第13讲 直角三角形全等的判定（1个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第13讲 直角三角形全等的判定（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 题型强化 题型一．直角三角形全等的判定 1．（2022秋•镇海区校级期中）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 2．（余杭区期中）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是　　． 3．（2023秋•拱墅区期中）如图，点、、、在一条直线上，于，于，，．求证：． 题型二、用HL证全等（HL） 4．（21-22八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知AD是△ABC的角平分线，ED是线段AB的垂直平分线，∠ACB=90°，AC=6，则BE的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 5． （20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）下列说法中，①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的是 (填序号） 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 题型三、全等的性质和HL综合（HL） 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与边，分别相交于点E和点D，再分别以这两个交点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．点P为上一动点，则的最小值是 ． 9．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且，求证：． 完成下面的证明过程 证明：，______ 是的中点 ______ 又 ______ ______ ______． 分层练习 一、单选题 1．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=CD，∠ACB=40°，则∠ACD的度数为（     ）    A．10° B．20° C．30° D．40° 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中．是上一点．是上一点．，若，则下列结论：①；②平分；③；④中．正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知，．则证明的理由是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（    ） A．75° B．60° C．55° D．45° 6．如图，，，垂足分别为D，E，BD与CE交于点O，且，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．OE垂直平分AB 7．如图，的内部作射线，过点M分别作于点A，于点B，，连接，若，则的度数为（　　 ） A． B． C． D． 8．如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在等边中，于点D，延长到点E，使，F是的中点，连接并延长交于点G，的垂直平分线分别交，于点M，点N，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．在四边形中，，，平分，若，则 °． 12．如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ． 13．已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 （填序号）． 14．如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 15．如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为 ． 16．如图，中，是高，延长至点，使，连接，过点作交的延长线于点，当，时， ．    三、解答题 17．如图，，求证：． 18．如图，已知平分，点E，D分别为垂足，．求证：． 19．如图，在四边形中，于．若________，________，则________．    (1)从①，②，③平分，中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由．条件：________，________结论：________（填序号）． (2)在（1）的条件下，若，，，求四边形的周长． 20．如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的值． 21．如图，已知在中，，点在外，且点在的垂直平分线上，连接，与相交于点，若，，求的度数． 22．已知：如图，，． 求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：在中， ， __________（            ）， 在和中， ∵__________，__________， （                    ） （                    ） 23．如图，线段的两个端点分别在的两边上，，．按以下步骤作图：    ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点G； ③作射线； ④分别以点C、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点H、I； ⑤作直线，交射线于点P． 回答下列问题： (1)连接，填空： 由作法可知，点P在的______上， ∴点P到的______相等． 由作法可知，点P在线段的______上， ∴______． (2)若，求的长． 24．阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  星期日 用等面积法解决问题 周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的． 比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式 ① ． 再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在中，，，，求点到的距离．我们也可以利用等面积法求得点到的距离为 ② ． 总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系． 任务： (1)请你补全小宇日记中不完整的部分：①__________，②__________． (2)尺规作图：在图2中作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的条件下，求线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 直角三角形全等的判定（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 题型强化 题型一．直角三角形全等的判定 1．（2022秋•镇海区校级期中）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 【解答】解：、正确．符合； 、正确．符合； 、正确．符合； 、错误．要证两三角形全等必须有边的参与． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解与运用，对知识要牢固掌握，灵活运用． 2．（余杭区期中）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是　或　． 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是． 【解答】解：添加或；理由如下： ， 在和中，， ， 故答案为：或． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有，，，，． 3．（2023秋•拱墅区期中）如图，点、、、在一条直线上，于，于，，．求证：． 【分析】先根据直角三角形全等的判定方法证得，则，即． 【解答】证明：，， ． 在和中， ， ． ． ． 即：． 【点评】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、（直角三角形）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 题型二、用HL证全等（HL） 4．（21-22八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知AD是△ABC的角平分线，ED是线段AB的垂直平分线，∠ACB=90°，AC=6，则BE的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、用HL证全等（HL） 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的性质求出，CD=DE,AE=BE,再根据HL求出全等证明AC=AE,即可得到答案． 【详解】 ∵AD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线， ∴CD=DE，AE=BE 在Rt△ACD和Rt△AED中 ∴△ACD≌△AED（HL） ∴AC=AE， ∴AC＝AE＝BE=6， 故答案为6． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质解答． 5．（20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）下列说法中，①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的是 (填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据直角三角形全等的判定条件可直接进行逐一排除． 【详解】解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形，由“HL”可判定全等，故正确； ②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形，由“SAS”可判定全等，故正确； ③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可由“AAS”或“ASA”判定全等，故正确； ④两个锐角对应相等的两个直角三角形，无法判定全等，因为没有对应边的相等，故错误； 所以正确的有①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形的全等判定条件是解题的关键． 