第13讲 弧长及扇形的面积（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第13讲 弧长及扇形的面积（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型强化 题型一．弧长的计算 1．（2024•金华三模）一段圆弧形公路弯道的半径为，圆心角为，则该弯道的长度为 　　． 2．（2024•瑞安市校级模拟）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•柯桥区期末）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连结，． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 题型二．扇形面积的计算 4．（2023秋•镇海区月考）如图，扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为 　　． 5．（2023秋•诸暨市期中） 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•嵊州市期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，，求： （1）的长． （2）阴影部分的面积． 题型三、求弧长 7．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，已知四边形是的内接四边形，的半径为6，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）弧长为，所在圆的半径是6，则弦所对的圆周角为 ． 9．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 题型四、求扇形半径 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．22 C．12 D．6 11．（2023·浙江丽水·模拟预测）小明用长为铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，为圆心． （1）若，A为的中点，则长为 ； （2）若使得模型的面积最大，则的值为 12．（九年级上·浙江绍兴·期末）（本小题满分10分） 如图，已知扇形的半径为15cm，∠AOB=120°． （1）求扇形的面积； （2）用这扇形围成圆锥的侧面，求该圆锥的高和底面半径． 分层练习 一、单选题 1．一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（    ） A． B． C． D． 2．已知一扇形的圆心角为，半径为，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ） A．π B．π C． D． 5．如图，在中，若，，则的长度是（   ）    A．π B． C． D． 6．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D．2π 7．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（ ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为个单位长度/秒，则2021秒时，点P的坐标是（　　）    A．（2021，） B． C． D．（2021，0） 9．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图②中摆盘的面积是（    ） A． B． C． D． 10．对于长度为4的线段AB（图1），小若用尺规进行如下操作（图2）根据作图痕迹，有下列说法：①△ABC是等腰三角形；②△ABC是直角三角形；③△ABC是等边三角形；④弧AD的长度为，⑤△ABC是直角三角形的依据是直径所对的圆周角为直角，则其中正确的个数是（　　）      A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为 ．（结果保留） 12．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 13．如图，Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，现将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AED，则图中阴影部分的面积是 ． 14．已知扇形的圆心角是，半径是，则扇形的弧长是 ，扇形的面积是 ． 15．如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径，则图中阴影部分的面积为 （结果保留） 16．如图， 从一块的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积S扇形与阴影部分的面积S阴影的大小关系为S扇形 S阴影 三、解答题 17．铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷，推出的铅球必须落在角的扇形区域内（以投掷圈的中心为圆心），这一区域为危险区域．如果运动员最多可投，那么这一比赛的危险区域的面积至少应是多少？（结果精确到） 18．龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 19．如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 20．如图，在中，，且点的坐标为      （1）画出绕点逆时针旋转后的． （2）求点旋转到点所经过的路线长（结果保留） （3）画出关于原点对称的 21．在2015年金华市体育中考中，仰卧起坐就是其中的一项选考项目．图ａ是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景，图ｂ是小明锻炼时上半身由位置运动到与地面垂直的位置时的示意图． 已知米，米，米． （1）求的倾斜角的度数（精确到）； （2）若测得米，试计算小明头顶由点运动到点的路径弧MN的长度（精确到0．01米）． （参考数据：sin18°≈，cos72°≈，tan17°≈，） 22．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径为多少m？    23．已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． (1)如图1，求证：为的角平分线； (2)如图2，连接，若，①求的长；②求图中阴影部分的面积． 24．水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； (2)在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 弧长及扇形的面积（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 题型强化 题型一．弧长的计算 1．（2024•金华三模）一段圆弧形公路弯道的半径为，圆心角为，则该弯道的长度为 　　． 【分析】根据弧长公式计算． 【解答】解：该弯道的长度为． 故答案为：． 【点评】本题侧重考查弧长的计算，掌握弧长公式是解决此题的关键． 2．（2024•瑞安市校级模拟）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】连接；延长，交于点．根据圆周角定理求出的度数，再由弧长公式计算即可． 【解答】解：连接；延长，交于点． ，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握并灵活运用弧长的计算公式及圆周角定理是解题的关键． 3．（2022秋•柯桥区期末）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连结，． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 【分析】（1）根据垂径定理，圆周角定理即可得出结论； （2）根据垂径定理，证明，推出，可得，再利用弧长公式求解． 【解答】（1）证明：，是直径， ， ； （2）解：如图，连接，，． ，是直径， ， ， ， ， ， 的长． 【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握垂径定理、圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 题型二．扇形面积的计算 4．（2023秋•镇海区月考）如图，扇形中，，点，分别在，上，连接，，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】连接，，证明为等边三角形，求出扇形的半径，然后求出，，，即可得出答案． 【解答】解：连接，，如图所示： 点，关于直线对称， ，，，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，求出扇形的半径． 5．（2023秋•诸暨市期中） 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 【分析】利用扇形面积公式，根据即可求解． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 6．（2023秋•嵊州市期末）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，，求： （1）的长． （2）阴影部分的面积． 【分析】（1）由是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解； （2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出． 【解答】解：（1）是弧的中点，， ， ， 为半圆的直径，， ， 在中，， ， 解得：， ， 的长为1； （2）连接， 在中，，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 题型三、求弧长 7．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，已知四边形是的内接四边形，的半径为6，，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求弧长、圆周角定理 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式 ． 连接，然后根据圆周角定理求得的度数，最后根据弧长公式求解． 【详解】连接， ∵， ∴， 则劣弧的长为：． 故选B． 8．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）弧长为，所在圆的半径是6，则弦所对的圆周角为 ． 【答案】或 【知识点】求弧长、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查弧长公式、圆周角定理、圆内接四边形性质等知识，根据弧长公式，列方程求出圆心角，再由弦所对的圆周角有两种情况，分类求解即可得到答案，熟记弧长公式、圆周角定理、圆内接四边形性质是解决问题的关键． 【详解】解：弧长为，所在圆的半径是6， ，解得，这个是所对的圆心角， 弦所对的圆周角有两种情况， 由圆周角定理可得所对的圆周角为；再由圆内接四边形性质可得弦所对的另一个圆周角为， 综上所述：弦所对的圆周角为或， 故答案为：或． 9．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求弧长、半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握． （1）根据是 的直径，，，推出，即可推得． （2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是 的直径， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长度． 题型四、求扇形半径 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．22 C．12 D．6 【答案】A 【知识点】求扇形半径 【分析】扇形面积公式为，直接代值计算即可． 【详解】，即，解得． 故选：A 【点睛】此题考查扇形的面积公式，，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解． 11．（2023·浙江丽水·模拟预测）小明用长为铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，为圆心． （1）若，A为的中点，则长为 ； （2）若使得模型的面积最大，则的值为 【答案】 / 【知识点】求扇形面积、求扇形半径、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题为二次函数应用题，主要考查扇形的周长和面积的计算，正确记忆公式是解题关键． 由，即可求解； 每个扇环的圆心角为，面积为，由，即可求解． 【详解】解：（1）设每个扇环的周长为，则，设， 则， 解得：， 故答案为：； （2）每个扇环的圆心角为，面积为，设每个扇环的周长为，则，设，， 根据题意得：， 则， ，所以抛物线开口向下， 式中， 时，S取值最大，即， 故答案为：． 12．（九年级上·浙江绍兴·期末）（本小题满分10分） 如图，已知扇形的半径为15cm，∠AOB=120°． （1）求扇形的面积； （2）用这扇形围成圆锥的侧面，求该圆锥的高和底面半径． 【答案】（1）150π平方厘米 （2）r=10cm；h=5cm 【知识点】求圆锥的高、求圆锥底面半径、求扇形面积、求扇形半径 【分析】（1）根据扇形的面积公式S=，代值计算即可 （2）利用弧长公式可求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，再利用勾股定理求得高即可. 【详解】解：（1）∵S= ∴S==150πcm2 （2）∵弧长==20π ∴2πr=20π，r=10cm， ∴圆锥的高h==（cm） 【点睛】本题考查了扇形的面积公式以及圆锥有关计算，解本题的关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长. 分层练习 一、单选题 1．一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求扇形半径 【分析】根据题意求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π， ∴侧面展开图的弧长为8π， 则圆锥母线长＝＝12（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 2．已知一扇形的圆心角为，半径为，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求弧长 【分析】利用弧长公式计算出扇形的弧长，以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长即是扇形的弧长． 【详解】解：扇形的弧长＝， 以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了弧长的计算：． 3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求弧长 【分析】连接OE，由菱形的性质得出∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4，得出OA＝OD＝2，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE＝60°，再由弧长公式即可得出答案． 【详解】解：连接OE，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠D＝∠B＝60°，AD＝AB＝4， ∴OA＝OD＝2， ∵OD＝OE， ∴∠OED＝∠D＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°， ∴ 的长＝＝； 故选B． 