专题3.2 函数的单调性与最大（小）值（考点精讲）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题3.2 函数单调性与最大（小）值 一、【考纲要求】 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 二、【考向预测】 1.判断函数的单调性性及求函数的单调区间 2.利用单调性求函数最值 3.利用单调性比较大小及解不等式 4.利用单调性求参数范围 三、【知识清单】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【常用结论】 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 3.若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则在上是严格减函数，若，则在上是严格增函数. 四、【方法与技巧】 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3.求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 5.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小. 6.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域. 7.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 五、【考点分类剖析】 考点一：求具体函数的单调区间 例1.函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【变式练习1】函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【变式练习2】函数的单调递增区间为 考点二：判断或证明函数的单调性 例2.下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式练习1】设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【变式练习2】若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【变式练习3】是定义在上的函数， （1）若存在，使，则函数在上单调递增； （2）若存在，使，则函数在上不可能单调递增； （3）对任意，使，则函数在上单调递增； （4）函数对任意实数都有，那么在上是增函数． 以上命题正确的序号是 ． 【变式练习4】证明函数在区间上单调递减． 考点三：比较函数值的大小 例3.函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】已知二次函数满足，则与的大小关系是 ． 【变式练习2】已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 考点四：求函数的最值 例4.已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【变式练习1】函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【变式练习2】已知函数，的值域是，则实数 . 【变式练习3】若函数的值域为的子集，则满足条件的实数的最小值为 . 考点五：解函数不等式 例5.已知函数是定义在上的减函数，且，求实数x的取值范围． 【变式练习1】若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 考点六：求参数的取值范围 例6.已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 【变式练习1】若函数的单调递增区间是,，则a的值为 ．若在,为增函数，则a的范围为 ． 【变式练习2】已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若在上是单调的，求的取值范围． 考点七：抽象函数单调性 例7.定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 【变式练习1】函数的定义域为，且对一切都有，当时，有． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； 【变式练习2】已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有.试说明：函数是上的单调递减函数； ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数单调性与最大（小）值 一、【考纲要求】 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 二、【考向预测】 1.判断函数的单调性性及求函数的单调区间 2.利用单调性求函数最值 3.利用单调性比较大小及解不等式 4.利用单调性求参数范围 三、【知识清单】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【常用结论】 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 3.若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则在上是严格减函数，若，则在上是严格增函数. 四、【方法与技巧】 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3.求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 5.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小. 6.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域. 7.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 五、【考点分类剖析】 考点一：求具体函数的单调区间 例1.函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【解析】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 【变式练习1】函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【解析】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 【变式练习2】函数的单调递增区间为 【答案】和 【分析】分离常数即可求解. 【解析】， 所以的单调递增区间为和 故答案为：和 考点二：判断或证明函数的单调性 例2.下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊值法判断A,B,C选项，应用一次函数的单调性性质判断D选项. 【解析】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 【变式练习1】设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【解析】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 【变式练习2】若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【分析】利用给定条件结合函数单调性的定义求解即可. 