第3章 数据的集中趋势和离散程度知识归纳与题型突破（单元复习 9类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第3章 数据的集中趋势和离散程度知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、算术平均数 一般地，如果有n个数，那么=叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”. 【微点拨】 平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 二、加权平均数 （1）一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. （2）加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+） （3）“权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 【微点拨】 （1）越大，表示的个数越多，“权”就越重，也就越“重要”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 三、众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 【微点拨】 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 四、中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 【微点拨】 （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半. 五、平均数、中位数、众数的区别和联系 联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势. 区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际. 六、用样本估计总体 在考察总体的平均水平时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平近似估计得到总体的平均水平. 【微点拨】 （1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价. 七、极差 一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差（range），极差＝最大值－最小值. 【微点拨】 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 八、方差 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　 【微点拨】 （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 九、标准差 通常，我们也用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s. 【微点拨】 （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 十、极差、方差、标准差的区别和联系 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 03 题型归纳 题型一　求一组数据的平均数 例题：（2024上·江苏·九年级统考期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜长（单位：）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平均数，根据平均数公式求解可得． 【详解】解：， 故答案为：． 巩固训练 1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节． 电池数量（节） 2 5 6 8 10 人数 1 4 2 2 1 【答案】6 【分析】本题考查的是平均数．要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可． 【详解】解：， 10名中学生回收废电池的平均数是6． 故答案为：6． 2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）在“书香进校园”读书活动中，某同学根据该小组阅读课外书的数量，绘制了8~12月份的折线统计图，该小组平均每月阅读课外书为 本． 【答案】 【分析】本题主要考查平均数的计算公式，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．根据平均数的计算公式求出答案即可． 【详解】解：本， 故该小组平均每月阅读课外书为本． 故答案为：． 题型二　已知平均数求未知数据的值 例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查算术平均数．根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 故答案为：5． 巩固训练 1．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表： 成绩（分） 50 60 70 80 90 人数（人） 2 3 2 根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ． 【答案】 6 7 【分析】本题考查了算术权平均数的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，由算术平均数的计算方法根据平均数为72和总人数为20建立二元一次方程组，求出其解解即可． 【详解】解：由题意，得： ， 解得：． ∴． 2．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为 ． 【答案】 【分析】根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程求出x即得答案． 【详解】解：∵数据0，2，，3，5的平均数是， ∴， 解得：， ∴这组数据的平均数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键． 题型三　利用已知的平均数求相关数据的平均数 例题：（2023上·内蒙古包头·八年级校考阶段练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平均数； 根据数据a、b、c的平均数为5求出，然后根据算术平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴数据、、的平均数为：， 故答案为：． 巩固训练 1．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ． 【答案】3 【分析】利用平均数的定义直接计算即可得到答案． 【详解】解：，，，的平均数是3， ，，，的和是12， ， ，，，的平均数是， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平均数的求法，熟练掌握平均数的计算公式进行计算是解题的关键． 2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，的平均数是，，，，，的平均数是， ∴，，，，的平均数是， 故答案为：． 题型四　求加权平均数 例题：（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元． 【答案】21 【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是根据题意中的数据和扇形统计图中的数据，利用加权平均数的计算方法，可以计算出所购买艾条的平均单价． 【详解】解：由图可得， 所购买艾条的平均单价是：（元）， 故答案为：21． 巩固训练 1．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分． 【答案】87.4 【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：她的最后得分是（分， 故答案为：87.4． 