专题3.1 函数的概念及其表示（考点精讲）-【中职专用】2025年技能高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

专题3.1 函数的概念及其表示 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：具体函数的定义域 3 考点二：抽象函数的定义域 4 考点三：求函数值 6 考点四：求函数值域 8 考点五：判断函数是否相等 10 考点六：求函数解析式 12 【考纲要求】 1. 理解函数的概念及函数的表示，会求具体函数及抽象函数定义域. 2. 会求函数的值及函数值域. 3.会求函数解析式及判断函数是否相等. 【考向预测】 1.求函数的定义域 2.求函数值及值域 3.求解析式及判断函数相等 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的概念 设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。 2. 函数的三要素（定义域、值域、对应关系） 在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。 【考点分类剖析】 考点一：具体函数的定义域 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 【变式探究】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】函数的意义，则且，解得且， 所以原函数的定义域为. 故选：D 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式探究】函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数形式列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意有，解得或或． 故其定义域为. 故答案为：. 考点二：抽象函数的定义域 例1．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，函数的定义域是， 所以对于函数来说，有， 所以函数的定义域是. 故答案为： 【变式探究】函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数和具体函数的形式，求解函数的定义域. 【详解】由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 例2．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可. 【详解】因为的定义域为，则， 所以的定义域为. 故答案为：. 【变式探究】已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域，即可得到的定义域. 【详解】∵函数的定义域为， ∴，∴， ∴的定义域为. 故答案为： 例3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可. 【详解】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故答案为： 【变式探究】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】借助函数定义域的定义计算即可得. 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 考点三：求函数值 例1．若函数，则 ． 【答案】4 【分析】根据,计算的值即可求解. 【详解】因为, 所以, 故答案为：4. 【变式探究】已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据解析式直接计算函数值即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1 例2．已知，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】代入即可. 【详解】． 故选：D. 【变式探究】已知，则（　　） A．5 B．11 C．21 D．27 【答案】C 【分析】根据函数解析式，令即代入解析式求解即可． 【详解】． 故选：C． 例3．已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 【答案】D 【分析】由题意有，得，求值即可. 【详解】由，当时，有， 由，则有. 故选：D 【变式探究】函数的定义域为，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法求值即可. 【详解】因为，， 所以令，得，得， 所以令，得，得. 故选：C 考点四：求函数值域 例1．函数的值域为 【答案】 【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域. 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 【变式探究】函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可． 【详解】由， 又，则，则，所以， 故函数的值域为． 故答案为：． 例2．函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数解析式直接求值域. 【详解】因为，所以， 所以函数的值域为， 故答案为: . 【变式探究】函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，求解一元二次不等式，则求得函数定义域；利用配方法求得被开方数范围，再开根号，即可求得函数值域. 【详解】要使得函数有意义， 则， 解得：， 故函数的定义域为． 因为， 故， 故函数的值域为． 故答案为：；. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，以及根式型函数值域的求解，属基础题. 考点五：判断函数是否相等 例1．与函数相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从定义域和对应关系上逐一判断即可； 【详解】对于A，定义域为，但，与的对应关系不同，故A错误； 对于B，定义域为，与的定义域不同，故B错误； 对于C，定义域为，与的定义域不同，故C错误； 对于D，定义域为,且，对应关系相同，故D正确； 故选：D. 【变式探究】与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，对原不等式等价变形即可. 【详解】由得， 所以． 故选：C． 例2．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 【变式探究】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 考点六：求函数解析式 例1．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 【变式探究】已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用换元法，令，代入计算，即可求得函数的解析式，得到答案． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 例2．已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 【变式探究】已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 例3．若函数满足关系式，则 . 【答案】6 【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选：6 【变式探究】已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】利用解方程组法和换元法即可求解. 【详解】由①， 得②， 由①②得，则， 令，则， 所以， 故. 故答案为：. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 函数的概念及其表示 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：具体函数的定义域 3 考点二：抽象函数的定义域 3 考点三：求函数值 4 考点四：求函数值域 5 考点五：判断函数是否相等 5 考点六：求函数解析式 6 【考纲要求】 1. 理解函数的概念及函数的表示，会求具体函数及抽象函数定义域. 2. 会求函数的值及函数值域. 3.会求函数解析式及判断函数是否相等. 【考向预测】 1.求函数的定义域 2.求函数值及值域 3.求解析式及判断函数相等 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的概念 设、是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域;与值相对应的叫做值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。 2. 函数的三要素（定义域、值域、对应关系） 在中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，仍然叫做函数值，的取值范围叫做值域。其中表示的是自变量与函数值的对应关系，该对应关系常体现在解析式中。定义域、值域、对应关系统称函数的三要素。 【考点分类剖析】 考点一：具体函数的定义域 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的定义域为 ． 考点二：抽象函数的定义域 例1．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【变式探究】函数的定义域是，则函数的定义域是 . 例2．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【变式探究】已知函数的定义域为，则的定义域为 . 例3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【变式探究】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 考点三：求函数值 例1．若函数，则 ． 【变式探究】已知函数，则 ． 例2．已知，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式探究】已知，则（　　） A．5 B．11 C．21 D．27 例3．已知对于任意，都有，且，则（    ） A．4 B．8 C．64 D．256 【变式探究】函数的定义域为，若，，则（    ） A．1 B． C． D． 考点四：求函数值域 例1．函数的值域为 【变式探究】函数的值域为 ． 例2．函数的值域为 . 【变式探究】函数的定义域是 ，值域是 ． 考点五：判断函数是否相等 例1．与函数相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式探究】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点六：求函数解析式 例1．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数，则（ ） A． B． C． D． 例2．已知是二次函数，且，，则 ． 【变式探究】已知为二次函数且，，则 ． 例3．若函数满足关系式，则 . 【变式探究】已知函数满足，则 . 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$