第3章 一元一次方程 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年六年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版五四制2024）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第3章 一元一次方程 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．儿子今年12岁，父亲今年39岁，（     ）父亲的年龄是儿子年龄的4倍． （      ） A．3年前 B．3年后 C．6年前 D．6年后 2．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 3．若等式对一切x都成立，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 5．若关于的方程（，为常数）的解是，则（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．方程的解是 D．方程的解是 6．黑板上写有共个数字每次操作先从黑板上的数中选取个数，，然后删去，，并在黑板上写上数，则经过次操作后，黑板上剩下的数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．一只船在河上开，某一时刻，船上的人掉了一顶草帽在水里，直到15分钟后才被发现，于是立刻开船回去追草帽，他追上草帽的时间是 分钟． 8．参加某选拔赛第一轮比赛的男女生人数之比是，在第一轮中被淘汰的男女生人数之比是，所有参加第二轮比赛的91人其中男女生人数之比是，第一轮比赛的学生共有 人． 9．按下面的程序计算，若输出结果为16，则满足条件的正数a为 ． 10．已知关于的方程的解为，则的值为 ． 11．如果关于的方程无解，那么实数 ． 12．规定一种新运算：，若，则的值为 ． 13．规定一种新运算，则的解为 ． 14．对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：（m是一个确定的整数）．如果，那么等于 15．已知方程是一元一次方程，则 ． 16．已知，且，则k的值为 ． 17．关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 18．甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价，后来都按定价的打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是 元． 三、解答题 19．解方程 (1)； (2)． 20．如图，在数轴上点，，表示的数分别为，，，且． (1)若点到点，点的距离相等，则点表示的数为_____． (2)数轴上是否存在点，使得点到点，点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)点以每秒5个单位长度的速度从点向右匀速运动，点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点到点，点的距离相等？ 21．若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足（m为正数），则称方程与方程是“差m方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“差2方程”． (1)请判断方程与方程是不是“差3方程”，并说明理由； (2)若无论k取任何有理数，关于x的方程，（a，b为常数）与关于y的方程都是“差1方程”，求的值． 22．如图，已知数轴上的点C表示的数为6， 点A表示的数为， 点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（） (1)点B表示的数是 ， 秒时， 点P到达点B (2)运动过程中点P表示的数是 ． (用含x的代数式表示) (3)若另一动点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当x为多少秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度？ 23．阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： (1)若是成立的“特异数对”，则 ； (2)写出一对成立的“特异数对”，其中，； (3)若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 24．定义：对于一个有理数x，我们把称作x的对称数． 若，则；若，则．例：，． (1)求，的值； (2)已知有理数，且满足，试求代数式的值； (3)解方程：． 25．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，问这条跑道长多少米？ 4 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第3章 一元一次方程 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．儿子今年12岁，父亲今年39岁，（     ）父亲的年龄是儿子年龄的4倍． （      ） A．3年前 B．3年后 C．6年前 D．6年后 【答案】A 【分析】设x年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据题意列方程求解即可． 本题考查了列一元一次方程解决年龄问题．正确的找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设x年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据题意，得 ， ， ∴3年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍． 故选：A. 2．药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键 3．若等式对一切x都成立，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，由等式对一切x都成立得，，即可求解；理解等式对一切x都成立的意义是解题的关键． 【详解】解：， 整理得：， 等式对一切x都成立， ，， 解得：，； 故选：B． 4．若关于y的一元一次方程的解是，则a的值是（　　） A． B． C．40 D．50 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把代入方程， 得：， 解得：． 则的值为． 故选：A． 5．若关于的方程（，为常数）的解是，则（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．方程的解是 D．方程的解是 【答案】C 【分析】根据题意得，b为任意数，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵关于的方程（，为常数）的解是， ∴，b为任意数 A.当时，方程无解，故此选项不正确； B当b=0时，方程无解，故此选项不正确； C. 方程的解是，正确； D. 