2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 分． 【答案】9 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，最终得分为（分）， 故答案为：9． 题型五　运用加权平均数做决策 例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各项的成绩（百分制）如下表： 候选人 测试（百分制） 面试 笔试 小明 86 90 小张 92 83 (1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？ 【答案】(1)从他们的成绩看，小明将被录取 (2)小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取 【分析】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算． （1）根据题意先求出小明和小张的平均成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）根据题意先算出小明、小张两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）小明的平均成绩是：（分， 小张的平均成绩是：（分， ， 从他们的成绩看，小明将被录取； 故答案为：小明； （2）小明的平均成绩（分， 小张的平均成绩（分， 小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取． 巩固训练 1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表： 项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分） 服装统一 95 90 进退场有序 90 85 动作规范 85 b 动作整齐 90 95 平均分 a 90 (1)表中a的值为___________；b的值为___________． (2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按 的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩； (3)你认为上面四项中，哪一项最重要? 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高? 【答案】(1)90，90 (2)甲班：89；乙班：91 (3)见解析 【分析】本题考查了平均数和加权平均数； （1）根据求平均数的公式即可求解； （2）根据求加权平均数的公式即可求解； （3）动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩． 【详解】（1）解：，，解得：； 故答案为：， （2）解：甲班：， 乙班： （3）解：动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩，则 甲班：， 乙班：， ∴乙班成绩更高； 2．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录． 成绩/分 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 89 乙 88 90 95 (1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； (2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； (3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由． 【答案】(1)甲将获胜； (2)乙将获胜； (3)见解析 【分析】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键． （1）利用算术平均数的定义求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案； （3）按第（2）问的标准即可． 【详解】（1）解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴甲将获胜； （2）解：甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ∵， ∴乙将获胜； （3）解：将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，乙将获胜， 理由：因为是“篮球特色班”，要重点关注的是篮球技能，所以将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩． 题型六　求中位数、众数 例题：（2024上·山东济南·八年级统考期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下： 月用水量（t） 户  数 2 3 2 2 1 则这户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查众数，中位数，根据出现次数最多的叫众数，坐中间的叫中位数求解即可得到答案； 【详解】解：由表可得， 出现3次，出现的最多， 故答空1答案为：， ∵，， ∴第5第6个数据是和， ∴中位数是：， 故答空2答案为：． 巩固训练 1．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据中位数的定义，求出x的值，再由一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得出答案． 【详解】解：∵这组数据的中位数是5， ∴， 解得：， 这组数据为：1，3，4，6，6，8，因为6出现的次数最多，故众数为6． 故答案为6． 2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的中位数是 ，众数是 ．    【答案】 3分 3分 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、众数、中位数等知识点，从统计图上获取所需信息是解题的关键． 根据中位数是处在中间位置的数，众数是出现次数最多的数即可解答． 【详解】解：由统计图可知：将成绩从小到大排列后处在第20、21位两个数都是3分，因此中位数是3分；抽取的所有学生成绩的出现次数最多的是3分，因此众数是3分． 故答案为：3分，3分． 3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、平均数分别为 （按顺序填）． 【答案】10.6，10.6，10.6 【分析】根据众数、中位数、平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：∵10次的射击成绩从小到大排列：10.3，10.4，10.5，10.6，10.6，10.6，10.7，10.7，10.8，10.8， ∴众数是10.6； 中位数是； 平均数是． 故答案为：10.6，10.6，10.6． 【点睛】本题考查了折线统计图，众数、中位数、平均数，熟练掌握众数、中位数、平均数的定义是解答本题的关键． 题型七　求极差 例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）已知一组数据96，89，92，95，98，这组数据的极差是 ． 【答案】9 【分析】本题考查极差，理解极差的定义是解题的关键．根据极差的定义“极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差”，即可求解． 【详解】解：数据96，89，92，95，98中，最大值为98，最小值为89， 因此这组数据的极差是：， 故答案为：9 巩固训练 1．（2024上·广东佛山·八年级统考期末）2023年立冬（11月8日）后某市一周内每天的最高气温如下表： 日期 9日 10日 11日 12日 13日 14日 15日 最高气温（℃） 28 28 24 24 19 18 23 分析表格中的数据可知，这周每天的最高气温的极差是 ℃； 【答案】 【分析】本题考查了极差的概念；理解极差的概念是解题的关键．根据极差的概念，表示最大数据与最小数据的差值进行求解即可． 【详解】解：这周每天的最高气温的极差为 （） 故答案为：10． 2．