数量见表： 品牌 售价（元支） 2 6 5 销售量（支 10 5 20 （1）种品牌的销售量占全天销售量的几分之几？ （2）种品牌的销售额占全天销售额的几分之几？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错、压轴60题（22个考点专练） 一．正数和负数（共3小题） 1．（2022春•崇明区校级期中）某股民上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 （1）星期三收盘时每股是多少元？ （2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ （3）已知该股民买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果他一直观望到星期六才将股票全部卖出，请算算他本周的收益如何？ 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （3）根据卖出的交易额减去买进的交易额减去手续费，交易税，可得答案． 【解答】解：（1）（元， 答：星期三收盘时每股是34.5元； （2）周一（元， 周二（元， 周三（元， 周四（元， 周五（元， 周六（元． 答：本周内最高价是每股35.5元；最低价是每股26元； （3）（元． 答：本周赚889.5元． 【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法运算是解题关键，注意卖出的交易额减去买进的交易额减去手续费、交易税等于收益． 2．（2023秋•蓬江区校级期中）腾飞小组共有8名同学，一次数学测验中的成绩以90分为标准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录如下：，，，，，，，． （1）本次数学测验成绩的最高分是　100　分，最低分是　 　分； （2）求腾飞小组本次数学测验成绩的平均分． 【分析】（1）根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案； （2）根据有理数的运算，可得答案． 【解答】解：（1）本次数学测验成绩的最高分是 100分，最低分是 80分， 故答案为：100，80； （2）， 平均分是． 【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的运算是解题关键． 3．（2023秋•洛龙区期中）公路养护小组乘车沿南北公路巡视维护，某天早晨从地出发，晚上最后到达地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米），，，，，，，请通过计算回答： （1）地在地何方，相距多少千米？ （2）若汽车行驶每100千米耗油8升，出发时汽车油箱有油20升，晚上到达地时油箱还剩油多少升？ 【分析】（1）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得总耗油量，根据原有油量减去耗油量，可得答案． 【解答】解：（1）（千米）， ，在北方， 答：地在地北方，相距2千米； （2）路程（千米）， 每千米的耗油量升， 耗油量（升， （升， 答：晚上到达地时油箱还剩油13.6升． 【点评】本题考查了正数和负数，利用单位耗油量乘以行驶路程得出总耗油量是解题关键． 二．数轴（共12小题） 4．（2023秋•苍溪县期中）数轴上某一个点表示的数为，比小2的数用表示，那么的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】理解绝对值的定义，如表示数轴上点到2的距离；表示到原点的距离； 【解答】解：比小2的数用表示， ， ， 那么的最小值就是在数轴上找一点到原点和到2的距离最小， 显然这个点就是在0与2之间， 当在区间0与2之间时， 为最小值， 的最小值为2， 故选：． 【点评】本题考查绝对值的定义，难点在于对这个式子的理解并用绝对值意义来解答． 5．（2023秋•洛江区期中）我们知道，在数轴上，点，分别表示数，则点，之间的距离为．已知点，，，在数轴上分别表示数，，，，且，则线段的长度为 　4.5或0.5　． 【分析】先由，推得点在点和点之间，且与，与之间的距离均为1，与之间的距离为2.5，据此画数轴草图，因不知格点的具体位置，故不标原点及数值，据此可解． 【解答】解： 点在点和点之间 不妨设点在点左侧，如图（1） （1） 线段的长为4.5 如图（2） 线段的长为0.5 故答案为：4.5或0.5． 【点评】本题考查了数轴上的点与其距离的关系，将所给绝对值等式化简，数形结合，画草图分析，是解题的关键． 6．（2023秋•达川区期中）点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于3，则的值为 　1或　． 【分析】根据绝对值的定义：绝对值代表到原点的距离，而点到原点的距离等于3，所以，即得答案． 【解答】解：由题意得：， ， 或， 故答案为：1或． 【点评】本题考查了绝对值的定义，由题意列方程是解题的关键． 7．（2023秋•钟祥市期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 【分析】由有理数与在数轴上的位置可得，，，进而得到，，，然后根据绝对值的代数意义：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数进行化简，去括号合并同类项后，即可得到所求式子的结果． 【解答】解：由数轴知，，， ，，， 原式， 故答案为：． 【点评】此题考查了整式的加减运算，绝对值的代数意义，以及数轴上点的大小比较，其中由与数轴上的位置，根据数轴上右边的数总比左边的数大，原点左边的数小于0，右边的数大于0，理解绝对值的意义是解答此题的关键． 8．（2023秋•河北区期中）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？ 【分析】（1）由已知得，则，因为点在原点左边，从而写出数轴上点所表示的数；动点从点出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点所表示的数是； （2）①点运动秒时追上点，由于点要多运动10个单位才能追上点，则，然后解方程得到； ②分两种情况：当点运动秒时，不超过，则；超过，则；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）数轴上点表示的数为6， ， 则， 点在原点左边， 数轴上点所表示的数为； 点运动秒的长度为， 动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 所表示的数为：； （2）①点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 答：当点运动5秒时，点与点相遇； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， 当不超过，则，解得； 当超过，则，解得； 答：当点运动1或9秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键． 