专题3.2 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（考点精讲）-【中职专用】2025年技能高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

专题3.2 函数的性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一： 求函数单调区间 5 考点二：由单调性解不等式 7 考点三：由奇偶性求参数值 7 考点四：由奇偶性求解析式 8 考点五：由奇偶性解不等式 8 考点六：由周期性求函数值 9 考点七：由对称性求函数问题 10 考点八：函数的性质综合问题 11 【考纲要求】 1. 理解函数单调性的定义，并会判断单调性及求单调区间. 2. 理解函数奇偶性的定义，会利用奇偶性求函数问题. 3. 理解函数周期性和对称性的定义，会利用周期性和对称性求函数问题. 【考向预测】 1.求函数的单调区间及利用单调性解不等式 2.利用奇偶性求值、求解析式、解不等式 3.利用周期性及对称性求函数问题 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2. 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 4. 周期性（差为常数有周期）（拓展） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴）（拓展） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 周期性对称性综合问题（拓展） ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 7. 奇偶性对称性综合问题（拓展） ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 【考点分类剖析】 考点一： 求函数单调区间 例1．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是 .    例2．函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 【变式探究】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 例3．函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【变式探究】下列关于函数的结论，正确的是（    ） A．f(x)在(0，+∞)上单调递增 B．f(x)在(0，+∞)上单调递减 C．f(x)在(-∞，0]上单调递增 D．f(x)在(-∞，0]上单调递减 考点二：由单调性解不等式 例1．（多选）若函数在上为减函数，且，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式探究1】已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究2】已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是 . 考点三：由奇偶性求参数值 例1．已知奇函数的定义域为，则实数 . 例2．已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式探究】若为偶函数，则（    ） A．0 B．5 C．7 D．9 例3．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式探究】已知是偶函数，且时，，若，则的值是 ． 考点四：由奇偶性求解析式 例1．函数为偶函数，当时，，则时， ． 【变式探究】已知函数为偶函数，且时，，则 . 例2．已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， . 考点五：由奇偶性解不等式 例1．已知是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使的的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 例2．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且，则使得成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．已知偶函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六：由周期性求函数值 例1．已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 【变式探究】设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知定义在R上的奇函数满足，则等于（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式探究】已知函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 例3．已知函数对于任意实数满足条件，若，则（    ） A． B． C． D．4 考点七：由对称性求函数问题 例1．若函数是奇函数，则函数的图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式探究1】已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式探究2】下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 例2．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【变式探究】已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．8100 考点八：函数的性质综合问题 例1．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 例2．（多选）函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，，则（    ） A． B．关于对称 C． D．为减函数 【变式探究】（多选）定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（    ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 例3．已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称.当时，，则 . 【变式探究】已知定义在R上的函数满足对任意实数都有，成立，若，则 ． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数的性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一： 求函数单调区间 5 考点二：由单调性解不等式 8 考点三：由奇偶性求参数值 9 考点四：由奇偶性求解析式 11 考点五：由奇偶性解不等式 12 考点六：由周期性求函数值 15 考点七：由对称性求函数问题 17 考点八：函数的性质综合问题 19 【考纲要求】 1. 理解函数单调性的定义，并会判断单调性及求单调区间. 2. 理解函数奇偶性的定义，会利用奇偶性求函数问题. 3. 理解函数周期性和对称性的定义，会利用周期性和对称性求函数问题. 【考向预测】 1.求函数的单调区间及利用单调性解不等式 2.利用奇偶性求值、求解析式、解不等式 3.利用周期性及对称性求函数问题 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2. 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 3. 奇偶性 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称 偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 4. 周期性（差为常数有周期）（拓展） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 5. 对称性（和为常数有对称轴）（拓展） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 周期性对称性综合问题（拓展） ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 7. 奇偶性对称性综合问题（拓展） ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 【考点分类剖析】 考点一： 求函数单调区间 例1．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可. 【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：B 【变式探究】已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是 .    【答案】（开闭均可） 【分析】根据根据函数图象即可得解. 【详解】由函数图象可知， 函数的单调递增区间是. 故答案为：.（开闭均可） 例2．函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 【答案】D 【分析】由反比例函数的性质即可求解. 【详解】由反比例函数的性质可得函数的单调递减区间为（－∞，0），（0，＋∞）. 故选：D. 【变式探究】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由二次函数的单调性求解即可. 【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是. 故选：B. 例3．函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【答案】C 【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】， 函数的定义域为， 其图象如下： 由图象可得函数在和上是增函数. 故选：C 【变式探究】下列关于函数的结论，正确的是（    ） A．f(x)在(0，+∞)上单调递增 B．f(x)在(0，+∞)上单调递减 C．f(x)在(-∞，0]上单调递增 D．f(x)在(-∞，0]上单调递减 【答案】D 【解析】先将函数化为，可得函数的单调区间，从而得出答案. 【详解】由题意可得， 作出函数f(x)的图像如图所示， 由图可知，函数f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增 故选：D. 考点二：由单调性解不等式 例1．（多选）若函数在上为减函数，且，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】根据题意, 由不等式的性质可得 , 解可得 的取值范围, 分析选项可得答案. 