【点睛】本题考查弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键． 4．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ） A．π B．π C． D． 【答案】B 【知识点】圆 【详解】试题分析：根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长． 解：设底面圆的半径为r，则： 2πr==π． ∴r=， ∴圆锥的底面周长为， 故选B． 考点：圆锥的计算． 5．如图，在中，若，，则的长度是（   ）    A．π B． C． D． 【答案】B 【知识点】求弧长、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理可得，继而根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长． 故选：B． 6．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D．2π 【答案】A 【详解】试题分析：如图，连接OC，易证，则阴影部分的面积等于扇形AOC的面积，故答案选A． 考点：等边三角形，扇形的面积． 7．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆 【详解】试题分析：画出示意图， 结合图形及扇形的面积公式即可计算出点A运动的路径线与x轴围成的面积． 故选C 考点:扇形的面积公式，正方形的性质，旋转的性质. 8．在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为个单位长度/秒，则2021秒时，点P的坐标是（　　）    A．（2021，） B． C． D．（2021，0） 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、求某点的弧形运动路径长度 【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点， 观察，发现规律： P1（，），P2（1，0），P3（，﹣），P4（2，0），P5（，），…， ∴P4n＋1（，），P4n＋2（，0），P4n＋3（，﹣），P4n＋4（，0）， ∵2021＝4×505＋1， ∴P2021为（，）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律． 9．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图②中摆盘的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、求扇形面积 【分析】本题主要考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，熟练掌握求扇形的面积是解题的关键．首先证明是等边三角形，求出，再根据即可得到答案． 【详解】解： 连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故选C． 10．对于长度为4的线段AB（图1），小若用尺规进行如下操作（图2）根据作图痕迹，有下列说法：①△ABC是等腰三角形；②△ABC是直角三角形；③△ABC是等边三角形；④弧AD的长度为，⑤△ABC是直角三角形的依据是直径所对的圆周角为直角，则其中正确的个数是（　　）      A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】作垂线(尺规作图)、求弧长 【分析】利用作图得到得PQ垂直平分AB，点O为AB的中点，CE＝CB，以AB为直径作⊙O，则CA＝CB，所以△ABC为等腰三角形，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则△ACB为等腰直角三角形，然后计算∠ABD＝22.5°，则∠AOD＝45°，根据弧长公式可计算出 的长度，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得PQ垂直平分AB，点O为AB的中点，CE＝CB，以AB为直径作⊙O， ∵PQ垂直平分AB， ∴CA＝CB，即△ABC为等腰三角形， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，所以⑤正确 ∴△ACB为等腰直角三角形，所以①②正确，③错误； ∵CB＝CE， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠CBE＝（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠ABD＝∠CBE﹣∠CBO＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠AOD＝45°， ∴的长度，所以④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理以及弧长的计算公式，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理求证． 二、填空题 11．如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为 ．（结果保留） 【答案】4π． 【知识点】求弧长、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，知OA=OB． 又∠AOB=36°， ∴∠OBA=72°． ∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm． 故答案是：4π． 【点睛】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解． 12．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 13．如图，Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，现将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AED，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、旋转综合题(几何变换) 【分析】过F点作FG⊥AD,垂足为G，设FG为x，根据Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AED， 可以得到FG、DG、AG之间的关系，AC=AD通过勾股定理可以求出，即可求出. 【详解】解： 过F点作FG⊥AD,垂足为G，设FG为x ∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AED ∴ AC=AD,∠ACB=∠ADE ∠CAD=30° ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2 ∴ ∠ACB=∠ADE=45°，AC=AD= ∵ FG⊥AD ∠ADE=45° ∴ FG=DG=x ∵ ∠CAD=30° ∴ AG=x ∵ AD=AG+DG= ∴ 得到x+x=   解得x= 由题意得= = 故答案为： 【点睛】此题主要考查了三角形的旋转及扇形面积，熟记概念、并且列方程求出FG是解题的关键. 14．已知扇形的圆心角是，半径是，则扇形的弧长是 ，扇形的面积是 ． 【答案】 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】根据扇形的弧长与面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意得：扇形的弧长是； 扇形的面积是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式与面积公式．解题的关键在熟练掌握公式并正确的计算． 15．