9．（2023秋•山阳县校级期中）附加题：已知数轴上两点、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为． （1）若点到点，点的距离相等，求点对应的数； （2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由； （3）点、点分别以2个单位长度分、1个单位长度分的速度向右运动，同时点以6个单位长度分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 【分析】（1）若点对应的数与、3差的绝对值相等，则点到点，点的距离相等． （2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可； （3）设经过分钟点与点重合，根据点比点运动的距离多4，列出方程，求出的值，即为点运动的时间，再乘以点运动的速度，可得点经过的总路程． 【解答】解：（1），2的绝对值是2，，的绝对值是2， 点对应的数是1． （2）当在之间，（不可能有） 当在的左侧，，得 当在的右侧，，得 故点对应的数为或4； （3）解：设经过分钟点与点重合，根据题意得： ， 解得． 则． 答：点所经过的总路程是24个单位长度． 【点评】本题考查了绝对值、路程问题、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 10．（2023秋•茌平区校级期中）为了迎接全国文明城市创建，市交警队的一辆警车在一条东西方向的公路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为： ，，，，，，（单位：千米） （1）此时，这辆警车的司机如何向队长描述他的位置？ （2）如果此时距离出发点东侧2千米处出现交通事故，队长命令他马上赶往现场处置，则警车在此次巡逻和处理事故中共耗油多少升？（已知每千米耗油0.2升） 【分析】（1）把数据，，，，，，相加，然后根据计算的结果可判断他的位置； （2）把数据，，，，，，，的绝对值相加得到他所走的路程，然后计算耗油量． 【解答】解：（1） （千米）， 这辆城管的汽车司机向队长描述他的位置为出发点以西3千米； （2）（千米）， （升， 这次出警共耗油3.6升． 【点评】本题考查了数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．也考查了有理数的运算． 11．（2024春•普陀区期中）阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点，把与点相距个单位长度是正数）的两点所表示的数分别记作和（其中，并把、这两个数叫做“点关于的对称数组”，记作，．例如：原点表示数0，原点关于1的对称数组是，． （1）如果点表示数1，那么点关于2的对称数组是 　，　； （2）如果，，那么点表示的数是 　　，的值是 　　； （3）如果点、是数轴上的两个动点，，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点、之间的距离． 【分析】（1）根据题意可知：点关于2的对称数组也就是说与点相距2个单位长度的两点．又知道点表示数1，所以与点相距2个单位长度的两点是，3．所以点关于2的对称数组是，； （2），表示与点相距个单位长度的两个点分别是2和4048，那么；，所以表示的数是2023； （3），表示与点相距3个单位长度的两个点分别是和，，表示与点相距2个单位长度的两个点分别是和．根据新定义可得：，，，，进而由得出，解关于的方程，即可求解． 【解答】解：（1）如果点表示数1，那么点关于2的对称数组是，； （2），，，； （3），，，两点同时从原点出发反向运动， ，，，， ， ，即 ①当时， 可得：； ②当时， 解得：． 综上所述：点、之间的距离是或10． 故答案为：（1），；（2）2025，2023；（3）或10． 【点评】本题是新定义运算的题目，要理解题目然后再解题． 12．（2023秋•西平县期中）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． （1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数； （3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）点对应的数是； （2），之间的距离为120， 它们的相遇时间是（秒， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 即从数向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（秒， 相遇后：（秒． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程速度时间． 13．（2023秋•铁东区期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为　5　． （2）图中点所表示的数是　　，点所表示的数是　　． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小红大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红比爷爷大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为130，所以可知爷爷比小红大，可知爷爷的年龄． 【解答】解：（1）由数轴观察知三根木棒长是， 则此木棒长为． （2）图中点所表示的数是 10，点所表示的数是 15． 故答案为：5，10，15． （3）如图： 借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒， 类似爷爷比小红大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为． 