【解析】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 【变式练习3】是定义在上的函数， （1）若存在，使，则函数在上单调递增； （2）若存在，使，则函数在上不可能单调递增； （3）对任意，使，则函数在上单调递增； （4）函数对任意实数都有，那么在上是增函数． 以上命题正确的序号是 ． 【答案】（2） 【分析】依据单调性的定义及反例可得正确的选项. 【解析】对于（1）（3），根据单调性的定义，只有对任意的，总有， 函数才在上单调递增，故（1）（3）错误； 对于（2），如果函数在上单调递增，则必有， 与矛盾，故函数在上不可能单调递增，故（2）正确； 对于（4），取函数，因， 所以在不是单调递增函数，但， 当时，成立， 当时，成立， 当时，也成立， 故（4）错. 故答案为（2） 【变式练习4】证明函数在区间上单调递减． 【答案】证明见解析 【分析】根据单调性的定义，即可作差求证. 【解析】证明:，且， ． 因为， 所以，，，， 所以， 即． 所以函数在上单调递减． 考点三：比较函数值的大小 例3.函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；并可得出，从而得出选项C正确，比较大小即可判断D. 【解析】是定义在上的减函数， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 【变式练习1】已知二次函数满足，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由得到函数的对称轴，从而得到方程，求出，再根据对称性和单调性比较出大小. 【解析】以为，所以为二次函数图象的对称轴， 所以，解得． 根据对称性知，，又函数在上单调递增，所以， 即． 故答案为： 【变式练习2】已知函数． (1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增； (2)比较，的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由定义法证明函数的单调性； （2）通过单调性比较函数值的大小. 【解析】（1）函数，任取， ， 由，，，，即， 所以函数在上单调递增. （2），则，当且仅当，即时等号成立， ， 由，有，则，， 函数在上单调递增，所以. 考点四：求函数的最值 例4.已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求，的值； （2）定义法求函数单调性，由单调性求最值. 【解析】（1）因为点，是图象上的两点， 所以，解得. （2）设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减. 故，. 【变式练习1】函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【分析】结合函数的单调性计算即可得. 【解析】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为：. 【变式练习2】已知函数，的值域是，则实数 . 【答案】或 【分析】分，与三种情况，结合函数单调性得到方程，求出答案. 【解析】若，此时， 其在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，此时， 其在上单调递减， 故，解得，满足要求， 若，此时的最小值为0，当时，等号成立， 此时不满足值域是. 故答案为：或 【变式练习3】若函数的值域为的子集，则满足条件的实数的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据函数的定义域、单调性以及集合的包含关系求得结果. 【解析】由题意知，函数定义域为，且是严格增函数，则值域为， 因为函数的值域为的子集， ，即. 则满足条件的实数的最小值为3. 故答案为：3. 考点五：解函数不等式 例5.已知函数是定义在上的减函数，且，求实数x的取值范围． 【答案】 【分析】根据函数的单调性，即可列不等式求解. 【解析】由题意可知， 解得， ∴x的取值范围为， 【变式练习1】若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调递增得，解一元二次不等式即可得解. 【解析】因为函数在单调递增，且， 所以，即，解得. 故选：D. 【变式练习2】已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用函数单调性可得答案. 【解析】因为函数在定义域上是减函数， 需满足，解得， 即的取值范围为. 故答案为： 考点六：求参数的取值范围 例6.已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】对分类讨论，再结合一次、二次函数的性质列不等式组即可求解. 【解析】因为在区间上是严格减函数，所以为函数严格减区间的子集． ①当时，在区间上是严格减函数，∴满足题意； ②当时，的减区间为，则有，解得； ③当时，的减区间为，则有，解得． 综上，实数的取值范围为． 【变式练习1】若函数的单调递增区间是,，则a的值为 ．若在,为增函数，则a的范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值函数的单调性的性质进行求解即可． 【解析】的单调递增区间,， 由得， 若在,为增函数，则，解得， 故答案为：，． 【变式练习2】已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若在上是单调的，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法可证得结论； （2）分别讨论、和，结合二次函数单调性可求得结果. 【解析】（1）当时，， 设，则， ，，， 在上单调递增. （2）当，即时，在上单调递增，满足题意； 当，即时，是开口方向向上，对称轴为的抛物线， 若在上单调，则，解得：； 当，即时，是开口方向向下，对称轴为的抛物线， 若在上单调，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为. 考点七：抽象函数单调性 例7.定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． (1)求、； (2)试判断函数的单调性： (3)如果，试求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可求； （2）由已知可得，设；可得，结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【解析】（1）取得，； ；； （2）令，可得， 设，则，所以，即， 在上单调递增； （3）根据满足的条件②及，由得，； 根据为增函数得：； 再由的定义域，便得到不等式组； 解得，的取值范围为． 【变式练习1】函数的定义域为，且对一切都有，当时，有． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； 【答案】(1)0 (2)在上是增函数，证明见解析 【分析】（1）令，代入可求； （2）设，由，得，可证在上是增函数． 【解析】（1）． （2）在上是增函数． 证明：设，则由， 得， 因为，所以． 所以，即， 即在上是增函数． 【变式练习2】已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有.试说明：函数是上的单调递减函数； 【答案】答案见解析 【分析】 设且，由题意，结合和定义法证明函数的单调性，即可证明. 【解析】 设是上的任意两个实数，且， 所以， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以是上的单调递减函数. 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