【详解】根据题意, 函数在上为减函数, 且 , 则有 , 解得 , 所以选项A ，B正确, 选项C ，D错误. 故选: A B. 【变式探究1】已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知，解不等式得. 故选：D 【变式探究2】已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是 . 【答案】x＜ 【分析】将不等式化为，再根据函数的单调性可解得结果. 【详解】因为，所以和化为， 又因为f(x)是定义在上的单调递增函数， 所以，解得. 故答案为：. 考点三：由奇偶性求参数值 例1．已知奇函数的定义域为，则实数 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得的值. 【详解】由于是奇函数，所以. 故答案为： 例2．已知函数为奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义列式计算即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为奇函数，得， 即， 所以. 故选：B 【变式探究】若为偶函数，则（    ） A．0 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】求出的表达式，根据偶函数定义即可求出的值. 【详解】由题意， 为偶函数， ∴，， ∴，解得：， 故选：C. 例3．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的性质得列式求解． 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，解得． 故选：D 【变式探究】已知是偶函数，且时，，若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】根据题意，由函数的奇偶性解析式分析可得，解可得，即可得函数在的解析式，据此结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】根据题意，是偶函数，且时，， ，则，则， 则有时，，则， 又由是偶函数，则； 故答案为:6. 考点四：由奇偶性求解析式 例1．函数为偶函数，当时，，则时， ． 【答案】 【分析】由，可得，根题意得到，代入化简，即可求解. 【详解】由，可得， 因为函数为偶函数，且当时，， 所以， 即时，. 故答案为：. 【变式探究】已知函数为偶函数，且时，，则 . 【答案】2 【分析】先求，再根据偶函数求 【详解】因为时，，所以 因为函数为偶函数，所以 故答案为：2 【点睛】本题考查根据偶函数性质求函数值。考查基本分析求解能力，属基础题. 例2．已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求解的解析式. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 当时，， 所以， 故选：C 【变式探究】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】 利用奇函数的性质可求时的解析式. 【详解】 当时，， 因为函数是定义在上的奇函数， 故. 故答案为：. 考点五：由奇偶性解不等式 例1．已知是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和奇偶性化简不等式，由此求得正确答案. 【详解】依题意，是定义在上的偶函数， 上递减；上递增. ， 不等式，所以. 故选：D 【变式探究】函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】解：是R上的偶函数，且在上是增函数 在是减函数，， ， ； 故选：C． 例2．已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性、奇偶性、定义域化简不等式，从而求得的取值范围. 【详解】依题意奇函数是定义在区间上的增函数， ， . 故选：B 【变式探究】若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且，则使得成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 由可得，即， 又因为函数是定义在R上单调递增函数， 所以. 故选：D 例3．已知偶函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】得到时，单调递增，结合奇偶性，得到，求出实数的取值范围. 【详解】当时，单调递增， 又为偶函数， 故， 所以，解得：. 故选：C 考点六：由周期性求函数值 例1．已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 【答案】． 【分析】利用函数的周期性和奇偶性得，由此能求出结果． 【详解】由题可知： 又当时， 所以 故 故答案为： 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数的周期性和奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，属基础题． 【变式探究】设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性与周期性，得到，再由已知区间对应的解析式，即可得出结果. 【详解】因为是定义在上周期为2的奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与周期性求函数值，属于基础题型. 例2．已知定义在R上的奇函数满足，则等于（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由函数奇偶性和周期性即可求解. 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 所以， 又， 所以是周期为2的周期函数， 所以. 故选：B 【变式探究】已知函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】探求函数的周期性，利用函数解析式求值. 【详解】因为， 所以. 故选：C 例3．已知函数对于任意实数满足条件，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知求得，从而得解. 【详解】因为， 所以，则周期为4， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 考点七：由对称性求函数问题 例1．若函数是奇函数，则函数的图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数是奇函数可知关于对称，再由函数的平移关系可得出答案. 【详解】因为函数是奇函数，所以关于对称， 函数向右平移一个单位得到函数的图象， 所以函数关于对称， 函数向上平移一个单位得到函数的图象， 所以函数的图象关于对称. 故选：B. 【变式探究1】已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简即可得对称中心. 【详解】因为， 所以函数的图象关于点对称. 故选：C 【变式探究2】下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 例2．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【答案】A 【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 【详解】由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 【变式探究】已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．8100 【答案】A 【分析】首先得出关于中心对称，然后即可利用这一性质求解. 【详解】， 所以，即关于中心对称， 所以. 故选：A. 考点八：函数的性质综合问题 例1．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知抽象函数式，赋值得到是以为周期的周期函数，即可求解. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 又，所以， 则，即， 所以，则是以为周期的周期函数， 因为，， 所以，，， 则， 所以． 故选：A 【变式探究】定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据以及求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解. 【详解】解： ， 即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ， 解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 例2．（多选）函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，，则（    ） A． B．关于对称 C． D．为减函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可. 【详解】由对于任意实数， 令，则，即,故A正确； 令，则，即，故B正确； 令，，则， 即，故C正确； 对于任意，则设，当时，， 则，即， 所以单调递增，故D错误． 故选：ABC 【变式探究】（多选）定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（    ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】对于A：令，结合题意运算求解；对于D：令，根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B：根据奇函数的定义分析判断；对于C：举反例分析判断. 【详解】因为对任意的， 对于选项A：令，则，解得，故A正确； 对于选项C：令，则，可得， 且的定义域为，所以为奇函数，故D正确； 对于选项B：因为为奇函数， 所以，故B正确； 对于选项C：例如满足题意，但为常函数，不具有单调性，故C错误； 故选：ABD. 例3．已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称.当时，，则 . 【答案】3 【分析】根据奇函数以及关于直线对称可以推导出周期，再用周期进行化简然后求值. 【详解】∵的图象关于直线对称，∴， 又为奇函数，∴， 故， 则， ∴函数的周期， 又∵， ∴. 故答案为：3. 【变式探究】已知定义在R上的函数满足对任意实数都有，成立，若，则 ． 【答案】 【分析】由可得函数的对称性，再对中的进行赋值，依次得到，，，，即可求出. 【详解】由可得函数图象关于直线对称， 因，故，在中，令，代入可得， 再令，代入可得，再令，代入可得，， 故令，代入可得，故. 故答案为：. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$