小红比爷爷大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为130． 可知爷爷比小红大， 可知爷爷的年龄为． 【点评】此题考查了学生的分析能力，学以致用的能力．解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看作一个整体（木棒，而后把此转化为上一题中的问题． 14．（2023秋•湘潭县校级期中）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0； （1）点A表示的数为 　﹣2　；点B表示的数为 　4　； （2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）， ①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝　3　；乙小球到原点的距离＝　2　； 当t＝3时，甲小球到原点的距离＝　5　；乙小球到原点的距离＝　2　； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出a，b即可； （2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论． ②根据（I）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵|a+2|+|b﹣4|＝0； ∴a＝﹣2，b＝4， ∴点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4， 故答案为：﹣2，4； （2）①当t＝1时， ∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动， ∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离＝3， ∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动， ∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离＝4﹣2＝2， 故答案为：3，2； 当t＝3时， ∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动， ∴甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离＝5， ∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动， ∴乙小球2秒钟向左运动2个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2个单位， ∴乙小球到原点的距离＝2． 故答案为：5，2． ②当0＜t≤2时，得t+2＝4﹣2t， 解得t＝； 当t＞2时，得t+2＝2t﹣4， 解得t＝6． 故当t＝秒或t＝6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 【点评】此题主要考查了数轴，点的运动特点，解本题的关键是抓住运动特点确定出结论． 15．（2023秋•拱墅区校级期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数． （1）求此时刻快车头与慢车头之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ （3）此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【解答】解：（1）与互为相反数， ， ，， 解得，． 此时刻快车头与慢车头之间相距单位长度； （2） （秒． 或（秒 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； （3）， 当在之间时，是定值4， （秒， 此时（单位长度）． 故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 【点评】本题考查了数轴，涉及的知识点有：非负数的性质，两点之间的距离公式，路程问题，综合性较强，有一定的难度． 三．绝对值（共4小题） 16．（2023秋•鲤城区校级期中）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若，则的值是　　 A．2 B． C． D． 【分析】利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有，从而得出两种情况．讨论后即可得解． 【解答】解：由题意知，0，，由互异性可知，，． 因为，， 由，可得，， 所以，即， 那么就有或者， 当得， 当无解． 所以当时，，0，，，，， 此时符合题意． 所以． 故选：． 【点评】本题考查的是新定义下的探究型题目，关键是理解新定义的含义，再去探究题目． 17．（2023秋•海门市期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为 　8　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，，和关于41的“美好关联数”为1，． ①的最小值为 　　； ②的最小值为 　　． 【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算求未知数； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、、40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【解答】解：（1）， 故答案为：8； （2）和2关于3的“美好关联数”为4， ， ， 解得或； （3）①和关于1的“美好关联数”为1， ， 在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知： ， ，， 的最小值； ， ，， 的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值； ； ，的最小值； 的最小值： ． 故答案为：820． 【点评】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 18．