（2023上·河南郑州·八年级校考期末）某学习小组共20人，他们的一次数学考试成绩如下表： 分数 60 70 79 80 85 90 95 100 人数 1 1 2 5 2 7 1 1 这20人成绩的中位数是 分，众数是 分，极差是 分． 【答案】 85 90 40 【分析】此题主要考查了中位数、众数以及极差的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案． 【详解】解：这组数据按从小到大排列，第10个和第11个数都是85分，所以这组数据的中位数为（分， 这组数据中90分最多有7个，所以众数是90（分， 极差是（分． 故答案为：85，90，40． 题型八　运用方差做决策 例题：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10； 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 3.76 乙组 b 7 c S乙2 (1)以上成绩统计分析表中 ， ， ； (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生； (3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】(1)6；7；7 (2)甲 (3)选乙组参加决赛，见解析 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；（2）根据中位数的意义即可得出答案；（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数； ， 乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，所以众数． 故答案为：6，7，7； （2）小明可能是甲组的学生，理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上， 故答案为：甲； （3）选乙组参加决赛．理由如下： ， 甲、乙两组学生平均数相同，而， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 巩固训练 1．（2024上·浙江宁波·八年级校考期末）学校想了解初二年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从801、802两个班中各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 801班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82． 802班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 通过数据分析，列表如表： 801班、802班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 801班 802班 802班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述、、的值：______，______，______． (2)学校欲选成绩更稳定的班级参加相关活动，根据表格中的数据，学校会选哪一个班级？说明理由． (3)这两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（）的学生总人数是多少？ 【答案】(1)40，94，96 (2)选派802班，理由见解析 (3) 【分析】（1）将801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知802班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用其它各组所占百分比即可求出a的值； （2）直接比较两个班级的方差即可； （3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案． 【详解】（1）解：801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100， ∴． ∵成绩为96分的学生有2名，最多， ∴． 802班C组有3人， ∴扇形统计图中C组所占百分比为， ∴扇形统计图中D组所占百分比为， ∴． 故答案为：40，94，96； （2）解：选派802班，理由如下： ∵两个班的平均成绩相同，而801班的方差为52，802班的方差为， ∴802班成绩更平衡，更稳定， ∴学校会选派802班． （3）解：802班D组的人数为人， ∴802班10名学生的成绩为优秀的有人． ∴估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是人． 【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的餐后垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班餐后垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐后垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息． 七年级10个班餐后垃圾质量：，，，，，，，，， 八年级10个班餐后垃圾质量中B等级包含的所有数据为：，，，，． 七、八年级抽取的班级餐后垃圾质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比 七年级 a 八年级 b 八年级抽取的班级餐后垃圾质量扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述表中a，b，m的值； (2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数； (3)根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可） 【答案】(1)，， (2)6个 (3)见解析 【分析】本题考查了中位数、众数、方差的意义，解题的关键是： （1）根据中位数，众数的定义即可求解． （2）用抽测的百分比乘八年级总班级数即可求解． （3）从等级的百分比评论即可． 【详解】（1）解：七年级10个数据中最多，所以众数， 八年级等级有5个，、等级为个，个， 所以等级有个， 所以， 所以中位数为，； （2）（个）， 答：估计八年级这一天餐后垃圾质量符合等级的班级数为6个； （3）七年级各班落实“光盘行动”更好， 理由：七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨质量垃圾质量等级的（答案不唯一）． 题型九　平均数、中位数、众数、方差的综合问题 例题：（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 a 7 乙组 7 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好，小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 【答案】(1)；7； (2)小祺的观点比较片面，理由见解析 【知识点】求方差、求众数、求中位数 【分析】本题考查了方差，加权平均数，中位数和众数，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【详解】（1）解：∵甲组成绩从小到大排列为∶3，7，7，7，8，9，10，10， ∴， ∵乙组成绩出现最多的是7分， ∴， 优秀率：， 故答案为：；7；； （2）解：小祺的观点比较片面， 理由不唯一，例如：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． 巩固训练 1．