专题4.14 数列全章综合测试卷（提高篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高三·全国·对口高考）已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（5分）（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（    ） A．22 B．30 C．37 D．46 5．（5分）（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高二下·江西赣州·期末）设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A． B．使得成立的最小自然数是20 C． D． 7．（5分）（2024·陕西西安·三模）已知正项数列的前项和为，前项积为，且满足，则不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．10 8．（5分）（23-24高三下·云南大理·阶段练习）已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（    ） A．存在，使得数列为等差数列 B．当时， C．当时， D．当时，数列是等比数列 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，，记数列的前项积为，前项和为，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高三上·福建·阶段练习）已知数列的前n项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．数列中的最小项为12 D．数列的前2n项和为 11．（6分）（23-24高二下·广东江门·期末）在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列，下列说法正确的是（    ） A．若为1阶等比数列，，，则为等比数列且公比2 B．若为1阶等差数列，共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50，则为等差数列且公差为2 C．若为m阶等比数列，则为m阶等差数列 D．若既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，则是等比数列 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·全国·自主招生）数列，，，则 . 13．（5分）（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，，，则数列的前n项和为 ． 14．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，已知数列满足，，若为数列的前项和，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，设数列的通项公式为． (1)若，求的最小值； (2)若，试判断的单调性． 16．（15分）（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 17．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，请判断是否存在使得，若存在，求出的最大（小）值，若不存在，说明理由． 18．（17分）（23-24高二下·天津·期中）已知是公差为1的等差数列，其前8项和为36．是公比大于0的等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)记，求的前项和； (3)证明． 19．（17分）（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． (1)若，判断数列是否是“数列”； (2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”， ①求的值； ②设为数列的前项和，证明： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【解答过程】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 2．（5分）（23-24高三·全国·对口高考）已知，证明不等式时，比多的项数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出和进行比较可得答案. 【解答过程】因为，， 所以 ， 所以比多的项数是. 故选：B. 3．（5分）（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【解题思路】分别设出为和的二次形式，由此求得，即可化简后得到结果. 【解答过程】由等差数列和等比数列的前项和分别为和， 所以可设，，， 所以可得，故C正确. 故选：C. 4．（5分）（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（    ） A．22 B．30 C．37 D．46 【解题思路】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得. 【解答过程】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为， 第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为， 则第个“拐角数”为． 对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意； 对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是， 则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意； 对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意． 故选：B. 5．（5分）（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，用累加法求得，从而得，再利用裂项相消法求解即可. 【解答过程】由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，， ，，， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以 . 故选：D. 6．（5分）（23-24高二下·江西赣州·期末）设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A． B．使得成立的最小自然数是20 C． D． 【解题思路】根据题意可知数列单调递减且，由通项公式化简可判断A，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B，根据为递减数列即可判断C，由的关系及的符号可判断D. 【解答过程】由公差为可知，等差数列为递减数列且， 对A，，故A错误； 对B，因为，所以，所以，故B错误； 对C，因为，且，所以由一次函数单调性知为单调递减数列，所以，故C正确； 对D，由B知，且，所以， 因为，，若，则，且， 即，即，而，， 显然矛盾，故不成立，故D错误. 故选：C. 7．（5分）（2024·陕西西安·三模）已知正项数列的前项和为，前项积为，且满足，则不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．10 【解题思路】根据题意得到，再利用构造法得到数列为等比数列，从而求得的通项公式，再利用放缩法，结合等比数列的求和公式即可得解. 【解答过程】 ，， ，则， 时，， ，则， 故， 因此是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 根据题中条件， 则，， 因此. 当时，； 当时，. 综上，不等式成立的的最小值为12. 故选：B. 8．（5分）（23-24高三下·云南大理·阶段练习）已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（    ） A．存在，使得数列为等差数列 B．当时， C．当时， D．当时，数列是等比数列 【解题思路】通过倒数法可推导得到A正确；利用递推关系式可推导得到，知数列周期为，由此可得B正确；利用递推关系式可得，可知C错误；通过构造法可推导得到符合等比数列定义式的形式，知D正确. 