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型三、全等的性质和HL综合（HL） 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的定义，由角平分线的定义得出，再由角平分线的性质定理即可得出，再证明即可得出，即可得解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和， ， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 8．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与边，分别相交于点E和点D，再分别以这两个交点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．点P为上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．由题意得当时，有最小值，证即可求解． 【详解】解：由题意得：是的角平分线， ∵，，， ∴， ∵点为上一动点， ∴当时，有最小值，如图所示：    ∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 解得：， ∴的最小值是． 故答案为： 9．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且，求证：． 完成下面的证明过程 证明：，______ 是的中点 ______ 又 ______ ______ ______． 【答案】已知；；；全等三角形的对应角相等；等角对等边． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由垂直的定义可得，再根据中点的定义可得，然后结合运用可得，根据全等三角形的性质可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】证明：，（已知）， ， 是的中点， ， 又， ， （全等三角形的对应角相等）， （等角对等边）． 分层练习 一、单选题 1．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=CD，∠ACB=40°，则∠ACD的度数为（     ）    A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据题意可得出△ABC≌△DCB，然后根据三角形外角等于两个不相邻的内角和可得出∠COD，然后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】   在△ABC和△DCB中∠A=∠D=90° ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)， ∴∠ACB=∠DBC=40°， 根据三角形外角等于两个不相邻的内角和， ∴∠COD=∠ACB+∠DBC=80°， ∴∠ACD=90°-80°=10°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同时考查了三角形外角定理，难度适中． 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3．如图，在中．是上一点．是上一点．，若，则下列结论：①；②平分；③；④中．正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据全等三角形判定和性质，直角三角形性质，角平分线性质逐一进行证明即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 所以①正确； ∵，，， ∴平分； 所以②正确； ∵是直角三角形， ∴； 所以③错误； 在和中， ， 在， ∴， ∵； ∴． 所以④正确． 所以正确的是①②④，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，直角三角形性质，角平分线性质等．解题关键利用角平分线性质求解． 4．如图，已知，．则证明的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】根据题意得到两个三角形是直角三角形，结合给出的条件：直角边和斜边分别相等，从而得出结论． 【详解】∵， ∴和是直角三角形， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（    ） A．75° B．60° C．55° D．45° 【答案】B 【知识点】等边对等角、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE=∠BCF=15°，即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB， ∴∠BAC=∠BCA=45°， ∵∠CAE=30°， ∴∠BAE=15°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL） ∴∠BAE=∠BCF=15°， ∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=60°， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是本题的关键． 6．如图，，，垂足分别为D，E，BD与CE交于点O，且，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．OE垂直平分AB 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明Rt△AEC≌Rt△ADO（HL），得出∠OAE=∠OAD，AE=AD即可判断选项A、B，△BEO≌△CDO（ASA），得出∠B=∠C即可判断选项C，根据线段垂直平分线的定义即可判断选项D． 【详解】解：在Rt△AEC和Rt△ADO中， ∴Rt△AEC≌Rt△ADO（HL）， ∴∠OAE=∠OAD，AE=AD， ∴选项A、B不符合题意； 在△BEO和△CDO中， ∴△BEO≌△CDO（ASA）， ∴∠B=∠C， ∴选项C不符合题意； ∵OE⊥AB，但OE不一定平分AB， ∴OE垂直平分AB说法错误， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义等知识，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义是解题的关键． 7．如图，的内部作射线，过点M分别作于点A，于点B，，连接，若，则的度数为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，根据全等三角形的性质可得的度数，进一步即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵于点A，于点B， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 8．如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL）、全等三角形的性质 【分析】由已知条件判断两个直角三角形全等，根据全等三角形的性质逐一分析即可. 【详解】解：由题意知 在和中： ∵ ∴(HL) ∴， ∴（1）、（3）正确 ∵， ∴ ∴（2）正确 故选：D 【点睛】本题考查两个直角三角形全等的判定和性质，牢记相关的定理和性质内容是解题的关键． 9．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点．若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握种基本作图的方法．根据作图可得平分，根据角平分线的性质得到，再证明得到，根据勾股定理得到，则，利用面积法求出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：由作图法得平分， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：C． 10．如图，在等边中，于点D，延长到点E，使，F是的中点，连接并延长交于点G，的垂直平分线分别交，于点M，点N，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据等边三角形的性质和，可得，即，再根据三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求得，即可判断①；设，根据直角三角形的性质可得，从而可得，，利用勾股定理求得，，从而求得，即可判断②；如图，过点N作于点H，连接，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得，，从而证得，可得，即可判断③；根据角的和差及等腰三角形的性质可判断④；利用勾股定理求得，即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， 设，则， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴，故②正确； 如图，过点N作于点H，连接， ∵是等边三角形，， ∴平分，， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴，， ∵， 由②可得，，则，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④错误； ∵，，， ∴， ∴，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题 11．在四边形中，，，平分，若，则 °． 【答案】40 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】过D点作交的延长线于点M，作于点N，证明，即可求解． 【详解】过D点作交的延长线于点M，作于点N，如图， ∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，根据角平分线的性质定理得到，是解答本题的关键． 12．如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ． 【答案】①② 【分析】证，可得，，再根据即可求得，即可解题． 【详解】解：在和中， ， ， ，①正确， ∴， ， ， ，②正确， 和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明 ，故③④错误； 故答案是：①②． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． 13．