（2024·湖北·模拟预测）2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班的数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图    B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图                  【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 104.8 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； (2)假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】(1)，88.5，98，图见解析 (2)450人 (3)见解析 【知识点】求众数、求中位数、根据方差判断稳定性、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】（1）根据圆心角度数、中位数、众数定义求解即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）解：抽取的A班学生对于两会精神“了解”的有6人， 非常了解： 圆心角度数： 中位数 B两班的成绩最多的数是98，所以众数为：98 补全条形统计图如图： （2）（人）． 答：估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人． （3）从平均数看，A，B两班学生测试成绩的平均水平一样；从中位数看，B班学生测试成绩的中位数低于A班学生测试成绩的中位数，说明A班的整体水平好一些；从众数看，A班学生测试成绩的众数低于B班学生测试成绩的众数，说明B班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；从方差看，A班学生测试成绩的方差低于B班学生测试成绩的方差，说明A班学生测试成绩的波动小一些． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）2024年4月15日是我国第九个全民国家安全教育日，今年的活动主题是“总体国家安全观，创新引领10周年”，某学校为了解八年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对八（一）班和八（二）班进行了“国家安全法”知识测试（满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀），测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从两个班各抽取a名学生的测试成绩进行比较分析知，两个班得8分的人数相同，根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 两个班抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（一）班 8.5 8.5 10 2.05 八（二）班 8.5 9 1.45 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)补全八（一）班抽取的学生成绩条形统计图； (3)请你从众数和方差这两个统计量对两个班的学生成绩进行分析评价． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】求中位数、根据方差判断稳定性、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查了从条形统计图与扇形统计图中获取信息，补全条形图，理解题意，获取两个图中相关联的信息是解题的关键． （1）根据八（二）班得8分的人数和所占百分比可得值，用1减去其它分数的人数所占百分比即可得出值，根据中位数的定义找到从小到大排列第5、6位的数据的平均数即可得值； （2）先求出八（一）班得10分的人数，补全条形统计图即可； （3）根据众数和方差的意义分析即可． 【详解】（1）解：∵两个班得8分的人数相同， ∴八（二）班得8分的人数为2人， ∴抽取的总人数为：（人），即， ， ∴， 把八（二）班成绩从小到大排列，第5、6位的数据为：9分、9分， ∴八（二）班成绩的中位数为：，即． 故答案为：，， （2）∵八（一）班抽取的学生成绩中得6分的有1人，7分的有2人，8分的有2人，9分的有1人， ∴得10分的有（人）， ∴补全八（一）班抽取的学生成绩条形统计图如图所示． （3）∵从众数上看，两个班抽取的学生成绩中八（一）班得10分的有4人，八（二）班得9分的有4人， ∴八（一）班学生成绩的众数比八（二）班大；这说明八（一）班的成绩比八（二）班好， ∵八（一）班抽取的学生成绩的方差为2.05，八（二）班抽取的学生成绩的方差为1.45， ∴从方差上看，八（一）班成绩波动较大，这说明八（一）班的成绩没有八（二）班稳定． 3．（2024·贵州黔东南·一模）A，B两校各随机抽取100名学生进行自救自护安全知识测试．将所抽取的学生的测试得分x（单位：分）分为5组（优秀：；良好：；中等：；及格：；不及格：），并对数据进行整理、分析，部分信息如下： a．b．A，B两校学生测试得分的平均数、方差、优秀率（优秀人数所占百分比）、及格率（及格及以上人数所占百分比）如下表： 学校 平均数 优秀率 及格率 方差 A 80 3.9 B 80 2.5 c．A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样． 请根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________，__________． (2)根据以上数据，你认为哪所学校学生的自救自护的能力较强？请说明理由（一条即可）． 【答案】(1)10；10；95 (2)B校学生的自救自护的能力较强．理由见解析 【知识点】由扇形统计图求某项的百分比、运用方差做决策、求条形统计图的相关数据 【分析】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图，读懂题意理解统计图的意义是解题的关键． （1）用100分别减去优秀，中等，良好，不及格的人数即可求出a的值，用及格的人数除以总人数即可求出c的值，由B校学生测试得分为“良好”的人数为40可得出A校学生测试得分为“良好”的人数所占百分比为，用1减去其他的占比即可求出优秀率b． （2）根据优秀率，及格率，方差作决策即可． 【详解】（1）解：， B校学生测试得分的及格率为， 即． 因为A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样，B校学生测试得分为“良好”的人数为40， 所以A校学生测试得分为“良好”的人数所占百分比为， 所以， 即． 故答案为：10；10；95 （2）解：B校学生的自救自护的能力较强． 理由：因为A，B两校学生测试得分的平均数相同，但B校学生测试得分的优秀率、及格率均比A校的高，且B校学生测试得分的方差比A校的小，所以B校学生的自救自护的能力较强． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）某校深入开展了以“珍爱生命 谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， 通过数据分析，结果如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述、、的值： ， ， ； (2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． (3)九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】(1)，， (2)学校会选派九年级（1）班，理由见解析 (3)人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、运用方差做决策、求中位数、求众数 【分析】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，能从统计图中获取有用数据是解题的关键； （1）先求出组所占百分比，再将减去其他三组所占百分比，即可求出的值；根据中位数和众数的概念即可确定，的值； （2）根据方差的意义即可判断会选派哪一个班级； （3）用样本估计总体的思想即可解决问题． 【详解】（1）解：组占， ， ， ∵九年级（2）班名学生的成绩A组有（人），B组有（人）， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， ∴第5名和第6名的成绩为92，94， ， 九年级（1）班名学生的成绩中，出现两次，是出现最多的数据， ； 故答案为：，，； （2）这次比赛，学校会选派九年级（1）班， ，且两班的平均数相同， 九年级（1）班成绩更稳定， 学校会选派九年级（1）班； （3）（人）， 答：估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数为人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 数据的集中趋势和离散程度知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、算术平均数 一般地，如果有n个数，那么=叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”. 