当b=-1时，方程无解，，故此选项不正确； 故选：C 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 6．黑板上写有共个数字每次操作先从黑板上的数中选取个数，，然后删去，，并在黑板上写上数，则经过次操作后，黑板上剩下的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】经过次操作后，黑板上剩下的数为，则，整理可得，解方程即可．本题主要考查了推理与论证，一元一次方程的解法，关键是正确利用数据找出每次操作前和操作后黑板上剩下的数的规律． 【详解】解：， 每次操作前和操作后，黑板上的每个数加后的乘积不变， 设经过次操作后，黑板上剩下的数为，则 ， 化简得：， 解得：， 经过次操作后，黑板上剩下的数是． 故选：． 二、填空题 7．一只船在河上开，某一时刻，船上的人掉了一顶草帽在水里，直到15分钟后才被发现，于是立刻开船回去追草帽，他追上草帽的时间是 分钟． 【答案】15 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先设出船在静水中的速度为，水流的速度为，他追上草帽的时间是分钟，然后分类分两种情况解答，分别列出相应的方程，再求解即可． 【详解】解：设船在静水中的速度为，水流的速度为，他追上草帽的时间是分钟， 当船刚开始顺水航行时，， 解得； 当船刚开始逆水航行时，， 解得； 由上可得，他追上草帽的时间是15分钟， 故答案为：15． 8．参加某选拔赛第一轮比赛的男女生人数之比是，在第一轮中被淘汰的男女生人数之比是，所有参加第二轮比赛的91人其中男女生人数之比是，第一轮比赛的学生共有 人． 【答案】119 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第一轮比赛中男生 人，女生 人，第二轮参赛的男生的人数为（人），第二轮参赛的女生的人数为（人），再列出方程式即可求得． 【详解】设第一轮比赛中男生 人，女生 人， 第二轮参赛的男生的人数为（人）， 第二轮参赛的女生的人数为（人）， 则第一轮参赛的男生的人数为人， 第一轮参赛的女生的人数为人， 根据题意可得， ， 解得：， 则． 故答案为：119． 9．按下面的程序计算，若输出结果为16，则满足条件的正数a为 ． 【答案】或或5 【分析】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，弄清题中的程序框图是解本题的关键． 根据程序计算，即可得到满足题意得a的值． 【详解】解：若直接输出结果为16，则，解得； 若一次循环后输出结果为16，则，解得； 若两次循环后输出结果为16，则，解得； 若三次循环后输出结果为16，则，解得不符合题意； 综上，满足条件的正数a为或或5． 故答案为：或或5 10．已知关于的方程的解为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】把x＝-1代入方程整理即可求得a-b+c的值，然后整体代入所求的式子中进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：-a＋b＝c，即a-b+c＝0， ∴|a−b+c−3|＝|0−3|＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 11．如果关于的方程无解，那么实数 ． 【答案】 【分析】根据方程无解得出且，求解即可得到答案． 【详解】解：果关于的方程无解， 且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，对于方程，当且时，方程无解． 12．规定一种新运算：，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、新定义，根据和，可以写出相应的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 13．规定一种新运算，则的解为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、新运算法则等知识点，掌握一元一次方程的解法成为解题的关键． 先根据新运算法则化简方程，然后再解一元一次方程即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 14．对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：（m是一个确定的整数）．如果，那么等于 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程得到，则，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．已知方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的特征，未知数的次数为，求解即可，熟悉一元一次方程的特征是解题的关键． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．已知，且，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，求出，代入得出，再求出k即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 17．关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 18．甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价，后来都按定价的打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是 元． 【答案】1200 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列并解方程是正确解答本题的关键．设甲商品的成本是元，那么乙商品的成本则是元，根据题意列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设甲商品的成本是元，那么乙商品的成本则是元． 根据题意，得， 解得． 甲商品的成本是1200元． 故答案为：1200 三、解答题 19．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解； （）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，； （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 20．如图，在数轴上点，，表示的数分别为，，，且． (1)若点到点，点的距离相等，则点表示的数为_____． (2)数轴上是否存在点，使得点到点，点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)点以每秒5个单位长度的速度从点向右匀速运动，点以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点到点，点的距离相等？ 【答案】(1)； (2)或； (3)同时出发，秒或秒后点到点，点的距离相等． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值、路程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． （1）根据中点公式即可求解； （2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可； （3）设经过分钟点到点，点的距离相等，分为当点在之间时，当点在右侧时，分别计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴，， 故点，表示的数分别为：、， 若点到点，点的距离相等，则 ， ∴点对应的数是， 故答案为：； （2）解：当在之间，（不可能有）， 当在的左侧， ， ∴， 当在的右侧， ， ∴， ∴点对应的数为或； （3）解：设经过秒后点到点，点的距离相等，此时点，，表示的数分别为： ，，， 当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离，则： ， 解得：， 当点在右侧时，此时、重合，则： ， 解得：， ∴它们同时出发，秒或秒后点到点，点的距离相等． 21．若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足（m为正数），则称方程与方程是“差m方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“差2方程”． (1)请判断方程与方程是不是“差3方程”，并说明理由； (2)若无论k取任何有理数，关于x的方程，（a，b为常数）与关于y的方程都是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)是“差3方程”，理由见解析 (2)的值为2或 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，求绝对值． （1）分别求出两个方程的解，计算，即可作出判断； （2）求出方程的解为，根据两个方程是“差1方程”得到或，分别代入关于x的方程中，得到关于k的方程，根据无论k取任何有理数都成立进行求解即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“差3方程”，理由： 解方程得：， 解方程得：． ∵， ∴方程与方程是“差3方程”； （2）解：解得， ∵方程与方程是“差1方程”， ∴， ∴或， ①当时，， ∴， ∵无论k取任何有理数都成立， ∴，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， ∵无论k取任何有理数都成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述：的值为2或． 22．如图，已知数轴上的点C表示的数为6， 点A表示的数为， 点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（） (1)点B表示的数是 ， 秒时， 点P到达点B (2)运动过程中点P表示的数是 ． (用含x的代数式表示) (3)若另一动点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当x为多少秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度？ 【答案】(1)； (2) (3)或秒 【分析】本题考查了数轴上的两点之间的距离，列代数式，绝对值等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）由可得到点表示的数，由题意知，求解的值，即为点到达点的时间； （2）由题意知，运动过程中点P表示的数是，即为所求； （3）根据点向左匀速运动；由题意知，运动过程中点表示的数是，由可得：，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴点表示的数是 由题意知，解得， ∴秒时，点到达点． 故答案为：，． （2）解：由题意知，运动过程中点P表示的数是 故答案为：． （3）解：由题意知，点向左匀速运动， 运动过程中点表示的数是， 由可得： 即 或 解得或 当或时，点与点之间的距离为2个单位长度． 23．阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： (1)若是成立的“特异数对”，则 ； (2)写出一对成立的“特异数对”，其中，； (3)若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)；（答案不唯一） (3)． 【分析】（）根据“特异数对”的定义计算即可求解； （）令，再根据“特异数对”的定义计算即可求解； （）由“特异数对”的定义可得，再化简代数式，把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减化简求值，理解“特异数对”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：令， ∴， ∴， ∴是一对“特异数对”； （3）解：∵是成立的“特异数对”， ∴， ∴原式 ， ， ， ， ． 24．定义：对于一个有理数x，我们把称作x的对称数． 若，则；若，则．例：，． (1)求，的值； (2)已知有理数，且满足，试求代数式的值； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】此题考查有理数的加减混合运算，代数式求值，解一元一次方程，正确理解题中公式是解题的关键． （1）根据直接利用公式计算即可得到答案； （2）由对称数的定义化简得，然后代入代数式确定即可； （3）分三种情况化简方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ = ； （3）当时， 方程为：，解得； 当时，，解得（舍弃）； 当时，，解得； 故方程的解为：． 25．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，问这条跑道长多少米？ 【答案】跑道长为400米 【分析】本题主要考查应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练弄清楚追及类问题过程，此题有一定的难度．设一开始时甲的速度是，于是乙的速度便是．再设跑道长是，根据题干条件求出甲乙两人的速度之比，再根据甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，即可求出椭圆的跑道长． 【详解】解：设一开始时甲的速度是，于是乙的速度便是．再设跑道长是， 则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为． 甲跑完第一圈，乙跑了，乙再跑余下的，甲已折返，且以的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了， 这时，乙折返并以的速度跑着． 从这时起，甲、乙速度之比是，即． 所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的的，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点． 可见两次相遇点间的距离是（米，即（米，（米 答：跑道长为400米． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$