【解答过程】对于A，当时，，， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，A正确； 对于B，当时，，， ，数列是周期为的周期数列， 又，，，B正确； 对于C，当时，， 若，则，又，对于任意的，都有； 由得：， ， 若，则，与矛盾，C错误； 对于D，当时，， 若，则，又，对于任意的，都有； ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，D正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，，记数列的前项积为，前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知计算数列的前几项得出数列的周期性，利用周期性求解判断． 【解答过程】已知数列满足，则，所以数列是以3为一个周期的周期数列． 对于A项，，A项正确； 对于B项，，B项错误； 对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则，C项错误； 对于D项，，所以，D项正确． 故选：AD． 10．（6分）（24-25高三上·福建·阶段练习）已知数列的前n项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．数列中的最小项为12 D．数列的前2n项和为 【解题思路】首先根据递推关系式以及与的关系求得的通项公式，则AB可判断；列出的关系式，结合对勾函数的性质即可判断C；利用分组求和、并项求和的方法即可求出，则D可判断. 【解答过程】依题意， ， ，满足， ，，，A，B正确； ， 当时递增，当时递减， 当 时，， 当时，，最小值为．C错； 而， .D正确． 故选：ABD． 11．（6分）（23-24高二下·广东江门·期末）在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列，下列说法正确的是（    ） A．若为1阶等比数列，，，则为等比数列且公比2 B．若为1阶等差数列，共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50，则为等差数列且公差为2 C．若为m阶等比数列，则为m阶等差数列 D．若既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，则是等比数列 【解题思路】对于A，根据题意可得为正项等比数列，求出首项与公比，再根据等比数列的前项和公式即可得解；对于B，根据题意可得为等差数列，根据题意写出，，两式相减即可得解；对于C，由为阶等比数列，可得，使得成立，再根据阶等差数列即可得出结论；对于D，根据既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，可得与同时成立，再结合等比数列的定义即可得出结论. 【解答过程】对于A，因为为1阶等比数列，所以，则为正项等比数列， 设公比为，则为正数， 由已知得 两式相除得，所以（舍去），故A错误． 对于B，  因为为1阶等差数列，则，则为等差数列. 设公差为d． 因为共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50. 则，，两式相减得到， 解得.故B正确. 对于C，因为为阶等比数列， 所以，使得成立， 所以， 又， 所以， 即成立， 所以为阶等差数列；故C正确． 对于D，因为既是3阶等比数列，又是4阶等比数列， 所以与同时成立， 所以与同时成立， 又的各项均为正数，所以对任意的， 数列和数列都是等比数列， 由数列是等比数列， 得也成等比数列， 设， 所以，所以是等比数列． 故D正确． 故选：BCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高三上·全国·自主招生）数列，，，则 . 【解题思路】由递推关系式求前几项的值，易判断是以4为周期的数列，利用周期性求解即可. 【解答过程】由题意可得， 故数列是以4为周期的周期数列， 则，， 故， 故答案为：. 13．（5分）（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，，，则数列的前n项和为 ． 【解题思路】利用已知易求得数列的通项公式，令，可得，分类讨论可求的前项和公式. 【解答过程】等差数列的公差为， 故通项公式为． 令，即，解得， 设，分别表示数列与数列的前n项和， 则． 当时，； 当时， ． 由， 得． 故. 故答案为：. 14．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，已知数列满足，，若为数列的前项和，则 ． 【解题思路】由变形为，得到数列是等比数列，从而得到，再利用累加法得到，从而，再利用裂项相消法求解. 【解答过程】解：由得，又， 所以数列是以4为首项和公比的等比数列，故， 由累加法得 所以， ， 又， 令， ， ， 代入得. 故答案为：2025. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，设数列的通项公式为． (1)若，求的最小值； (2)若，试判断的单调性． 【解题思路】（1）直接令，解不等式即可； （2）化简，分析函数的单调性，即可判断数列的单调性. 【解答过程】（1）由题可知， 若，即，解得，故最小值为． （2）因为， 因为，所以，， 所以， 令，取，， 则， 所以， 所以在上是递增的， 所以是递增的， 即数列是递增数列. 16．（15分）（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【解题思路】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【解答过程】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得，. 17．（15分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，请判断是否存在使得，若存在，求出的最大（小）值，若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）由等比通项列出方程组，求解得出数列的通项公式； （2）由（1）得出，判断其单调性，即可求解. 【解答过程】（1）依题意，解得或（舍）， 则，即． （2）由（1）知，则． 因为，即数列递减， 当时，，所以数列递减， 要使， 当时，， 当时，， 故满足的的最小值为6． 18．（17分）（23-24高二下·天津·期中）已知是公差为1的等差数列，其前8项和为36．是公比大于0的等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)记，求的前项和； (3)证明． 【解题思路】（1）根据等差数列和等比数列的公式，即可求解； （2）由（1）的结果可知，，再利用裂项相消法，即可求解； （3）首先根据不等式，放缩为求数列的前项和为，即可求解. 【解答过程】（1）设数列的首项为，公差，则 ，解得：， 所以， 设等比数列的公比为，，则， 解得：（舍）或， 所以； （2）由（1）可知，， 所以， ； （3），当时，等号成立， 所以， 数列的前项和为， 则，    ， 两式相减得， ， 得， 所以. 19．（17分）（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． (1)若，判断数列是否是“数列”； (2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”， ①求的值； ②设为数列的前项和，证明： 【解题思路】（1）首先求出，再根据所给定义判断即可； （2）①当时,设的前项和为，根据得到方程，解得，又，为正整数，故只有时才满足要求，再利用数学归纳法进行证明；②由①可得，，利用裂项相消法求出，即可证明. 【解答过程】（1）因为， 当时，， 当时，， 又，即也满足， 综上可得， 当时存在或使得（即或）， 对于任意的正整数 ，总存在正整数，此时， 综上可得对于任意的正整数，总存在正整数，此时， 故是“数列”； （2）①因为是等差数列，其首项，公差，设的前项和为， 故，， 对任意的正整数，总存在正整数，使得， 即， 当时，，此时只需， 当时，，解得， 又，故,又为正整数，故,此时； 当时，， 下面证明恒为正偶数， 当时，，满足要求， 假设当时，为正偶数， 则当时，， 由于和均为正偶数，故为正偶数，满足要求， 所以恒为正偶数，证毕， 所以. ②由①可得，所以， 所以 ， 因为， 所以单调递减且，所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$