（2023秋•鼓楼区校级期中）先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点，再把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为 　　和 　　，，两点间的距离是 　　； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为 　　；如果，那么为 　　； （3）若点表示的整数为，则当为 　　时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是 　　． 【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围． 【解答】解：（1）如图，点为所求点．点表示的数，点表示的数1，的长度是； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离表示为，如果，那么为，2； （3）若点表示的整数为，则当为，时，与的值相等； （4）要使代数式取最小值时，相应的的取值范围是， 故答案为：，1，3.5；，，2；；． 【点评】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． 19．（2023秋•太康县期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）　7　． （2）同理表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 　　． （3）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了． （2）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为3段进行计算，最后确定的值． （3）根据绝对值的意义，即可解答． 【解答】解：（1）． 故答案为：7； （2）令或时，则或， 当时， ， ， （范围内不成立）， 当时， ， ， ， ，，，，0，1， 当时， ， ， ， ， （范围内不成立）． 显然当及时符合题意， 综上所述，符合条件的整数有：，，，，，0，1，2． 故答案为：、、、、、0、1、2； （3）有最小值． 当有理数所对应的点在，3之间的线段上的点时， 最小值为9． 【点评】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，去绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 四．有理数大小比较（共1小题） 20．（2023秋•英德市期中）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考，下面请探索思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①负数②正数③0．你认为结果可能为 　①②③　（只填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为 　　 【拓展】 （3）数轴上、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． 【分析】（1）为负数，则只要有一个负数，然后分类计算即可； （2）要使最大，则，必须同为负号，然后，利用有理数的乘法法则进行计算即可； （3），则只要有一个为正数，然后分类讨论即可． 【解答】解：（1）若，，则，则①成立； 若，，则，则②成立； 若，，则，则③成立． 故答案为：①②③． （2），且、为整数，要使得的最大值，则，必须同为负号， ， 的最大值为6． 故答案为：6． （3）、至少有一个正数， ①当、都为正数时，为正， ②当一个为正数、另一个为0时， ③当一个为正数、另一个为负数；且正数的绝对值大于负数的绝对值时，． 【点评】本题主要考查的是有理数的加法和有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 五．有理数的加法（共2小题） 21．（2023秋•杨浦区校级期中）有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法请问，这样的正整数最小是 　　． 【分析】连续20个正整数，设第一个为，则第二个为，那么这20个连续正整数和为，这个数可以被2和10整除，即这个整数一定含有因数2和5，又因为恰好有20种方法，所以它的奇质因数的个数也必须是20个，因此要最小，除了质因数2、5外最小是3，因此3的个数是19个；据此解答即可． 【解答】解：连续20个正整数，设第一个为，则第二个为， 那么这20个连续正整数和为， 这个数可以被2和10整除，即这个整数一定含有因数2和5， 又因为恰好有20种方法，所以它的奇质因数的个数也必须是20个， 因此要最小，除了质因数2、5只有一个外，最小是3，因此3的个数是个； 所以，这个数最小，质因数分解是：； 答：最小是． 故答案为：． 【点评】本题关键是明确，这个整数一定含有因数2和5，又因为恰好有20种方法，所以它的奇质因数的个数也必须是20个． 22．（2023秋•海曙区期中）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层），，，，，，． （1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼． （2）该中心大楼每层高，电梯每向上或下需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？ 【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能； （2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解． 【解答】解：（1） ， 王先生最后能回到出发点1楼； （2）王先生走过的路程是 ， 他办事时电梯需要耗电（度． 【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方． 六．有理数的加减混合运算（共1小题） 23．（2023秋•玉泉区期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米） ，，，，，，，． （1）请你帮忙确定地相对于地的方位？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则地在地的东方，若结果为负数，则地在地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量． 