【微点拨】 平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 二、加权平均数 （1）一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. （2）加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+） （3）“权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 【微点拨】 （1）越大，表示的个数越多，“权”就越重，也就越“重要”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 三、众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 【微点拨】 （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 四、中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 【微点拨】 （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半. 五、平均数、中位数、众数的区别和联系 联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势. 区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际. 六、用样本估计总体 在考察总体的平均水平时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平近似估计得到总体的平均水平. 【微点拨】 （1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价. 七、极差 一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差（range），极差＝最大值－最小值. 【微点拨】 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 八、方差 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　 【微点拨】 （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 九、标准差 通常，我们也用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s. 【微点拨】 （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 十、极差、方差、标准差的区别和联系 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 03 题型归纳 题型一　求一组数据的平均数 例题：（2024上·江苏·九年级统考期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜长（单位：）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 ． 巩固训练 1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节． 电池数量（节） 2 5 6 8 10 人数 1 4 2 2 1 2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）在“书香进校园”读书活动中，某同学根据该小组阅读课外书的数量，绘制了8~12月份的折线统计图，该小组平均每月阅读课外书为 本． 题型二　已知平均数求未知数据的值 例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ． 巩固训练 1．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表： 成绩（分） 50 60 70 80 90 人数（人） 2 3 2 根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ． 2．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为 ． 题型三　利用已知的平均数求相关数据的平均数 例题：（2023上·内蒙古包头·八年级校考阶段练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是 ． 巩固训练 1．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ． 2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ． 题型四　求加权平均数 例题：（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元． 巩固训练 1．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分． 2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 分． 题型五　运用加权平均数做决策 例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各项的成绩（百分制）如下表： 候选人 测试（百分制） 面试 笔试 小明 86 90 小张 92 83 (1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？ 巩固训练 1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表： 项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分） 服装统一 95 90 进退场有序 90 85 动作规范 85 b 动作整齐 90 95 平均分 a 90 (1)表中a的值为___________；b的值为___________． (2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按 的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩； (3)你认为上面四项中，哪一项最重要? 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高? 2．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录． 成绩/分 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 89 乙 88 90 95 (1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； (2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； (3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由． 题型六　求中位数、众数 例题：（2024上·山东济南·八年级统考期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下： 月用水量（t） 户  数 2 3 2 2 1 则这户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ． 巩固训练 1．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为 ． 2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的中位数是 ，众数是 ．    