已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】根据角平分线定义推出，利用证明，据此判断①；根据全等三角形的性质、邻补角定义判断②；根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形性质、三角形外角性质、全等三角形的性质及直角三角形的性质判断④；过E作交于G点，根据角平分线性质得出，利用证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵为的角平分线，， ∴， 故③正确，符合题意； ∵，且，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④错误，不符合题意； 如图，过E作交于G点， ∵E是的角平分线上的点，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故⑤正确，符合题意． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 14．如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，分两种情况：①当时；②当时；由证明即可得出结果，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 分两种情况：①当时， 在和中， ， ∴； ②当时， 在和中， ， ∴； 综上，当点运动到或时，与全等， 故答案为：或． 15．如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到，，再根据可以判定，从而可以得到，然后即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．如图，中，是高，延长至点，使，连接，过点作交的延长线于点，当，时， ．    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角 【分析】根据已知条件得到，利用推出，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，根据三角形的外角的性质得到，根据已知条件即可得到结论． 【详解】解：是高，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 三、解答题 17．如图，，求证：． 【答案】见解答 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 直接利用直角三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】证明： 在和中， ， ∴． 18．如图，已知平分，点E，D分别为垂足，．求证：． 【答案】详见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，利用角平分线的性质得到，然后证明，从而得到，能根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答是解此题的关键． 【详解】∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．如图，在四边形中，于．若________，________，则________．    (1)从①，②，③平分，中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，构成一个真命题．并说明理由．条件：________，________结论：________（填序号）． (2)在（1）的条件下，若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)①②③或①③②或③②①，理由见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、用HL证全等（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）延长，过点C作于F，根据，情况一：，得出，推出，得出，即可得出平分；情况二：根据角平分线的性质得出，推出，则，即可推出；情况三：根据角平分线的性质得出，根据，，推出，进而求证，即可推出． （2）根据勾股定理求出，则，根据，得出，易得，通过证明，得出，则，最后根据四边形周长即可求解． 【详解】（1）解：延长，过点C作于F，    情况一：已知：在四边形中，于，若①，②，求证：③平分． 理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； 情况二：已知：在四边形中，于，若①，③平分，求证：②． 理由如下： ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 情况三：已知：在四边形中，于，若③平分，②，求证：①． 理由如下： ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①②③或①③②或③②①． （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形周长． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求解． 20．如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、根据等边对等角证明 【分析】（1）先证是等边三角形，可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由“”可证，可得，可证，即可求解； （3）由直角三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点H，连接， ∵，， ，， ，点H是的中点， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点E作于，于点G， 又， ， 平分，，， ， ∵，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．如图，已知在中，，点在外，且点在的垂直平分线上，连接，与相交于点，若，，求的度数． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、用HL证全等（HL） 【分析】 作辅助线，构建全等三角形和垂直平分线，证明和（HL），得，求出的度数，所以，再根据等腰三角形可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，于点，连接． ， ． ， ， ∵点在的垂直平分线上， ， ， (HL)， ， ， ． 故的度数为． 22．已知：如图，，． 求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：在中， ， __________（            ）， 在和中， ∵__________，__________， （                    ） （                    ） 【答案】，等角对等边，，，，全等三角形对应角相等 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边证明边相等 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边等知识，由等角对等边得到，又由，即可证明，由全等三角形对应角相等即可得到结论． 【详解】证明：在中， ， （等角对等边）， 在和中， ∵，， （全等三角形对应角相等） 故答案为：，等角对等边，，，，全等三角形对应角相等 23．如图，线段的两个端点分别在的两边上，，．按以下步骤作图：    ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部交于点G； ③作射线； ④分别以点C、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点H、I； ⑤作直线，交射线于点P． 回答下列问题： (1)连接，填空： 由作法可知，点P在的______上， ∴点P到的______相等． 由作法可知，点P在线段的______上， ∴______． (2)若，求的长． 【答案】(1)平分线，距离，垂直平分线， (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）根据角平分线的性质，线段垂直平分线的性质即可完成填空； （2）证明，可得，可得，解得，然后根据勾股定理可得结果． 【详解】（1）解：由作法可知，点P在的平分线上， ∴点P到的距离相等． 由作法可知，点P在线段的垂直平分线上， ∴． 故答案为：平分线，距离；垂直平分线，； （2）解：如图，过点P作于点M，N， ∴，    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 24．阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  星期日 用等面积法解决问题 周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的． 比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式 ① ． 再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在中，，，，求点到的距离．我们也可以利用等面积法求得点到的距离为 ② ． 总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系． 任务： (1)请你补全小宇日记中不完整的部分：①__________，②__________． (2)尺规作图：在图2中作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的条件下，求线段的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和HL综合（HL）、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】 （1）①正方形面积等于边长乘以边长，也可以等于各个小部分的面积之和，即可得到结论；②根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据角平分线的作法作出图形即可； （3）过作于，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：补全小宇日记中不完整的部分： ①正方形面积等于边长乘以边长，即， 正方形面积也可以等于各个小部分的面积之和，即， 即； ②，， 那么点到的距离为， 所以①，②； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：过作于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故线段的长度为． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，完全平方公式，三角形的面积公式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$