【解答】解：（1）， 地在地的东边20千米； （2）路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；千米； 千米； 千米； 千米； 千米； 千米； 千米． 最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：千米， 应耗油（升， 故还需补充的油量为：（升 【点评】本题考查的是有理数的加减混合运算，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和． 七．有理数的除法（共1小题） 24．（2023秋•朝阳区校级期中）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值为多少即可． 【解答】解：根据分析，可得 则所有符合条件的的值为：128、21、20、3． 故选：． 【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 八．有理数的乘方（共1小题） 25．（2023秋•杨浦区校级期中）控制论之父维纳在某年曾经说过：“我现在的年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含0至9各一次，所以所有数字都得朝拜我．我将在数学领域干成一番大事业”．请问，他是在 　18　岁的时候说的这个话． 【分析】先计算，，，，，，，可大概确定维纳的年龄范围，再根据题意可推出维纳说这话的年龄． 【解答】解：先用估值的方法大概确定一下维纳的年龄范围： ，，， 他的年龄大于或等于18岁， ，，，，说明维纳的年龄小于22岁． 根据这两个范围可知可能是18、19、20、21的一个数． 又因为20、21无论是三次方还是四次方，它们的尾数分别都是：0、1，与“刚好包含数字0至9各一次”不符，故舍去． ，； ，； 符合要求是18． 答：他是在18岁的时候说的这个话． 【点评】本题考查乘方的应用，熟练掌握有理数的乘方运算是关键． 九．有理数的混合运算（共11小题） 26．（2023秋•开州区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如10的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，10的“完美指标”是，因为比更接近1，所以我们说8比10更完美．那么比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是　16　． 【分析】根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在的数中，11、13、17、19是质数，真因数只有1，所以先排除这4个数，再分别找出12、14、15、16、18的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”． 【解答】解：12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数， 完美指标：， 14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数， 完美指标：， 15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数， 完美指标：， 16的正因数有：1、2、4、8、16，其中1、2、4、8是真因数， 完美指标：， 18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数， 完美指标：， 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1， 所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 答：比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16． 故答案为：16． 【点评】考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是，根据所给出的新的运算方法，即完美指标的意义及计算方法，找出对应的数，列式解决问题． 27．（2021春•虹口区校级期中）计算：． 【分析】先算乘方和括号里面的除法，再算加法，再算乘方，再算乘法，最后算减法． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查有理数的混合运算，注意运算顺序和运算结果的符号判定． 28．（2020秋•普陀区校级期中）如果规定，求的值． 【分析】由题意得：新运算等于上下4个数交叉相乘的积的差，则，计算解答即可． 【解答】解：由题意得： ． 答：的值是． 【点评】考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是找出新运算等于上下4个数交叉相乘的积的差，再计算． 29．（2023秋•礼县期中）规定一种新运算“※”，两数，通过“※”运算得，即※，例如：3※，根据上面规定解答下题： （1）求7※的值； （2）7※与※7的值相等吗？ 【分析】（1）把所给定义式中的换成7、换成代入计算即可． （2）根据（1）中所给的定义先分别计算出7※与※7的值，然后比较计算结果即可． 【解答】解：（1）7※ （2）不相等．理由是： ※，※， 即： ※与※7的值不相等． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序． 30．（2023秋•滨海新区期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． （1）求出，的值； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位长度秒的速度向左运动． ①设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ ②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？ 【分析】（1）根据题意可以、的符号相反、可得，根据可得的值，本题得以解决； （2）①根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇是点对应的数值； ②根据题意和分类讨论的数学思想可以解答本题． 