如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径，则图中阴影部分的面积为 （结果保留） 【答案】 【知识点】切线的性质定理、求其他不规则图形的面积 【分析】如图，根据图中阴影部分的面积=扇形BOD的面积+△BOC的面积计算即可求解． 【详解】解：如图，∵斜边与半圆相切，故可设切点为B， ∴． 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算等知识，掌握相关知识，并熟知不规则图形面积一般可以利用“分割法”求阴影部分的面积是解题关键． 16．如图， 从一块的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积S扇形与阴影部分的面积S阴影的大小关系为S扇形 S阴影 【答案】= 【分析】连接AB，根据∠ACB为90°得到AB为圆的直径，求出AC，根据弧长公式求出弧AB的长，圆的面积减去扇形面积即为阴影部分面积，比较即可． 【详解】解：连接AB，设AO=x，则AB=2x， 由题意可知∠ACB=90°，AC=AB， ∴AB为圆O的直径，△ACB为等腰直角三角形， ∴AC=AB=x， ∴扇形ACB的面积为 ， 圆O的面积为， 因此阴影部分面积为， S扇形=S阴影 故答案为：=． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 三、解答题 17．铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷，推出的铅球必须落在角的扇形区域内（以投掷圈的中心为圆心），这一区域为危险区域．如果运动员最多可投，那么这一比赛的危险区域的面积至少应是多少？（结果精确到） 【答案】约 【知识点】求扇形面积 【分析】由题意可得：安全区域是圆心角为40°，半径为7m的扇形，进而根据扇形的面积公式求得此扇形的面积即可． 【详解】解：安全区域是圆心角为40°，半径为7m的扇形， ， 答：这一比赛的危险区域的面积至少应是约． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键． 18．龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 【答案】米 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式求出弧的长度，即可求出整条龙的长度． 【详解】解：∵弧长为（米）， ∴整条龙的长是（米）． 19．如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积． 【答案】． 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积．作，求得，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，垂足为， 由题意得，则， ∵， ∴， ∴，， ∴． 20．如图，在中，，且点的坐标为      （1）画出绕点逆时针旋转后的． （2）求点旋转到点所经过的路线长（结果保留） （3）画出关于原点对称的 【答案】（1）见解析；（2）；（2）见解析 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心及旋转方向确定各点的对称点，顺次连接即可； （2）根据圆的周长的计算即可； （3）根据与原点的对称点的坐标特征：横、纵坐标都变为相反数确定各点的对称点，顺次连接即可. 【详解】解：(1)如图的即为所作图形，      (2)由图可知是直角三角形，，， 所以， 点旋转到的过程中所经过的路径是一段弧， 且它的圆心角为旋转角，半径为． . 所以点旋转到的过程中所经过的路径长为． （3）如图的即为所作图形，      【点睛】本题考查了旋转作图、对称作图及弧长的计算，难度不大，注意准确的作出旋转后的图形是关键. 21．在2015年金华市体育中考中，仰卧起坐就是其中的一项选考项目．图ａ是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景，图ｂ是小明锻炼时上半身由位置运动到与地面垂直的位置时的示意图． 已知米，米，米． （1）求的倾斜角的度数（精确到）； （2）若测得米，试计算小明头顶由点运动到点的路径弧MN的长度（精确到0．01米）． （参考数据：sin18°≈，cos72°≈，tan17°≈，） 【答案】（1）1．29米；（2）0．48π米． 【知识点】圆 【详解】试题分析：（1）构造∠α为锐角的直角三角形，利用α的正弦值可得AB的长； （2）弧MN的长度为圆心角为90+α，半径为0．8的弧长，利用弧长公式计算即可． 试题解析：（1）作AF⊥BC于F． ∴BF=BC-AD=0．4米， ∴AB=BF÷sin18°≈1．29米； （2）∵∠NEM=90°+18°=108°， ∴弧长为=0．48π米． 考点：1．解直角三角形的应用；2．弧长的计算． 22．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径为多少m？    【答案】 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径 【分析】本题考查圆锥的有关计算，弧长公式，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键． 根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的长为：， ∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长， 设围成圆锥的底面半径为， ∴ 解得：， 答：围成圆锥的底面半径为． 23．已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． (1)如图1，求证：为的角平分线； (2)如图2，连接，若，①求的长；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①AE= 6；② 【知识点】求弓形面积、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、根据等边对等角证明 【分析】（1）首先由圆周角定理得到，推出，得到，等边对等角，得到，即可得证； （2）①，推出，进一步得到，求出，进而推出，等边对等角以及含30度角的之间三角形的性质，求出的长，即可得解； ②首先求出，证明出为等边三角形，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故为的角平分线； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②由①，得：， 又 ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 24．水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； (2)在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）． 【答案】(1) (2)在摩天轮上的距离（的长）为，直线距离（线段的长）为 【知识点】求弧长、利用弧、弦、圆心角的关系求解、求一点到圆上点距离的最值、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了点到圆上一点的距离，求弧长，等边三角形的性质与判定 （1）根据点到圆的距离可得最高点到地里的距离为； （2）根据题意得出，进而根据弧长公式即可求解；证明为等边三角形，即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，由题意可知， 当座舱转到点时，距离地面最高， 此时； （2）圆周上均匀的安装了24个座舱，因此每相邻两个座舱之间所对的圆心角为， 的长为， 如图，连接， 且， 为等边三角形， ． 答：两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）为，直线距离（线段的长）为． 学科网（北京）股份有限公司 $$