专题3.3 函数的应用（考点精讲）-【中职专用】2025年技能高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

专题3.3 函数的应用 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的零点 3 考点二：函数零点所在区间 3 考点三：函数零点的分布 4 考点四：函数的实际应用 4 【考纲要求】 1. 理解函数零点的定义，会求函数零点. 2. 会把函数零点问题进行转化. 3. 会用零点存在性定理判断零点所在区间 4. 会函数的实际应用. 【考向预测】 1.求函数的零点 2.判断零点所在区间及零点分布的应用 3.函数的实际应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的零点 对于函数，我们把的实数叫做函数的零点 2. 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标 方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴有交点 3. 零点存在性定理 如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解 【考点分类剖析】 考点一：函数的零点 例1．函数零点是 ． 【变式探究】函数的零点为 ． 例2．函数的零点有 个． 【变式探究】直线与函数图象的交点个数为 ． 考点二：函数零点所在区间 例1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式探究1】函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式探究2】函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 考点三：函数零点的分布 例1．若方程的根在内，则的取值范围是 ． 【变式探究】已知函数存在两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 例2．设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】设函数，若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四：函数的实际应用 例1．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【变式探究1】有一批材料可以建成的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为（    ） A． B． C． D． 【变式探究2】已知两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从地前往地，到达地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究3】某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【变式探究4】下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（    ） A．116件 B．110件 C．107件 D．106件 【变式探究5】某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（    ） A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 函数的应用 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的零点 3 考点二：函数零点所在区间 4 考点三：函数零点的分布 5 考点四：函数的实际应用 7 【考纲要求】 1. 理解函数零点的定义，会求函数零点. 2. 会把函数零点问题进行转化. 3. 会用零点存在性定理判断零点所在区间 4. 会函数的实际应用. 【考向预测】 1.求函数的零点 2.判断零点所在区间及零点分布的应用 3.函数的实际应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的零点 对于函数，我们把的实数叫做函数的零点 2. 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标 方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴有交点 3. 零点存在性定理 如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解 【考点分类剖析】 考点一：函数的零点 例1．函数零点是 ． 【答案】 【分析】 令，求解即可. 【详解】令，得，解得或. 故答案为： 【变式探究】函数的零点为 ． 【答案】 【分析】令求解. 【详解】令，得， 两边平方得：， 解得， 所以函数的零点为1. 故答案为：1. 例2．函数的零点有 个． 【答案】2 【分析】根据给定条件，解方程求出零点作答. 【详解】由，得，即，解得或， 所以函数的零点有2个. 故答案为：2 【变式探究】直线与函数图象的交点个数为 ． 【答案】4 【分析】根据二次函数的性质，结合图象变换，作图，可得答案. 【详解】令，，解得或， 将代入，解得，可作图如下：    由图可知，直线与函数图象的交点个数为. 故答案为：. 考点二：函数零点所在区间 例1．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理进行求解. 【详解】由已知，可知为增函数， 且， ， 根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的. 故选：B 【变式探究1】函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在定理可判断出结果. 【详解】因为在上单调递增， 且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 【变式探究2】函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】由题意可知：在内单调递增，可知在内单调递增， 且， 可知函数有且仅有一个零点，零点所在的区间是. 故选：A. 考点三：函数零点的分布 例1．若方程的根在内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，利用零点存在定理可构造不等式求得结果. 【详解】设，则，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【变式探究】已知函数存在两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】/ 【分析】将问题转化为，的交点，应用数形结合求的取值范围. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象如图所示， 观察可知，. 故答案为： 例2．设为实数，若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为， 要使二次函数在区间上有且仅有一个零点， 则需， 所以的取值范围是. 故选：C 【变式探究】设函数，若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式即得解. 【详解】因为函数有两个零点， 所以. 故选：D 考点四：函数的实际应用 例1．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每座城市至少要投资万元由前期市场调研可知：甲城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，乙城市收益单位：万元与投入单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为 （    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】根据题意列出收益的表达式，结合换元法、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 设投资这两座城市收益为， 则有， 令，则有， 该二次函数的对称轴为，且开口向下， 所以， 故选：B 【变式探究1】有一批材料可以建成的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形的宽为，则该矩形的长为，利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最大值. 【详解】设矩形的宽为，则该矩形的长为， 所以，矩形的面积为，其中， 故当时，取得最大值. 故选：A. 【变式探究2】已知两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从地前往地，到达地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，汽车的行驶的情况主要有三段即往、返、停留，分三种情况讨论列出函数即可. 【详解】因为两地相距150千米， 所以当汽车以60千米/小时的速度从地前往地时， 需要小时，此时汽车离开地的距离为： ， 到达地停留1小时，此时汽车离开地的距离为： ， 当汽车以50千米/小时的速度从地前往地时， 需要小时，此时汽车离开地的距离为： ， 所以由题意有： 故选：D. 【变式探究3】某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】A 【分析】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解． 【详解】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时． 故选：A． 【变式探究4】下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（    ） A．116件 B．110件 C．107件 D．106件 【答案】C 【分析】根据题意，设购买的件数为，花费为元，根据表中的数据列出满足的函数关系式，当时，求出的最大值即可. 【详解】设购买的件数为，花费为元， 则，当时，， 当时，，所以最多可购买这种产品件， 故选：C. 【变式探究5】某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（    ） A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米 【答案】B 【分析】根据到1.84米得90分，先求得该女生训练前立定跳远距离，再求得训练后立定跳远距离，两者相减即可. 【详解】该女生训练前立定跳远距离为（米）， 训练后立定跳远距离为（米）， 则该女生训练后，立定跳远距离增加了（米）. 故选：B． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$