【解答】解：（1），两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，， ，， 即的值是，的值是90； （2）①由题意可得， 点对应的数是：， 即点对应的数为：50； ②设相遇前，经过秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， （秒， 设相遇后，经过秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， （秒， 由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度． 【点评】本题考查有理数的乘法、绝对值、数轴、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． 31．（2023秋•官渡区校级期中）出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米） ，，，，，， （1）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？ （2）离开下午出发点最远时是多少千米？ （3）若汽车的耗油量为0.06升千米，油价为4.5元升，这天下午共需支付多少油钱？ 【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小张离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边； （2）分别计算出小张每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可； （3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和． 【解答】解：（1）小张离下午出车点的距离 （千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边； （2）当行程为千米时离开下午出发点15千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点千米； 当行程为千米时离开下午出发点（7）千米； 最大， 离开下午出发点最远时是26千米， 答：离开下午出发点最远时是26千米； （3）这天下午小张所走路程 （千米）， 这天下午共需付钱（元， 答：这天下午共需支付22.95元油钱． 【点评】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和． 32．（2023秋•婺源县校级期中）先观察：，，， （1）探究规律填空：　　　 　； （2）计算： 【分析】（1）利用平方差公式变形即可得到结果； （2）原式利用平方差公式化简，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ， 故答案为：（1）； 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 33．（2023秋•渠县校级期中）蜗牛从某点开始沿一东西方向直线爬行，规定向东爬行的路程记为正数，向西爬行的路程记为负数．爬过的各段路程依次为（单位：厘米），，，，，，． （1）通过计算说明蜗牛是否回到起点． （2）蜗牛离开出发点最远时是多少厘米？ （3）在爬行过程中，如果每爬1厘米奖励2粒芝麻，则蜗牛一共得到多少粒芝麻？ 【分析】（1）分别相加，看是否为0，为0则回到了起点； （2）分别计算绝对值，再比较大小即可； （3）计算绝对值的和，就是总路程，列式可得结论． 【解答】解：（1）． 所以蜗牛可以回到起点． （2）， ， ， ， ， ， 所以蜗牛离开出发点最远时是8厘米； （3）， ， ， 答：蜗牛一共得到108粒芝麻． 【点评】本题考查了正数和负数的意义和有理数的加减法，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量；相加减时要注意同号相加比较简便． 34．（2023秋•永城市校级期中）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：　　，　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　 ．任何非零数的圈2次方都等于1； ．对于任何正整数，； ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．　　；　　；　　． （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 　　； （3）算一算：． 【分析】初步探究 （1）根据新定义计算； （2）根据新定义可判断错误； 深入思考 （1）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算； （2）利用新定义求解； （3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算． 【解答】解：初步探究 （1），； （2）选项错误； 深入思考 （1）；；． （2）； （3）原式 ． 故答案为，，，，，，． 【点评】本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 35．（2023秋•濠江区校级期中）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：　　； （2）规律应用：计算：； （3）拓展提高：计算：． 【分析】（1）类比给出的数字特点拆分即可； （2）把分数写成两个连续自然数为分母，分子为1的分数差计算即可； （3）提取，再把分数写成两个连续自然数为分母，分子为1的分数差计算即可． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） ． 【点评】此题考查有理数的混合运算，根据数字的特点，掌握拆分的方法是解决问题的关键． 36．（2023秋•五华区期中）观察算式： ， ， ； （1）按规律填空： ①　　； ②　　； ③如果为正整数，那么　　； （2）计算（由此拓展写出具体过程） ①； ②． 【分析】（1）根据题意找出规律，根据此规律即可得出结论； （2）把所给的式子进行化简，找出规律即可． 【解答】解：观察算式： ， ， ； （1）①； ②； ③如果为正整数，那么． 故答案为：，；． （2）①； ； ； ， ； ②，， ，， ． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键． 一十．整数的认识（共1小题） 37．（2023秋•闵行区期中）最小的自然数是 　0　． 