3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、平均数分别为 （按顺序填）． 题型七　求极差 例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）已知一组数据96，89，92，95，98，这组数据的极差是 ． 巩固训练 1．（2024上·广东佛山·八年级统考期末）2023年立冬（11月8日）后某市一周内每天的最高气温如下表： 日期 9日 10日 11日 12日 13日 14日 15日 最高气温（℃） 28 28 24 24 19 18 23 分析表格中的数据可知，这周每天的最高气温的极差是 ℃； 2．（2023上·河南郑州·八年级校考期末）某学习小组共20人，他们的一次数学考试成绩如下表： 分数 60 70 79 80 85 90 95 100 人数 1 1 2 5 2 7 1 1 这20人成绩的中位数是 分，众数是 分，极差是 分． 题型八　运用方差做决策 例题：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10； 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 3.76 乙组 b 7 c S乙2 (1)以上成绩统计分析表中 ， ， ； (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生； (3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 巩固训练 1．（2024上·浙江宁波·八年级校考期末）学校想了解初二年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从801、802两个班中各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．） 801班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82． 802班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 通过数据分析，列表如表： 801班、802班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 801班 802班 802班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述、、的值：______，______，______． (2)学校欲选成绩更稳定的班级参加相关活动，根据表格中的数据，学校会选哪一个班级？说明理由． (3)这两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（）的学生总人数是多少？ 2．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的餐后垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班餐后垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐后垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息． 七年级10个班餐后垃圾质量：，，，，，，，，， 八年级10个班餐后垃圾质量中B等级包含的所有数据为：，，，，． 七、八年级抽取的班级餐后垃圾质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比 七年级 a 八年级 b 八年级抽取的班级餐后垃圾质量扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述表中a，b，m的值； (2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数； (3)根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可） 题型九　平均数、中位数、众数、方差的综合问题 例题：（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 a 7 乙组 7 b c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好，小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 巩固训练 1．（2024·湖北·模拟预测）2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89； 抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】A，B两班的数据整理如下： A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图    B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图                  【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示： 平均数 中位数 众数 方差 A班 88 a 86 104.8 B班 88 87.5 b 106.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图； (2)假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）2024年4月15日是我国第九个全民国家安全教育日，今年的活动主题是“总体国家安全观，创新引领10周年”，某学校为了解八年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对八（一）班和八（二）班进行了“国家安全法”知识测试（满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀），测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从两个班各抽取a名学生的测试成绩进行比较分析知，两个班得8分的人数相同，根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图． 两个班抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 八（一）班 8.5 8.5 10 2.05 八（二）班 8.5 9 1.45 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)补全八（一）班抽取的学生成绩条形统计图； (3)请你从众数和方差这两个统计量对两个班的学生成绩进行分析评价． 3．（2024·贵州黔东南·一模）A，B两校各随机抽取100名学生进行自救自护安全知识测试．将所抽取的学生的测试得分x（单位：分）分为5组（优秀：；良好：；中等：；及格：；不及格：），并对数据进行整理、分析，部分信息如下： a．b．A，B两校学生测试得分的平均数、方差、优秀率（优秀人数所占百分比）、及格率（及格及以上人数所占百分比）如下表： 学校 平均数 优秀率 及格率 方差 A 80 3.9 B 80 2.5 c．A，B两校学生测试得分为“良好”的人数一样． 请根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________，__________． (2)根据以上数据，你认为哪所学校学生的自救自护的能力较强？请说明理由（一条即可）． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）某校深入开展了以“珍爱生命 谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， 通过数据分析，结果如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述、、的值： ， ， ； (2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． (3)九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$