【分析】根据自然数的意义（包括0和正整数），求出即可． 【解答】解：自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数， 最小的自然数是0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了对自然数的理解，自然数包括：0和正整数，根据正数都大于0，即可得出答案． 一十一．数的整除（共2小题） 38．（2020秋•浦东新区校级期中）下列说法错误的个数是　　 ①，一定能整除；②24和36公有的素因数是2，3；③整数的最大因数正好等于整数的最小倍数，则一定大于；④因为，所以6.3是7的倍数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①不能确定是整数，是不为0的整数； ②24和36分解质因数即可求解； ③一个数的最大因数是其本身，一个数的最小因数也是其本身； ④整除是指整数除以非0自然数除的商正好是整数而余数是零． 【解答】解：①，不能确定是整数，是不为0的整数，符合题意； ②，，24和36公有的素因数是2，2，3，符合题意； ③一个数的最大因数是其本身，一个数的最小因数也是其本身，则等于，符合题意； ④，是除尽，不是整除，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数，掌握整除、素因数的定义并能熟练应用是解题关键． 39．（2022秋•嘉定区期中）在75，50，42，40，66中，既是2的倍数又能被5整除的数有 　50，40　． 【分析】根据能被2和5整除的数的特征：该数的个位是0，进行选择即可． 【解答】解：在75，50，42，40，66中， 75，50，40能被5整除， 50，42，40，66能被2整除， 既是2的倍数又能被5整除的数有50、40． 故答案为：50，40． 【点评】此题考查了有理数的除法，解答此题应根据能被2或5整除的数的特征，进行解答即可． 一十二．最大公因数（共1小题） 40．（2022秋•嘉定区期中）甲数，乙数，甲数和乙数的最大公因数是 　6　． 【分析】求最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【解答】解：甲数，乙数， 根据最大公因数的定义，可得甲数和乙数的最大公因数是：； 故答案为：6． 【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数． 一十三．最小公倍数（共2小题） 41．（2022秋•宝山区期中）正整数6和8的最小公倍数是 　24　． 【分析】最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，因此得解． 【解答】解：，， 根据最小公倍数的定义，可得6和8的最小公倍数是． 故答案为：24． 【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 42．（2020秋•青浦区期中）已知甲，乙，那么甲、乙的最小公倍数是 　60　． 【分析】两个数的最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【解答】解：甲，乙， 根据最小公倍数的定义，可得甲、乙的最小公倍数是； 故答案为：60． 【点评】考查了求几个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 一十四．质数（素数）（共1小题） 43．（2021秋•徐汇区校级期中）若一个数既是素数又是2的倍数，则这个数是 　2　． 【分析】根据素数的定义以及2的倍数的特点进行分析即可． 【解答】解：因为是2的倍数素数只有2， 所以既是素数以是2的倍数的数是2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查倍数的意义，解答的关键是明确素数的定义与2的倍数的数的特点． 一十五．分数的认识（共2小题） 44．（2022秋•嘉定区期中）下列各图，用分数表示图中阴影部分与整体的关系，正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分数的意义判断即可． 【解答】解：左起第一个图阴影部分占整体的，正确； 第二个图因为没有把整体平均分成5份，属于图阴影部分占整体的的说法是错误的； 左起第三个图阴影部分占整体的，正确； 左起第四个图阴影部分占整体的，原说法错误； 所以正确的个数有2个． 故选：． 【点评】本题考查了分数意义的读写，掌握分数的意义是解答本题的关键． 45．（2023秋•奉贤区期中）100克清水中放入20克糖，那么糖是糖水的 　　（几分之几）． 【分析】计算糖水的质量，然后用糖的质量除以糖水的质量即可． 【解答】解：， 即糖是糖水的． 【点评】本题考查了分数的认识，求一个数是另一个数的几分之几，就是用这个数除以另一个数． 一十六．最简分数（共2小题） 46．（2023秋•奉贤区期中）用最简分数表示：2小时25分　　小时． 【分析】根据小时和分钟的进制，进行计算即可解答． 【解答】解：小时分钟， 分钟小时， 小时25分小时， 故答案为：． 【点评】本题考查了最简分数，熟练掌握小时和分钟的进制是解题的关键． 47．（2022秋•徐汇区校级期中）用最简分数表示：360米　　千米：2分09秒　　分钟． 【分析】根据米和千米的进制，秒和分钟的进制，进行计算即可解答． 【解答】解：千米米， 米千米千米， 分钟秒， 秒分钟分钟， 分09秒分钟， 故答案为：，． 【点评】本题考查了最简分数，熟练掌握秒和分钟的进制，米和千米的进制是解题的关键． 一十七．分数的基本性质（共1小题） 48．（2023秋•崇明区期中）若一个分数的分子缩小至原来的，分母扩大为原来的2倍，则结果是　　 A．原分数的 B．原分数的 C．原分数的3倍 D．原分数的6倍 【分析】设原分数为，然后利用分数的基本性质，进行计算即可解答． 【解答】解：设原分数为， 则变化后的分数为， 若一个分数的分子缩小至原来的，分母扩大为原来的2倍，则结果是原分数的， 故选：． 【点评】本题考查了分数的基本性质，熟练掌握分数的基本性质是解题的关键． 一十八．分数大小的比较（共4小题） 49．（2023秋•长宁区校级期中）下列说法正确的是　　 A．因为，所以2.6能被1.3整除 B．两个相邻的正整数的最大公因数为1 C．16的因数有2，4，8，16 D．大于的真分数只有1个 【分析】选项根据整除的定义判断即可；选项根据最大公因数的定义判断即可；选项根据因数的定义判断即可；选项根据分数大小比较方法判断即可． 【解答】解：．因为，所以2.6能被1.3整除，说法错误，因为1.3不是整数，故本选项不符合题意； ．两个相邻的正整数的最大公因数为1，说法正确，故本选项符合题意； ．16的因数有1，2，4，8，16，故本选项不符合题意； ．大于的真分数有，，等无数个，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了分数大小比较，最大公因数，数的除法，掌握相关定义是解答本题的关键． 50．（2022秋•杨浦区期中）在里，括号里应填上什么自然数 　2　． 【分析】先求出4，7，3的最小公倍数，从而可求出在之间分母是84的分数，再找出能化成分母是7的最简分数，即可解答 【解答】解：，， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了分数大小的比较，熟练掌握分数的通分与化简是解题的关键． 51．（2022秋•松江区期中）比较大小：　　．（填“”、“ ”或“” 【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分数的大小比较，能选择适当的方法求解是解题的关键． 52．（2021秋•徐汇区校级期中）用“”号将，，，从小到大排列为 　　． 【分析】将给定分数通分，再比较后即可得出结论． 【解答】解：，6，5的最小公倍数为210， ，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分数大小的比较，掌握分数的大小比较方法是解答本题的关键． 一十九．分数的加减法（共2小题） 53．（2020秋•青浦区期中）减去所得的差与一个数的和是，求这个数． 【分析】根据题意列出算式，计算即可． 【解答】解：根据题意得： ， 答：这个数为． 【点评】本题主要考查了分数的减法，掌握有理数的减法法则，根据题意列出算式是解题关键． 54．（2022秋•静安区期中）分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如：； （1）仿照上例分别把分数和分拆成两个不同的单位分数之和． （2）在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？ 【分析】（1）由单位分数的意义可知将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和，过程就是利用同分母分数的加法或分数的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使其中一个分子是1，另一个分数分子能整除分母； （2）只要根据单位分数的转化方法，把其中的一个分数利用分数的性质继续拆分即可． 【解答】解：（1）， ； （2）， 同理得：， ． 【点评】此题考查了分数性质的灵活应用，同分母分数相加以及约分方法，也考查了观察能力． 二十．分数除法的应用（共1小题） 55．（2018秋•金山区期中）把一根7米长的绳子平均分成三段，每段绳子的长度是 　　米． 【分析】本题根据分数除法的意义，用总长度除以平均分的份数即可． 【解答】解：根据题意得：（米． 故答案为：． 【点评】本题考查了除法平均分的意义：已知一个数，把这个数平均分成若干份，求每份是几用除法；还要注意与“每段绳子的长度占全长的几分之几”区别． 二十一．分数的混合运算（共1小题） 56．（2023秋•杨浦区校级期中）如图，三个大小相同的长方形拼在一起，组成一个大长方形，把第二个长方形平均分成2份，再把第三个长方形平均分成3份，那么图中阴影部分面积是大长方形面积的 　　． 【分析】三个大小相同的长方形拼在一起，组成一个大长方形，把第二个长方形平均分成2份，则其中一份就是一个长方形的，再把第三个长方形平均分成3份，则其中2份就是一个小长方形的，所以阴影部分的面积等于一个小长方形的，又因为一个小长方形占大长方形的，所以阴影部分的面积等于大长方形的，即可解答． 【解答】解：阴影部分的面积是大长方形面积的： ， ， 所以图中阴影部分的面积是大长方形面积的， 故答案为：． 【点评】本题考查了分数的混合运算．解题的关键是能够把阴影部分转化为大长方形面积的几分之几． 二十二．分数混合运算的应用（共4小题） 57．（2022秋•闵行区校级期中）18吨减去它的后，再加上吨，结果是　　 A．吨 B．18吨 C．吨 D．吨 【分析】先利用分数乘法计算出减去的重量，再进行加减计算即可得出答案． 【解答】解：由题意得： （吨， 吨减去它的后，再加上吨，结果是吨， 故选：． 【点评】本题考查分数混合运算的应用，解题的关键是注意题目中两个“”的区别． 58．（2022秋•奉贤区校级期中）小明去文具店买蓝色和红色水笔，数量与价格见下表： 数量（支 单价（元支） 蓝色水笔 10 2 红色水笔 15 3 问题：（1）蓝色水笔的数量占所有笔数量的几分之几？ （2）红色水笔的总价占所有笔总价的几分之几？ 【分析】（1）求出所有笔的数量，即可解答； （2）求出所有笔的总价，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： ， 答：蓝色水笔的数量占所有笔数量的； （2）由题意得： ， 答：红色水笔的总价占所有笔总价的． 【点评】本题考查了分数混合运算的应用，根据题意求出所有笔的总价是解题的关键． 59．（2021秋•嘉定区期中）小明的书架上共有120本书，这些书包括小说、科技类书籍、学习参考书、外文书和动漫，其中小说有25本，请回答下列问题： （1）小说占书总数的几分之几？ （2）科技类书籍的数量占总数的，学习参考书和外文书共占总数的，问动漫书有多少本？ 【分析】（1）利用小说的本数总本数，进行计算即可解答； （2）求出科技书的数量，学习参考书和外文书的总数量，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： ， 小说占书总数的； （2）由题意得： （本， 动漫书有27本． 【点评】本题考查了分数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 60．（2021秋•徐汇区校级期中）某文具商店某一天销售三种品牌的圆珠笔的价格和数量见表： 品牌 售价（元支） 2 6 5 销售量（支 10 5 20 （1）种品牌的销售量占全天销售量的几分之几？ （2）种品牌的销售额占全天销售额的几分之几？ 【分析】（1）求出全天的销售量从而得出答案； （2）求出全天的销售额从而得出答案． 【解答】解：（1）由题意得： ， 答：种品牌的销售量占全天销售量的； （2）， 答：种品牌的销售额占全天销售额的． 【点评】本题考查了分数混合运算的应用，求出全天的销售额是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$